四、模糊集合的模糊程度——模糊熵四、模糊集合的模糊程度——模糊熵A的模糊熵E(A)，在單位超立方體In中從0到1，其中頂點的熵為0，說明不模糊，中點的熵為1，是最大熵。從頂點到中點，熵逐漸增大。簡單地從幾何圖形上來考慮可以得到熵的比例形式：1整理ppt熵是一個一般性的概念，它度量了一個系統(tǒng)或一段信息的不確定性。模糊熵描述了一個模糊集的模糊性程度。一般的定義[1]： 〔1〕清楚集是不模糊的，那么清楚集的模糊熵為0； 〔2〕[1/2]是隸屬性最難確認(rèn)的模糊集，[1/2]的模糊性應(yīng)最大 〔3〕模糊集A與距[1/2]的1遠(yuǎn)近程度是相同的，那么要求A與的模糊程度一樣 〔4〕模糊集A的模糊性應(yīng)具有單調(diào)變化的性質(zhì)，即A越接近[1/2],A的模糊性越大；A越遠(yuǎn)離[1/2],A的模糊性越小。四、模糊集合的模糊程度——模糊熵2整理ppt模糊熵定理：模糊熵定理的幾何圖示。由對稱性，完整模糊方形的四個點到各自的最近頂點、最遠(yuǎn)頂點的距離都相等。該定理正式宣告了“西方邏輯〞的終止。〔〕四、模糊集合的模糊程度——模糊熵3整理pptk>0是常數(shù)很多文章是用這個定義來求模糊熵另外的一種定義〔類似于信息論中熵的定義〕四、模糊集合的模糊程度——模糊熵4整理ppt五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系(dominatedmembershipfunctionrelationship)：如果A=(.30.7)和B=(.4.7.9)，那么A就是B的一個模糊子集，但B不是A的模糊子集。顯然，這種模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的,是二值定義下的子集性(Zadeh’s1965)。5整理ppt1.模糊子集的幾何表示 B的所有模糊子集構(gòu)成集合——模糊冪集F(2B)，它構(gòu)成了在單位超立方體中倚著原點的規(guī)那么的超長方形，其邊寬等于各隸屬度值mB(xi)。可以用Lebesgue測度或體積V(B)來度量F(2B)的大小，其中，體積V(B)為隸屬度值的乘積：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理圖7.76整理ppt2.包含度定理： 在圖7.7中，點A可以是長方形內(nèi)的點，也可以不是。在長方形F(2B)外不同的點A是B的不同程度的子集。而上述二值定義下的子集性忽略了這一點。考慮到集合A屬于F(2B)的不同程度，通過抽象隸屬度函數(shù)來定義包含度： S(.,.)在[0,1]之間取值，其代表了多值的子集測度〔包含度〕，是模糊理論中的根本的、標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)。五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理7整理ppt度量S(.,.)的兩種方法：

(1)代數(shù)方法:即失配法(fit-violationstrategy)

假定X包含有100個元素：X={x1,…,x100}。而只有第一個元素違背了主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系，使得mA(x1)>mB(x1)。直觀上，我們認(rèn)為A很大程度上是B的子集?？梢怨浪悖蛹詾镾(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆個元素，A幾乎完全是B的子集了?？梢娛涞姆萴A(x1)-mB(x1)越大，失配的數(shù)目相對于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者說，A就越象是B的超集。直觀上有：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理8整理ppt失配數(shù)的計算：

max(0,mA(x)-mB(x))

歸一化之后得到超集的最小度量：

包含度為：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理9整理ppt這種包含度滿足主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，那么分子被加數(shù)應(yīng)都為0，因此主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系都滿足。反之，當(dāng)且僅當(dāng)B是空集時，S(A,B)=0。而空集本來就無法包含集合，無論是模糊集還是非模糊集。在這兩種極端情況之間，包含度的大小為：0<S(A,B)<1考慮匹配矢量A=(.20.4.5)和B=(.7.6.3.7)。A幾乎是B的子集，但不完全是，因為所以，類似可得：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理10整理ppt(2)幾何方法： 在圖7.7中，集合A或是位于F(2B)內(nèi),或是在外頭。直覺上，當(dāng)A接近F(2B)時,S(A,B)應(yīng)接近于1，當(dāng)A遠(yuǎn)離F(2B)時,S(A,B)應(yīng)該減小。那么A與F(2B)之間的距離如何計算？五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理圖7.711整理ppt尋找B*(A位于F(2B)外):通過F(2B)邊線的直線延伸，將超立方體In分割成2n個超長方形。他們分為混合的或是純的主值隸屬度。非子集A1,A2,A3,分別位于不同的象限。通過F(2B〕與A1,A3的范數(shù)距離，分別找到與西北和東南象的點A1,A3距離最近的點B1*和B3*。而離東北象限中的點A2距離最近的點B*就是B自身。由此可證得一般性勾股定理。且這種“正交〞優(yōu)化情況說明d(A,B)就是lp直角三角形的斜邊。五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理12整理ppt以B為中心的l1范數(shù)區(qū)域呈鉆石形。A1和A2到F(2B)等距，但A1比A2離B更近。而同時，M(A1)>M(A2)?？梢姡纫蕾囉诨鶖?shù)M(A)。考慮歸一化，進(jìn)一步猜測：定義超集度為：

d(A,F(2B))=d(A,B*)為了保證其值在(0,1)之間變化,要進(jìn)行歸一化處理，該常數(shù)等于最大的單位立方體距離，l1情況下值為n:S(A,B)=1-d(A,B*)/n這種度量存在的問題：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理〔圖7.9〕13整理ppt假定p=1，令正交性說明：設(shè)其充要條件是沒有失配現(xiàn)象發(fā)生，恒有。所以設(shè)其充要條件是有失配現(xiàn)象發(fā)生，這時，綜上：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理14整理ppt這種證明方法同樣給出了優(yōu)化子集B*的一個更重要的性質(zhì)：因為如果有一個失配關(guān)系，那么，所以，其余的，所以故。B*是具有雙重優(yōu)化特性的點，它既是離A最近的B的子集，也是離B最近的A的子集A*:五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理15整理ppt

包含度定理：推導(dǎo)相對頻率：五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理16整理ppt五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理包含度定理的一些推論結(jié)論:fuzzytheoryextendsprobabilitytheory17整理ppt如何用模糊集合間的關(guān)系表征某個模糊集合的模糊程度包含度是模糊中最根本的有代表性的一個數(shù)值熵-包含度定理：說明：將包含度定理中的A、B分別用和代替，并注意到交集是并集的子集，即可證得。該定理說明了整體是其局部的一局部的程度。六、熵-包含度定理18整理ppt

圖示二維的熵-包含度定理。交集是并集的子集?？梢婇L對角線的長度相等，所以并集到交集的模糊冪集所構(gòu)成的超長方形的最優(yōu)距離d*滿足：六、熵-包含度定理另外，利用式7-36也可得到該公式?！?-36〕19整理ppt1模糊熵應(yīng)用于圖象邊緣檢測重慶郵電學(xué)院學(xué)報1996042唐山地震前地震活動模糊熵值的異常特征華北地震科學(xué)1997033基于模糊熵與方向相似度的液體火箭發(fā)動機(jī)故障檢測國防科技大學(xué)學(xué)報1998044一種新的模糊熵圖象分割方法信號處理1998035用隨機(jī)模糊熵權(quán)方法編制礦井生產(chǎn)方案遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)1999016基于廣義模糊熵的故障特征參數(shù)選擇控制與決策1999067基于廣義模糊熵的液體火箭發(fā)動機(jī)故障檢測研究宇航學(xué)報1999018一種基于模糊熵和遺傳算法的圖像分割方法上海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)1999069一種基于最大模糊熵的高斯聚類算法電子科技大學(xué)學(xué)報20000310模糊熵的可靠性設(shè)計與運用七、模糊熵的一些應(yīng)用20整理ppt11基于凸多項式模糊熵的圖象閾值方法控制與決策20000312基于模糊熵的多目標(biāo)模糊優(yōu)選模型及其應(yīng)用煤炭學(xué)報20000413基于模糊熵的平安等級隸屬度向量的離散化方法中國有色金屬學(xué)報20000414一類Vague集模糊熵的構(gòu)造方法華中科技大學(xué)學(xué)報20010915用模糊評價法和模糊熵確定拱橋洪水淹沒深度武漢城市建設(shè)學(xué)院學(xué)報20010116關(guān)于Vague集的模糊熵及其構(gòu)造計算機(jī)應(yīng)用與軟件20020217數(shù)據(jù)挖掘中決策樹加權(quán)模糊熵算法計算技術(shù)與自動化20020318基于遺傳算法的模糊熵圖像分割算法計算機(jī)仿真20020519不確定性動態(tài)軍事指揮決策的模糊熵分析系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用20020320電力系統(tǒng)中長期負(fù)荷預(yù)測的最大模糊熵模型研究電力自動化設(shè)備20030821整理ppt21冀魯豫交界區(qū)地下流體模糊熵值的變化與地震的關(guān)系地震研究20030122一種基于代價函數(shù)和模糊熵的圖像分割方法光子學(xué)報20031223基于遺傳算法和模糊熵的前視紅外圖像分割紅外與毫米波學(xué)報20030624基于Fuzzy集的Vague集的模糊熵華中科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)20030125模糊決策樹中參數(shù)對模糊熵的敏感性分析計算機(jī)工程20031126基于模糊熵及遺傳算法的圖像增強(qiáng)技術(shù)農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報20030327利用模糊熵進(jìn)行參數(shù)有效性分析的語音情感識別電路與系統(tǒng)學(xué)報20030328基于模糊熵聚類和Kalman濾波的區(qū)域跟蹤測控技術(shù)20031129基