2015中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：圓（8）一．解答題（共30小題）1．（2015?大連）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)，與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4，求EF的長(zhǎng)．

2．（2015?濰坊）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．（1）求證：直線(xiàn)DF與⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的長(zhǎng)．3．（2015?棗莊）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：BC2=CD?2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長(zhǎng)．4．（2015?西寧）如圖，已知BC為⊙O的直徑，BA平分∠FBC交⊙O于點(diǎn)A，D是射線(xiàn)BF上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足=，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)M，連接BM，AM．（1）求證：AD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半徑．5．（2015?廣元）如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過(guò)D作CD⊥OA交弦于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE=CB．（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．6．（2015?北海）如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EP與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，使∠PED=∠C．（1）求證：PE是⊙O的切線(xiàn)；（2）求證：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長(zhǎng)．7．（2015?莆田）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)O在線(xiàn)段AE上，⊙O過(guò)B，D兩點(diǎn)，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求證：CB是⊙O的切線(xiàn)．8．（2015?錦州）如圖，△ABC中，以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接ED．（1）若∠B+∠FED=90°，求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若FC=6，DE=3，F(xiàn)D=2，求⊙O的直徑．9．（2015?甘孜州）如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB=4，求FH的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．10．（2015?包頭）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點(diǎn)F．（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DF?DB；（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)ED，BA交于點(diǎn)P，若PA=AO，DE=2，求PD的長(zhǎng)和⊙O的半徑．11．（2015?本溪）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC中BC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且AC=CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點(diǎn)E、點(diǎn)F（1）求證：AD是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OC，交⊙O于點(diǎn)G，若AB=4，求線(xiàn)段CE、CG與圍成的陰影部分的面積S．12．（2015?常德）已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長(zhǎng)．13．（2015?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB．（1）求證：AT是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OT交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，求tan∠TAC．14．（2015?衡陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說(shuō)明理由．15．（2015?攀枝花）如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上有點(diǎn)E，且EF=ED．（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑R=3，求的值．16．（2015?河池）如圖，AB為⊙O的直徑，CO⊥AB于O，D在⊙O上，連接BD，CD，延長(zhǎng)CD與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E，F(xiàn)在BE上，且FD=FE．（1）求證：FD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的長(zhǎng)．17．（2015?畢節(jié)市）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，AC=FC．（1）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；（2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長(zhǎng)．18．（2015?鹽城）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AC上，且滿(mǎn)足ED=EA．（1）求∠DOA的度數(shù)；（2）求證：直線(xiàn)ED與⊙O相切．19．（2015?懷化）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE（1）求證：△ABC∽△CBD；（2）求證：直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)．20．（2015?巴中）如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求證：直線(xiàn)CD為⊙O的切線(xiàn)；（2）若AB=5，BC=4，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．21．（2015?寧夏）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．22．（2015?昆明）如圖，AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．（1）求證：直線(xiàn)FG是⊙O的切線(xiàn)；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直徑．23．（2015?廈門(mén)）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對(duì)角線(xiàn)AC平分∠DCB，延長(zhǎng)DA，CB相交于點(diǎn)E．（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；（2）如圖2，連接OE，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF，使得∠OEF=30°，當(dāng)∠ACE≥30°時(shí)，判斷直線(xiàn)EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．24．（2015?福州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半徑為2的⊙C，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，得到．（1）求證：AB為⊙C的切線(xiàn)；（2）求圖中陰影部分的面積．25．（2015?黃石）如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點(diǎn)．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)．26．（2015?營(yíng)口）如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，連接AC交OP于點(diǎn)D．（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若PD=cm，AC=8cm，求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接CE，求CE的長(zhǎng)．27．（2015?宜賓）如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點(diǎn)D，DE∥BO，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交BD于點(diǎn)A．（1）求證：直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的長(zhǎng)．28．（2015?隨州）如圖，射線(xiàn)PA切⊙O于點(diǎn)A，連接PO．（1）在PO的上方作射線(xiàn)PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫(xiě)作法），并證明：PC是⊙O的切線(xiàn)；（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點(diǎn)B，AB=AP=4，求的長(zhǎng)．29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，PB與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，∠COB=∠APB．（1）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)；（2）當(dāng)OB=3，PA=6時(shí)，求MB，MC的長(zhǎng)．30．（2015?廣安）如圖，PB為⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，過(guò)B作OP的垂線(xiàn)BA，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)A，連接PA、AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，與PB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D．（1）求證：PA是⊙O的切線(xiàn)；（2）若=，且OC=4，求PA的長(zhǎng)和tanD的值．2015中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：圓（8）參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2015?大連）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線(xiàn)，與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若AB=6，AD=4，求EF的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．分析： （1）連接OD，由題可知，E已經(jīng)是圓上一點(diǎn)，欲證CD為切線(xiàn)，只需證明∠OED=90°即可．（2）連接BD，作DG⊥AB于G，根據(jù)勾股定理求出BD，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得DG，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)求得DE=DG=，然后根據(jù)△ODF∽△AEF，得出比例式，即可求得EF的長(zhǎng)．解答： （1）證明：連接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠EAD．∵OE=OA，∴∠ODA=∠OAD．∴∠ODA=∠EAD．∴OD∥AE．∵∠ODF=∠AEF=90°且D在⊙O上，∴EF與⊙O相切．（2）連接BD，作DG⊥AB于G，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵AB=6，AD=4，∴BD==2，∵OD=OB=3，設(shè)OG=x，則BG=3﹣x，∵OD2﹣OG2=BD2﹣BG2，即32﹣x2=22﹣（3﹣x）2，解得x=，∴OG=，∴DG==，∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，∴DE=DG=，∴AE==，∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴=，即=，∴=，∴EF=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，切線(xiàn)的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，兩小題題型都很好，都具有一定的代表性．2．（2015?濰坊）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．（1）求證：直線(xiàn)DF與⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）連接OD，利用AB=AC，OD=OC，證得OD∥AD，易證DF⊥OD，故DF為⊙O的切線(xiàn)；（2）證得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．解答： （1）證明：如圖，連接OD．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴OD⊥DF，∵點(diǎn)D在⊙O上，∴直線(xiàn)DF與⊙O相切；（2）解：∵四邊形ACDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AED+∠ACD=180°，∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=，∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3，又∵AE=7，∴=，∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．點(diǎn)評(píng)： 此題考查切線(xiàn)的判定，三角形相似的判定與性質(zhì)，要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．3．（2015?棗莊）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：BC2=CD?2OE；（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到∠ADB為直角，可得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由OA=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線(xiàn)；（2）證明OE是△ABC的中位線(xiàn)，則AC=2OE，然后證明△ABC∽△BDC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可證得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理OE的長(zhǎng)即可求得．解答： （1）證明：連接OD，BD，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，∴DE為⊙O的切線(xiàn)；（2）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線(xiàn)，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴=，即BC2=AC?CD．∴BC2=2CD?OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC==，又∵BE=6，E是BC的中點(diǎn)，即BC=12，∴AC=15．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．4．（2015?西寧）如圖，已知BC為⊙O的直徑，BA平分∠FBC交⊙O于點(diǎn)A，D是射線(xiàn)BF上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足=，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)M，連接BM，AM．（1）求證：AD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半徑．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）要證AD是⊙O的切線(xiàn)，連接OA，只證∠DAO=90°即可．（2）連接CM，根據(jù)垂徑定理求得=，進(jìn)而求得∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，從而得出sin∠CBM=，在RT△BMC中，利用正弦函數(shù)即可求得直徑AB，進(jìn)而求得半徑．解答： （1）證明：連接OA；∵BC為⊙O的直徑，BA平分∠CBF，AD⊥BF，∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；∵∠OAC=∠OCA，∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，∴DA為⊙O的切線(xiàn)．（2）解：連接CM，∵OM⊥AC于點(diǎn)E，OM是半徑，∴=，∴∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，∴sin∠ABM=sin∠CBM=，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BMC=90°，在RT△BMC中，sin∠CBM=，∴=，∴BC=10，∴⊙O的半徑為5．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了三角函數(shù)的知識(shí)．5．（2015?廣元）如圖，AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點(diǎn)，過(guò)D作CD⊥OA交弦于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，且CE=CB．（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半徑．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）連接OB，由圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OF，AF，BF，首先證明△OAF是等邊三角形，再利用圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)；（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EG=BE=5，由于∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，得到∠GCE=∠A，△ADE∽△CGE，于是得到sin∠ECG=sin∠A=，在RtECG中求得CG==12，根據(jù)三角形相似得到比例式，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果．解答： （1）證明：連接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切線(xiàn)．（2）解：如圖1，連接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等邊三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=∠AOF=30°；（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE于G，∵CE=CB，∴EG=BE=5，∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，∴∠GCE=∠A，∴△ADE∽△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A=，在RtECG中，∵CG==12，∵CD=15，CE=13，∴DE=2，∵△ADE∽△CGE，∴，∴AD=，CG=，∴⊙O的半徑OA=2AD=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2015?北海）如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EP與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，使∠PED=∠C．（1）求證：PE是⊙O的切線(xiàn)；（2）求證：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．分析： （1）如圖，連接OE．欲證明PE是⊙O的切線(xiàn)，只需推知OE⊥PE即可；（2）由圓周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根據(jù)“同角的余角相等”推知∠3=∠4，結(jié)合已知條件證得結(jié)論；（3）設(shè)EF=x，則CF=2x，在RT△OEF中，根據(jù)勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2，求得EF=4，進(jìn)而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根據(jù)勾股定理求得AE=6，然后根據(jù)△AEB∽△EFP，得出=，求得PF=，即可求得PD的長(zhǎng)．解答： （1）證明：如圖，連接OE．∵CD是圓O的直徑，∴∠CED=90°．∵OC=OE，∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP，又∵點(diǎn)E在圓上，∴PE是⊙O的切線(xiàn)；（2）證明：∵AB、CD為⊙O的直徑，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等）．又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）解：設(shè)EF=x，則CF=2x，∵⊙O的半徑為5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴=，即=，∴PF=，∴PD=PF﹣DF=﹣2=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2015?莆田）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)O在線(xiàn)段AE上，⊙O過(guò)B，D兩點(diǎn)，若OC=5，OB=3，且cos∠BOE=．求證：CB是⊙O的切線(xiàn)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．專(zhuān)題： 證明題．分析： 連接OD，可得OB=OD，由AB=AD，得到AE垂直平分BD，在直角三角形BOE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，由OC﹣OE求出CE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理判斷得到BC與OB垂直，即可確定出BC為圓O的切線(xiàn)．解答： 證明：連接OD，可得OB=OD，∵AB=AD，∴AE垂直平分BD，在Rt△BOE中，OB=3，cos∠BOE=，∴OE=，根據(jù)勾股定理得：BE==，CE=OC﹣OE=，在Rt△CEB中，BC==4，∵OB=3，BC=4，OC=5，∴OB2+BC2=OC2，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，則BC為圓O的切線(xiàn)．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了切線(xiàn)的判定，勾股定理及逆定理，熟練掌握切線(xiàn)的判定方法是解本題的關(guān)鍵．8．（2015?錦州）如圖，△ABC中，以AC為直徑的⊙O與邊AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接ED．（1）若∠B+∠FED=90°，求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若FC=6，DE=3，F(xiàn)D=2，求⊙O的直徑．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．分析： （1）利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)以及鄰補(bǔ)角的定義得出∠FED=∠A，進(jìn)而得出∠B+∠A=90°，求出答案；（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)首先得出△FED∽△FAC，進(jìn)而求出即可．解答： （1）證明：∵∠A+∠DEC=180°，∠FED+∠DEC=180°，∴∠FED=∠A，∵∠B+∠FED=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠BCA=90°，∴BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵∠CFA=∠DFE，∠FED=∠A，∴△FED∽△FAC，∴=，∴=，解得：AC=9，即⊙O的直徑為9．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線(xiàn)的判定等知識(shí)，得出△FED∽△FAC是解題關(guān)鍵．9．（2015?甘孜州）如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，若AB=4，求FH的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．分析： （1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠B=∠C=60°，證出△OBD是等邊三角形，得出∠BOD=∠C，證出OD∥AC，得出DE⊥OD，即可得出結(jié)論；（2）先證明△OCF是等邊三角形，得出CF=OC=BC=AB=2，再由三角函數(shù)即可求出FH．解答： 解：（1）DE是⊙O的切線(xiàn)；理由如下：連接OD，如圖1所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD=60°，∴∠BOD=∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OF，如圖2所示：∵OC=OF，∠C=60°，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC=BC=AB=2，∵FH⊥BC，∴∠FHC=90°，∴FH=CF?sin∠C=2×=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、平行線(xiàn)的判定、三角函數(shù)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2015?包頭）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點(diǎn)F．（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DF?DB；（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)ED，BA交于點(diǎn)P，若PA=AO，DE=2，求PD的長(zhǎng)和⊙O的半徑．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）根據(jù)圓周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，則CB⊥AB，從而證得BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）通過(guò)證得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可證得結(jié)論．（3）連接DA、DO，先證得OD∥BE，得出=，然后根據(jù)已知條件得出===，求得PD=4，通過(guò)證得△PDA∽△POD，得出=，設(shè)OA=x，則PA=x，PO=2x，得出=，解得OA=2．解答： （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，∴∠EAB=∠CBE，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴CB⊥AB，∵AB是⊙O的直徑，∴BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）證明：∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠DBE，=，∴∠DEA=∠DBE，∵∠EDB=∠BDE，∴△DEF∽△DBE，∴=，∴DE2=DF?DB；（3）解：連接DA、DO，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠EBD=∠OBD，∴∠EBD=∠ODB，∴OD∥BE，∴=，∵PA=AO，∴PA=AO=OB，∴=∴=，∴=，∵DE=2，∴PD=4，∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，∴∠PDA=∠ABE，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠ABE，∴∠PDA=∠AOD，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△POD，∴=，設(shè)OA=x，∴PA=x，PO=2x，∴=，∴2x2=16，x=2，∴OA=2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)；要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．11．（2015?本溪）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC中BC邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且AC=CD，以AB為直徑作⊙O，分別交邊AC、BC于點(diǎn)E、點(diǎn)F（1）求證：AD是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OC，交⊙O于點(diǎn)G，若AB=4，求線(xiàn)段CE、CG與圍成的陰影部分的面積S．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算．分析： （1）求出∠DAC=30°，即可求出∠DAB=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定推出即可；（2）連接OE，分別求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面積，即可求出答案．解答： （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC，又∵AC=CD，∴AC=BC=CD，∴△ABD為直角三角形，∴AB⊥AD，∵AB為直徑，∴AD是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：連接OE，∵OA=OE，∠BAC=60°，∴△OAE是等邊三角形，∴∠AOE=60°，∵CB=BA，OA=OB，∴CO⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠EOC=30°，∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴AO=2，由勾股定理得：OC==2，同理等邊三角形AOE邊AO上高是=，S陰影=S△AOC﹣S等邊△AOE﹣S扇形EOG==．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形面積，扇形的面積，切線(xiàn)的判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．12．（2015?常德）已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF．（1）求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC=60°，求AD的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．分析： （1）連接FO，由F為BC的中點(diǎn)，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據(jù)OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直線(xiàn)垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結(jié)論．（2）證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．解答： 證明：（1）如圖1，連接FO，∵F為BC的中點(diǎn)，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直徑，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直線(xiàn)垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE為⊙O的切線(xiàn)；（2）如圖2，∵⊙O的半徑為3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．13．（2015?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT=45°，AT=AB．（1）求證：AT是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OT交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，求tan∠TAC．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；解直角三角形．分析： （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠TAB=90°，得出TA⊥AB，從而證得AT是⊙O的切線(xiàn)；（2）作CD⊥AT于D，設(shè)OA=x，則AT=2x，根據(jù)勾股定理得出OT=x，TC=（﹣1）x，由CD⊥AT，TA⊥AB得出CD∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出==，即==，從而求得CD=（1﹣）x，AD=2x﹣2（1﹣）x=x，然后解正切函數(shù)即可求得．解答： 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．∴∠TAB=90°，∴TA⊥AB，∴AT是⊙O的切線(xiàn)；（2）作CD⊥AT于D，∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，設(shè)OA=x，則AT=2x，∴OT=x，∴TC=（﹣1）x，∵CD⊥AT，TA⊥AB∴CD∥AB，∴==，即==，∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，∴tan∠TAC===．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定，勾股定理的應(yīng)用，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，作出輔助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2015?衡陽(yáng)）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D為半圓O的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；菱形的判定．分析： （1）連接AC，由題意得==，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，從而得出∠OCE=90°，即可證得結(jié)論；（2）四邊形AOCD為菱形．由=，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；解答： 解：（1）連接AC，∵點(diǎn)CD是半圓O的三等分點(diǎn)，∴==，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）∴∠OCE=∠E，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線(xiàn)；（2）四邊形AOCD為菱形．理由是：∵=，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四邊形AOCD是平行四邊形，∵OA=OC，∴平行四邊形AOCD是菱形．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容．15．（2015?攀枝花）如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點(diǎn)F，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上有點(diǎn)E，且EF=ED．（1）求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半徑R=3，求的值．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．專(zhuān)題： 證明題．分析： （1）連結(jié)OD，如圖，由EF=ED得到∠EFD=∠EDF，再利用對(duì)頂角相等得∠EFD=∠CFO，則∠CFO=∠EDF，由于∠OCF+∠CFO=90°，∠OCF=∠ODF，則∠ODC+∠EDF=90°，于是根據(jù)切線(xiàn)的判定定理可得DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）由OF：OB=1：3得到OF=1，BF=2，設(shè)BE=x，則DE=EF=x+2，根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ADB=90°，接著證明△EBD∽△EDA，利用相似比得==，即==，然后求出x的值后計(jì)算的值．解答： （1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF，∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°，而OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵OF：OB=1：3，∴OF=1，BF=2，設(shè)BE=x，則DE=EF=x+2，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE，而∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DAE，∴△EBD∽△EDA，∴==，即==，∴x=2，∴==．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．16．（2015?河池）如圖，AB為⊙O的直徑，CO⊥AB于O，D在⊙O上，連接BD，CD，延長(zhǎng)CD與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E，F(xiàn)在BE上，且FD=FE．（1）求證：FD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AF=8，tan∠BDF=，求EF的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．專(zhuān)題： 證明題．分析： （1）連結(jié)OD，如圖，由CO⊥AB得∠E+∠C=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由FE=FD，OD=OC得到∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，于是有∠FDE+∠ODC=90°，則可根據(jù)切線(xiàn)的判定定理得到FD是⊙O的切線(xiàn)；（2）連結(jié)AD，如圖，利用圓周角定理，由AB為⊙O的直徑得到∠ADB=90°，則∠A+∠ABD=90°，加上∠OBD=∠ODB，∠BDF+∠ODB=90°，則∠A=∠BDF，易得△FBD∽△FDA，根據(jù)相似的性質(zhì)得=，再在Rt△ABD中，根據(jù)正切的定義得到tan∠A=tan∠BDF==，于是可計(jì)算出DF=2，從而得到EF=2．解答： （1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵CO⊥AB，∴∠E+∠C=90°，∵FE=FD，OD=OC，∴∠E=∠FDE，∠C=∠ODC，∴∠FDE+∠ODC=90°，∴∠ODF=90°，∴OD⊥DF，∴FD是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：連結(jié)AD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠A+∠ODB=90°，∵∠BDF+∠ODB=90°，∴∠A=∠BDF，而∠DFB=∠AFD，∴△FBD∽△FDA，∴=，在Rt△ABD中，tan∠A=tan∠BDF==，∴=，∴DF=2，∴EF=2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．17．（2015?畢節(jié)市）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，AC=FC．（1）求證：AC是⊙O的切線(xiàn)；（2）已知圓的半徑R=5，EF=3，求DF的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．專(zhuān)題： 證明題．分析： （1）連結(jié)OA、OD，如圖，根據(jù)垂徑定理的推理，由D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)得到OD⊥BE，則∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，則∠OAD+∠CAF=90°，于是根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到AC是⊙O的切線(xiàn)；（2）由于圓的半徑R=5，EF=3，則OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理計(jì)算DF的長(zhǎng)．解答： （1）證明：連結(jié)OA、OD，如圖，∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF，∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵圓的半徑R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2，∴DF==．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理．18．（2015?鹽城）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AC上，且滿(mǎn)足ED=EA．（1）求∠DOA的度數(shù)；（2）求證：直線(xiàn)ED與⊙O相切．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．分析： （1）根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論；（2）連接OE，通過(guò)△EAO≌△EDO，即可得到∠EDO=90°，于是得到結(jié)論．解答： （1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）證明：連接OE．在△EAO與△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE與⊙O相切．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接OE構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2015?懷化）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE（1）求證：△ABC∽△CBD；（2）求證：直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）根據(jù)AC為⊙O的直徑，得出△BCD為Rt△，通過(guò)已知條件證明△BCD∽△BAC即可；（2）連結(jié)DO，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)，由∠BDC=90°，E為BC的中點(diǎn)得到DE=CE=BE，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠EDC=∠ECD，∠ODC=∠OCD，由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，于是根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到DE與⊙O相切．解答： （1）證明：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BDC，又∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC；（2）連結(jié)DO，如圖，∵∠BDC=90°，E為BC的中點(diǎn)，∴DE=CE=BE，∴∠EDC=∠ECD，又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，∴∠EDC+∠ODC=90°，即∠EDO=90°，∴DE⊥OD，∴DE與⊙O相切．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．20．（2015?巴中）如圖，AB是⊙O的直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．（1）求證：直線(xiàn)CD為⊙O的切線(xiàn)；（2）若AB=5，BC=4，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．分析： （1）利用圓周角定理結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；（2）利用圓周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DC的長(zhǎng)．解答： （1）證明：連接OC，∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直線(xiàn)CD為⊙O的切線(xiàn)；（2）解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，又∵∠D=∠B∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得；DC=．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了切線(xiàn)的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△OCD∽△ACB是解題關(guān)鍵．21．（2015?寧夏）如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，連接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)；（2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2，求BC的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定．分析： 連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結(jié)論；（2）證明△ABC∽△PBO，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長(zhǎng)．解答： （1）證明：連接OB，如圖所示：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠BAC=∠OBA，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：∵⊙O的半徑為2，∴OB=2，AC=4，∵OP∥BC，∴∠C=∠BOP，又∵∠ABC=∠PBO=90°，∴△ABC∽△PBO，∴，即，∴BC=2．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定、圓周角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線(xiàn)的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（2015?昆明）如圖，AH是⊙O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．（1）求證：直線(xiàn)FG是⊙O的切線(xiàn)；（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直徑．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析： （1）連接OE，證明FG是⊙O的切線(xiàn)，只要證明∠OEF=90°即可；（2）設(shè)OA=OE=x，則OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，即（10﹣x）2+52=x2，求出x的值，即可解答．解答： 解：（1）如圖1，連接OE，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO=∠FAE，∴∠FAE=∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE⊥GF，∵點(diǎn)E在圓上，OE是半徑，∴GF是⊙O的切線(xiàn)．（2）∵四邊形ABCD是矩形，CD=10，∴AB=CD=10，∠ABE=90°，設(shè)OA=OE=x，則OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，∴（10﹣x）2+52=x2，∴，，∴⊙O的直徑為．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是切線(xiàn)的判定，解決本題的關(guān)鍵是要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．23．（2015?廈門(mén)）已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，對(duì)角線(xiàn)AC平分∠DCB，延長(zhǎng)DA，CB相交于點(diǎn)E．（1）如圖1，EB=AD，求證：△ABE是等腰直角三角形；（2）如圖2，連接OE，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EF，使得∠OEF=30°，當(dāng)∠ACE≥30°時(shí)，判斷直線(xiàn)EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；等腰直角三角形．專(zhuān)題： 證明題．分析： （1）由∠ACD=∠ABC得到=，則AD=AB，加上EB=AD，則AB=EB，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判斷△ABE是等腰直角三角形（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，則60°≤∠DCE＜90°，根據(jù)三角形邊角關(guān)系得AE≥AC，而OE＞AE，所以O(shè)E＞AC，作OH⊥EF于H，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OH=OE，所以O(shè)H＞OA，則根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可判斷直線(xiàn)EF與⊙O相離．解答： （1）證明：∵對(duì)角線(xiàn)AC平分∠DCB，∴∠ACD=∠ABC，∴=，∴AD=AB，∵EB=AD，∴AB=EB，∵∠EBA=∠ADC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形（2）解：直線(xiàn)EF與⊙O相離．理由如下：∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ABC，∵∠ACE≥30°，∴60°≤∠DCE＜90°，∴∠AEC≤30°，∴AE≥AC，∵OE＞AE，∴OE＞AC，作OH⊥EF于H，如圖，在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，∴OH=OE，∴OH＞OA，∴直線(xiàn)EF與⊙O相離．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．24．（2015?福州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半徑為2的⊙C，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，得到．（1）求證：AB為⊙C的切線(xiàn)；（2）求圖中陰影部分的面積．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；勾股定理；扇形面積的計(jì)算．專(zhuān)題： 計(jì)算題．分析： （1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖，先在Rt△ABC中，利用正切的定義計(jì)算出BC=2AC=2，再利用勾股定理計(jì)算出AB=5，接著利用面積法計(jì)算出CH=2，則可判斷CH為⊙C的半徑，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到AB為⊙C的切線(xiàn)；（2）根據(jù)三角形面積公式和扇形的面積公式，利用S陰影部分=S△ACB﹣S扇形CDE進(jìn)行計(jì)算即可．解答： （1）證明：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖，在Rt△ABC中，∵tanB==，∴BC=2AC=2，∴AB===5，∵CH?AB=AC?BC，∴CH==2，∵⊙C的半徑為2，∴CH為⊙C的半徑，而CH⊥AB，∴AB為⊙C的切線(xiàn)；（2）解：S陰影部分=S△ACB﹣S扇形CDE=×2×5﹣=5﹣π．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．在判定一條直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線(xiàn)和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過(guò)圓心作該直線(xiàn)的垂線(xiàn)段，證明該線(xiàn)段的長(zhǎng)等于半徑．也考查了勾股定理和扇形面積的計(jì)算．25．（2015?黃石）如圖，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中點(diǎn)．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；含30度角的直角三角形；圓周角定理．分析： （1）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，進(jìn)而求得BC即可；（2）要證明直線(xiàn)DE是⊙O的切線(xiàn)只要證明∠EDO=90°即可．解答： 證明：（1）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=2，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BC=2BD=4；（2）證明：連接OD．∵D是BC的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，∴DO是△ABC的中位線(xiàn)，∴OD∥AC，則∠EDO=∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°∴DE是⊙O的切線(xiàn)．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了切線(xiàn)的判定以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．解題時(shí)要注意連接過(guò)切點(diǎn)的半徑是圓中的常見(jiàn)輔助線(xiàn)．26．（2015?營(yíng)口）如圖，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，連接AC交OP于點(diǎn)D．（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若PD=cm，AC=8cm，求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接CE，求CE的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；扇形面積的計(jì)算．分析： （1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結(jié)論；（2）證明△ADP∽△PDA，得到成比例線(xiàn)段求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)S陰=S⊙O﹣S△ABC求出答案；（3）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長(zhǎng)，求和得到答案．解答： （1）證明：如圖1，連接OC，∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切線(xiàn)；（2）解：由（1）得PA，PC都為圓的切線(xiàn)，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△PDA，∴，∴AD2=PD?DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由題意知OD為△的中位線(xiàn)，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S陰=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如圖2，連接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB?cos45°=5，∴EM==4，則CE=CM+EM=7．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算和相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑和切線(xiàn)的判定是解題的關(guān)鍵．27．（2015?宜賓）如圖，CE是⊙O的直徑，BD切⊙O于點(diǎn)D，DE∥BO，CE的延長(zhǎng)線(xiàn)交BD于點(diǎn)A．（1）求證：直線(xiàn)BC是⊙O的切線(xiàn)；（2）若AE=2，tan∠DEO=，求AO的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定與性質(zhì)．分析： （1）連接OD，由DE∥BO，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通過(guò)△DOB≌△COB，得到∠OCB=∠ODB，問(wèn)題得證；（2）根據(jù)三角函數(shù)tan∠DEO=tan∠2=，設(shè)；OC=r，BC=r，得到BD=BC=r，由切割線(xiàn)定理得到AD=2，再根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得到比例式即可求得結(jié)果．解答： 解：（1）連接OD，∵DE∥BO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OE，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△DOB與△COB中，，∴△DOB≌△COB，∴∠OCB=∠ODB，∵BD切⊙O于點(diǎn)D，∴∠ODB=90°，∴∠