實訓(xùn)課堂內(nèi)容1、擬合問題引例及基本理論2、用數(shù)學(xué)軟件求解擬合問題3、應(yīng)用實例4、自主學(xué)習(xí)內(nèi)容據(jù)人口統(tǒng)計年鑒，知我國從1997年至2006年人口數(shù)據(jù)資料如下：(人口數(shù)單位為：百萬)（1）在直角坐標系上作出人口數(shù)的圖象。（2）建立人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系，并估算2015年的人口數(shù)。年份

1997 1998 19992000 2001

人口數(shù)

1236.261247.611257.861267.431276.27

年份20022003200420052006人口數(shù)

1284.531292.271299.881307.561314.48

擬合問題引例一、曲線擬合線性模型如何確定a,b

曲線擬合問題的提出：已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上n個點（xi,yi)i=1,…n，尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x)，使f(x)在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)

i

i為點（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離擬合的基本原理確定f(x)使得

達到最小

最小二乘法用什么樣的曲線擬合已知數(shù)據(jù)常用的曲線函數(shù)系類型：１．通過理論分析建立數(shù)學(xué)模型來確定f(x)；２．通過作圖直觀判斷確定f(x).指數(shù)曲線：

雙曲線（一支):

多項式：

直線：

++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx擬合函數(shù)組中系數(shù)的確定MATLAB(4.m)clearclcx=1949:5:1994y=[541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.751106.761176.74]a11=sum(x.^2);a12=sum(x);a21=a12;a22=10;d1=sum(x.*y);d2=sum(y);A=[a11,a12;a21,a22]D=[d1;d2]a1a2=inv(A)*D1.作多項式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.多項式在x處的值y可用以下命令計算：

y=polyval（a，x）輸出擬合多項式系數(shù)a=[a1,…am,am+1](數(shù)組)輸入同長度的數(shù)組X，Y擬合多項式次數(shù)線性最小二乘擬合二、用MATLAB解擬合問題即要求出二次多項式:中的使得:對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合xy0-0.4470.11.9780.23.280.36.160.47.080.57.340.67.660.79.560.89.480.99.3111.21）輸入以下命令：x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線的圖形2）計算結(jié)果：Ａ解：用多項式擬合的命令MATLAB(zxec2)補充：對該觀測數(shù)據(jù)點進一步擬合分別用3次和6次多項式曲線擬合這些數(shù)據(jù)點.x=0:0.1:1y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)axis([01.3-216]);%x的坐標范圍是0到，y的范圍是-2到16

p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)編寫Matlab程序如下:xy0-0.4470.11.9780.23.280.36.160.47.080.57.340.67.660.79.560.89.480.99.3111.2s=polyval(p3,t)s1=polyval(p6,t)holdonplot(t,s,'r-','linewidth',2)plot(t,s1,'b--','linewidth',2)gridx=0:0.1:1y=[-0.447,1.978,3.28,6.16,7.08,7.34,7.66,9.56,9.48,9.3,11.2]plot(x,y,'k.','markersize',25)axis([01.3-216])p3=polyfit(x,y,3)p6=polyfit(x,y,6)MATLAB(dianzu1)例1電阻問題溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032例.由數(shù)據(jù)擬合R=a1t+a2解法：用命令polyfit(x,y,m)得到a1=3.3940,a2三、應(yīng)用問題實例例2用切削機床進行金屬品加工時,為了適當?shù)卣{(diào)整機床,需要測定刀具的磨損速度.在一定的時間測量刀具的厚度,得數(shù)據(jù)如表所示:切削時間t/h030.0129.1228.4328.1428.0527.7627.5727.2827.0刀具厚度y/cm切削時間t/h926.81026.51126.31226.11325.71425.31524.81624.0刀具厚度y/cm解:描出散點圖,在命令窗口輸入:t=[0:1:16]y=[30.029.128.428.128.027.727.527.227.026.826.526.326.125.725.324.824.0]plot(t,y,'*')解:描出散點圖,在命令窗口輸入:t=[0:1:16]y=[30.029.128.428.128.027.727.527.227.026.826.526.326.125.725.324.824.0]plot(t,y,'*')a=holdonplot(t,y1),holdoffa=polyfit(t,y,1)擬合曲線為:yt一室模型：將整個機體看作一個房室，稱中心室，室內(nèi)血藥濃度是均勻的。快速靜脈注射后，濃度立即上升；然后迅速下降。當濃度太低時，達不到預(yù)期的治療效果；當濃度太高，又可能導(dǎo)致藥物中毒或副作用太強。臨床上，每種藥物有一個最小有效濃度c1和一個最大有效濃度c2。設(shè)計給藥方案時，要使血藥濃度保持在c1~c2之間。一種新藥用于臨床之前，必須設(shè)計給藥方案。藥物進入機體后血液輸送到全身，在這個過程中不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體外，藥物在血液中的濃度，即單位體積血液中的藥物含量，稱為血藥濃度。例3

給藥方案問題本題設(shè)c1=10，c2=25(ug/ml).

在實驗方面,對某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥物300mg后,在一定時刻t(小時)采集血藥,測得血藥濃度c(ug/ml)如下表:t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01要設(shè)計給藥方案,必須知道給藥后血藥濃度隨時間變化的規(guī)律。從實驗和理論兩方面著手：給藥方案。

近似直線關(guān)系,即c(t)有按負指數(shù)規(guī)律減少的趨勢.給藥方案1.在快速靜脈注射的給藥方式下，研究血藥濃度（單位體積血液中的藥物含量）的變化規(guī)律。問題2.給定藥物的最小有效濃度和最大治療濃度，設(shè)計給藥方案：每次注射劑量多大；間隔時間多長。tc2cc10

分析理論：用一室模型研究血藥濃度變化規(guī)律實驗：對血藥濃度數(shù)據(jù)作擬合，符合負指數(shù)變化規(guī)律3.血液容積v,t=0注射劑量d,血藥濃度立即為d/v.2.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù)k(>0).模型假設(shè)1.機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻，即為一室模型.模型建立在此，d=300mg，t及c（t）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v用線性最小二乘法擬合c(t)MATLAB(lihe1)計算結(jié)果：d=300;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2))程序：給藥方案設(shè)計cc2c10

t設(shè)每次注射劑量D,間隔時間

血藥濃度c(t)應(yīng)c1

c(t)

c2初次劑量D0應(yīng)加大給藥方案記為：2、1、計算結(jié)果：c1=10,c2=25故可制定給藥方案：即:首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的間隔時間為4小時。1.已知觀測數(shù)據(jù)點如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.25113.17求用三次多項式進行擬合的曲線方程.三、實驗作業(yè)在實際應(yīng)用中常見的擬合曲線有:直線多項式一般n=2,3,不宜過高.雙曲線(一支)指數(shù)曲線四、自主學(xué)習(xí)內(nèi)容非線性曲線擬合（lsqcurvefit）功能:x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)[x,resnorm]=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)根據(jù)給定的數(shù)據(jù)xdata,ydata(對應(yīng)點的橫,縱坐標),按函數(shù)文件fun給定的函數(shù),以x0為初值作最小二乘擬合,返回函數(shù)fun中的系數(shù)向量x和殘差的平方和resnorm.例4已知觀測數(shù)據(jù)點如表所示xy03.10.13.270.23.810.34.50.45.180.560.67.050.78.560.89.690.911.25113.17求三個參數(shù)a,b,c的值,使得曲線f(x)=aex+bx2+cx3與已知數(shù)據(jù)點在最小二乘意義上充分接近.首先編寫存儲擬合函數(shù)的函數(shù)文件.functionf=nihehanshu(x,xdata)f=x(1)*exp(xdata)+x(2)*xdata.^2+x(3)*xdata.^3保存為文件例4已知觀測數(shù)據(jù)點如表所示xy061求三個參數(shù)a,b,c的值,使得曲線f(x)=aex+bx2+cx3與已知數(shù)據(jù)點在最小二乘意義上充分接近.編寫下面的程序調(diào)用擬合函數(shù).xdata=0:0.1:1;ydata=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17];x0=[0,0,0];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu,x0,xdata,ydata)編寫下面的程序調(diào)用擬合函數(shù).xdata=0:0.1:1;ydata=[3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17];x0=[0,0,0];[x,resnorm]=lsqcurvefit(@nihehanshu,x0,xdata,ydata)程序運行后顯示x=resnorm=例4已知觀測數(shù)據(jù)點如表所示xy061求三個參數(shù)a,b,c的值,使得曲線f(x)=aex+bx2+cx3與已知數(shù)據(jù)點在最小二乘意義上充分接近.說明:最小二乘意義上的最佳擬合函數(shù)為f(x)=3exx2+0.94x3.此時的殘差是:0.0912.f(x)=3exx2+0.94x3.擬合函數(shù)為:練習(xí):1.已知觀測