高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)等差數(shù)列學(xué)案廣東饒平二中2022高考第一輪學(xué)案：等差數(shù)列一、知識(shí)歸納：1．等差數(shù)列的定義用遞推公式表示為：其中d為常數(shù)，叫這個(gè)數(shù)列的公差。an1and(nN)或anan1d(n2,nN)，2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n1)d，3．等差數(shù)列的分類：當(dāng)d0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d0時(shí)，{an}是常數(shù)列。4．等差中項(xiàng)：如果在a,b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且Aab25．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Snn(a1an)n(n1)ddd，此式還可變形為Snn2(a1)n，或Snna122226．等差數(shù)列的主要性質(zhì)：（1）anak(nk)d（2）若mn2p（m,n,pN），則aman2ap（3）若mnpq，則amanapaq（反之也成立）（其中m,n,p,qN）如：a1ana2an1a3an2二、學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1．學(xué)習(xí)等差數(shù)列要正確理解與運(yùn)用基本公式，要抓住首項(xiàng)a1與公差d兩個(gè)基本量解決問(wèn)題。注意：（1）證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法：①（定義法）證明：an1an常數(shù)；②（等差中項(xiàng)法）證明：an1an12an(n2)（2）公差d0的等差數(shù)列的通項(xiàng)是n的一次函數(shù)ananb，其中a即為公差。2（3）d0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)Snanbn2．解決等差數(shù)列問(wèn)題應(yīng)注意性質(zhì)的靈活運(yùn)用。3．巧設(shè)公差是解決問(wèn)題的一種重要方法。三數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為：a,ad,a2d或ad,a,ad；三、例題分析：例1．已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,（1）求a及k的值；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)bn例2．已知數(shù)列{an}中，a29,a521，且an22an1an0(nN某)（1）求{an}的通項(xiàng)an；（2）令bn2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn1例3．已知數(shù)列{an}中a13，，數(shù)列{bn}，滿足b1（nN某）nN某）an2（n≥2，n5an1an1a4,3a，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk110，Sn，證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tnn（1）求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由；（3）求Sn1b1b2bn1.例4．設(shè){an}是等差數(shù)列（1）若a7a916，a41，則a12________.（2）若a1a2a31,anan1an23，且Sn18，則n_______.（3）若a81a116，則S9_______.2四、練習(xí)題：1，a2a54，an33，則n3A．48B．49C．50D．511．等差數(shù)列{an}中，已知a12．已知等差數(shù)列{an}公差為2，若a1,a3,a4成等比數(shù)列，則a2A．4B．6C．8D．103．等差數(shù)列{an}中，a1a2a324，a18a19a2078，則此數(shù)列前20項(xiàng)和為A．160B．180C．200D．2204．設(shè){an}是等差數(shù)列，且a26,a86，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則A．S4S5B．S4S5C．S6S5D．S6S55．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a55S，則9的值為a39S5A．1B．1C．2D．126．在等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和是Sn，若a75,S721，則S10A．40B．55C．352D．707．命題甲：()某,21某,2某成等比數(shù)列，命題乙：lg某,lg(某1),lg(某3)成等差數(shù)列，則甲是乙的A．充分非心要條件B．心要非充分條件下C．充要條件D．既非充分又非心要條件8．等差數(shù)列{an}的公差為1，且a1a2a98a9999，則a3a6a9a96a99A．16B．33C．48D．669．在等差數(shù)列{an}中，a13a8a15120，則3a9a11的值為A．6B．12C．24D．48210．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，若m1，且am1am1am0，S2m138,則m12A．38B．20C．10D．911．在等差數(shù)列{an}中，a53,a62，則a4a5a10____________12．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a418a5，則S8________13．定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a12，公和為5，則a18的值為_(kāi)_____.這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為_(kāi)__________.14．已知等差數(shù)列{an}中，a3a716,a4a60,求{an}前n項(xiàng)和Sn.15．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,a37,S424.1(S2pS2q).2Spq（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)p,q是正整數(shù)，且pq,證明：16．設(shè){an}是公差d（d0）的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S10110且a1,a2,a4成等比數(shù)列（1）證明：a1d；（2）求公差d的值和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。17．已知差數(shù)列an中，a28,S10185（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若從數(shù)列an中依次取出第2，4，8，…，2，…項(xiàng)，n按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列{bn}，試求{bn}的前n項(xiàng)和An.18．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差d0，且a2a345,a1a414（1）求公差d的值；（2）令bn值；Sn，若數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列，求非零常數(shù)c的nc19．已知數(shù)列an中，a12，a23，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn1Sn12Sn1（n2,nN某）．（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn4n(1)n12n(為非零整數(shù)，nN某），試確定的值，使得對(duì)任意nN某，都有bn1bn成立．a(chǎn)（二）等差數(shù)列參考答案例1．解：（1）設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1a,a24,a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422則Skka1k(k1)k(k1)d2k2k2k222由Sk110，得kk1100，解得k10或k11（舍去）故a2，k10（2）由（1）SnSn(22n)n(n1)，則bnnn1，2n故bn1bn(n2)(n1)1，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列Tn例2解：（1）n(2n1)n(n3)22an22an1an0(nN某)，{an}是等差數(shù)列，a5a22194523設(shè)d為{an}的公差，則d故ana2(n2)d9(n2)44n1（2）由an4n1，得bn24n1，則{bn}是首項(xiàng)b125，公比q24的等比數(shù)列。25(24n1)32(24n1)故Sn42115例3．解析：（1）bn1an1an111，而bn1，1an11an1121an1∴bnbn1an111．(nN)an11an1115，公差為1的等差數(shù)列．a(chǎn)1125721，而bn(n1)1n，∴an1．222n7bn∴{bn}是首項(xiàng)為b1（2）依題意有an1當(dāng)n3時(shí)，3a1a2a31；當(dāng)n4時(shí)，3a4a5a6an15故{an}中的最小值為a3＝-1，最大值為a4352n5(n1)()(n1)(n5)22（3）Sn1，22例4．設(shè){an}是等差數(shù)列（1）a12__15____.（2）n__27____.（3）S9_108___.解：（3）由2a8a1112及2a8a5a11，得a512，則S9四、練習(xí)題：（一）選擇題1~10CBBBAABDDC解析：9(a1a9)9a510824．解：da8a2662，an2n10，由an0，得n5，又d0826則{an}是遞增數(shù)列，故S4S5選B5．解：S99(a1a9)92a59a51S55(a1a5)52a35a38．解：由a1a2a98a99(a1a4a97)(a2a5a98)(a3a6a99)3(a3a6a99)332d33d可得3(a3a6a99)99999．由已知有5a8120，a824，則3a9a113(a8d)(a83d)2a8210．解：由已知有2amam0，am0（舍）或am2對(duì)mN成立。則(2m1)238，故m10，選C（二）填空題11．_52___.12．__72____.5n(n為偶數(shù))512n13．__3____..Sn或Snn[1(1)]245n1(n為奇數(shù))2（三）解答題：14．已知等差數(shù)列{an}中，a3a716,a4a60,求{an}前n項(xiàng)和n.解：設(shè)an的公差為d，則a128da112d216a18,a18a12da16d16即解得或d2,d2a3da5d0a4d111因此Sn8nnn1nn9，或Sn8nnn1nn915．（1）解：設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，依題意得，∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1(n1)d2n1.a12d7解得a13,24.434a1dd2.2（2）證明：∵an2n1，∴Snn(a1an)n22n.2∵2Spq(S2pS2q)2[(pq)22(pq)](4p24p)(4q24q)2(pq)2，∵pq,2Spq(S2pS2q)0.∴Spq1(S2pS2q).2216．解：（1）因a1,a2,a4成等比數(shù)列，故a2a1a4，又{an}是等差數(shù)列，則(a1d)2a1(a13d)化簡(jiǎn)得d2a1d，因d0，所以a1d（2）S1010a1109d10a145d，又S10110，且a1d，2則55d110d2故an2n17．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則a1d8a15，解得，所以an3n2d310a145d185n（2）依題設(shè)bna2n322，則Anb1b2bn(322)(322)(322)12n2(12n)2n62n2n63(222)2n3122na25a2918．解：（1）等差數(shù)列{an}中，a2a5a1a414，又a2a345，則或a9a533因d0，所以a2a3，故a25，a39，da3a24n(n1)Sn2n2n242nn，bn（2）由（1）知a11，Snn2ncnc1615，b2，b3，由于數(shù)列{bn}是等差數(shù)列1c2c3c115612所以b1b32b2，即解得c或c0（舍去）1c3c2c2則有b12n2n12n，易知{bn}是等差數(shù)列，故c則bn12n219.解：（1）由已知，Sn1SnSnSn11（n2，nN），某即an1an1（n2，nN），且a2a11．∴數(shù)列an是以a12為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．∴ann1．（2）∵ann1，∴bn4n(1)n12n1，要使bn1bn恒成立，n1nn2∴bn1bn44121n∴3431n1nn1某2n10恒成立，n12n10恒成立，∴1n12n1恒成立．（?。┊?dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即2恒成立，n1當(dāng)且僅當(dāng)n1時(shí)，2有最小值為1，∴1．（ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即2當(dāng)且僅當(dāng)n2時(shí)，2n1n1恒成立，有最大值2，∴2．即21，又為非零整數(shù)，則1．某綜上所述，存在1，使得對(duì)任意nN，都有bn1bn．20.設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，滿足a22a32a42a52,S77。（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）試求所有的正整數(shù)m，使得220.（1）設(shè)公差為d，則a2amam1為數(shù)列an中的項(xiàng).am2222，由性質(zhì)