2023北京昌平一中高三（上）期中數(shù)學本試卷分第一部分和第二部分兩部分.考生務必將兩部分的答案按要求答在答題紙相應題的后面.第一部分（選擇題共分）一、本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.A=?xx10B=x0x3AB=1.設集合，集合，則（）()(()+)A.B.C.，則z的共軛復數(shù)z=（D.D.2.若復數(shù)z滿足1iz）A.1i?B.1i+C.?i?1+i3.如果ab0，那么下列不等式成立的是（）a1a1bA.B.a2b2C.1D.abb2b4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的是（）2x1()=?()()=fxxfxx()=fx=?A.B.fxC.D.D.3x5.已知角的終邊經(jīng)過點(4)，則(+)=π（）45354535A.?B.C.1=，b=8，B=，則的大小為（）6.在ABC中，若a7A7ππ5ππ2πA.B.C.D.或63633m和兩個不同的平面7.已知兩條不同的直線l，，，下列四個命題中正確的是（）A.若lm，則∥B.若∥，m，則l，C.若⊥，則l⊥D.若∥，l⊥，則⊥，lAB+ACBC8.設點A，B，C不共線，則“與的夾角是銳角”是“”的（AB）A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件，則數(shù)列的前項和取得最大值時的項數(shù)的公差d0，且=aana212anSn9.等差數(shù)列nn（）A.5B.6C.5或6D.6或710.我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，n留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去．若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，n則的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：20.301，lg30.477）A.9B.10C.11D.12第二部分（非選擇題共分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡上.+=(a?b=(?))已知向量a，b滿足ab2,3，，則a?b=________.12.函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．2x13.已知不等式a對任意的xR都成立，則實數(shù)a的最小值是________.x2+1?x2+ax+x1()=fx14.已知函數(shù)．a(chǎn)x,x1①當a=1時，()的極值點個數(shù)為__________；fx②若()恰有兩個極值點，則的取值范圍是__________．fxa?ABCD中，點M，分別在線段和BC上．115.如圖，在棱長為2的正方體N111111給出下列四個結(jié)論：①的最小值為2；4②四面體NMBC的體積為；3③有且僅有一條直線與垂直；1④存在點M，N，使△MBN為等邊三角形．其中所有正確結(jié)論的序號是____．三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答題應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.()=2sinx)(+)的部分圖象如圖所示fx0,0π16.已知函數(shù).（1）求()的解析式；()=()fxπ4ππ43（2）若函數(shù)，求()gx在區(qū)間?,上的最大值和最小值.gxfxx+17.設ABC的內(nèi)角,B,C的對邊分別為（1）求角A的大小；a,b,c，且asinB=bA.（2）再從以下三組條件中選擇一組條件作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求ABC的面積.1=19,c5；第②組條件：=C=,c=42；第③組條件：AB邊上的高第①組條件：a3h=3,a=3.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.1?中，平面PDC⊥平面ABCD，⊥，AB，AB=DC，18.如圖，在四棱錐PABCD2PD=AD=1，M為棱的中點.（1）證明：∥平面PAD；AB=1，（2）若PC=5，（i）求二面角PDMB的余弦值；??269（ii）在線段PA上是否存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19.交通擁堵指數(shù)（TPI）是表征交通擁堵程度的客觀指標，用TPI表示，TPI越大代表擁堵程度越高.某平實際行程時間臺計算TPI的公式為：TIP=，并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分如下表所示的4個暢通行程時間等級：)2)4)TPI不低于4擁堵等級暢通緩行擁堵嚴重擁堵某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下圖：（1）從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；（2）從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022TPI高的天數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學期望()；EX（3）把月29日作為第1天，將2023年元旦前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次記為a,a,,ab,b,c=，記i?(=ibi，將2022TPI依次記為，12712ic+c+c+c+c+c+cc=1234567.請直接寫出c?ci取得最大值時的值.i71220.已知fxexax()=?+x2，其中a?1.y=fx()在點(())處的切線方程；f0（1）當a=0時，求曲線（2）當a=1時，求函數(shù)()的極值；fx1()fxx2+x+bxR?恒成立，求的最大值（3）若對于ba.2()=SX+++．對于數(shù)列，總有nx,x,,x，記n12n21.已知為正整數(shù)，數(shù)列X：X12na,a,,ab,b,,b，B：，均為12nkk=,n，，則稱數(shù)列X為項0-1數(shù)列．若數(shù)列A：12nnm,m,,mm=1?a?bk=,n．項0-1數(shù)列，定義數(shù)列A*B：，其中，12nkkk(A)(B)SA*SA*（1）已知數(shù)列A：1，，1，B：0，，1，直接寫出和的值；())()；A*B*A=SBnS（2）若數(shù)列A，B均為項0-1數(shù)列，證明：nnC（3）對于任意給定的正整數(shù)，是否存在項0-1A，B，，使得()+()+()=，并說明理由SA*BSA*CSB*C2n參考答案第一部分（選擇題共分）一、本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】集合的基本運算問題.A=xx?1A=xx1，【詳解】因為，所以AB=xx=().B=x0x3，所以且故選：C2.【答案】A2i1iz知z=，運用復數(shù)的除法即可求出，根據(jù)共軛復數(shù)的概念即可求解.z【分析】由1+i2i2i1+2i1izz==1+i，【詳解】因為，所以1+i1+i1所以z故選：A.3.【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可逐一判斷.11ab【詳解】由ab0可得：0，a2b2=(a+b)(a?b)0a2b2,1，故A，，錯BCabab?b2=ba?b0abb，故D正確.()2誤,故選：D4.【答案】D【分析】利用基本函數(shù)的單調(diào)性，逐項判斷即得.【詳解】對于A，函數(shù)f(x)=?x在R上單調(diào)遞減，A不是；x23()=對于Bfx在R上單調(diào)遞減，B不是；1()=??,0)(對于C對于D，函數(shù)fx的定義域為，該函數(shù)在定義域上不單調(diào)，C不是；x()=fx在+)上單調(diào)遞增，D是.x故選：D5.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義、結(jié)合誘導公式計算即得.335【詳解】由角的終邊經(jīng)過點(?4)，得該點到原點距離r=5，cos=(3)242=?，=?+r3cosπ(+)=?cos=.所以5故選：C6.【答案】B【分析】利用正弦定理結(jié)合三角形的特點計算即可.17437、Bπ()，所以cosB【詳解】因為在中，=sinB=1cosB=?2，asinB3π2π由正弦定理可知sinA==A=或，b2332π又abAB，所以A=不成立.3故選：B7.【答案】D【分析】根據(jù)直線與平面內(nèi)直線平行，判斷直線與平面的關系可判斷A，由線面平行的性質(zhì)可判斷B，由平面垂直的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)線面平行的性質(zhì)及面面垂直的判定判斷D.【詳解】若l，m，則∥或l，故A錯誤；m，則l若∥，若⊥或l,m為異面直線，故B錯誤；，則l⊥或l//或l與斜交，故C錯誤；，l若∥，則故選：D內(nèi)必有一直線l滿足l∥l，又l⊥，所以l⊥，又l，所以⊥，故D正確.8.【答案】C【分析】根據(jù)向量的運算結(jié)合充要條件分析判斷.【詳解】設AB與的夾角為，+AB+ACBC=AC?AB，當時，因為可得AB整理得+AC+2ABACAB+AC?2ABAC，ABACcos0cos0ACA0，即，則，,B,C且點不共線，所以AB與的夾角為銳角；AB=0當AB與的夾角為銳角時，則，+?2ABAC，可得，所以AB+AC+2ABACAB+AC?+即；+所以“”是“AB與的夾角是銳角”的充分必要條件.故選：C.9.【答案】C【分析】a=06SS或是最大值.6利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，再判斷5【詳解】由，可得(+)(?)=aaaa0，111111a21=a2因為d0，所以a?a0，所以a+a=0，又a+a=0a=0，所以.6111aaaaa=0aa是遞減數(shù)列，所以，顯然前5項和或前6125678因為d0，所以n項和最大，故選：C.中項的正負是解題的關SSa【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，的最大值，將的最大值轉(zhuǎn)化為nnn鍵，屬于中檔題.10.【答案】Dn【分析】根據(jù)變化規(guī)律可知每次去掉的線段長度成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可求得第次后，去nn23299掉的線段長度總和為1，由?1?，結(jié)合對數(shù)運算可解不等式求得，由此可得結(jié)n11.43100果.12【詳解】第1次操作，去掉的線段長度為；第2次操作，去掉的線段長度為；第3次操作，去掉的線39n1412n，依次類推，可知第次操作去掉的線段長度為段長度為33，即每次去掉的線段長度成等比數(shù)列，n13231?n2n第次后，去掉的線段長度總和為=1?，321?3n2n2991由1?得：3100，31001lg10022n=?=??11.42323??1002lg30.3010.477，n的最小值為12.故選：D.第二部分（非選擇題共分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡上.【答案】(?4,0)【分析】首先計算出a，b，再進行線性運算即可.+=(3)，a?b=(?)ab【詳解】因為，)，b=a+b?a=()2a=(0,4a，即兩式相加得a?b=(?0)，所以故答案為：(?0).12.【答案】.2【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.1?cos4xfx=sin2x=【詳解】函數(shù)()2,周期為22【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎題.13.【答案】1【分析】利用基本不等式，結(jié)合分類討論的思想，可得答案.2x22==1，當且僅當x=1時，等號成立；1【詳解】當x0時，x2+11x+2xxx2x當x0時，顯然0.x2+1a1.綜上所述，故答案為：1.(0,2)14.【答案】①.2.1【分析】①驗證分段處函數(shù)值可知()為連續(xù)函數(shù)，由單調(diào)性可確定x=x=1fx和是()的極值點，fx2由此可得極值點個數(shù)；a②驗證分段處函數(shù)值可知()為連續(xù)函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性可確定x=1和x=必為fx2a()的兩個極值點，得到fx；根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點定義可知()在(+)上單調(diào)fx12遞增，即a0；由此可得的范圍.a?++2xxx1()=fx【詳解】①當a=1時，；x,x11fx為連續(xù)函數(shù)；，121?,(+),在上單調(diào)遞增，在2,1上單調(diào)遞減，12x==f(x)f(x)的極值點個數(shù)為2；和x1是的極值點，即afx②，為連續(xù)函數(shù)，()為單調(diào)函數(shù)，axx1在(+)上無極值點；()=?fx++(?),1在上至多有一個極值點，x2ax1又aax=1和x=必為f(x)的兩個極值點，1，解得：a2，22a2又()在在(+)上單調(diào)遞增，a0；fx,1上單調(diào)遞減，(0,2).a綜上所述：實數(shù)的取值范圍為故答案為：(2).【點睛】易錯點睛：本題考查函數(shù)極值點的定義、根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；本題易錯的點在a于根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍時，確定x=1和x=為()的兩個極值點后，忽略在極值點左右兩側(cè)fx2函數(shù)單調(diào)性需發(fā)生改變，導致丟失a0的范圍.15.【答案】①②④【分析】對于①，利用直線之間的距離即可求解；對于②，以M為頂點，③，利用直線的垂直關系即可判斷；對于④，利用空間坐標即可求解.為底面即可求解；對于ADNBC11上運動，所以的最小值就是兩條直線之間距離【詳解】對于①，由于M在上運動，在1CDC=211，所以MN的最小值為2；，而1121對于②，V=S，而S22=2，所以四面體NMBC的體積為M?BNC34；3對于③，由題意可知，當M與重合，與C重合時，DNDC⊥AD，又根據(jù)正方體性質(zhì)可知，11111AD⊥ABCDADB1MN⊥ADAD1，所以當M為中點，N與重合時，此時，故與MN垂直的不唯11111一，③錯誤；對于④，當△MBN為等邊三角形時，=，則此時=1N.所以只需要與BN的夾角能等π于即可.3以D為原點，DA、、xy分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如下圖，z1nnAM=1N=nM2?(B2,0)，(?N2n,2,2)，則可得,0,設，則由題意可得，22n2+2nnn12BM=?,?BN=(?n,0,2)==，，則2，整理可得222n+42?1n2?2n+22=0n，該方程看成關于的二次函數(shù)，22=4?4?122=82?40n，所以存在使得△MBN為等邊三角形.2故答案為：①②④三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答題應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.π()=+fx2sinx16.1）412?.（2）最大值為1，最小值為T3ππππ4=?=，求得周期，進而得到,2）根據(jù)函數(shù)圖象得到，再根據(jù)點在函數(shù)圖象4442上求解；ππx?,（2）由（）得到g(x)=cos2x，再根據(jù)求解.43【小問1解：由圖象知：2πT3πππ=?==，則T2π，4442所以==1，則f(x)=2sin(x+)，Tπ,2因為點在函數(shù)圖象上，4πππ所以sin+=1，則+=+2,kZ，442π解得=+2,kZ，又π，04ππ()=+=fx2sinx所以，則；44【小問2π4π4π4π2()=()+=++=+=cos2xgxfxx2sinxxsin2x由（1）知：，ππx?,π2π23122x?,2x?,1因為，所以，所以，43ππ?,1所以()在區(qū)間?gx上的最大值為1，最小值為.432π17.1）A（2）答案見詳解=3）結(jié)合正弦定理邊化角可直接求解；（2）若選①結(jié)合余弦定理求得b不唯一；若選②，由,C固定可確定B唯一，結(jié)合第三角公式求得sinB，再由正弦面積公式即可求解；若選③，由正弦定理可求得b=2，結(jié)合余弦定理可求得，再由正c弦面積公式即可求解.【小問1由asinB=bAsinAsinB=3sinBA，A(π)因為sinB0A=3，化簡得，又πA=3【小問2π若選①，則a=19，c=5，A=，3由余弦定理可得bcA=b2+c22，代入數(shù)據(jù)化簡得b=2或3，故選①不成立；?a1π223C=A=若選②，則，c42，=，求得sinC=，33ac=，解得a=33，由正弦定理可得sinAsinC3+22由sinBsinACsinACAsinC==(+)=+，61π因為A=，C=，C唯一，則B唯一，三角形存在且唯一確定，331213+22△ABC=acsinB=3342=32+43；26h若選③，由AB邊上的高h=3可得sinA=，解得b=2a=3，又，b由余弦定理可得bcA=b2+c2?a，代值化簡得c=1+6或1?6212133+32()三角形存在且唯一確定，△ABC=bcsinA=21+6=22218.1）證明見詳解623?ii）存在點Q=.（2i），6）取PD中點E，可證四邊形ABME是平行四邊形，可得//，得證；269（2iii）假設存在點Q到平面BDM的距離為，利用點到面距離的向量法求解即可.【小問1如圖，取PD中點E，連接ME，AE，1因為M是中點，所以//，=，21AB=又//，，2ME//AB，ME=AB，所以四邊形ABME是平行四邊形，BM//AE，又AE平面PAD，BM平面PAD，BM//平面PAD.【小問2，DC=2，又PD1，PC==5，PC又平面平面PD⊥ABCD2=PD2+DC2⊥，則，⊥ABCDPDCABCD=平面，，平面平面，PD⊥AD⊥，，又所以PD，AD，兩兩互相垂直，如圖，以點D為坐標原點，DA，，DP分別為，，軸建立空間直角坐標系，xyz12則(D0,0,0)，()，()，()，()，P0,1M，A1,0,0B0C2,0)（i）設平面BDM的一個法向量為x+y=0m=(x,y,z，則m1y1=x=1z=?2，可得，?，，即，令y+z=0m02m=(2?)，)DA=1,0,0又平面的一個法向量為，?16m=?，1+1+416m6所以二面角PDMB的余弦值為???.6269（ii）假設線段PA上存在點Q，使得點Q到平面BDM的距離為，()=(,0,?)，=PA，01設PQ=?=(,0?)?(?)=(???)11，m=2)，(由（i）知平面BDM的一個法向量為BQ2所以點Q到平面BDM的距離為，m6?22623==則，解得或，9362又0≤≤1，所以=，3269PQPA23即存在點Q到平面BDM的距離為，且=.2719.1）；6()=EX（2）分布列見解析，（3）6.；7）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求得7天中“擁堵”的天數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求得X的取值，再求對應的概率、分布列以及數(shù)學期望即可；c,c,,ccc?c，再求取得最大值時i的值即可.i（3）求得，127【小問1根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”；設7天中任取1天，這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率為P，2P=則；7【小問2根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天數(shù)共有2天；X=2故，C3103527C25CC12203547CC15C22517(=0)===(=)===(=2)===PX537PXPX；；；C373735故X的分布列如下所示：X01227417()PX7274716()=++=EX012；77【小問3由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知：a=a=a=a=1.202,a=a=2.256,a=2.0121234567b=2.055,b=2.393,b=1.529,b=1.302,b=1.642,b=1.837,b=1.755，1234567c=a?b，i又iic=?0.147,c=?0.312,c=?c=?0.100,c=?c=0.419,c=0.257故1234567c+c+1.172=12=?0.167c，77c?c取得最大值時，i=6i故.20.1）yx1=+（2）極小值為f(0)=1，無極大值.1e（3）1+）由導數(shù)的幾何意義得出切線方程；（2）利用導函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，進而得出極值；h(x)=e?(a+)x?b的最小值恒成立問題，化簡整理可得x（3）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化成函數(shù)b?a1?(a+a+【小問1F(x)=1?xx(x0)?并求得其最大值即可得出的最大值.，構(gòu)造函數(shù)ba1f(x)=ex+x,fxex2()=+x，()=()=當a=0時，f0f01.2y=fx()在點(())處的切線方程為f0y=x+1即曲線.【小問212()=?+x2fxex1x()=?+當a=1時，fxexx，則；g(x)=fx=e()x?1+xg(x)=e+10，即x令，則g(x)在R上單調(diào)遞增；=f(x)f(0)=f(x)0時，；f(0)0x00x0，當又易知，所以當時，即函數(shù)()在()上單調(diào)遞減，在+上單調(diào)遞增；fx,0(0,)即函數(shù)()的極小值為()=，無極大值fxf01.【小問31()fxx2+x+bex?(a+)x?b0xR在對于xR恒成立，可得恒成立；2h(x)=ex?a+1x?b()h(x)=ex?(a+)，又a?1，令，則h(x)=ex?(a1+)=0x=ln(a+可解得，由xln(a+h(x)0xln(a+h(x)0時，易知當時，，當；(h(x),a+)上單調(diào)遞減，在(ln(a)上單調(diào)遞增，+所以在因此h(x)在x=ln(a+處取得極小值，(()ln(a)?(a+)(a+)?b=(a+)?(a+)(a+)?b；ha+1=e也是最小值為易知(a+1?a+1a+1?b0，所以可得b?a1?(a+a+，)()()F(x)=1?xx(x0)F(x)=?x?1令，則，110xF(x)0x；當F(x)0；因此當時，時，ee11eF(x),+所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；e111eF(x)=F()=1+，即b?a1+.即ee1e故b?a的最大值為1+.【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題，一般情況下將不等式化簡變形并通過構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最值，再根據(jù)題意求解即可得出結(jié)論.()()SA*A=3SA