第二章

隨機(jī)變量及其分布內(nèi)容提要：一、

隨機(jī)變量的定義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為，若對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)上的實(shí)值函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量（簡(jiǎn)記為）。二、

分布函數(shù)的概念和性質(zhì)1．分布函數(shù)的定義設(shè)是隨機(jī)變量，稱(chēng)定義在上的實(shí)值函數(shù)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。2．分布函數(shù)的性質(zhì)(1)

，（2）單調(diào)不減性：，（3）（4）右連續(xù)性：。注：上述4個(gè)性質(zhì)是函數(shù)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件。在不同的教科書(shū)上，分布函數(shù)的定義可能有所不同，例如，其性質(zhì)也會(huì)有所不同。

（5）

注：該性質(zhì)是分布函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的描述。三、

離散型隨機(jī)變量

1．離散型隨機(jī)變量的定義

若隨機(jī)變量的全部可能的取值至多有可列個(gè)，則稱(chēng)隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量。

2．離散型隨機(jī)變量的分布律（1）定義：離散型隨機(jī)變量的全部可能的取值以及取每個(gè)值時(shí)的概率值，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量的分布律，表示為

或用表格表示：

x1

x2

…

xn

…pk

P1

p2

…

pn

…或記為

~

（2）性質(zhì)：，

注：該性質(zhì)是是某一離散型隨機(jī)變量的分布律的充要條件。

其中。注：常用分布律描述離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

3．離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

=，

它是右連續(xù)的階梯狀函數(shù)。4．常見(jiàn)的離散型分布

（1）

兩點(diǎn)分布（0—1分布）：其分布律為

即

0

1

p

1–p

p

（2）二項(xiàng)分布

（?。┒?xiàng)分布的來(lái)源—重伯努利試驗(yàn)：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，只有兩個(gè)可能的結(jié)果及，，將獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行次，則稱(chēng)這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為重伯努利試驗(yàn)。

（ⅱ）二項(xiàng)分布的定義

設(shè)表示在重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，則隨機(jī)變量的分布律為

，

，稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作。注：即為兩點(diǎn)分布。10、已知為離散型隨機(jī)變量，的取值為，則的取值為11、一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號(hào)為1，2，3，4，5現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3只球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)可能取值為三、解答題：12、某城市出租汽車(chē)的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km，則按10元的標(biāo)準(zhǔn)收租車(chē)費(fèi)若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計(jì)費(fèi)(超出不足1km的部分按lkm計(jì))．從這個(gè)城市的民航機(jī)場(chǎng)到某賓館的路程為15km．某司機(jī)常駕車(chē)在機(jī)場(chǎng)與此賓館之間接送旅客，由于行車(chē)路線的不同以及途中停車(chē)時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車(chē)路程(這個(gè)城市規(guī)定，每停車(chē)5分鐘按lkm路程計(jì)費(fèi))，這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車(chē)路程ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，他收旅客的租車(chē)費(fèi)可也是一個(gè)隨機(jī)變量(1)求租車(chē)費(fèi)η關(guān)于行車(chē)路程ξ的關(guān)系式；(2)已知某旅客實(shí)付租車(chē)費(fèi)38元，而出租汽車(chē)實(shí)際行駛了15km，問(wèn)出租車(chē)在途中因故停車(chē)?yán)塾?jì)最多幾分鐘?13、一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍，黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半．現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫(xiě)出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)的分布列．分析：欲寫(xiě)出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值時(shí)的概率．14、一個(gè)類(lèi)似于細(xì)胞分裂的物體，一次分裂為二，兩次分裂為四，如此繼續(xù)分裂有限多次，而隨機(jī)終止．設(shè)分裂次終止的概率是(=1,2,3,…)．記為原物體在分裂終止后所生成的子塊數(shù)目，求.高中數(shù)學(xué)系列2—3練習(xí)題（2.1）參考答案一、選擇題：1、D2、D3、C4、B5、A6、C7、D8、C二、填空題：9、③④10、11、三、解答題：12、解：(1)依題意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租車(chē)在途中因故停車(chē)?yán)塾?jì)最多15分鐘．13、解：設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為，由題意知綠球個(gè)數(shù)為，紅球個(gè)數(shù)為，盒中的總數(shù)