人教版中學數(shù)學必修四學問點歸納總結

1.1.1隨意角

1.角的有關概念:

①角的定義：

角可以看成平面內一條射線圍著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.

②角的名稱:

③角的分類:

「正角：按逆時針方向旋轉形成的,

負角：按順時針方向旋轉形成的角

④留意：

⑴在不引起混淆的狀況下，“角a”或“Na”可以簡化成“a圖4-3

⑵零角的終邊與始邊重合，假如a是零角a=0°；

⑶角的概念經過推廣后，已包括正角、負角和零角.

2.象限角的概念：

①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)

在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.

1.1.2弧度制(一)

1.定義

我們規(guī)定，長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫

做弧度制.在弧度制下，1弧度記做Irad.在實際運算中，經常將rad單位省略.

弧度制的性質：

2m

①半圓所對的圓心角為生=肛②整圓所對的圓心角為=27r.

rr

③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).④負角的弧度數(shù)是一個負數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的肯定值|

4.角度與弧度之間的轉換：

①將角度化為弧度：

TTH7T

360。=2萬；180°=乃；1°=——?0.01745raJ；〃°=——rad.

180180

②將弧度化為角度：

2乃=360°；萬=180°；\rad=(―)°?57.30°=57°18Z；/?=()°.

7171

5.常規(guī)寫法：

①用弧度數(shù)表示角時，經常把弧度數(shù)寫成多少n的形式，不必寫成小數(shù).

②弧度與角度不能混用.

6.特殊角的弧度

角

030456090120135150180270360

度

ooooooooooo

弧7171兀712萬375〃3乃

0712兀

度6432346T

7.弧長公式

|tz|=-=>/=r-|tz|

弧長等于弧所對應的圓心角(的弧度數(shù))的肯定值與半徑的積.

4-1.2.1隨意角的三角函數(shù)(三)

1.三角函數(shù)的定義

2.誘導公式

sin(2攵萬+a)=sina(keZ)

cos(2^+a)=cosa(kGZ)

tan(2Z4+a)=tana(keZ)

當角的終邊上一點P(X，歷的坐標滿意M+y=1時,有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何

表示一一三角函數(shù)線。

1.有向線段：

坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標軸方向一樣時為正，與坐標方向相反時為負。

有向線段：帶有方向的線段。

2.三角函數(shù)線的定義：

設隨意角a的頂點在原點0,始邊與X軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點P(x,y),

過P作x軸的垂線，垂足為M；過點4(1,0)作單位圓的切線，它與角a的終邊或其反向延

長線交與點T.y

由四個圖看出:(W)

當角。的終邊不在坐標軸上時，有向線段=于是有

sintz=—=—=y=MP,cosa=-=-=x=OM,tana=^=-=—=AT

r1r1xOMOA

我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為a的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線段；余弦線在

龍軸上；正切線在過單位圓與了軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內，

一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向。的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向

垂足；正切線由切點指向與〃的終邊的交點。

(3)三條有向線段的正負：三條有向線段凡與“軸或了軸同向的為正值，與了軸或>軸反向

的為負值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。

4-1.2.1隨意角的三角函數(shù)(1)

1.三角函數(shù)定義

在直角坐標系中，設a是一個隨意角，a終邊上隨意一點p(除了原點)的坐標為(x,y),

它與原點的距離為r(r=+1y1=+9>o),那么

(1)比值上叫做a的正弦，記作sina，即sina=.

r

(2)比值二叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=

r

(3)比值上叫做a的正切,記作tana,即tana=

X

(4)比值土叫做a的余切，記作cota,即cota-

yy

說明：①a的始邊與x軸的非負半軸重合，a的終邊沒有表明a肯定是正角或負角，以及a

的大小，只表明與a的終邊相同的角所在的位置；

②依據(jù)相像三角形的學問，對于確定的角a,四個比值不以點P(x,y)在a的終邊上的

位置的變更而變更大??；

③當a='+版■(AwZ)時，a的終邊在y軸上，終邊上隨意一點的橫坐標x都等于0,

所以tana=)無意義；同理當a=左/(左eZ)時，cota=二無意義;

xy

④除以上兩種狀況外，對于確定的值a,比值上、土、上、土分別是一個確定的實數(shù),

rrxy

正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三

角函數(shù)。

2.三角函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

y=tana{a|aw萬+2匹&GZ]R

留意:

(1)在平面直角坐標系內探討角的問題，其頂點都在原點，始邊都與X軸的非負半軸重合.

(2)a是隨意角，射線0P是角a的終邊，a的各三角函數(shù)值(或是否有意義)與ox轉了幾

圈，按什么方向旋轉到0P的位置無關.

(3)sina是個整體符號，不能認為是“sin”與“a”的積.其余五個符號也是這樣.

(4)隨意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)分：

銳角三角函數(shù)是隨意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎共建立于相像(直角)三角形

的性質，“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，隨意角的三角函

數(shù)是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的，它也適合銳角三角函數(shù)的定義.

實質上，由銳角三角函數(shù)的定義到隨意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的相識和探討過

程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一樣性，將直角三角形置于平面直角坐

標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，始終角邊與x軸的非負半軸重合，利用我們熟

識的銳角三角函數(shù)類比記憶.

3.例題分析

例1.求下列各角的四個三角函數(shù)值：(通過本例總結特殊角的三角函數(shù)值)

34

(1)0；(2)71；(3)

T,

解：(1)因為當a=0時，x-r,y=0,所以

sin0=0,cosO=1,tan0=0,cot0不存在。

(2)因為當a="時，x=一廠，y=0,所以

sin?=0,cos?=-l,tan;r=0,cot/r不存在，

網(wǎng)時，

(3)因為當a=x=0,y=-r,所以

2

??-y-37r八

sin—=-1,cos—=0ftan—d、,cot——0,

2222

例2.已知角a的終邊經過點尸(2,-3),求a的四個函數(shù)值。

解：因為x=2,y==—3,所以廠=522+(-3)2=屈，于是

3V13x225/13

sina=——y=—-；=3=

rV1313rV1313

y3x2

tancc——二—；cota=—=——.

x2y3

例3.已知角a的終邊過點(a,2a)(aw0),求a的四個三角函數(shù)值。

解：因為過點(a,2a)(aw0),所以r=6|a|,x=a,y=2a

y2a2a26xa亞a\

當〃>011寸,5吊二二

一r一出\a「加J5s'”尸氐一5；tana=2;cota=-

y_2a_2。_2^5

當a<00寸,sina二

r石IaI-\[5a5

xa舊a1

cosa=—=—-f=-=-------；tana=2;cota=—

r一、15a52

4.三角函數(shù)的符號

由三角函數(shù)的定義，以及各象限內點的坐標的符號，我們可以得知:

①正弦值上對于第一、二象限為正(y>0/>0),對于第三、四象限為負(y<0/>0)；

②余弦值日對于第一、四象限為正（x〉0,r>0）,對于其次、三象限為負（x<0,r>0）；

③正切值上對于第一、三象限為正（x,y同號），對于其次、四象限為負（x,y異號）.

X

說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。

5.誘導公式

由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：

sin（a+=sina,

cos（a+2k7r'）-cosa,其中左eZ.

tan（?+2%乃）=tana,

這組公式的作用是可把隨意角的三角函數(shù)值問題轉化為0?2”間角的三角函數(shù)值問題.

4-1.2.2同角三角函數(shù)的基本關系

（-）同角三角函數(shù)的基本關系式：

1.由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關系：

（1）商數(shù)關系：tana=、?。一（2）平方關系：sin2a+con2a=1

cona

說明：

①留意“同角”，至于角的形式無關重要，如sin24c+cos24c=l等；

②留意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的，如

k冗

tana.cota=l（a。-^-,&eZ）；

③對這些關系式不僅要堅固駕馭，還要能敏捷運用（正用、反用、變形用），如：

222Sn<

cosa=±Vl-sina,sina=l-cosa,cosa='^o

tana

總結：

1.已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運用基本關系式求出其它三角函數(shù)值。在求值中，

確定角的終邊位置是關鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的狀況

不止一種。

2.解題時產生遺漏的主要緣由是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關

系開平方時，漏掉了負的平方根。

小結：化簡三角函數(shù)式，化簡的一般要求是：

（1）盡量使函數(shù)種類最少，項數(shù)最少，次數(shù)最低；

（2）盡量使分母不含三角函數(shù)式；

（3）根式內的三角函數(shù)式盡量開出來；

（4）能求得數(shù)值的應計算出來，其次要留意在三角函數(shù)式變形時，常將式子中的“1”作奇

妙的變形，

1.3誘導公式

1、誘導公式（五）sin（--<z）=cosacos（—-?）=sina

22

2、誘導公式（六）sin（—+a）=cosacos（工+a）=-sina

22

總結為一句話：函數(shù)正變余，符號看象限

小結：

①三角函數(shù)的簡化過程圖:

②三角函數(shù)的簡化過程口訣：

負化正，正化小，化到銳角就行了.

1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象

1、用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（幾何法）：為了作三角函數(shù)

的圖象，三角函數(shù)的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數(shù)值都為實數(shù)

（1）函數(shù)y=sinx的圖象

第一步：在直角坐標系的x軸上任取一點以。|為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的

交點A起把圓分成n（這里n=12）等份.把x軸上從0到2n這一段分成n（這里n=12）等份.（預

備：取自變量x值一弧度制下角與實數(shù)的對應）.

其次步：在單位圓中畫出對應于角0,鄉(xiāng)，2n的正弦線正弦線（等價于“列

632

表”）.把角X的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與X軸上相應的點X重合，則正

弦線的終點就是正弦函數(shù)圖象上的點（等價于“描點”）.

第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來，就得到正弦函數(shù)丫=$門*,XG

[0,2n]的圖象.

依據(jù)終邊相同的同名三角函數(shù)值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續(xù)地平行移動,

每次移動的距離為2n,就得到y(tǒng)=sinx,xWR的圖象.

把角x（xeR）的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦

依據(jù)誘導公式8Sx=sin（、+3）,可以把正弦函數(shù)丫='1皿的圖象向左平移三單位即得余弦

函數(shù)y=cosx的圖象.

正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.

2.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(描點法)：

正弦函數(shù)丫=$1僦<6[0,2“]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)(￡,1)(兀,0)(至，-1)(2兀,0)

22

余弦函數(shù)y=cosxxw[0,2捫的五個點關鍵是哪幾個?(0,1)(―,0)(K,-1)(—,0)(2；t,1)

22

1.4.2正弦、余弦函數(shù)的性質(一)

1.周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f(X),假如存在一個非零常數(shù)T,使得當X取定義域內的每一

個值時，都有：f(x+T)=f(x)那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)

的周期。

問題：(1)對于函數(shù)丁=加工，xeR有sin(工+女)=sin工，能否說女是它的周期？

6363

(2)正弦函數(shù)丁=sinx,xeR是不是周期函數(shù)，假如是，周期是多少？(2%不，左eZ且左。0)

(3)若函數(shù)/(x)的周期為T,則左T,ZeZ*也是/(幻的周期嗎？為什么？

(是，其緣由為：/(x)=/(x+T)=/(x+2T)==.f(x+kT))

2、說明:

1。周期函數(shù)X€定義域M,則必有x+TeM,且若T〉0則定義域無上界；T<0則定義域無下界；

2。“每一個值”只要有一個反例，則f(x)就不為周期函數(shù)(如f(Xo+tWf(Xo))

3。丁往往是多值的(如y=sinx2兀,4兀，…，-2兀,-4兀，…都是周期)周期T中最小的正數(shù)叫做

f(x)的最小正周期(有些周期函數(shù)沒有最小正周期)y=sinx,y=cosx的最小正周期為2兀(一

般稱為周期)從圖象上可以看出y=sinx,xwR；y-cosx,xeR的最小正周期為2〃；

推斷：是不是全部的周期函數(shù)都有最小正周期？(/(x)=c沒有最小正周期)

說明：(1)一般結論：函數(shù)y=Asin(dxx+。)及函數(shù)y=Acos(0x+e),xeR(其中A,。,。為

常數(shù)，且4/0,0>0)的周期T=如；

1jr

(2)若gvO,如：①y=3cos(-x)；?y=sin(-2x)；③y=2sin(——x--),xe7?.

26

則這三個函數(shù)的周期又是什么？

27r

一般結論：函數(shù)y=Asin(0x+夕)及函數(shù)y=Acos(5+e),xcR的周期7=——

㈤

1.42(2)正弦、余弦函數(shù)的性質(二)

1.奇偶性

(1)余弦函數(shù)的圖形

當自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)y取同一值。

(2)正弦函數(shù)的圖形

2.單調性

從丫=5111*,XGE——］的圖象上可看出：

22

當xG-］時，曲線漸漸上升，sinx的值由-1增大到1.

22

當xe［工，電］時，曲線漸漸下降，sinx的值由1減小到一1.

22

結合上述周期性可知：

正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［一工+2kn,-+2kn］(kWZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增大

22

到1；在每一個閉區(qū)間［±+2kJi,至+2kn］(kCZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

22

余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間L(2k-1)n,2kn］(k@Z)上都是增函數(shù)，其值從一1增加到1;

在每一個閉區(qū)間［2kn,(2k+l)n］(kdZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

3.有關對稱軸

視察正、余弦函數(shù)的圖形，可知

JT

y=sinx的對稱軸為x=攵4+—k￡Zy=cosx的對稱軸為x二左7k￡Z

2

1.4.3正切函數(shù)的性質與圖象

1.正切函數(shù)丁=tanx的定義域［工|%工］+&匹氏￡2

2.正切函數(shù)是周期函數(shù)

tan(x+;r)=tanx^xeR,且xwk兀+&kez),

???乃是y=tanxfXGR,且xwGZj的一個周期。

元;

(2)依據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數(shù)

y=tanxxwR,且+的圖象，稱"正切曲線"。

4.正切函數(shù)的性質(1)定義域：<x\x^^+k7r,kez

(2)值域：R視察：當x從小于以+^kez)，x--->%兀+]時，tanx---->-H?

當x從大于(■+&%(&€z)，x---->'+上萬時，tanx---->一8。

(3)周期性：T=T；

(4)奇偶性：由tan(-x)=-tanx知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；

(5)單調性：在開區(qū)間(_5+觀仁+女萬卜一內，函數(shù)單調遞增。

1.5函數(shù)y=Asin(3x+4))的圖象(二)

二、函勤=Asin(<ar+°),xG[0,+oo)(其中A>0,0>0)的物理意義

函數(shù)表示一個振動量時：

A：這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.

27r

T：T往復振動一次所需的時間，稱為“周期”

3y?

f：/=*=&單位時間內往返振動的欠數(shù)，稱為“頻率”2

以+夕：稱為“相位”.

(p:x=0時的相位，稱為"初相”.—j\

—2~|

2.1.1向量的物理背景與概念及向量的允何表示

（-）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。

1、數(shù)量與向量的區(qū)分：a，/.

數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大??；（終點）

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.A（起點）

2.向量的表示方法：

①用有向線段表示；②用字母a、b（黑體，印刷用）等表示；

③用有向線段的起點與終點字母：AB;④向量麗的大小一長度稱為向量的模，記作I而I.

3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.

向量與有向線段的區(qū)分：

（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，這兩個向量就

是相同的向量；

（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不

同的有向線段.

4、零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作0.0的方向是隨意的.留意0與0的含義與書寫區(qū)分.

②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.a/

說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.之二

5、平行向量定義：式）

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定o與任一向量平行.

說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義（2）向量a、b、c平行，記作a〃b〃c.

2.1.2相等向量與共線向量

1、相等向量定義：

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.七二■

說明：（1）向量a與b相等，記作a=b；（2）零向量與零向量相等；

（3）隨意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關.

2、共線向量與平行向量關系：

平行向量就是共線向量，因為任一組平行向量都可移到同始終線上（與有向線段的起點

木天）..

說明：（1）平行向量可以在同始終線上，要區(qū)分于兩平行線的位置關系；

（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)分于在同始終線上的線段的位置關系.

2.2.1向量的加法運算及其幾何意義

1、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.

2、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）

如圖，已知向量a、b.在平面內任取一點A,作麗=a,BC=b,則向量焦叫做a

與b的和，記作a+b,即a+b=AB+BC=AC,規(guī)定：a+0-=0+a

（1）兩向量的和仍是一個向量;

（2）當向量Z與3不共線時:

當向量。與3不共線時，a+g的方向不同向，且Ia+1a1+1Z|；

?—?——?—?—?—

當a與b同向時，貝（］a+Z?、a、b同向，且Ia+b|=|aI+1）I,

當a與B反向時，若則a+3的方向與a相同，且Ia+3I=|aHBI;

若Ia則a+1的方向與：相同,且|a+b|=|1|-|a|.

（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個

向量連加

3.加法的交換律和平行四邊形法則

1）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）

2）向量加法的交換律:a+b=b+a

六、備用習題思索：你能用向量加法證明：兩條對角線相互平

分的四邊形是平行四邊形嗎？

2.2.2向量的減法運算及其幾何意義

1.用“相反向量”定義向量的減法

（1）“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作-a

(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a.

任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0

假如a、b互為相反向量，則a=-b,b=-a,a+b=0

(3)向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.

即：a-b=a+(-b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

2.用加法的逆運算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運算:

若b+x=a,則x叫做a與b的差，記作a-b

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量a-b

?(a—b)+b=a+(一b)+b=a+O=a

0Oo

作法：在平面內取一點o,----------7人/

作正:a,AB=b貝U礪=a-/|/

即a-b可以表示為從向量b的終點4向向魯a的終點的向量.

留意：1。而表示a-b.強調：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

平面對量基本定理、平面對量的正交分解和坐標表示及運算

1.(1)我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內全部向量的一組基底；

(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底e?、e?的條件下進行分解；

(4)基底給定時，分解形式惟一.L是被2,I，1唯一確定的數(shù)量

2.向量的夾角：已知兩個非零向量M、b,作=OB=b,則NA0B=8,叫向量2、b

的夾角，當6=0°,a>B同向，當8=180°,a>B反向，當6=90°,2與B垂直，記作M_L

bo

3.平面對量的坐標表示

(1)正交分解：把向量分解為兩個相互垂直的向量。

如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、/作為基底.

任作一個向量。，由平面對量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y,使得

a=xi+yj........①

我們把(x,y)叫做向量a的(直角)坐標，記作。=(x,y)........②

其中x叫做。在x軸上的坐標，y叫做。在y軸上的坐標，②式叫做向量的坐標表示.與。相

等的向量的坐標也為(x,y).特殊地，i=(1,0),j=(0,l),0=(0,0).

如圖，在直角坐標平面內，以原點0為起點作而=a,則點A的位置由“唯一確定.

設。4=xi+W，則向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x,y)也就是

向量質的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面對量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.

2.3.3平面對量的坐標運算

1.平面對量的坐標運算

(1)若a=(w，y),b=(x2,y2),則a=(玉+々，必+力)，a-b=(.xl-x2,yi-y2)

兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

(2)若a=(x,y)和實數(shù)X,則九(=(/U,辦).

實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.

設基底為i、j,則Aa=2(x/+yj)=Axi+初，即九!=(Ax,2y)

實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。

(3)若B(x2,y2),則A8=(%2-的，必一必)

AB=OB—OA=(X2.丫2)"(X”Yi)=區(qū)一x>y?-y)

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.

2.4.1平面對量的數(shù)量積的物理背景及其含義

1.平面對量數(shù)量積(內積)的定義：已知兩個非零向量a與b,它們的夾角是0,

則數(shù)量|a||b|cos。叫a與b的數(shù)量積，記作a.b,即有a，b=|a||b|cos0,(0W。Wn).

并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.

(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos。的符號所確定.

(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內積，寫成a.b；今后要學到兩個向量的外積aXb,而a.b是兩

個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“?”在向量運算中不是乘號，既不能省略，

也不能用"X”代替.

(3)在實數(shù)中，若aM,且a.b=0,則b=0；但是在數(shù)量積中，若aM,且a-b=0,不能推出

b=0.因為其中cos。有可能為0.

(4)已知實數(shù)a、b、c(bM),則ab=bc=>a=c.但是a-b=b-c^>a=c

如右圖：a-b=|a||b|cosp=bl|OA|,b-c=bl|c|cosa=b||OA

=>a-b=b-c但awc-

(5)在實數(shù)中，有(a.b)c=a(b-c),但是(a，b)c+a(b-c)

明顯，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共

線.

2.“投影”的概念：作圖

zLKL

~o°°(B1)aA

定義：IblcosO叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；

當。為銳角時投影為正值；當。為鈍角時投影為負值；當。為直角時投影為0；

當。=0。時投影為|b|；當0=180。時投影為-|b|.

3.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a-b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos。的乘積.

兩個向量的數(shù)量積的性質：設a、b為兩個非零向量，

1、a_Lboa-b=0

2、當a與b同向時，a-b!a|lb|；當a與b反向時，a-b=-1a||b|.

特殊的a-a=|a『或=Ia-bW|a|jbcosO=

|a||)l

平面對量數(shù)量積的運算律：

1.交換律：a-b=b-a

證：設a,b夾角為0,則a?b=|a||b|cos0,b-a=|b||a|cos0/.a-b=b'a

2.數(shù)乘結合律:(A,a)-b=A,(a-b)=a-(Xb)

證：若九>0,(Xa)-b|a||b|cos0,九(a?b)=X|a||b|cos0,a-(Xb)=X|a||b|cos0,

若大<0,(Xa)-b=|Xa||b|cos(n-0)=-X|a||b|(-cos。)=X|a||b|cos0,九(a-b)

=X|a||b|cos0,a-(kb)=|a||Xb|cos(n-0)=-X|a||b|(-cos。)=X|a||b|cos0.

3.安排律：(a+b)-c=a-c+b-c

在平面內取一點0,作正=a,AB=b,OC=c,Va+b（即礪）在c方向上的投

影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos0=|a|cos0,+|b|cos02

/.|c||a+b|cos0=|c||a|cosOi+|c||b|cos02)c?(a+b)=c-a+c-b即：

(a+b)?c=a-c+b-c

說明：（1）一般地，（a?b）cWa（b?c）

(2)a?c=b?c,cWOka=b

(3)有如下常用性質：a2=IaI2,

(a+b)(c+d)=a?c+a?d+b?c+b?d

2.4.2平面對量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

1、平面兩向量數(shù)量積的坐標表示

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.即=X/2+必必

2.平面內兩點間的距離公式

（1）設。=（x,y）,則+＜或|&|=J—+/.

（2）假如表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為區(qū),y）、（々，為），

那么Ia|=｛（/-獷+⑸-乂）2（平面內兩點間的距離公式）

3.向量垂直的判定

設a=a，y)，b=(x2,y2)，則<=>XjX2-

4.兩向量夾角的余弦（0W6W不）

COS0

x22x22