大招12焦點(diǎn)三角形面積公式

大招總結(jié)

結(jié)論1：橢圓=+4=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳、E，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),

a~b~

AF}PF2=9,則橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積S漕卜in6=c|%|=%ang

結(jié)論2：雙曲線二=1(a>匕>0)的左右焦點(diǎn)分別為￡、￡,點(diǎn)P為雙曲線上異于實(shí)

a~h~

軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),匕F、PF°=e,則〃絲=3尸3PK卜皿6=心|=心/

tan一

2

證明結(jié)論1：

1.已知桶圓方程1+[=1(“>6>0),焦點(diǎn)為卻E，P是橢圓上一點(diǎn)，NHPF,=a,

a~b'

求：耳尸月的面積(用以b、a表示).

解：如圖，設(shè)尸(x,y),由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)P(x,y),由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)尸在第一

象限.由余弦定理知：|耳￡『=|出『+|「引2-2儼耳|療7小0$a=4/.①

0A2

由橢圓定義知：|P4|+|Pg|=2a②,則②2-①得忸耳卜忸弱|=耳嬴

故S所=』|?IP用sina=；~~—sina=b"an§.

22l+costz2

證明結(jié)論2：

2.設(shè)若雙曲線方程為A=13>b>°)，片、局分別為它的左右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上

6rb2

任意一點(diǎn)，則有：

性質(zhì)1、若居=夕，則為嶗=。28弓；特別地，當(dāng)N￡P(guān)K=90。時(shí)，有S詆=6.

證明：2|P￡||PE|cos0=|P￡『+|p&2_忻工『

2|「用|PK|cos9=(|P用-|P&、2|P*桃|一閨町

22

2\PF,^PF2\cos0=(2a)+2\PF^PF2\-(2c)

21P用1Pgi(cosO_1)=4(6-c?)

冏附|3S"D=2』=芻

sin~一

2

5psin02sincos=z?2cot

Vr2=1l^ll^l=—z-7??

-22sin:-222

2

易得6=90°時(shí)，有5詆=".

典型例題

2

例1.(2020?新課標(biāo)I)設(shè)是雙曲線C：X2--1-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

點(diǎn)P在。上且I。8=2,則PF島的面積為0

75

A.—B.3C.—D.2

22

解：方法1：由題意可得a=\,b=y/3,c=2,:.\F}F2\=2c=4,

\OP\=2,:.\OP\=g忻閭,.FP與名為直角三角形，

..P￡1P5，

2

：.\PFf+\PF2f=4c=\6,

忸用一|P司=2a=2,

附『+|尸閭2―2閥卜|尸閭=4,

叫陷|=6,

?'uP￡鳥的面積為5=；忸與卜仍用=3,

故選B.

方法2:由題意可得a=\,b=^3,c=2,

.??忻用=2c=4,;|OP|=2,

.?.QH=千耳引，,PF、6為直角三角形，

b2

根據(jù)焦點(diǎn)三角形公式，P￡5面積s=~^=3,選B

tan—

2

V-X~,「L

例2.已知點(diǎn)P是橢圓y+j=l上的一點(diǎn)，￡,月分別是其左、右焦點(diǎn)，且

/耳PE=30,求上PF?的面積.

解方法1:如圖所示，

2尤2

由橢圓2■+一=1，得0=君力=2,c=l；

54

的周長(zhǎng)為|「耳|+|尸"+忻閭=勿+2c=2?+2,

在印號(hào)中，由余弦定理得:

4c2=歸用2+|尸月「_2|產(chǎn)用?忸瑪?cos30

=（也|+附『一2①|(zhì).席|-2附|.席|母

=4/-（2+?儼/訃|PF2\,

4a2-4c24x5-4xl

???|產(chǎn)用?陷|=16（2-V3）；

2+732+6

:._￡P(guān)5的面積為：

5F、PF,=產(chǎn)用?I尸周?1130=gxl6（2—0）xg=4（2—石）=8—4百.

方法2：由焦點(diǎn)三角形面積公式得：S6"=/tang=4tan與=4（2-g）=8-4，i

例3.（2021秋?城鬧區(qū)校級(jí)期中）已知耳、F2是橢圓C：|y+%=1（。＞匕＞0）的兩

個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，若/耳P6=60,且-Pg的面積為36,則

6=0

A.2B.3C.6D.9

解：方法1：設(shè)|闋=%,陶=￡

則由橢圓的定義可得：彳+弓=2。(1)

在A￡P(guān)片中ZF}PF2=60,

所以片+1_2他?cosGO=4C2（2）,

222

由（2）2-（）得3//2=4a-4c=4/?

即小2=從

所以SFlpF2=^2-sin60=義與=36、

:.h=3.

故選B.

方法2：由焦點(diǎn)三角形面積公式得：S=Z?2tan|=Z?2tan^-=3V3=>/?=3,故選B.

廠y

例4.(2021秋?連城縣校級(jí)期中)已知￡,鳥是橢圓c：/+宣=1(。>方>0)的兩個(gè)

焦點(diǎn)，P為橢圓c上一點(diǎn)，且N貼『浮若PFE的面積為9板則b=()

A.9B.3C.4D.8

解：方法1：設(shè)|P6|=聞尸閭=",則m+n=2a,

(2c)2=m2+n2—2小〃cos=(m+n)2—mn,

4b2=mn.

又|mnsin=9>j3,2Z?2x=9>/3,解得b=3.

故選B.

2Q2]20

方法2：由焦點(diǎn)三角形面積公式得：SFiPF=/?tan-=/;tan-^-=9>/3=>Z?=3,故選

B.

Xy

例5.（2020.新課標(biāo)III）設(shè)雙曲線C：/一萬=1（。>04>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥,

離心率為小.P是C上一點(diǎn)，且耳P16P.若-PFF?的面積為4,則。=（）

A.1B.2C.4D.8

（解）由題意，設(shè)PF,=m,PF{=n,可得

m—n—2a,—mn=4,/T?2+n2=4c2,e=——\[5,

2a

可得4c2=16+4。2,可得5a2=4+/,

解得a=\.

故選A.

b2b2

方法2:由焦點(diǎn)三角形面積公式得：S2F,=一萬=——=4=>^

90

tan-tan-一

22

e=—=\[5

a,=a=1

/?2=4

故選A.

自我檢測(cè)

1.（2009?上海）已知耳、鳥是橢圓C：點(diǎn)+%=l（a>人>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓

C上一點(diǎn)，且P￡1PR.若P?2的面積為9,則b=

X2y2

【解】方法1：???￡、片是橢圓c：—+^=1（61>^>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓c

a'b

上一點(diǎn),且?！?，尸耳..\忸聞+|尸聞=2°,|尸娟2+忸居『=4°2,；|尸用忸閭=9,

.-.（|PF；|+|Pf；|）2=4c2+2\PF^PF^=Arcr,：.36=4（合一。2）=4吐."=3.

故答案為3.

?。？90

方法2：由焦點(diǎn)三角形面積公式得：SFiPF=/?-tan-=/?-tan—=9^/?=3

X2y2

2.（2021秋,西城區(qū)期末）已知橢圓/+萬=1（。>〃>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F、,F”

|耳周=2c（c>0）若點(diǎn)P在橢圓上，且/耳2鳥=90,則點(diǎn)P到X軸的距離為

（）

b1b2c2c2

A.一B.-C.一D.—

acab

2

c,2,290?i\\b

【解】由焦點(diǎn)三角形面積公式得：SFPF=/?-tan-=Z?-tan—=c-?=>=—故

22c

選B.、

x2y2

3.（2021春?廈門期末）已知點(diǎn)P是橢圓「：/+萬=1（。>〃>0）上的一點(diǎn),

樞

耳、F?為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若/耳P8=60,且PFK的面積為—a2,則橢圓

的離心率是-------

【解】方法1：由/耳尸尸2=60,：P耳丹的面積為7a2,可得

刎HP&SSPK邛陶陷卜邪2.

???阿卜熙|=詭

再根據(jù)橢圓的定義可得|產(chǎn)用+|尸周=2。.再利用余弦定理可得

4c2=\PFf+\PF2f-2\PFt\\PF2\-COS60=（|P娼+忸引『一32大.PQ=4/一/

求得a-2c,e——=—.故答案為：—.

a22

方法2:由焦點(diǎn)三角形面積公式得：

3a

q.RPF吟="a24\a22

尢y

4.(2021秋?龍山縣校級(jí)期末)已知點(diǎn)P(3,4)是橢圓相+萬=l(a>/?>0)上的一點(diǎn),

耳、鳥是橢圓的兩焦點(diǎn)，若試求：

(1)橢圓方程；

⑵.Pg的面積.

【解】(1)方法1：令JF；(-c,0),(c,0),?/PFtlPF2,kPFi-kPF2=-l,

22

44工y1

即—-=-l,解得c=5,/.橢圓方程為—+^^T=l.

3+c3-ca-a--25

；點(diǎn)p(3,4)在橢圓上，：.3+一^—=1,解得a2=45,或a2=5,

a-ci—25

22

又a>c,:,2a-=u5舍去，故所求橢圓方程為—x+￡y-=1.

4520

(2)P點(diǎn)縱坐標(biāo)的值即為￡月邊上的高,；.S"IF2=；|KK|x4=gxl0x4=20.

方法2:由焦點(diǎn)三角形面積公式得：S=/?2tan^=20tan^-=20(建議常規(guī)法書寫

過程)

5.已知6、K為雙曲線C:x2-y2=\的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上,

/耳Pg=60,則附|?熙|=()

A.2B.4C,6D,8

【解】方法1：由雙曲線方程得a=l,b=l,c=&,

由余弦定理得

?耳巡叩粵邛宣…=(附|一|產(chǎn)居『+2陷||P閭一忻

21P用|尸周2附|附|

1_22+2忸娟|「石|—（2后）2

.?.附.閥卜4.

2=21P用儼周

方法2:由焦點(diǎn)三角形面積公式得：

5)照=當(dāng)=」^=百=3歸耳||「國(guó)金60=：|P制|尸尸2|孝，|尸4H尸司=生

tan-tan

22

故選B.

x2y21

6.(2019■新課標(biāo)III)已知F是雙曲線-=\的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上,

O為坐標(biāo)原點(diǎn).若IOP/=|。耳，則一OP尸的面積為()

3579

A.—B.—C.—D.—

2222

x2y2.

【解】方法1：如圖，不妨設(shè)F為雙曲線C:——-=1的右焦點(diǎn)，P為第一象限

45

點(diǎn).

由雙曲線方程可得，/=4,/=5,貝IJ。=爐工=3,則以O(shè)為圓心，以3為半徑的

220戶9=9僅加5)

圓的方程為X+V=9.聯(lián)立fy2解得P——.

-----=1I3J；

1457)

故選B.

方法2:設(shè)左焦點(diǎn)為6,連接PF「由|04=|0同=|0用易知ZFPFt=90由焦

b2515

點(diǎn)二角形面積公式得：SFpF=萬=77T-=5=>SQ=~FPF~~,故選B.

90PF212

tan-tan

22

7.（1994.全國(guó)）設(shè)K和F2為雙曲線亍一＞2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)p在雙曲線上且

滿足々Pg=90,則A"尸2的面積是0

A.1B.-C.2D.＞/5

2

【解】方法1：設(shè)|尸耳|=%,|。閭=丁,。＞?。└鶕?jù)雙曲線性質(zhì)可知x-y=4,

2222

?.?/4/耳=90,/.x+/=20/.2xy=x+y-（x-y）=4...^=2

??.KP5的面積為g呼=1故選A.

。護(hù)1.

方法2:由焦點(diǎn)三角形面積公式得:S6"=一石=―彳=1故選A.

tan-tan

22

22

8.已知耳、F2為雙曲線C:x-y=\的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上,

/月P居=60,則p到x軸的距離為（）

c.V3D.V6

A'~TB'V

【解】方法i：不妨設(shè)點(diǎn)。（不，為）在雙曲線的右支，由雙曲線的第二定義得

(Q^\

=ex-a=y/2x-1.

PF、=€X。---=Q+e/---()0

[c)Lc)

由仝港理徨cos/“尸-陷『+陷「小球

由余弦V里將COSZF}PF2-2附歸段即

(l+V^x。)4-^>/2X0—1j—(2^2)-

cos60，解得x：=|，所以火=*T=|，

2(1+A/2X0j^V2x0-1j

故P到1軸的距離為|y0|=y-

故選B.

方法2:由焦點(diǎn)三角形面積公式得：

S毋然=心不=一需=6=小尻|=啦?|%|=|%|=乎故選B.

tan—tan——

22

22

XV廠廠

9.（2001?全國(guó)）雙曲線--77=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳、鳥，點(diǎn)P在雙曲線上，若

910

PFJ’P4則點(diǎn)p到I軸的距離為一

【解】方法1：設(shè)點(diǎn)P（x,y）,耳（一5,0）、5（5,0）,尸￡_L尸片，

2

.-.2ZO.ZZO="I?-.X+/=25（1）,

x+5x—5

x2y2.25-y-.162

又5一記二1，k一記=1Q2=7小點(diǎn)16門到1軸的距離是T16

方法2:由焦點(diǎn)三角形面積公式得：

S=-^=—^=16=「聞=5-閭=＞尻|=￡

tan-tan

22

廣廣x-y,

10.（2003.北京）如圖，￡,月分別為橢圓/+7=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上.

POF?是面積為V3的正三角形，則b2的值是一

【解】方法1：；AP。月是面積為6的正三角形,??.5=曰仔工「=唐,|尸段=2.

：.c=2,:.Pg為直角三角形，：.a=6+1,.,方=/一。2=26,故答案為26

方法2：連接尸耳，由|。尸|=|0月=|0耳|易知ZFPF.=90由焦點(diǎn)三角形面積公式

>2>2

=

得：SF、PF=~0TT-=250PFi=2>/3=>/>■=2^3

tan—tan-

22

Xv

11.（2019?新課標(biāo)II）已知6，鳥是橢圓°：/+6=1（。>方>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為

C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若-PO月為等邊三角形，求C的離心率；

⑵如果存在點(diǎn)P,使得且-F質(zhì)的面積等于16,求力的值和a的取

值范圍.

【解】⑴方法1：連接PP\,由-PO為為等邊三角形可知在-6空中,

/耳「6=90,|PE|=G|PK|=V^C,于是2a=|產(chǎn)用+|尸闖=（百+l）c,故曲線C的

離心率e=—=5/3—1.

a

方法2：連接PF\,由\OF\=\OF\=\OF^易知/耳。丹=90由焦點(diǎn)三角形面積公

式得：SK明=

/72tang=Z?2tan^-=cJy）=c?曰c=〃-a2-c2=>e=6-l（建議常規(guī)

法書寫過程）

⑵方法1:由題意可知，滿足條件的點(diǎn)。（演丫）存在，當(dāng)且僅當(dāng)：l|y|-2c=16,

2222

2?上=T，1+2=L即小|=160）/+爐=。2,（2），+卷=1,（3）

x+cx-cab11ab

2b42162

由（2）（3）及/=從+02得r=-,又由（1）知r=—,故t>=4,

C廠

2

由⑵⑶得所以。2萬從而a2=b2+c22h2=32故4亞，

當(dāng)b=4,a..4y/2時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P,所以b=4,a的取值范圍為［40,+8）.

方法2：由焦點(diǎn)三角形面積公式得：SFiPF=b-tan-=b-tan-=\6^b=4（建議常規(guī)

法書寫過程）

3202】?全國(guó)高三專題練習(xí)）橢圓而+莉甘的焦點(diǎn)為6風(fēng)橢圓上的點(diǎn)「滿

足/耳尸鳥=60,則-RPF2的面積是（）

64691g166

64

——C.——D.

【解】方法1：設(shè)|「￡|=%,|尸周=乂則x+y=20,又

尤2+^—2濟(jì)cos60=山鳥「=4°2=4x36,

所以

222

(x+y)-(x+y-xy)256c1,1256g64G

xy=------------------------------=-----,5=—AysinoO=-x-----x——=--------,

33aPPP22323

故選A.

r,26064百

方法2：由焦點(diǎn)三角形面積公式得：SF1PF=b-tan-=64tan-=-y-,故選A.

13.（2021?河南高二月考（理））耳、F?的雙曲線—=1的兩焦點(diǎn)，P在雙曲線上,

/耳P6=90,則PFK的面積是（）

111—而

A.11B.—C.VHD,--

22

22

XV1

【解）方法1：雙曲線—__=的。=5,。=6,

不妨設(shè)P￡>PJ則W-P鳥=2。=10,耳其=：￥+?感而￡鳥=2C=12,

2

得PF；+PF^（PF]-PF2）+2PFt-PF2^\44,PF}PF2=22,

,-.S=^PFt-PF2=il,

￡尸外的面積11,故選A.

cb211-

方法2:由焦點(diǎn)三角形面積公式得：S*=—萬=——=11故選A.

.090

tan-tan——

22

14.（2021?攀枝花市第十五中學(xué)校高二期中（理））設(shè)￡，與為橢圓1+>2=1的兩個(gè)

焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在此橢圓上，且PF}PF2=-2,則PF}F2的面積為（）

A.1B.V2C.GD.2