考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-ValueProblem*/:其中f(x,y)為x,y的已知函數(shù)，y0為給定的初始值第六章常微分方程數(shù)值解/*NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations*/例如：其解析解為：

只有一些特殊類型的微分方程問題能夠得到用解析表達(dá)式表示的函數(shù)解，而大量的微分方程問題很難得到其解析解。這是微積分的發(fā)明者之一Leibniz在1686年曾經(jīng)讓當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界人士求解的一階微分方程式，吸引了許多數(shù)學(xué)家的注意，大約經(jīng)過150年的探索到1838年,劉維爾（Liouville)在理論上證明了這個(gè)微分方程不能用初等積分法求解，得借助于數(shù)值方法

只能依賴于數(shù)值方法去獲得微分方程的數(shù)值解。

數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)

這里hi可以不相等，但一般取成相等的，這時(shí)在這些節(jié)點(diǎn)上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分、泰勒展開等）將上述初值問題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問題。把這個(gè)相應(yīng)問題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問題在節(jié)點(diǎn)xn上的數(shù)值解。一般說來，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法。，i=0,1,…,n-1稱為由xi到xi+1的步長。步進(jìn)式：根據(jù)已知的或已求出的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值計(jì)算當(dāng)前節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，一步一步向前推進(jìn)。因此只需建立由已知的或已求出的節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值求當(dāng)前節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的遞推公式即可。§1歐拉方法

/*Euler’sMethod*/

歐拉公式：x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

也稱歐拉折線法.

用這條折線近似地代替曲線由Euler法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見此方法非常粗糙。例用歐拉法求初值問題當(dāng)h=0.02時(shí)在區(qū)間[0,0.1]上的數(shù)值解。解：把代入歐拉法計(jì)算公式，得具體計(jì)算結(jié)果nxnyny(xn)

n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021表中y(xn)，是初值問題的真解在xn上的值。為近似值yn的誤差。從表中可以看出，隨著n的增大，誤差也在增大，所以說，歐拉法計(jì)算簡便，對一些問題有較大的使用價(jià)值，但是，它的誤差較大，所得的數(shù)值解精確度不高。定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第

i

步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。

歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法具有1階精度。Ri

的主項(xiàng)/*leadingterm*/衡量求解公式好壞的一個(gè)主要標(biāo)準(zhǔn)是求解公式的精度,因此引入局部截?cái)嗾`差和階數(shù)的概念。Euler’sMethod

歐拉公式的改進(jìn)：

隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+

)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii§Euler’sMethod由于未知數(shù)yi+1

同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代求解。

隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：即隱式歐拉公式具有1階精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…§Euler’sMethod

梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：局部截?cái)嗾`差

即梯形公式具有2

階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式，計(jì)算時(shí)不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。例

在區(qū)間[0,1.5]上，取h=0.1，求解。

本題的精確解為，可用來檢驗(yàn)近似解的精確程度。計(jì)算結(jié)果如下表：

xn

歐拉法yn迭代一次梯形公式y(tǒng)n準(zhǔn)確解01110.11.11.0959091.0954450.21.1918181.1840961.1832160.31.2774381.2602011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4161021.4142140.61.5089661.4829561.4832400.71.5803381.5525151.5491930.81.6497831.6164761.6124520.91.7177791.6781681.6733201.01.7847701.7378691.7320511.11.851181.7958221.7888541.21.9174641.8522421.8439091.31.9840461.9073231.8973671.42.0514041.9612531.9493591.52.1200522.0142072.000000

中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式具有2階精度。需要2個(gè)初值y0和y1來啟動(dòng)遞推過程，這樣的算法稱為雙步法/*double-stepmethod*/，而前面的三種算法都是單步法/*single-stepmethod*/。方法

§Euler’sMethod顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點(diǎn)公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計(jì)算量大精度提高計(jì)算量大精度提高,顯式多一個(gè)初值,可能影響精度Can’tyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?Doyouthinkitpossible?Well,callmegreedy…OK,let’smakeitpossible.

改進(jìn)歐拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預(yù)測，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦稱為預(yù)測-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以證明該算法具有2階精度，同時(shí)可以看到它是個(gè)單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法?！霦uler’sMethod§2龍格-庫塔法/*Runge-KuttaMethod*/建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的基本思想是從(xi,yi)點(diǎn)出發(fā)，以某一斜率沿直線達(dá)到(xi+1

,yi+1

)點(diǎn)。歐拉法及其各種變形所能達(dá)到的最高精度為2階。

考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：斜率一定取K1K2的平均值嗎？步長一定是一個(gè)h

嗎？§2Runge-KuttaMethod首先希望能確定系數(shù)

1、

2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在的前提假設(shè)下，使得

Step1:將K2在(xi,yi)

點(diǎn)作Taylor展開將改進(jìn)歐拉法推廣為：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:將K2代入第1式，得到§2Runge-KuttaMethodStep3:將yi+1與y(xi+1)在xi點(diǎn)的泰勒展開作比較要求，則必須有：這里有個(gè)未知數(shù)，個(gè)方程。32存在無窮多個(gè)解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫塔格式。注意到，就是改進(jìn)的歐拉法。Q:

為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？其中

i

(i=1,…,m)，

i

(i=2,…,m)

和

ij

(i=2,…,m;j=1,…,i1

)

均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。§2Runge-KuttaMethod)...,(......),(),(),(]...[11221123213133121