2022年江蘇省高考數(shù)學(xué)二模試卷

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)

號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在

試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.若集合A={x*-4<0},8={mgx<0},則ACB=()

A.(-2,I)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,-3),則二=()

A.2+1B.1-iC.-1+2;-1-2/

3.函數(shù)/G)=能在其定義域上的圖象大致為(

4.已知而=3,依=1,\a-2Z>|=V19,則向量b的夾角為()

717127157r

A."B.-C.—D.—

6336

5.機器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機器，機器人具有感知、決策、執(zhí)行等基

本特征可以輔助甚至替代人類完成危險、繁重、復(fù)雜的工作，提高工作效率與質(zhì)量，服

務(wù)人類生活，擴大或延伸人的活動及能力范圍，為了研究A,8兩個機器人專賣店的銷售

第1頁共25頁

狀況，統(tǒng)計了2020年2月至7月A,B兩店每月的營業(yè)額(單位：萬元)，得到如下的折

—-A店管業(yè)躺-_?--B店營業(yè)額

A.根據(jù)A店的營業(yè)額折線圖可知，該店營業(yè)額的平均值在［34,35］內(nèi)

B.根據(jù)8店的營業(yè)額折線圖可知，其營業(yè)額總體呈上升趨勢

C.根據(jù)A,8兩店的營業(yè)額折線圖，可得A店的營業(yè)額極差比8店大

D.根據(jù)A,B兩店的營業(yè)額折線圖，可得8店7月份的營業(yè)額比A店多

6.圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”(又稱“趙爽弦圖”)，它是由四個

全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計

了一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形,

如圖2所示，若AB=7,DE=2,則線段8。的長為()

D.4.5

XV

7.已知內(nèi)，放是雙曲線和-77=b>0)的左、右焦點，過尸i的直線/與雙曲線

的左支交于點A,與右支交于點8,若|AQ|=2a,4&4芻=警，則答口修=()

6.ABF2

112

A.1B.-C.-D.—

233

8.若函數(shù)g(x)在區(qū)間D上，對Va,h,c&D,g(a),g(b),g(c)為一個三角形的三

邊長，則稱函數(shù)g(x)為“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=亨+加在區(qū)間白，e2］上是“穩(wěn)

定函數(shù)”，則實數(shù)，〃的取值范圍為()

第2頁共25頁

11

A.(2e+-r+8)B.(2e?+—,+oo)

C.(4e+｝,+oo)D.(4/+：,+co)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.下列說法正確的是()

A.某高中為了解在校學(xué)生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該

校三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為60的樣本，已知該校高一、高二，高三年級學(xué)生之比

為6：5：4,則應(yīng)從高二年級中抽取20名學(xué)生

B.線性回歸方程y=bx+a對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點

C.命題“Vx>0,lg(f+l)20"的否定是0>0,lg(Al)<0"

D.方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，方差

越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小

(多選)10.若函數(shù)/(x)=sin|.r|-COS2JV,則()

A.f(x)是周期函數(shù)

B.f(X)在［-11,TT］上有4個零點

7T

C.f(x)在(0,-)上是增函數(shù)

D./(x)的最小值為-I

(多選)11.數(shù)列｛板｝為等比數(shù)列，公比為其前〃項和為際，若45-0=15,SF4

=16,則下列說法正確的是()

A.S"+1=2Sn+1

n

B.an=2

C.數(shù)列｛log3(Sa+l)｝是等比數(shù)列

D.對任意的正整數(shù)k&為常數(shù))，數(shù)列｛log2(W-5?)｝是公差為1的等差數(shù)列

(多選)12.設(shè)函數(shù)/(x)=min｛\x-2\,x2,\x+2\｝,其中y,z｝表示x,y,z中的

最小者.下列說法正確的有()

A.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)

B.當(dāng)+8)時，有/(x-2)W/(x)

C.當(dāng)x€R時，f(/(x))W/(x)

第3頁共25頁

D.當(dāng)x曰-4,4］時，\f(x)-2|與(x)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知/(x)=sin(2x+<p)+V3cos(2x+(p)(|(p|v￡)是奇函數(shù)，則(p=.

14.已知函數(shù)f(x)=log4(4V+|)+kx(k€R)是偶函數(shù)，則&的值為.

15.如圖，在AABC中，力是BC的中點，E在邊A8上，AC=2,BE=2EA,與CE的

交點為O.若麗?應(yīng)1=-2,則AB的長為.

16.已知圓Ci和圓C2與x軸和直線y=H(女>0)相切，兩圓交于尸，Q兩點,其中尸點

13

坐標(biāo)為(3,2),已知兩圓半徑的乘積為萬，則上的值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知四邊形ABCC中，4c與8力交于點E,A8=2BC=2CD=4.

(1)若/4OC="，AC=3,求cosNCW；

(2)若AE=CE,BE=2a,求△ABC的面積.

第4頁共25頁

18.（12分）為落實十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用

壽命進行調(diào)查統(tǒng)計，隨機抽取A型和B型設(shè)備各100臺，得到如圖頻率分布直方圖:

A型

（1）估算A型設(shè)備的使用壽命的第80百分位數(shù);

（2）將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過2500小時不超過2500小時總計

4型

B型

總計

根據(jù)上面的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)?

（3）已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能

完成，工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號設(shè)備（更換設(shè)備時間忽略不計），A型和8型設(shè)

備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設(shè)備每臺每小時耗電分別為2度和6

度，電價為0.75元/度.只考慮設(shè)備的成本和電費，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備，請說

明理由.

2

參考公式：代=4cTrb?\小_1_4，〃=a+b+c+d?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

P（犬》依）0.0500.0100.001

to3.8416.63510.828

第5頁共25頁

19.(12分)已知數(shù)列｛呢｝滿足:。/1+?！?2〃+7(nGN*),且m=4.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

1,72,—1,

(2)已知數(shù)列｛加｝滿足：hn=,定義使加?歷?加???依N*)

，005+2)即，n>2,nWN*

為整數(shù)的人叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間［1,2021］內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.

第6頁共25頁

20.（12分）已知拋物線C：/=2p），（p>0）,過點T（0,p）作兩條互相垂直的直線h和

12,交拋物線C于A,8兩點，/2交拋物線C于E,尸兩點，當(dāng)點4的橫坐標(biāo)為1時，

1

拋物線C在點A處的切線斜率為3.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）己知。為坐標(biāo)原點，線段AB的中點為M,線段E尸的中點為N,求證：直線MN

過定點.

第7頁共25頁

21.(12分)已知函數(shù)/(犬)=/(/+煙+M2),g(x)=ax1^x^-axlnx.

(1)若函數(shù)/(x)在x=-1處取極小值，求實數(shù)m的值；

(2)設(shè)加=0,若對任意在(0,+8),不等式/(%)2g(x)恒成立，求實數(shù)。的值.

第8頁共25頁

XV

22.（12分）已知點A,8在橢圓和+==1（a>b>0）上，點A在第一象限，。為坐標(biāo)

a2b2

原點，且OALAB.

（1）若。=遍，b=l,直線0A的方程為x-3y=0,求直線OB的斜率：

b

（2）若△OAB是等腰三角形（點0,A,B按順時針排列），求一的最大值.

a

第9頁共25頁

第10頁共25頁

2022年江蘇省高考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.若集合A={x|/-4<0},B={x|/gx<0},則ACB=()

A.(-2,1)B.(-2,2)C.(0,1)D.(0,2)

解：-4<0}={x|-2<x<2],

B={x|/gx<0}={x[0<x<l},

：.AnB=(0,1).

故選：C.

z

2.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,-3),則^~：=()

14-1

A.2+iB.2-iC.-1+2/D.-1-2/

解：??,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,-3),

/.z=l-3i,

Az=l+3i,

zl+3i(l+3i)(l-i)4+2i.

貝U-----=--------=------------------=--------=2+z,

1+i1+i(l+i)(l-i)2

故選：A.

解：函數(shù)的定義域為{x|x￥0且xW±l},

5

?。?患2訝,則/J”_而2se國r=一2法/%7r—fG即小）是奇函數(shù)，圖象關(guān)于

第11頁共25頁

原點對稱，排除A,B,

當(dāng)X-+8,f（x）>0,排除C,

故選：D.

4.已知面=3,向=1,|a-2b|=V19,則向量三，7的夾角為（）

7Tn27157r

A.-B.-C.—D.—

6336

解：根據(jù)題意，設(shè)向量工茄勺夾角為仇

若|a|=3,|&|=L\a-2b\=V19,則有（a—2b）2=a2+4Z）2-4a*6=13-12cos0=19,

解可得cos0=

O-rr

又由OWOWn,則e=竽；

故選：c.

5.機器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機器，機器人具有感知、決策、執(zhí)行等基

本特征可以輔助甚至替代人類完成危險、繁重、復(fù)雜的工作，提高工作效率與質(zhì)量，服

務(wù)人類生活，擴大或延伸人的活動及能力范圍，為了研究A,B兩個機器人專賣店的銷售

狀況，統(tǒng)計了2020年2月至7月A,B兩店每月的營業(yè)額（單位：萬元），得到如下的折

線圖，則下列說法錯誤的是（）

-A店管業(yè)躺B店營業(yè)額

A.根據(jù)A店的營業(yè)額折線圖可知，該店營業(yè)額的平均值在［34,35］內(nèi)

B.根據(jù)B店的營業(yè)額折線圖可知，其營業(yè)額總體呈上升趨勢

C.根據(jù)4,B兩店的營業(yè)額折線圖，可得4店的營業(yè)額極差比8店大

D.根據(jù)A,8兩店的營業(yè)額折線圖，可得B店7月份的營業(yè)額比A店多

第12頁共25頁

14+20+26+45+64+36

解：根據(jù)A店的營業(yè)額折線圖可知該店營業(yè)額的平均值為=34.17,

故A正確;

根據(jù)B店的營業(yè)額折線圖可知，其營業(yè)額總體呈上升趨勢，故B正確；

A店營業(yè)額的極差為64-14=50,8店營業(yè)額的極差為63-2=61,故A店營業(yè)額的極

差比B店小，故C錯誤；

由折線圖可知，B店7月份的營業(yè)額比A店多，故。正確，

故選：C.

6.圖1是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”（又稱‘‘趙爽弦圖"），它是由四個

全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.受其啟發(fā)，某同學(xué)設(shè)計

了一個圖形，它是由三個全等的鈍角三角形與中間一個小正三角形拼成一個大正三角形,

如圖2所示，若A8=7,DE=2,則線段8。的長為（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

解：設(shè)可得A￡）=2+x,

且NA￡>B=180°-60°=120°,

在△AB力中，可得ABZnAJ+Bf）2-2AD-Bl>cosZADB,

即為49=（2+x）~+x^-2（2+x）—分，

化為f+2x-15=0,

解得x=3（-5舍去），

故選：A.

x2y2

7.已知Fi,尸2是雙曲線"一片=l?〉0,b>0）的左、右焦點，過人的直線/與雙曲線

a2b2

的左支交于點A,與右支交于點B,若|AFi|=2a,4&力4=字，則嬰巴里=（）

S

3LABF2

第13頁共25頁

解：如圖，根據(jù)雙曲線的定義，可得AF2-AFi=2a,BFi-BF2=2a,

|AQ|=2m乙&4『2=雪，則AF2=4〃，AB=BF2=4”,

^,AF2AFi1

AB

S〉A(chǔ)BF22'

故選：B.

8.若函數(shù)g(x)在區(qū)間。上，對Vmb,cED,g(〃)，g(b),g(c)為一個三角形的三

邊長，則稱函數(shù)g(x)為“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)/(x)="+m在區(qū)間［攻，e2］上是“穩(wěn)

定函數(shù)”，則實數(shù)，”的取值范圍為()

11

A.(2e4--/+8)B.(2e2+-/+oo)

C.(4e+萬，4-oo)D.(4/+工，4-oo)

解：由于/(x)=警+m,則［(乃=號竺，

易知函數(shù)f(x)在［去，e］上單調(diào)遞增，在(e,e2］上單調(diào)遞減，

112

而f(葭)=m~2e2,/(e)=m+5，/(e2)=m+葭，

="+7n在底，e2］上的最大值為m+J,最小值為m-e?,

11

依題意，2f(x)min>f(JC)max,即2(m-2e?)An+己，解得7n>4e2+］.

故選：D.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.下列說法正確的是()

A.某高中為了解在校學(xué)生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法從該

第14頁共25頁

校三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為60的樣本，已知該校高一、高二，高三年級學(xué)生之比

為6：5：4,則應(yīng)從高二年級中抽取20名學(xué)生

B.線性回歸方程y=bx+a對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點

C.命題“Vx>0,lg(f+l)>0"的否定是lg(f+l)<0"

D.方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，方差

越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小

解：對于A，用分層抽樣的方法從該校三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為60的樣本，

應(yīng)從高二年級中抽取的學(xué)生數(shù)為60、屋口=20,故4正確；

對于B,由最小二乘法求得的線性回歸方程y=bx+a不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點，故B

錯誤；

命題“Vx>0,lg(?+1)20”的否定是lg(?+1)V0"，故C正確；

方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小，在樣本容量相同的情況下，

方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，即離散程度越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，即離散程

度越小，故。正確.

故選：ACD.

(多選)10.若函數(shù)f(x)=sin|jf|-cos2x,則()

A.f(x)是周期函數(shù)

B.f(X)在［-TT,TT］上有4個零點

n

C.f(x)在(0,-)上是增函數(shù)

2

D./(%)的最小值為-1

解:函數(shù)f(x)=sin|x|-cos2r,

對于A：函數(shù)y=sin|x|不是周期函數(shù)，故A錯誤；

對于&八尤)=fsin2x+s譏”—1(%>0)(令…)=°,在［…可上，

k2sin2x—sinx—1(%<0)

求得工=一［,p故3正確；

4466

對于C：當(dāng)x￡(0,*)時,于(x)=2sin2x+sinx-1,

所以/(x)=4sinxcosx+cosx,

第15頁共25頁

由于工￡(0,2)，所以sinx>0且cosx>0,故#(x)>0,

故函數(shù)/(X)在X6(o,今上單調(diào)遞增，故c正確；

-1Q

對于￡>：由于/(x)=2sin2x4-siar-1=2(sinx+^)2—o，

故選：BC.

(多選)11.數(shù)列｛板｝為等比數(shù)列，公比為q>l,其前〃項和為S”，若“5-41=15,SF4

=16,則下列說法正確的是()

A.S〃+1=2S〃+1

B.an=2n

C.數(shù)列｛log3(S〃+l)｝是等比數(shù)列

D.對任意的正整數(shù)左(左為常數(shù))，數(shù)列｛log2(S/k-S)｝是公差為1的等差數(shù)列

解：因為公比為q>l,由卜一如=15，

可得”即勺4,

iQiq-Qiq。=16q乙4

所以4q4-15夕2-4=0,

解得/=4,

所以『i=J,所以a〃=2"[Sn=2"-l,

(q=2

所以S〃+i=2"+i-1=2S〃+1,S〃+l=2",

所以log3(Srt+l)=nlog32,

n+knk

所以數(shù)列｛10g3(S+l)｝是等差數(shù)列，對任意的正整數(shù)小k,Sn+k~Sn=2-2=(2

-1)2”,

所以數(shù)列l(wèi)og2(Sn+k-S〃)=n+log2(2&-1),

所以數(shù)列｛log2(S+&-S)｝是公差為1的等差數(shù)列,

故正確的為4D

故選：AD

(多選)12.設(shè)函數(shù)/(x)=min[\x-2|,7,|x+2|),其中加〃｛居y,z｝表示x,y,z中的

最小者.下列說法正確的有()

A.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)

第16頁共25頁

B.當(dāng)xe[l,+8)時，有/(x-2)

C.當(dāng)xCR時，f(/(x))W/(x)

D.當(dāng)x€[-4,4]時，\f(x)-2l^f(x)

解：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=|x-2|,y=/,y=|x+2|的圖象如右圖所示,

|x+2|,%<—1

/,-1<x<1,

(|x-2|,x>1

顯然有f(-x)=/(x),可得/(x)為偶函數(shù)；故A正確；

又當(dāng)x與l時，/(x)=|x-2|,f(x-2)的圖象可看作/(x)的圖象右移2個單位得到,

顯然時，/(x)的圖象在/(x-2)圖象之上，

.?.當(dāng)灰口,+8)時，有f(x-2)Wf(x),故B正確;

又由圖象可知：若xeR時，f(x)NO,可令f=/(x),

由y=FG)和y=rCO)的圖象可知：當(dāng)時，>=，在曲線y=/(t)的上方，...當(dāng)

時，有閆⑺,

即有/(/(x))"X)成立，故C正確；

若xe[-4,4],/(-4)=2,/(-4)-2=0,顯然/(-4)>[/(-4)-2|,故。不

正確，

13.已知/(無)=sin(2x+<p)+V3cos(2x+(p)(|(p|<^)是奇函數(shù)，則<p=_—

解：,.*/(x)=sin(2x+(p)+V3cos(2x+<p)=2sin(2x+<p+^)為奇函數(shù)，

yr

:.<p+可=kn(kEZ),

第17頁共25頁

即<p=Znr—§（依Z）,

又即I4

???當(dāng)2=0時，（p=—

故答案為：-全

14.己知函數(shù)/（x）=log4（4X+1）（髭R）是偶函數(shù)，則2的值為_一今_.

解：（1）由函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，可知/（X）=/（-X）

/.Iog4（4"+1）+履=log4（4，+1）-kx

即的4j號=-2kx,

log44x=-2kx

：.x=-2kx對一切xGR恒成立，

..1

??仁一2

故答案為-

15.如圖，在△A8C中，。是BC的中點，E在邊4B上，AC=2,BE=2EA,AO與CE的

交點為O.若筋?而=一2,則4B的長為_2百一

解：?.?。是BC的中點，BE=2EA,

：.BE=^BA,BC=2BD,

,：E,O,C三點共線，設(shè)病=；l屆+(1-4)^?=竽或+2(1-2)面)，且三點A,O,

。共線，

2Aa

.,./■+2(1-入)=1，解得"本

：.BT0=^1BTA+^1BCT,

L4

：.A0=AB+BO=AB+^BA+^BC=^(AB+AQ,

第18頁共25頁

：.AO-BC=^AB+AC)-(AC-AB)=^(^AC2-AB2)=1(4-AB2)=-2,

：.AB2=12,\AB\=2V3.

故答案為：2g.

16.已知圓Ci和圓C2與x軸和直線(k>0)相切，兩圓交于P,。兩點，其中P點

13

坐標(biāo)為(3,2),已知兩圓半徑的乘積為一，則k的值為2夜.

2——

解：..?圓C1和圓C2與x軸和直線>=依(A>0)相切，兩圓交于P,。兩點，其中P點

坐標(biāo)為(3,2),

；.Ci和C2在第一象限，

設(shè)m6為圓。和圓C2的半徑，

則Cikma,a),C2(mb,b)(nz>0),

：點尸在圓Ci和圓Ci,

.f(ma-3)2+(a-2)2=a2

,?[(mb-3)2+(b-2>=b2'

又?.?圓Ci和圓C2與x軸相切，

.'.a,b是，/J-(6m+4)r+13=0的兩個根，

又■:ab=竽，

7=T-'解得m=夜，

m22

?.?直線C1C2的傾斜角是直線>=丘(k>0)的一半,

故答案為：2企.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知四邊形ABCC中，AC與BD交于點E,AB=2BC=2C￡>=4.

(1)若/AOC=",AC=3,求cosNCAQ；

(2)若AE=CE,BE=2>f2,求△ABC的面積.

解：(1)在△ACD中，NAOC=號，AC=3,CD=2,

第19頁共25頁

4cCD

可得

sin乙ADCsin乙CAD'

即有sinZCAD=CDsi^ADC=孥=孚,

可得cosZCAD=g=T;

(2)在△ABC中，AB=4,BC=2,BE=2迎,

設(shè)AE=CE=x,ZAEB=a,ZCEB=n-a,

由余弦定理可得cosa=鐺咨x2+8—4

2x-2v22x-272

詢吊得x=&,cosa=—sina=Jl-g=冬,

所以△ABC的面積為2x1x*2V2sina=&x2&x[=夕.

Z4

18.(12分)為落實十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用

壽命進行調(diào)查統(tǒng)計，隨機抽取A型和B型設(shè)備各100臺，得到如圖頻率分布直方圖:

(1)估算4型設(shè)備的使用壽命的第80百分位數(shù):

(2)將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過2500小時不超過2500小時總計

A型

8型

總計

根據(jù)上.面的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān)?

(3)已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2500小時才能

第20頁共25頁

完成，工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號設(shè)備(更換設(shè)備時間忽略不計)，A型和B型設(shè)

備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和8型設(shè)備每臺每小時耗電分別為2度和6

度，電價為0.75元/度.只考慮設(shè)備的成本和電費，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號的設(shè)備，請說

明理由.

2

參考公式：K2=(、八,“、,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(匕+d)

參考數(shù)據(jù)：

P(爛》口)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

解：(1)前3組的頻率之和為(0.0002+0.0004+0.0006)X500=0.6,

前四組頻率之和為：(0.0002+0.0004+0.0006+0.0005)X500=0.85,

所以第80百分位數(shù)一定位于［3000,3500),

故第80百分位數(shù)為：3000+x500=3400(小時).

U.OD-U.O

(2)由頻率分布直方圖可知，

A型超過2500小時的有100X(0.0006+0.0005+0.0003)X500=70臺，

則A型不超過2500小時的有100-70=30臺，

B型超過2500小時的有100X(0.0006+0.0003+0.0001)X500=50臺,

則B型不超過2500小時的有100-50=50臺,

故2X2列聯(lián)表如下:

超過2500小時不超過2500小時總計

A型7030100

B型5050100

總計12080200

9

??<2=2。。X(70x50-30x5())?區(qū)

*K-100x100x120x80?

,有99%的把握認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時與型號有關(guān).

(3)A型設(shè)備每臺變換的頻率為不=0.3,所以10臺A型設(shè)備估計要更換3臺，

100

B設(shè)備每臺變換的頻率為里=0.5,所以10臺8型設(shè)備估計要更換5臺，

100

選擇A型設(shè)備的總費用yi=(10+3)x1+10X2X0.75X2500X104=16.75(萬元),

第21頁共25頁

選擇B型設(shè)備的總費用)，2=(10+5)X0.6+10X6X0.75X2500x10-4=20.25(萬元),

故選擇A型設(shè)備.

19.(12分)已知數(shù)列｛“"｝》兩足：(in+1+tin=2n+7(nGN))且ai=4.

(1)求數(shù)列｛而｝的通項公式；

1,n=1/*

(2)已知數(shù)列｛叢｝滿足:加=，定義使"坨2?歷?…?"(依N)

，°9(71+2)M，n>2,nWN*

為整數(shù)的攵叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間［1,2021］內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.

解：(1)2〃+7①，

?、M22,an+cin-1=2〃+5②,

當(dāng)兒》2時,①-②可得如j-M1=2,

???｛?！ǎ钠鏀?shù)項與偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，且公差均為2,6/1=4,4/2=5,

.*.a2?-1=?1+2(/2-1)=2n+2=2n-l+3=>aw=n+3(〃為奇數(shù))，

。2〃=。2+2(n-1)=2〃+3=?！?〃+3(〃為偶數(shù))，

??。〃=〃+3；

,1,n=1

(2)由b=，

Z°g(n+2)(n+3)，n>2/n6/V*

lslg6lg(k+3)lg(k+3)

b\*b2*b39?/?^=log451og56e???log(K2)(k+3)=7^a-7*---?----------=--------

Ig'lg5e(k+2)lg4

=log4(k+3),

設(shè)log4(女+3)=m,：.k=4m-3,

令1W4機-3W2021=lWmW5,m￡N*,

，m=l,2,3,4,5,

區(qū)間［1,2021］內(nèi)的“幸福數(shù)”為41-3,42-3,45-3,

_4-(1-45)

.,?所有“幸福數(shù)”的和為n------3x5=1349.

1—4

20.(12分)已知拋物線C：W=2py(p>0),過點T(0,p)作兩條互相垂直的直線人和

/2,/1交拋物線C于4,8兩點，/2交拋物線C于E,尸兩點，當(dāng)點A的橫坐標(biāo)為1時，

拋物線C在點A處的切線斜率為今

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點，線段AB的中點為M,線段EF的中點為N,求證：直線MN

過定點.

第22頁共25頁

解：(1)因為/=2py(p>0)可化為y=京，

所以<=今

因為當(dāng)4點的橫坐標(biāo)為1時，拋物線C在點A處的切線斜率為二,所以%=

所以p=2,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為7=4)，.

(2)證明：由(1)知點T的坐標(biāo)為(0,2),

由題意可知，直線/I和/2斜率都存在且均不為0,

設(shè)直線的方程為丫=履+2,

由:魂;2，聯(lián)立消去y并整理可得/—

所以A=(-4Z)2+32=16ZT+32>0,

設(shè)A(xi,yi),B(X2,”)，則xi+x2=4k,x]X2=-8,

所以yi+y2=Z(xi+x2)+4=4必+4,

因為M為A5的中點，所以M(2Z,2廬+2),

122

因為/」/2,N為EF中點，將M中的人換為一/，可得N(-￡,—+2),

2+2后—(馬+2)

所以直線MN的方程為y-(2必+2)=——五/——<x-2k)=?—%)?(%-28,

整理可得>=(k-"+4,

所以直線MN恒過定點(0,4).

21.(12分)已知函數(shù)/(x)="(/+/nx+"P),g(x)=a^+x+axlnx,

(1)若函數(shù)f(x)在x=-1處取極小值，求實數(shù)〃2的值；

(2)設(shè)加=0,若對任意xW(0,+°°),不等式/(x)2g(x)恒成立，求實數(shù)。的值.

解：(1)/(x)=e'[/+(m+2)x+n^+m],

由題意得，(-1)=0,即m=土1,

當(dāng)機=1時，f(x)(x+1)(x+2),

此時f(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，符合題意；

當(dāng)m=-1時，/(x)="(x+1)x,

此時/(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,+8)上單調(diào)遞減，不符合題意.

綜上可得，m=\.

第23頁共25頁

(2)由/(x)2g(x)得xe'-1-〃(.x+lnx)20,指數(shù)化得不等式-1-〃Cx+lnx)

20恒成立，

令t=x-\-lnx,則V/ER,不等式el-at-120恒成立，

令〃(力=ef-at-1,reR,則h'(r)=￡-m

當(dāng)“WO時，〃'(/)>0,h(/)單調(diào)遞增，h(-1)=:+。-1<0,不符合題意；

當(dāng)〃>0時、令力'(/)=0,得x=lna,當(dāng)(-°°,Ina)時，h'(1)<0,〃(f)單

調(diào)遞減，

當(dāng)尤Una,+8)時，T⑺>0,h⑺