第7章

巖體本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論1§7.2巖石的本構(gòu)關(guān)系第7章巖體本構(gòu)關(guān)系與強(qiáng)度理論2

一、

巖石力學(xué)中的符號(hào)規(guī)定

（1）力和位移分量的正方向與坐標(biāo)軸的正方向一致；（2）壓縮的正應(yīng)變?nèi)檎?；?）壓縮的正應(yīng)力取為正。假如表面的外法線(xiàn)與坐標(biāo)軸的正方向一致，則該表面上正的剪應(yīng)力的方向與坐標(biāo)軸的正方向相反，反之亦然。§7.2巖石的本構(gòu)關(guān)系3

二、

巖石彈性本構(gòu)關(guān)系

1．平面彈性本構(gòu)關(guān)系

據(jù)廣義虎克定理有：式中：E為物體的彈性模量；為泊松比；G為剪切彈性模量，4

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題：因εz

＝γzx

＝γyz

＝0，故τyz＝τzx＝0，可知：5

對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題：σz＝τzx＝τzy＝0

對(duì)比平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變的本構(gòu)方程，可以看出，只要將平面應(yīng)力問(wèn)題的本構(gòu)關(guān)系式中的E換成，v換成。6

2.空間問(wèn)題彈性本構(gòu)方程7

三、

巖石塑性本構(gòu)關(guān)系

圖7-1加－卸載應(yīng)力－應(yīng)變曲線(xiàn)

塑性本構(gòu)關(guān)系特點(diǎn)：1、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的多值性

同一應(yīng)力有多個(gè)應(yīng)變值與它相對(duì)應(yīng)。本構(gòu)關(guān)系采用應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽康年P(guān)系表達(dá)。塑性狀態(tài)描述：除用應(yīng)力、應(yīng)變，還需用塑性應(yīng)變，塑性功等內(nèi)狀態(tài)變量來(lái)刻畫(huà)塑性變形歷史。

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1）屈服條件：塑性狀態(tài)的應(yīng)力條件。

2）加-卸載準(zhǔn)則：材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后繼續(xù)塑性變形或回到彈性狀態(tài)的準(zhǔn)則，通式寫(xiě)成：

式中：垂直于軸的平面上平行于軸的應(yīng)力，為某一函數(shù)關(guān)系，為與加載歷史有關(guān)的參數(shù)，。

3）本構(gòu)方程：或（7-7）式中：R為某一函數(shù)關(guān)系

2、本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性塑性階段本構(gòu)關(guān)系包括三組方程：

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1）巖石屈服條件和屈服面初始屈服條件：從彈性狀態(tài)開(kāi)始第一次屈服的條件。

后繼屈服條件：當(dāng)產(chǎn)生了塑性變形，屈服條件的形式發(fā)生了變化的屈服條件。式中：為總應(yīng)力，為塑性應(yīng)力，為標(biāo)量的內(nèi)變量，它可以代表塑性功，塑性體積應(yīng)變，或等效塑性應(yīng)變。屈服面：屈服條件在幾何上可以看成是應(yīng)力空間中的超曲面。初始屈服面和后繼屈服面。10

分類(lèi)：按塑性材料屈服面的大小和形狀是否發(fā)生變化。理想塑性材料（不變化）和硬化材料（變化）。11

（1）硬化材料的屈服面模型①等向硬化-軟化模型：塑性變形發(fā)展時(shí)，屈服面作均勻擴(kuò)大（硬化）或均勻收縮（軟化）。如果是初始屈服面，后繼屈服面為：

②隨動(dòng)硬化模型：塑性變形發(fā)展時(shí)，屈服面的大小和形狀保持不變，僅是整體地在應(yīng)力空間中做平動(dòng)，后繼屈服面為：式中：α是材料參數(shù)。

③混合硬化模型：介于等向硬化-軟化和隨動(dòng)硬化之間的模型，后繼屈服面為：

（2）塑性巖石力學(xué)最常用的屈服條件庫(kù)侖（Coulomb）、德魯克-普拉格（Drucker-Prager）屈服條件。12

2.塑性狀態(tài)的加-卸載準(zhǔn)則

塑性加載：對(duì)材料施加應(yīng)力增量后，材料從一種塑性狀態(tài)變化到另一種塑性狀態(tài)，且有新的塑性變形出現(xiàn)；中性變載：對(duì)材料施加應(yīng)力增量后，材料從一種塑性狀態(tài)變化到另一種塑性狀態(tài)，但沒(méi)有新的塑性變形出現(xiàn)；

塑性卸載：對(duì)材料施加應(yīng)力增量后，材料從塑性狀態(tài)退回到彈性狀態(tài)。

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1）全量理論：描述塑性變形中全量關(guān)系的理論，稱(chēng)形變理論或小變形理論。漢基（Hencky）、依留申等依據(jù)類(lèi)似彈性理論的廣義胡克定律，提出如下公式：

3.本構(gòu)方程

塑性狀態(tài)時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是多值的，取決材料性質(zhì)和加-卸載歷史。14

2）增量理論：描述應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽块g關(guān)系的理論，又稱(chēng)流動(dòng)理論。

當(dāng)應(yīng)力產(chǎn)生一無(wú)限小增量時(shí)，假設(shè)應(yīng)變的變化可分成彈性的及塑性的兩部分：

彈性應(yīng)力增量與彈性應(yīng)變?cè)隽恐g仍由常彈性矩陣D聯(lián)系，塑性應(yīng)變?cè)隽坑伤苄詣?shì)理論給出，對(duì)彈塑性介質(zhì)存在塑性勢(shì)函數(shù)Q，它是應(yīng)力狀態(tài)和塑性應(yīng)變的函數(shù)，使得：式中：是一正的待定有限量，它的具體數(shù)值和材料硬化法則有關(guān)。（7-18）15

其總應(yīng)變?cè)隽勘硎緸椋?/p>

由一致性條件可推出待定有限量為：

（7-18）式稱(chēng)為塑性流動(dòng)法則，對(duì)于穩(wěn)定的應(yīng)變硬化材料，Q通常取與后繼屈服函數(shù)F相同的形式，當(dāng)Q=F時(shí)，這種特殊情況稱(chēng)為關(guān)聯(lián)塑性。對(duì)于關(guān)聯(lián)塑性，塑性流動(dòng)法則可表示為：16式中：為塑性功，這樣加載時(shí)的本構(gòu)方程為：

對(duì)任何一個(gè)狀態(tài)，只要給出了應(yīng)力增量，就可以唯一地確定應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

應(yīng)用增量理論求解塑性問(wèn)題，能夠反映應(yīng)變歷史對(duì)塑性變形的影響，因而比較準(zhǔn)確地描述了材料的塑性變形規(guī)律。對(duì)于系數(shù)A：理想塑性材料：

硬化材料：17

四、巖石流變理論流變：指材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與時(shí)間因素有關(guān)的性質(zhì)，材料變形過(guò)程中具有時(shí)間效應(yīng)的現(xiàn)象稱(chēng)為流變現(xiàn)象。

蠕變：當(dāng)應(yīng)力不變時(shí)，變形隨時(shí)間增加而增長(zhǎng)的現(xiàn)象。松弛：當(dāng)應(yīng)變不變時(shí)，應(yīng)力隨時(shí)間增加而減小的現(xiàn)象。

彈性后效：加載或卸載時(shí)，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象。18

蠕變?cè)囼?yàn)表明：1)當(dāng)巖石在某一較小的恒定荷載持續(xù)作用下，其變形量雖然隨時(shí)間增長(zhǎng)有所增加，但蠕變變形的速率則隨時(shí)間增長(zhǎng)而減少，最后變形趨于一個(gè)穩(wěn)定的極限值，這種蠕變稱(chēng)為穩(wěn)定蠕變。

2)當(dāng)荷載較大時(shí)，曲線(xiàn)所示，蠕變不能穩(wěn)定于某一極限值，而是無(wú)限增長(zhǎng)直到破壞，這種蠕變稱(chēng)為不穩(wěn)定蠕變。這是典型的蠕變曲線(xiàn)，根據(jù)應(yīng)變速率不同，其蠕變過(guò)程可分為三個(gè)階段，即減速蠕變階段或初始蠕變階段、等速蠕變階段及加速蠕變階段。圖7-4巖石蠕變曲線(xiàn)示意圖19

在一系列的巖石流變?cè)囼?yàn)基礎(chǔ)上建立反映巖石流變性質(zhì)的流變方程，通常有二種方法：

1．經(jīng)驗(yàn)法巖石蠕變經(jīng)驗(yàn)方程：圖7-5巖石的典型蠕變曲線(xiàn)式中：為時(shí)間的應(yīng)變；瞬時(shí)應(yīng)變；初始段應(yīng)變；等速段應(yīng)變；加速段應(yīng)變。典型巖石蠕變方程：冪函數(shù)方程、指數(shù)方程、冪指數(shù)對(duì)數(shù)混合方程

2.理論模型模擬法將介質(zhì)理想化，歸納成各種模型，模型可用理想化的具有基本性能（包括彈性、塑性和粘性）的元件組合而成。20巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度:由于流變作用，巖石強(qiáng)度隨外載作用時(shí)間的延長(zhǎng)而降低，通常把作用時(shí)間