7.2概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例專(zhuān)題七內(nèi)容索引0102考情分析?備考定向高頻考點(diǎn)?探究突破03預(yù)測(cè)演練?鞏固提升考情分析?備考定向試題統(tǒng)計(jì)題型命題規(guī)律復(fù)習(xí)策略(2018全國(guó)Ⅰ,理10)

(2018全國(guó)Ⅱ,理8)(2018全國(guó)Ⅱ,理18) (2018全國(guó)Ⅲ,理18)(2019全國(guó)Ⅰ,理6) (2019全國(guó)Ⅰ,理15)(2019全國(guó)Ⅱ,理5) (2019全國(guó)Ⅱ,理13)(2019全國(guó)Ⅱ,理18) (2019全國(guó)Ⅲ,理17)(2020全國(guó)Ⅰ,理5) (2020全國(guó)Ⅱ,理3)(2020全國(guó)Ⅱ,理14) (2020全國(guó)Ⅱ,理18)(2020全國(guó)Ⅲ,理3) (2020全國(guó)Ⅲ,理18)(2021全國(guó)乙,理17) (2021全國(guó)甲,理2)(2021全國(guó)甲,理17) (2022全國(guó)乙,理13)(2022全國(guó)乙,理19) (2022全國(guó)甲,理15)選擇題填空題解答題從近五年高考試題來(lái)看,高考對(duì)概率的考查重點(diǎn)是基本概念和基本公式,如互斥事件的概率、古典概型、幾何概型等;高考對(duì)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例的考查密度小,有增強(qiáng)的趨勢(shì),考查的重點(diǎn)有用樣本估計(jì)總體、回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)等.抓住考查的主要題目類(lèi)型進(jìn)行訓(xùn)練,特別是互斥事件的概率、古典概型、幾何概型、用樣本估計(jì)總體、回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)等.高頻考點(diǎn)?探究突破命題熱點(diǎn)一古典概型的概率【思考】

怎樣判斷一個(gè)概率模型是古典概型?如何計(jì)算古典概型的基本事件總數(shù)?例1(1)若4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為(

)DC(方法二)周六沒(méi)有同學(xué)參加公益活動(dòng)即4名同學(xué)均在周日參加公益活動(dòng),此時(shí)只有一種情況;同理周日沒(méi)有同學(xué)參加公益活動(dòng)也只有一種情況,所以周六、周日均有同學(xué)參加公益活動(dòng)的情況共有16-2=14(種).故所求概率為題后反思1.具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型簡(jiǎn)稱古典概型:(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.2.對(duì)古典概型的基本事件總數(shù),利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或者排列、組合的知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2022新高考Ⅰ,5)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為(

)(2)在某次表彰會(huì)上,共有36人受到表彰,其中男性多于女性,現(xiàn)從中隨機(jī)選出2人作為代表上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng),若選出的兩人性別相同的概率為,則受表彰人員中男性人數(shù)為(

)A.15 B.18C.21 D.15或21DC解析:

(1)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),共有

=21(種)不同的取法,若兩數(shù)不互質(zhì),則不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種,故所求概率P=故選D.(2)設(shè)受表彰人員中男性有x人,則女性有(36-x)人,其中x>0,且36-x>0,∵男性多于女性,∴x>36-x,即x>18.∴18<x<36.∴x=21或x=15(舍去),故受表彰人員中男性有21人.命題熱點(diǎn)二幾何概型的概率【思考】

幾何概型有什么特點(diǎn)?解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)是什么?例2(1)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具,是由七塊板組成的,而這七塊板可拼成許多圖形.例如,三角形、不規(guī)則多邊形、各種人物、動(dòng)物、建筑物等.如圖,若用七巧板拼成一只雄雞,在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概率為(

)(2)在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)k,使直線y=k(x+3)與圓x2+y2=1相交的概率為(

)答案:

(1)C

(2)D解析:

(1)設(shè)包含7塊板的正方形邊長(zhǎng)為4,其面積為4×4=16,則雄雞雞尾的面積為標(biāo)號(hào)為6的板塊的面積,為2×1=2,所以在雄雞平面圖形上隨機(jī)取一點(diǎn),則恰好取自雄雞雞尾(陰影部分)的概題后反思幾何概型考查的主要類(lèi)型有線型幾何概型、面型幾何概型和體型幾何概型.(1)線型幾何概型:適用于基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制的幾何概型計(jì)算.(2)面型幾何概型:適用于基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制的情況,一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域.即可借助平面區(qū)域解決.(3)體型幾何概型:若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述,則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件,利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中,稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖),通過(guò)計(jì)算得知正方體的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為3∶2.若在該“牟合方蓋”內(nèi)任取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自正方體內(nèi)切球內(nèi)的概率為(

)(2)甲、乙兩人相約10天內(nèi)在某地會(huì)面,約定先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過(guò)三天后方可離開(kāi).若他們?cè)谄谙迌?nèi)到達(dá)目的地是等可能的,則此二人會(huì)面的概率是(

)A.0.5 B.0.51

C.0.75

D.0.4(2)設(shè)甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)間點(diǎn)分別為x,y,根據(jù)題意可得0≤x≤10,0≤y≤10,如圖,可得可行域?yàn)檫呴L(zhǎng)為10的正方形,若要會(huì)面,則|x-y|≤3,其對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分,根據(jù)幾何概型,此二人會(huì)命題熱點(diǎn)三頻率分布直方圖的應(yīng)用【思考】

觀察頻率分布直方圖能得到哪些信息?例3經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi),每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元,未售出的產(chǎn)品,每1t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經(jīng)銷(xiāo)商為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量,T(單位:元)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn).(1)將T表示為X的函數(shù);(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率),求T的數(shù)學(xué)期望.解:

(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí),T=500X-300(130-X)=800X-39

000,當(dāng)X∈[130,150]時(shí),T=500×130=65

000.(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57

000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由題中直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7,所以下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57

000元的概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為

T45

00053

00061

00065

000P0.10.20.30.4所以E(T)=45

000×0.1+53

000×0.2+61

000×0.3+65

000×0.4=59

400.題后反思解決頻率分布直方圖的問(wèn)題,關(guān)鍵在于找出圖中數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系.在這些數(shù)據(jù)中,直接的有組距、

,間接的有頻率、小長(zhǎng)方形的面積,合理使用這些數(shù)據(jù),再結(jié)合兩個(gè)等量關(guān)系:小長(zhǎng)方形面積=組距×=頻率,小長(zhǎng)方形面積之和等于1,即頻率之和等于1,就可以解決頻率分布直方圖的有關(guān)問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3某生物研究小組準(zhǔn)備探究某種蜻蜓的翼長(zhǎng)分布規(guī)律,隨機(jī)捕捉20只該種蜻蜓,測(cè)量它們的翼長(zhǎng)(翼長(zhǎng)為整數(shù),單位:mm)并繪制成如下的莖葉圖和一部分頻率分布直方圖,其中莖葉圖中有一處數(shù)字看不清(用a表示),但已知莖葉圖中每一行的數(shù)據(jù)都按照從小到大的順序排列且無(wú)相同數(shù)據(jù),頻率分布直方圖每個(gè)分組含左端點(diǎn)不含右端點(diǎn).(1)求a的值;(2)根據(jù)莖葉圖將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整;(3)分別根據(jù)莖葉圖和頻率分布直方圖計(jì)算蜻蜓翼長(zhǎng)的中位數(shù),并分析哪個(gè)中位數(shù)可以更準(zhǔn)確地反映蜻蜓翼長(zhǎng)的總體情況.解:

(1)由題意可得,區(qū)間[40,45)上對(duì)應(yīng)的個(gè)體個(gè)數(shù)為0.03×5×20=3,對(duì)應(yīng)的三個(gè)數(shù)據(jù)分別為41,42,43,因此a必須要大于4且小于6,從而a=5.(2)區(qū)間[35,40),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分別為所以頻率分布直方圖如下:(3)根據(jù)莖葉圖可得,蜻蜓翼長(zhǎng)的中位數(shù)為

=49.5(mm).根據(jù)頻率分布直方圖可得,蜻蜓翼長(zhǎng)位于區(qū)間[35,50)上的頻率為(0.03+0.03+0.04)×5=0.5,因此中位數(shù)為50

mm.利用莖葉圖得到的中位數(shù)更加準(zhǔn)確,因?yàn)轭l率分布直方圖損失了樣本的部分信息,數(shù)據(jù)的分組對(duì)數(shù)字特征的估計(jì)結(jié)果也有影響;莖葉圖是原始數(shù)據(jù),記錄了樣本的全部信息,所以能更準(zhǔn)確地反映蜻蜓翼長(zhǎng)的總體情況.命題熱點(diǎn)四回歸方程的求法及回歸分析【思考】

兩個(gè)變量具備什么關(guān)系才能用線性回歸方程來(lái)預(yù)測(cè)?如何判斷兩個(gè)變量具有這種關(guān)系?例4某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響.對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi(i=1,2,…,8)和年銷(xiāo)售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程.(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:①年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?(3)①由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值

題后反思當(dāng)兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí),才可通過(guò)線性回歸方程來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè).對(duì)兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系的判斷有兩種方法:一是根據(jù)散點(diǎn)圖,具有很強(qiáng)的直觀性,直接得出兩個(gè)變量是正相關(guān)或負(fù)相關(guān);二是計(jì)算相關(guān)系數(shù)法,這種方法能比較準(zhǔn)確地反映相關(guān)程度,相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,相關(guān)性就越強(qiáng).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4垃圾是人類(lèi)日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物,因?yàn)榕懦隽看?成分復(fù)雜多樣,且具有污染性,所以需要無(wú)害化、減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量,采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)縣城進(jìn)行了分析,得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分別表示第i個(gè)縣城的人口(單位:萬(wàn)人)(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合;(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,用所求回歸方程預(yù)測(cè)該市10萬(wàn)人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為多少噸?當(dāng)x=10時(shí),

=8.75×10+165=252.5,所以該市10萬(wàn)人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為252.5噸.命題熱點(diǎn)五獨(dú)立性檢驗(yàn)【思考】

獨(dú)立性檢驗(yàn)有什么用途?例5甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng),為了解這兩家公司的長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行情況,隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次,得到下面列聯(lián)表:公司準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表,分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率;(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)?P(K2≥k0)0.1000.0500.010k02.7063.8416.635解:

(1)一共調(diào)查了A公司260個(gè)班次的長(zhǎng)途客車(chē),其中有240個(gè)班次的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn),故估計(jì)A公司的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為一共調(diào)查了B公司240個(gè)班次的長(zhǎng)途客車(chē),其中有210個(gè)班次的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn),故估計(jì)B公司的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率為(2)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表如下:公司準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān).題后反思利用獨(dú)立性檢驗(yàn),能夠幫助我們對(duì)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題作出合理的推斷和預(yù)測(cè).獨(dú)立性檢驗(yàn)就是考查兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系,并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度,具體做法是根據(jù)公式K2=計(jì)算隨機(jī)變量的觀測(cè)值k,k值越大,說(shuō)明“兩個(gè)變量有關(guān)系”的可能性越大.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5某外賣(mài)平臺(tái)為提高外賣(mài)配送效率,針對(duì)外賣(mài)配送業(yè)務(wù)提出了兩種新的配送方案.為比較兩種配送方案的效率,共選取50名外賣(mài)騎手,并將他們隨機(jī)分成兩組,每組25人,第一組騎手用甲配送方案,第二組騎手用乙配送方案.根據(jù)騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成配送訂單的數(shù)量(單位:單)繪制了如下莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖,求各組內(nèi)25名騎手完成訂單數(shù)的中位數(shù),已知用甲配送方案的25名騎手完成訂單數(shù)的平均數(shù)為52,結(jié)合中位數(shù)與平均數(shù)判斷哪種配送方案的效率更高,并說(shuō)明理由;(2)設(shè)所有50名騎手在相同時(shí)間內(nèi)完成訂單數(shù)的平均數(shù)為m,將完成訂單數(shù)超過(guò)m記為“優(yōu)秀”,不超過(guò)m記為“一般”,然后將騎手的對(duì)應(yīng)人數(shù)填入下面列聯(lián)表;方案優(yōu)秀一般甲配送方案

乙配送方案

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.P(K2≥k0)0.0500.0100.005k03.8416.6357.879解:

(1)用甲配送方案的騎手完成外賣(mài)訂單數(shù)的中位數(shù)為53,用乙配送方案的騎手完成外賣(mài)訂單數(shù)的中位數(shù)為49.由題意可知用乙配送方案的騎手完成外賣(mài)訂單數(shù)的平均數(shù)為49,49<52,故甲配送方案的效率更高.列聯(lián)表如下:方案優(yōu)秀一般甲配送方案178乙配送方案916所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為兩種配送方案的效率有差異.預(yù)測(cè)演練?鞏固提升1.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是(

)A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間C解析:

該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02+0.04)×1=6%,A正確;該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.04+0.02+0.02+0.02)×1=10%,B正確;該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68(萬(wàn)元),C不正確;該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比率約為(0.1+0.14+0.2+0.2)×1=64%,D正確.2.(2022重慶三模)北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”一亮相,好評(píng)不斷.為了研究“冰墩墩”與“雪容融”在不同性別的人群中受歡迎程度是否存在差異,某機(jī)構(gòu)從關(guān)注冬奧會(huì)公眾號(hào)的用戶中隨機(jī)調(diào)查了100人,得到如下2×2列聯(lián)表:喜歡的吉祥物性別合計(jì)男女更喜歡“冰墩墩”251540更喜歡“雪容融”253560合計(jì)5050100附表:P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828則下列說(shuō)法正確的是(

)A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,可以認(rèn)為“對(duì)兩個(gè)吉祥物的喜好傾向與性別無(wú)關(guān)”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,可以認(rèn)為“對(duì)兩個(gè)吉祥物的喜好傾向與性別有關(guān)