第12章耦合電感電路12.1耦合電感12.2耦合電感的串聯(lián)與并聯(lián)12.3空芯變壓器12.4理想變壓器

12.1耦合電感

一個(gè)線圈中的磁通變化可以在另一個(gè)線圈上感應(yīng)出電勢(shì)(或電壓),這種現(xiàn)象稱為磁耦合現(xiàn)象。因?yàn)榇篷詈犀F(xiàn)象是相互的,所以當(dāng)后一個(gè)線圈中的磁通變化時(shí),同樣也可以在前一個(gè)線圈上感應(yīng)出電勢(shì)(或電壓)。這樣的線圈稱為耦合線圈或者耦合電感線圈,簡稱為耦合電感(或互感)。

12.1.1耦合電感及其伏安關(guān)系

圖12-1(a)是圖64(b)所示電感線圈,當(dāng)給線圈通入電流i時(shí),線圈中就產(chǎn)生磁通Φ,線圈上就會(huì)感應(yīng)出電勢(shì)e。設(shè)電流i和磁通Φ的參考方向符合右手螺旋關(guān)系,因?yàn)殡妱?shì)e和電流i是同方向的,所以電勢(shì)的參考方向?yàn)樯县?fù)下正,電壓和電勢(shì)的參考方向相反為上正下負(fù)?？梢?在這樣的假設(shè)體系下電壓和電流的參考方向是關(guān)聯(lián)的。電感線圈的符號(hào)如圖12-2(b)所示。

對(duì)于線性電感來說,感應(yīng)電勢(shì)(或電壓)的大小為

式中,Ψ=NΦ=Li為磁鏈(N為線圈的匝數(shù)),L為線圈的電感系數(shù)。因?yàn)楦袘?yīng)電壓是由其自身通入電流產(chǎn)生的磁通所感應(yīng)的,所以該電壓稱為自感電壓,這樣的線圈稱為自感線圈,簡稱為自感,所以L也稱為自感系數(shù)。

圖12-1自感線圈與符號(hào)

圖12-2兩個(gè)線圈之間的耦合電感與符號(hào)

例12-1圖12-3所示為兩個(gè)互感線圈電路,互感系數(shù)為M,寫出兩個(gè)線圈上的電壓。圖12-3例12-1圖

解因?yàn)樽愿须妷簎11和i1是關(guān)聯(lián)的(由a指向b),則i1在線圈2上感應(yīng)的互感電壓u21由同名端指向異名端,即d正c負(fù);u22和i2是關(guān)聯(lián)的(由c指向d),根據(jù)同名端互感電壓u12-由b指向a。由KVL得出兩個(gè)線圈上的電壓分別為

圖12-4兩個(gè)互感線圈的相量模型與等效電路

12.1.2耦合電感的耦合系數(shù)

工程上用耦合系數(shù)定量地描述兩個(gè)耦合線圈耦合的緊疏程度,將互感磁鏈與自感磁鏈比值的幾何平均值定義為耦合電感的耦合系數(shù),記為k,即

12.2耦合電感的串聯(lián)與并聯(lián)

圖12-5(a)和(b)所示是兩個(gè)耦合電感的串聯(lián)電路。兩電路的不同之處是,在圖12-5(a)中,第二個(gè)線圈的同名端和第一個(gè)線圈的異名端相連,這種連接稱為順接;在圖12-5(b)中,兩個(gè)異名端(兩個(gè)異名端也是同名端)直接相連,這種連接稱為反接。

圖12-5耦合電感的串聯(lián)電路

對(duì)于圖12-5(a)所示的順接電路,由于電流i都是從同名端流入,自感電壓均由同名端指向異名端,所以兩個(gè)線圈上的互感電壓也是由同名端指向異名端,則

根據(jù)KVL,有

圖12-6例12-3圖

12.2.2耦合電感的并聯(lián)

圖12-7(a)所示是兩個(gè)耦合電感的同名端連接在同一側(cè)的并聯(lián)電路,這種連接稱為同側(cè)并聯(lián)。圖12-7耦合電感的同側(cè)并聯(lián)電路

圖12-8耦合電感的異側(cè)并聯(lián)電路

例12-4電路如圖12-9(a)所示,已知L1=2H,L2=3H,M=1H,R1=5Ω,R2=6Ω,ω=10rad/s,求a、b端的等效阻抗。圖12-9例12-4圖

解圖12-9(a)所示電路為同側(cè)并聯(lián)電路,由去耦等效電路知,第3條支路的等效電感為M=1H,支路1和支路2的等效電感分別為

可得圖12-9(a)的相量域去耦等效電路如圖12-9(b)所示,則a、b端的等效阻抗為

12.3空芯變壓器

變壓器是電工和電子電路中常用的設(shè)備或器件。變壓器是將兩個(gè)或多個(gè)耦合線圈繞在一個(gè)共同的芯子或者骨架上。為了提高線圈的自感和互感,芯子或骨架一般由磁性材料制成。為了簡單起見,這里只討論含有兩個(gè)耦合線圈的變壓器,同時(shí)假設(shè)線圈被繞在非磁性材料上,所以稱其為空芯變壓器。它的一個(gè)線圈作為輸入,稱為原邊(或初級(jí))繞組;另一個(gè)線圈作為輸出,稱為副邊(或次級(jí))繞組。

本節(jié)一方面將研究負(fù)載通過耦合是如何反映到原邊的,另一方面研究原邊的電壓是如何通過耦合傳遞到副邊的。為此,圖12-10給出空芯變壓器在正弦穩(wěn)態(tài)條件下的電路模型,其中R1和R2分別為原邊和副邊繞組的等效電阻,L1和L2分別為原邊和副邊的自感,M是互感,?US為原邊所接電源的電壓,ZL為副邊所接的負(fù)載阻抗。

圖12-10空芯變壓器的相量域電路模型

在圖12-10(a)所示的電路中,對(duì)負(fù)載ZL來說,c、d端左邊的電路為一個(gè)含源的一端口,可由戴維南定理求出該含源一端口的等效電路。分別將c、d端開路或者令?US=0,得電路圖分別如圖12-11(a)和圖12-11(b)所示。

圖12-11空心變壓器戴維南等效電路求解圖

圖12-12-空芯變壓器原邊與副邊的等效電路

12.4理想變壓器

12.4.1理想變壓器的理想條件如圖12-10中的空芯變壓器如果滿足以下3個(gè)條件,便稱為理想變壓器。

圖12-13理想變壓器的電路、符號(hào)與等效電路

12.4.2理想變壓器的電壓、電流關(guān)系

根據(jù)圖12-10所示的空芯變壓器模型,首先令空芯變壓器的損耗為零,即無損空芯變壓器的電路如圖12-13(a)所示。

在圖12-13(a)所示電路中,應(yīng)用KVL,有

根據(jù)式(12-25a)和全耦合條件可以得出

由式(12-26)和式(12-27)可以看出,理想變壓器的電壓與電流關(guān)系只與原邊和副邊的匝數(shù)(或匝數(shù)比)有關(guān),所以理想變壓器的電路模型可以表述成圖12-13(b)所示的形式,其等效電路如圖12-13(c)所示。

圖12-14例12-6圖

解和圖12-13(b)相比,該例中副邊電流的參考方向、同名端的標(biāo)法以及匝數(shù)比均發(fā)生了變化。根據(jù)式(12-28),得

求解以上方程組,并代入數(shù)據(jù),得

12.4.3理想變壓器的阻抗變換

理想變壓器的另一個(gè)作用是可以進(jìn)行阻抗變換。圖12-15(a)所示是在理想變壓器的副邊接有負(fù)載阻抗ZL的電路,根據(jù)理想變壓器的等效電路,可以將該圖畫成圖12-15(b)所示的形式,由此可以求出原邊a－b端口的輸入阻抗,即

圖12-15理想變壓器的阻抗變換

本章討論了具有耦合電感線圈的電路,當(dāng)線圈之間存在互感時(shí),線圈上的電壓是自感和互感電壓的疊加。由于互感的存在,使這一類電路的分析比無互感電路復(fù)雜了。分析的

方法可以歸納為兩種,其一是根據(jù)互感電壓的大小和方向直接列寫電路方程;其二是利用本章給出的去耦等效電路,首先對(duì)含有互感的電路進(jìn)行去耦等效,然后對(duì)電路進(jìn)行求解。變壓器是利用互感的原理制成的,對(duì)于空芯變壓器而言,負(fù)載可以通過互感反映到原邊,同時(shí)電源可以通過互感反映到副邊。理想變壓器是電路中的一個(gè)理想元件,利用它可以實(shí)現(xiàn)變壓、變流以及阻抗變換等。第13章電路的頻率響應(yīng)13.1串聯(lián)電路的頻域響應(yīng)與諧振13.2并聯(lián)諧振13.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)13.4波特圖13.5濾波器

13.1串聯(lián)電路的頻域響應(yīng)與諧振

13.1.1RLC串聯(lián)電路的頻率響應(yīng)圖13-1(a)所示為RLC串聯(lián)電路,設(shè)激勵(lì)(輸入)為u1,響應(yīng)(輸出)為u2,并設(shè)u1按正弦規(guī)律變化。用相量法求電路的響應(yīng),其相量模型如圖13-1(b)所示,由圖中可知響應(yīng)U2為

式中,Z(jω)為輸入阻抗,即

圖13-1RLC串聯(lián)電路的頻率響應(yīng)

13.1.2RLC串聯(lián)電路諧振的條件與特點(diǎn)

由第9章知道,對(duì)于含有電感和電容兩種儲(chǔ)能元件的一端口來說,輸入電壓與輸入電流一般是不同相的。但是,如果改變輸入電壓的頻率或者調(diào)節(jié)電路參數(shù),可使電壓和電流達(dá)到同相位,工程上將電路的這種工作狀況稱為諧振。換句話說,對(duì)于含有L、C元件的一端口而言,如果端口電壓和電流同相,則稱電路發(fā)生了諧振。由阻抗的定義知,如果輸入阻抗的虛部為零,則輸入端口的電壓和電流同相,即

對(duì)于圖13-1(b)所示的RLC串聯(lián)電路,如果發(fā)生諧振,則

由此得RLC串聯(lián)電路的諧振頻率為

可見,改變輸入電壓的頻率或者電路參數(shù)(L或C)均可使電路發(fā)生諧振。值得指出的是,電路的諧振與力學(xué)系統(tǒng)的共振概念相似。電路的諧振頻率是由電路自身結(jié)構(gòu)和電路的

參數(shù)決定的,稱為“固有頻率”,與外部激勵(lì)無關(guān)。它和力學(xué)系統(tǒng)一樣,只有當(dāng)外加激勵(lì)的頻率等于系統(tǒng)的“固有頻率”時(shí),系統(tǒng)才會(huì)發(fā)生諧振。

當(dāng)電路發(fā)生諧振時(shí),電路中會(huì)出現(xiàn)一些特有的性能(特點(diǎn))。例如,對(duì)RLC串聯(lián)電路而言,當(dāng)電路諧振時(shí),輸入阻抗為

此時(shí)輸入阻抗為最小值(且為純電阻),如圖13-1(c)所示?？傻幂斎腚娏骱洼敵鲭妷悍謩e為

圖13-2頻率變化時(shí)RLC串聯(lián)電路的相量圖

13.1.3諧振電路的通頻帶、品質(zhì)因數(shù)和選擇性

研究電路諧振的目的是為了工程應(yīng)用。事實(shí)上,工程上常用一些特殊的指標(biāo)參數(shù)衡量諧振電路的性能,其主要參數(shù)有諧振頻率ω0、帶寬BW(Bandwidth)、品質(zhì)因數(shù)Q和選擇性等。

由式(13-1)可以求出圖13-1(a)所示電路電流的有效值為

電路消耗的平均功率和諧振時(shí)消耗的最大平均功率分別為

可見,電路的平均功率隨頻率而變化。當(dāng)電路參數(shù)和輸入電壓不變時(shí),諧振時(shí)的功率不變,且為最大值。當(dāng)頻率偏離諧振頻率時(shí),功率將下降。工程上將功率下降到最大值一半時(shí)所

對(duì)應(yīng)的頻率之差定義為諧振電路的帶寬BW。

式中η=ω/ω0,稱為相對(duì)頻率或標(biāo)幺頻率,即當(dāng)電路諧振時(shí)η=1。由上式可得

該式稱為頻率響應(yīng)特性。引入相對(duì)頻率η的優(yōu)點(diǎn)是便于

比較不同電路的頻率響應(yīng)。在η坐標(biāo)下,頻率響應(yīng)曲線與品質(zhì)因數(shù)Q的大小有關(guān),Q值越大,曲線越瘦(越尖銳,帶寬越窄),Q值越小,曲線越胖(帶寬越寬)。頻率響應(yīng)曲線隨相對(duì)頻率η的變化曲線如圖13-3所示。由圖可見,只有當(dāng)η=1(諧振點(diǎn))時(shí),曲線達(dá)到最大值;當(dāng)輸入的幅值一定時(shí),在諧振點(diǎn)附近輸出才有較大的輸出幅度,電路的這種性能稱為選擇性。Q值越大,選擇性越好,即電路對(duì)非諧振點(diǎn)附近的頻率信號(hào)抑制能力越強(qiáng)。

圖13-3串聯(lián)諧振電路的頻率響應(yīng)曲線

13.2并聯(lián)諧振

3.2.1并聯(lián)電路諧振的條件圖13-4(a)所示是GLC并聯(lián)電路。根據(jù)諧振的定義,如果端口的電壓?U和電流?I同相位,則稱電路發(fā)生了諧振。對(duì)于并聯(lián)電路來說,如果端口輸入導(dǎo)納的虛部為零,則電壓與電流同相位,即于是得

13.2.2并聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)

當(dāng)GLC并聯(lián)電路諧振時(shí),電路的輸入導(dǎo)納|Y(jω)|=|Y(jω0)|=G,為最小,即

或者說輸入阻抗|Z(jω0)|=R最大。因此當(dāng)輸入電流一定時(shí),則端電壓達(dá)到最大,即

圖13-4并聯(lián)諧振電路

圖13-5(b)給出了圖13-4(b)所示電路諧振時(shí)的相量圖。圖中,I2=I1sinφ=Itanφ,φ為電感線圈的阻抗角。當(dāng)ω0L?R(即φ接近90°)時(shí),通過電感或電容支路的電流可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于輸入電流。

圖13-5并聯(lián)諧振電路的相量圖

13.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

13.3.1頻域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義在單一正弦量激勵(lì)下,電路網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義為響應(yīng)R(jω)(Response)與激勵(lì)E(jω)之比,即

13.3.2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性和相頻特性

因?yàn)榧?lì)是正弦量,對(duì)于線性電路而言響應(yīng)也是正弦量。由正弦穩(wěn)態(tài)的相量域分析方法知,激勵(lì)和響應(yīng)均為復(fù)數(shù)形式,根據(jù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義式(13-16)可知,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(jω)是以jω為復(fù)變量的分式,是一個(gè)復(fù)數(shù)函數(shù),它可以表述成模與輻角的形式,即

例13-1求圖13-6所示電路的轉(zhuǎn)移導(dǎo)納圖13-6例13-1圖

例13-2求圖13-7所示RC低通電路的電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)

并繪出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。圖13-7例13-2圖

解利用圖13-7所示電路所對(duì)應(yīng)的相量模型(請(qǐng)自己畫出),可以寫出

圖13-8

13.4波特圖13.4.1對(duì)數(shù)坐標(biāo)與分貝的概念圖解法是分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)的基本方法,用一般頻率坐標(biāo)表述頻率響應(yīng)特性曲線的空間分布過于松散。為了便于掌握電路響應(yīng)在整個(gè)頻域的變化特征,將頻率坐標(biāo)用對(duì)數(shù)表示,這樣可以放大低頻部分(放大鏡),壓縮高頻部分(望遠(yuǎn)鏡)。如圖13-9所示,(a)圖為一般頻率坐標(biāo),(b)圖為對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)。事實(shí)上,對(duì)數(shù)頻率標(biāo)尺不僅能夠相對(duì)集中和清晰地表現(xiàn)電路的頻率響應(yīng)特性,而且特別有利于頻率響應(yīng)特性曲線的繪制。這將極大地方便復(fù)雜電路系統(tǒng)的分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)。工程上,將以對(duì)數(shù)頻率為坐標(biāo)畫出的幅頻特性曲線和相頻特性曲線稱為波特圖。

圖13-9頻率坐標(biāo)和對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)的關(guān)系

13.4.2幅頻特性和相頻特性的波特圖

如上所述,用對(duì)數(shù)坐標(biāo)描述電路頻率響應(yīng)特性的波特圖,不僅具有放大鏡和望遠(yuǎn)鏡的作用,另外由于對(duì)數(shù)算子能夠?qū)⒊顺\(yùn)算轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡單的加減運(yùn)算,因此波特圖還便于實(shí)現(xiàn)頻率響應(yīng)解析式與其圖解曲線的相互轉(zhuǎn)化,這在系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是十分有用的。下面介紹任意網(wǎng)絡(luò)函數(shù)波特圖的作圖方法。

基本因子為K(稱為常數(shù)項(xiàng))的波特圖。由式(13-21)和式(13-22)知幅頻特性GdB=20lgK為一個(gè)定值,相頻特性φ(ω)=0°,即可得波特圖如圖13-10所示。圖13-10基本因子為K的波特圖

基本因子為jω的波特圖。幅頻特性GdB=20lgjω為一經(jīng)過(ω=1,GdB=0)點(diǎn),且每10倍頻程為20dB(20dB/decade)的直線,在整個(gè)頻域中相頻特性φ(ω)=90°,即波特圖如圖13-11所示。圖13-11基本因子為jω的波特圖

例13-3電路如圖13-15(a)所示,已知R=3Ω、L=1H和C=0.5F,試寫出網(wǎng)絡(luò)函數(shù)并畫出波特圖圖13-15例13-3圖

解首先畫出圖13-15(a)電路對(duì)應(yīng)的相量域模型如圖13-15(b)所示,根據(jù)分流公式得網(wǎng)絡(luò)函數(shù)并整理,即

將該函數(shù)整理成