8.6空間直線、平面的垂直8.學習目標核心素養(yǎng)1.了解空間中兩條直線的三種位置關系，理解異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線．(重點、難點)2.會用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角，會在直角三角形中求簡單異面直線所成的角．(重點、易錯點)1.通過實物觀察、抽象出空間兩直線位置關系、異面直線概念及夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).2.借助異面直線所成角及垂直關系的證明，培養(yǎng)數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).觀察下面兩個圖形．問題：(1)教室內的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側所在的直線的位置關系是什么？(2)六角螺母中直線AB與CD的位置關系是什么？CD與BE的位置關系是什么？異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)異面直線所成的角θ的取值范圍：0°<θ≤90°.(3)當θ＝90°時，a與b互相垂直，記作a⊥b.1．若空間兩條直線a和b沒有公共點，則a與b的位置關系是()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面D[若直線a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線．]2．如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱C1C與BC的中點，則直線EF與直線D60°[連接BC1，A1B(圖略)．∵BC1∥EF，A1B∥CD1，則∠A1BC1即為直線EF與直線D1C又∵∠A1BC1為60°，∴直線EF與直線D1C3．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中：(1)BC′與CD′所成的角為________；(2)AD與BC′所成的角為________．(1)60°(2)45°[(1)連接BA′，則BA′∥CD′，連接A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．由△A′BC′為正三角形，知∠A′BC′＝60°，(2)由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°.]異面直線所成的角

[探究問題]1．在平面內，兩條直線相交成四個角，其中不大于90度的角稱為它們的夾角，用以刻畫兩直線的錯開程度，如圖在正方體ABCD-EFGH中，異面直線AB與HF的錯開程度怎樣來刻畫？這種刻畫應用的是什么數(shù)學思想？[提示]平移轉化成相交直線所成的角，由于AB∥EF，可用EF與HF的夾角來刻畫．應用的是數(shù)學上的轉換思想，即化空間圖形問題為平面圖形問題．2．異面直線所成角的范圍如何？什么是異面直線垂直？[提示]異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，如果兩條異面直線a，b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直，記為a⊥b.【例1】如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？[解](1)由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°，所以直線BA′和CC′的夾角為45°.(3)直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直．“等角定理”為兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性，即過空間任一點，作兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角或直角都是相等的，而與所取點的位置無關.eq\o([跟進訓練])1．如圖，已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因為BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是異面直線A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq\r(3)，B′C′＝2eq\r(3)，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因為AA′∥BB′，所以∠B′BC′是異面直線AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(3)，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，異面直線AA′與BC′所成的角為60°.直線與直線垂直的證明【例2】如圖所示，正方體AC1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點，求證：DB1⊥EF[解]法一：如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1則OG∥B1D，EF∥A1C1∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．∵GA1＝GC1，O為A1C1∴GO⊥A1C1∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.∴DB1⊥EF.法二：如圖所示，連接A1D，取A1D的中點H，連接HE，則HEeq\f(1,2)DB1.于是∠HEF為所求異面直線DB1與EF所成的角或其補角．連接HF，設AA1＝1，則EF＝eq\f(\r(2),2)，HE＝eq\f(\r(3),2)，取A1D1的中點I，連接HI，IF，則HI⊥IF.∴HF2＝HI2＋IF2＝eq\f(5,4).∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.∴DB1⊥EF.證明兩條異面直線垂直的步驟1恰當選點，用平移法構造出一個相交角.2證明這個角就是異面直線所成的角或補角.3把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構造的角的度數(shù).4給出結論：若求出的平面角為直角，垂直得證.eq\o([跟進訓練])2．空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點，F(xiàn)G＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3.求證：AC⊥BD．[證明]∵點G，E分別是CD，BC的中點，∴GE∥BD，同理GF∥AC．∴∠FGE或∠FGE的補角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD．一、知識必備1．異面直線所成角、線線垂直概念．2．計算異面直線所成角大小的方法．二、方法必備1．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉化，這是我們學習立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強調的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時經常結合這一點去求異面直線所成角的大?。?．作異面直線所成的角．可通過多種方法平移產生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線)．1．分別在兩個平面內的兩條直線間的位置關系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上都有可能D[當兩個平面平行時，這兩條直線的位置關系為平行或異面，當兩個平面相交時，這兩條直線的位置關系有可能相交或異面．]2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與A．45° B．60°C．90° D．120°B[取A1B1中點I，連接IG，IH，則EFIG.易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，則IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°.]3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BC160°[連接AD1，則AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其補角)就是AC與BC1所成的角，連接CD1，在正方體ABCD－A1B1C1D1AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC與BC1所成的角為60°.]4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四邊形，則PA與CD所成的角是________．90°[∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠PAB是PA與CD所成的角．又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.]5．如圖所