第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)專題二內(nèi)容索引0102必備知識(shí)?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識(shí)?精要梳理1.“1”的變換1=sin2α+cos2α=cos2α(1+tan2α).2.三角函數(shù)圖象的變換由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)圖象的步驟誤區(qū)警示無論哪種變換,每一個(gè)變換總是針對(duì)自變量x而言的,即圖象變換要看“自變量x”發(fā)生多大變化,而不是看角“ωx+φ”的變化.特別提醒函數(shù)y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半.4.三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性

(3)對(duì)于函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),當(dāng)φ=kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù),沒有對(duì)稱軸,對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)由ωx+φ=

(k∈Z)確定.溫馨提示正弦曲線、余弦曲線的對(duì)稱軸恰好經(jīng)過相應(yīng)曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)分別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的零點(diǎn).函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的對(duì)稱中心不一定是其零點(diǎn)

關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點(diǎn)一三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式[例1-1](2023·廣東河源模擬)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊過點(diǎn)P(sin138°,cos138°),則tan(α+18°)=(

)D解析

因?yàn)閏os

138°<0,sin

138°>0,所以點(diǎn)P在第四象限,即α為第四象限角,由三角函數(shù)的定義,B規(guī)律方法1.三角函數(shù)中常見的三種變換方法(1)弦切互化法:主要利用公式

化成正弦、余弦.(2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin

θ±cos

θ)2=1±2sin

θcos

θ進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.(3)巧用“1”的變換:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=2.應(yīng)用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系開方運(yùn)算時(shí),一定要注意三角函數(shù)的符號(hào);利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡時(shí)要遵循一定的原則,如切化弦、化異為同、化高為底、化繁為簡等.對(duì)點(diǎn)練1B解析

∵sin2α=1-cos2α,且sin2α=cos

α-1,∴1-cos2α=cos

α-1,即cos2α+cos

α-2=0,∴(cos

α-1)(cos

α+2)=0,∴cos

α=1或cos

α=-2(舍去),突破點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及其應(yīng)用命題角度1已知圖象求解析式[例2-1](多選題)已知函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則sin(ωx+φ)=(

)BC方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象求其解析式時(shí),A通過看圖比較容易得出,困難的是求ω和φ,常用如下兩種方法(1)由ω=即可求出ω;確定φ時(shí),若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0,則令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入圖象中已知點(diǎn)的坐標(biāo),將一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式,再結(jié)合圖象解出ω和φ,若對(duì)A,ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏姆秶幸?則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.對(duì)點(diǎn)練2命題角度2圖象變換BB規(guī)律方法三角函數(shù)圖象的平移變換問題類型多、情況復(fù)雜、技巧性強(qiáng),在解題時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,破解此類題的關(guān)鍵如下(1)定函數(shù).一定要看準(zhǔn)是將哪個(gè)函數(shù)的圖象變換得到哪一個(gè)函數(shù)的圖象.(2)變同名.變換前后函數(shù)的名稱要一樣.(3)選方法,即選擇變換方法.要注意:對(duì)于函數(shù)y=sin

ωx(ω>0)的圖象,向左平移|φ|個(gè)單位長度得到的是函數(shù)y=sin

ω(x+|φ|)的圖象,而不是函數(shù)y=sin(ωx+|φ|)的圖象.(1)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象向左平移

個(gè)單位長度后與f(x)的圖象重合,則ω的最小值為(

)A.8 B.4

C.2

D.1B對(duì)點(diǎn)練3D突破點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用命題角度1正弦型函數(shù)的性質(zhì)ACD規(guī)律總結(jié)研究正弦型函數(shù)性質(zhì)的基本方法一般地,研究正弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),首先應(yīng)將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡,轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,然后通過整體代換,結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.(1)求單調(diào)區(qū)間時(shí),將ωx+φ作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間,求出x的范圍即為原函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間.(2)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí),應(yīng)根據(jù)x所在的區(qū)間求出ωx+φ的取值范圍,再結(jié)合正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象確定函數(shù)的最值.(3)判斷對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí),可根據(jù)對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn)這一性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)判斷.對(duì)點(diǎn)練4A命題角度2非正弦型函數(shù)的性質(zhì)AD名師點(diǎn)析回歸定義研究三角函數(shù)的性質(zhì)在研究三角函數(shù)性質(zhì)時(shí),如果函數(shù)不能化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)等形式,可借助復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則或?qū)?shù)研究其單調(diào)性或最值,可用周期的定義、軸對(duì)稱或中心對(duì)稱的一般條件來判斷函數(shù)的周期、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心.(1)若非零實(shí)數(shù)t使得f(x+t)=f(x)對(duì)x∈R恒成立,則可推出t是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x),f(2a-x)=f(x)等,則可判斷函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a+x)=-f(a-x)或f(2a+x)=-f(-x),f(2a-x)=-f(x)等,則可判斷函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.對(duì)點(diǎn)練5關(guān)于函數(shù)f(x)=|cosx|