第六章連續(xù)損傷力學

第一節(jié)彈脆性損傷理論第二節(jié)粘脆性(蠕變)損傷理論第三節(jié)彈塑性損傷理論第四節(jié)疲勞損傷理論第六章連續(xù)損傷力學第一節(jié)彈脆性損傷理論

1）彈性各向同性損傷模型對于等溫和線彈性情況下的彈性各向同性損傷材料，由于塑性變形很小、溫度梯度為零，因此耗散不等式變?yōu)椋浩渲袚p傷擴展力R的含義是表征材料提供產(chǎn)生新的彈脆性損傷的能力，數(shù)量上等于損傷擴展所耗散的能量密度。因此，R也可稱為損傷能量釋放率密度。

彈性損傷下，Helmholtz自由能密度函數(shù)可表示為（1）

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式中，ω是各向同性標量損傷變量；ε是二階應變張量；E是四階彈性系數(shù)張量。由應力等效性假設有：式中σ是二階應變張量。由正則關系得：當外載不變時，由（1）和（2）式得：

則有：

（2）

（3）

（4）

（5）

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在單向應力下，損傷擴展力為：式中是單向拉伸有效應力。在多向應力下，損傷擴展力為：其中三向因子Tr

對單軸拉伸情況，，則有Tr=1。第六章連續(xù)損傷力學

2）準單側效應在一些實際固體材料中，損傷被看作是各向同性的，為簡單起見，常用一個標量（損傷度ω或連續(xù)性ψ）表示。但在受拉和受壓時，其力學響應有很大差別。如水泥和某些巖石，其拉壓的準靜態(tài)斷裂不同；不少材料的疲勞損傷與平均應力水平有關，及在較大損傷時材料拉和壓引起的剛度退化顯著不同。這些現(xiàn)象產(chǎn)生的一個重要原因是材料中微缺陷因壓縮而閉合的效應。

常引進閉合系數(shù)h表征上述微缺陷的閉合效應：

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（a）h=1，表示雙側效應，即拉壓的損傷效應相同，如不發(fā)生閉合的球形微空洞。（b）h=0，表示純單側效應，即壓縮不引起材料損傷增加；（c）0<h<1，在同樣水平的拉或壓下其損傷效應不同，稱為準單側效應。為表示準單側效應，在有效應力與名義應力σ的關系中引進閉合系數(shù)。在一維情況下寫為：當σ≥0時當σ<0時第六章連續(xù)損傷力學

3）損傷與破壞準則若設損傷度ω或連續(xù)性ψ僅是狀態(tài)的函數(shù)而與過程無關，即：或?qū)嶒炞C明，某些材料在較小應變下不發(fā)生損傷，只有當應變超過它的閾值時才發(fā)生損傷，隨后，損傷隨應變不斷加劇并不斷擴大。當單元損傷達到它的臨界狀態(tài)時，單元發(fā)生破壞且不能承受外載。在一維情況下，定義損傷準則為：當ε≤εth時當ε

＞εth時第六章連續(xù)損傷力學說明初始無損材料在應變達到其損傷閾值εth前，材料保持無損狀態(tài)；在應變超過εth后，損傷是狀態(tài)的函數(shù)，其具體形式由實驗分析結果加以構造。定義破壞準則為：當ε=εf時，ψ=ψC或ω=ωC。說明當單元所受應變ε達到斷裂應變εf時，連續(xù)性ψ達到其臨界值ψC，或損傷度ω達到其臨界值ωC，單元破壞（圖1）。

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應當指出，損傷閾值εth

，斷裂應變值εf以及相應的損傷度臨界值ωC（或連續(xù)性臨界值ψC）都是材料參數(shù)，可以由材料試驗決定。實際上，也可用損傷擴展力R達到臨界值Rc，表征單元破壞，即有損傷擴展力破壞準則：

R=Rc式中，臨界值Rc可稱為破壞韌度，反映材料抗損傷破壞的能力或損傷耗散的能量密度；它是材料參數(shù)，也由實驗確定。損傷準則和破壞準則，也可推廣到三維的情況。

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4）損傷演化方程（1）Kachanov方程Kachnov于1958年在研究最簡單的單軸拉伸脆性損傷破壞時，提出以下?lián)p傷演變方程：式中，材料參數(shù)A>0和n≥1。上式右邊括號中表示的實際上是有效應力?？梢?，損傷擴展是受有效應力控制的，負號表示材料的連續(xù)性標量是逐步減少的，反映損傷度的逐步加大。σth是由應力表示的損傷值，即說明：當σ≤σth時，ψ=1且dψ=0；當當σ

>σth時，ψ＜1且dψ＜

0。（6）

第六章連續(xù)損傷力學Kachanov方程（6）等價于下列用損傷度表示脆性損傷演變過程：（a）恒載荷情況對于均勻拉伸桿受恒載荷，由于脆性材料的變形很小，因則恒載荷意味著恒應力，設σ

=σ0。積分式（6），利用初始條件：t=0時，ψ=1，有：得到ψ-t關系：或（7）

（8）

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利用斷裂條件：t=tf時，ψ=0時，可由上式求得恒載荷下拉伸桿的脆斷時間：可見，對于給定材料，脆斷時間tf取決于恒應力σ0的大小。將式(9)進行整理，代入式(8)，得到用表示的關系：采用破壞準則ψ=ψC，損傷失穩(wěn)發(fā)展而造成材料破壞(可理解為宏觀裂紋的形成)，其局部破壞時間為：（9）

或（10）

（11）

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（b）連續(xù)變化載荷情況設均勻拉伸桿受連續(xù)載荷，應力是時間的函數(shù)，即σ

=σ（t）。Kachanov方程寫為：利用式（9）的結果，設想脆斷時間是應力的連續(xù)函數(shù)，即：

代入上述演化方程中得：積分并利用初始條件，得：（12）

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于是得到ψ-t關系：利用破壞條件：t=t*f時，ψ=0時得到：可見，損傷演變方程與線性疊加原理是等價的；連續(xù)變化拉伸載荷下均勻桿的脆性破壞符合線性疊加原理。（c）多級恒載荷情況設均勻桿受多級恒拉伸應力，每級載荷的作用時間，由式（10），有：（12）

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式中，是相應于恒應力的脆斷時間，由式（9）決定。對上式求和，并考慮初始條件（t=0時，ψ=1）和破壞條件（t=t*f時，ψs=0），則有：多級載荷下的斷裂時間為：（2）非均勻損傷場如果彈性固體受應力場是均勻的，如等截面的受拉桿，其損傷從理論上說也是均勻的。加載過程中，損傷場將均勻增強，直到發(fā)生瞬時破壞。

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然而，一般受載彈性固體的應力場是非均勻的，因而造成的損傷是局部的或非均勻的；損傷場的變化也是非均勻的，固體的損傷和斷裂是一全過程。損傷-斷裂全過程通常可分為兩階段：第1階段是損傷的起始、損傷場的形成與發(fā)展，直到斷裂起始；第2階段是斷裂發(fā)展過程直到固體（結構）完全破壞。對固體的破壞而言，前一階段稱為斷裂潛伏階段，后一階段稱為斷裂發(fā)展階段。下面主要討論第1階段的損傷發(fā)生和損傷場的發(fā)展，直到斷裂起始。

設應力是位置r和時間t的函數(shù)，即：第六章連續(xù)損傷力學

產(chǎn)生的各向同性損傷也是r和t的函數(shù)，即：因此，損傷場對時間的變化率為：對于均勻損傷場，ψ與r無關，即：研究斷裂潛伏階段，應力場變化較小而加以忽略，即設σ

=σ（r），則依據(jù)Kachanov方程，并利用初始條件：t=0時，ψ=1，可積分得到：且因σ與無關，有：或第六章連續(xù)損傷力學

或

可見，連續(xù)性ψ場隨時間而減弱，而損傷度ω場則隨時間增強。設在處，，則此處連續(xù)性取最小值而損傷度取最大值。在處，斷裂起始條件為t=tf，ψ（ri）=0或ω（ri）=1，或。將此條件代入上式，得脆性斷裂起始時間：

應當指出，在斷裂潛伏階段（），或。

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例1等矩形截面梁受純彎曲（小變形情況）設斷裂潛伏階段，應力場不隨時間變化，即：式中，M是彎矩；m是材料參數(shù)；I0是截面慣性矩。設拉伸區(qū)（y>0）在受載后發(fā)生損傷；而壓縮區(qū)（y>0）不發(fā)生損傷。損傷演變方程為：

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得到：

注意到，在y=h0處，σ

=σmax，有ψ

=ψmin。當ψmin（h0）=0時，在y=h0處發(fā)生斷裂。因此，由上式可以導出斷裂起始時間：例2等矩形截面梁受一般彎曲設彎矩M=M（x），x是沿梁長度方向的坐標，有應力場：第六章連續(xù)損傷力學

積分損傷演變主程，可得：設在x=x*處，有M=M（x*）=Mmax

，則可求得梁的斷裂起始時間：第六章連續(xù)損傷力學

（3）應變表示的損傷演變某些情況下，材料損傷并不直接與時間相關，而僅是應變狀態(tài)的函數(shù)。Lemaitre等建議用下列簡單的損傷演變方程：

式中，ε0和n1是材料參數(shù)；εth是用應變表示的損傷閾值，也是材料參數(shù)。積分上式，并用初始條件：ε=0，ψ=1，有ψ-ε關系：或：當ε＞εth時和dε＞0當ε≤εth時和dε＜0第六章連續(xù)損傷力學

再利用斷裂條件：ε=εf時，ψ=0，可以求得斷裂應變：再代入上式可得到關系的另一形式：第六章連續(xù)損傷力學第二節(jié)粘脆性(蠕變)損傷理論

1）粘性蠕變斷裂

(a)蠕變現(xiàn)象*蠕變：粘彈性或粘塑性固體材料在恒應力作用下，其應變隨時間逐漸增加的現(xiàn)象。*應力松馳：在恒應變作用下，其應力隨時間緩慢降低的現(xiàn)象。金屬材料在恒定單軸拉伸應力下的典型蠕變曲線由OACDEF表示，常可分為3階段：

*第1階段是減速蠕變（CD段），應變率隨時間連續(xù)降低。第六章連續(xù)損傷力學第六章連續(xù)損傷力學

*第2階段是穩(wěn)定蠕變（DE段），應變率近似常數(shù)，應變隨時間線性增大。*第3階段是加速蠕變（EF段），應變率隨時間迅速加大，最后發(fā)生材料破壞。實際上，材料在不同的應力水平或不同的溫度環(huán)境下，可能處于不同蠕變階段，具有不同的蠕變機制和微結構變化。材料在蠕變時往往伴隨著微結構變化或缺陷的產(chǎn)生與擴展而構成損傷。在低應力下，材料變形很小，損傷歸因于微裂紋的產(chǎn)生、擴散與聚合，最后造成脆性斷裂，屬長期蠕變斷裂。在高應力下，材料有大量晶格滑移而造成粘性損傷，特別使第3階段蠕變加速，是一種短期蠕變斷裂。第六章連續(xù)損傷力學（b）穩(wěn)定蠕變理論

穩(wěn)定蠕變理論忽略第1階段蠕變，也不反映第3階段蠕變。設粘性應變率僅受拉伸應力控制，即：具體可采用Norton冪律形式式中，是粘性應變對時間的導數(shù)；B1和m是材料參數(shù)。*恒載荷情況研究簡單的受拉等截面桿，長度l=l(t)和面積S=S(t)。在恒定載荷下，應力σ=σ(t)。設初始值：l0=l(0)，S0=S(0)和σ0=σ(0)。在材料體積不變假設下，有：（1）

（2）

（3）

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式中，λ是反映桿尺寸變化的無量綱量。對于有限變形，定義粘性應變:

則：將（5）代入Norton方程（2）中有：考慮到初始條件：t=0時，λ=1，上式的解為：或：（5）

（4）

（6）

（7）

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令初始應變率則式（7）可寫為再利用斷裂條件：時，λ→∞時，由上式可求得恒載荷下的粘性斷裂時間：或：而且可導出λ-t關系：

于是有：

（8）

（9）

（10）

（11）

第六章連續(xù)損傷力學**恒應變情況：

=常數(shù)或式中彈性應變率：粘性應變率：于是上式變?yōu)椋豪贸跏紬l件：t=0時、，積分上式可得：第六章連續(xù)損傷力學

**恒加載速率情況：

=常數(shù)顯然有：和

代入Norton方程有：

第六章連續(xù)損傷力學（c）強化蠕變理論強化蠕變理論認為，材料的粘性應變率不僅受應力控制而且與粘性有關，可表示為：式中，函數(shù)f1和f2分別表示應力和粘性應變對的作用，它們一般都是增函數(shù)。將式（3）和（5）代入式（12），得到微分方程：積分此方程并利用t=0，λ=1得：根據(jù)粘性斷裂條件，λ→∞得：（12）

第六章連續(xù)損傷力學（d）其他蠕變理論**粘性-彈性耦合的蠕變微分方程：**粘性-塑性耦合的蠕變微分方程：在以上兩式中，彈性應變率：塑性應變率：粘性應變率：

將各項代入到粘塑耦合的微分方程中得：解此方程得：

粘性斷裂時間為：第六章連續(xù)損傷力學2）粘脆性斷裂時間基于Kachanov損傷演變方程和Norton穩(wěn)定蠕變方程求粘脆性斷裂時間。（a）恒載荷情況將（11）式代入演化方程中得：

考慮到初始條件（t=0，ψ=1），上式的解為：利用斷裂條件，ψ=0，得到粘脆性斷裂時間：（13）

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如果m=n，則演化方程和粘脆性斷裂時間變?yōu)椋海╞）恒應變情況演化方程和粘脆性斷裂時間為：

tf實際上是恒應力σ0作用下的純脆性斷裂時間。第六章連續(xù)損傷力學

（c）恒加載情況演化方程：積分并利用初始和斷裂條件可得：第六章連續(xù)損傷力學

（d）粘脆性斷裂的界限**上界粘脆性斷裂時間考慮了損傷的影響，應該小于純粘性斷裂時間，即：將兩者的表達式代入可得：

粘脆性斷裂時間純粘性斷裂時間純脆性斷裂時間

即是粘脆性斷裂的上界。當應力σ≥時，單軸拉伸桿將發(fā)生純粘性斷裂。

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**下界聯(lián)立純脆性斷裂時間和粘脆性斷裂時間可得：此方程的解為：則應是粘脆性斷裂的下界。當應力σ0≤時，單軸拉伸桿將發(fā)生純脆性斷裂。

總之，在實用上可把恒應力σ0下蠕變斷裂大致分為3種情形：

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（1）純粘性斷裂，其條件是σ0≥（2）粘脆性斷裂，其界限是（3）純脆性斷裂，其條件為

一般而言，在高應力下拉伸桿發(fā)生純粘性斷裂；在低應力下桿將發(fā)生純脆性斷裂；而在一定范圍的中等應力桿會發(fā)生粘脆性斷裂。

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（e）第一階段的影響在計算有限變形下粘脆性斷裂時間問題時，Odqvist提出要考慮第1階段蠕變的影響，即將下列附加冪律應變ε0疊加到累積的粘性應變上：式中B0≥1和m0≥1是材料參數(shù)；實驗表明m＜m0。于是，有：將

（3）和（5）式代入得：考慮到初始粘性應變率和初始附加應變后得：第六章連續(xù)損傷力學

或：考慮到邊界條件后得：式中是未給修正的純粘性斷裂時間。代入到演化方程，積分并利用斷裂條件后得：

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3）脆性損傷對蠕變的影響（a）簡單模型：考慮損傷對蠕變本構方程的作用，較簡單的方法是在Norton方程中用有效應力代替名義應力σ，即將穩(wěn)定蠕變微分方程寫為：利用Kachanov方程導出的關系式，后得：積分并利用初始條件（t=0，

）后得：第六章連續(xù)損傷力學式中，是純脆性斷裂時間，是純粘性斷裂時間。

（b）Rabtonov模型

Rabotnov提出一個較為一般的模型，以分析損傷對蠕變的作用。上式中，A，B1，n，m，r和q都是材料參數(shù)，且r

≠

n，q

≠m。對該演化方程積分得：第六章連續(xù)損傷力學

將上式代入蠕變方程中，積分得：

（c）有限變形情況對有限變形，其應變和應力分別為：代入到Rabtonov模型中得：第六章連續(xù)損傷力學

聯(lián)立兩式得：積分上式，并利用初始和斷裂條件得：再代入到蠕變方程中得：第六章連續(xù)損傷力學

積分并利用初始和斷裂條件后得：第六章連續(xù)損傷力學第三節(jié)彈塑性損傷理論

若不考慮熱耗散，則耗散不等式變?yōu)椋簩τ校旱诹逻B續(xù)損傷力學

1）冪硬化材料的損傷設冪硬化材料的硬化和損傷都是各向同性的，分別用標量p和ψ表示，它們的對偶變量P和R也是標量。p是累積塑性應變，設:

于是相應的累積塑性應變?yōu)椋焊鶕?jù)實驗分析，這種彈塑性材料損傷過程中的耗散勢表示為：并由塑性耗散Ωp和損傷耗散Ωd兩部分構成，即設：第六章連續(xù)損傷力學

為類似于VonMises準則的硬化函數(shù)。這里的σy是材料的屈服應力。而損傷耗散勢設為：式中δ0

和α0是材料參數(shù)。

根據(jù)上面的公式有：對冪硬化材料，在復雜應力狀態(tài)下，取Ramberg-Osgood律：

式中k

1和m1是材料參數(shù)。再考慮到損傷擴展力R的表達式，則可導出用累積塑性應變表示的演變方程：第六章連續(xù)損傷力學

（p≥pth

）

利用損傷閾值條件：p＜

pth

，ψ=1

，在比例加載的條件下積分上式可得：一些實驗表明，α0=0，因此，由上式得到比例加載下的關系：若設破壞條件為p=

pc

，ψ=ψc

，則：第六章連續(xù)損傷力學第六章連續(xù)損傷力學

2）全塑性材料的損傷在金屬成型過程中，損傷往往與大變形相聯(lián)系。在大變形下，微觀尺度的空洞將發(fā)生、發(fā)展和聚集，構成延伸損傷區(qū)，它受微應力集中的塑性變形控制。在大變形情況下，材料被近似看作是全塑性的。依據(jù)VonMises屈服準則：

取硬化增量P=0，有代入損傷演化方程可得：取α0=0，還由于σy、E和δ0都是材料參數(shù)，可合并為一個新材料參數(shù)。因此，上式可改寫為形式更簡單的全塑性損傷演變方程：第六章連續(xù)損傷力學

（p≥pth

）積分并利用損傷閾值條件得：在比例加載下，可得：在利用破壞條件：p=

pf

，ψ=ψc

，可得：于是有：在一維情況下，有：第六章連續(xù)損傷力學

這里，εth

是單軸拉伸下用應變表示的損傷閾值；εf是單軸拉伸斷裂應變值。

第六章連續(xù)損傷力學第四節(jié)疲勞損傷理論

疲勞是在循環(huán)載荷下，材料局部發(fā)生損傷的累積過程，即材料發(fā)生永久局部微結構變化的過程。疲勞破壞的特點有：（a）是在交變的循環(huán)應力或循環(huán)應變作用下發(fā)生的損傷破壞。（b）是一個損傷累積過程。通常認為，這個累積過程包括微裂紋的生成與擴展、宏裂紋的形成與擴展、最后導致材料的斷裂破壞。（c）疲勞破壞常帶有局部性。微裂紋群的發(fā)展、聚集和宏裂紋的形成，造成疲勞損傷的非均勻性與局部性。

第六章連續(xù)損傷力學

1）疲勞與疲勞累積理論（1）疲勞的力學參量作為疲勞力學參量的循環(huán)載荷可以用應力或應變表示。下面以單軸疲勞為例加以說明。用應力表示的參量有最大應力σmax

、最小應力σmin

、平均應力，應力幅σa和應力循環(huán)特性rσ等5個，它們之間存在如下關系：在5個參量中僅有2個是獨立的。應力循環(huán)特性有如下幾種特殊情況：

第六章連續(xù)損傷力學

（a）靜應力（b）對稱循環(huán)應力（c）非對稱循環(huán)應力（d）脈動循環(huán)應力疲勞也可用應變表示的參量有最大應變εmax

、最小應變εmin

、平均應變，應變幅σa和應變循環(huán)特性rε等5個參量表示。第六章連續(xù)損傷力學（2）疲勞的分類（a）無限壽命疲勞和有限壽命疲勞*疲勞極限或疲勞強度σr：加載無限次循環(huán)而不破壞的最大應力。下標r表示循環(huán)特性。如σ-1表示在對稱循環(huán)應力作用下的材料疲勞極限。第六章連續(xù)損傷力學

（b）高周疲勞和低周疲勞在循環(huán)載荷較低時，材料的疲勞壽命Nf很長，破壞循環(huán)達到很高的周次，稱為高周疲勞。在這種情況下，由于循環(huán)應力較低，疲勞力學參量用應力表示，也稱應力疲勞。當循環(huán)應力（或應變）超過材料的屈服極限，材料的疲勞壽命較短，即材料破壞只經(jīng)受了較短的循環(huán)周次（一般Nf

＜104~105次），常稱為低周疲勞。在這種情況下，由于局部應力超過屈服極限，需要用應變作為循環(huán)載荷參量，故也稱應變疲勞。第六章連續(xù)損傷力學（c）疲勞累積理論對于多級應力水平或非穩(wěn)定疲勞問題，需要疲勞累積理論。

Palmgren-Miner線性累積疲勞損傷理論的基本思想是將各級交變應力造成的疲勞損傷線性疊加起來。設不同循環(huán)應力幅各作用了次循環(huán)，則每種應力幅造成的疲勞損傷度增量為：式中，為在恒循環(huán)應力幅作用下材料的疲勞壽命。因此，線性累積理論認為，多級應力循環(huán)作用下材料疲勞破壞的條件為：若應力幅是連續(xù)變化的，則線性累積損傷理論寫成積分形式：（1）第六章連續(xù)損傷力學

式中，Nf疲勞壽命是應力幅σa的函數(shù)；N*是在連續(xù)變化應力幅作用下材料的壽命。相應于式（1），可設疲勞損傷度：（0≤ω≤1）則有：

這是簡單的疲勞損傷演變方程。顯然，這個損傷演變方程與線性累積損傷理論是等價的。在一般情況下，疲勞損傷演變方程的形式為：即損傷變化率是載荷和損傷變量等的函數(shù)。例如，設恒應力幅σa作用下的單軸疲勞損傷演變方程為：（2）（4）（3）（5）第六章連續(xù)損傷力學

式中，g和k是材料參數(shù)。積分此式，利用初始條件(N=0時，ω=0)和破壞條件(N=Nf時，ω=1)，很容易導出損傷度ω隨循環(huán)周次N變化的關系：將(6)式代入(5)中得:

積分此式，在連續(xù)載荷情況下，并考慮初始條件和破壞條件（N=N*時，ω=1

），則有:

即:

可見疲勞損傷演變方程式（5）也是與線性累積損傷理論等價的。（6）（7）第六章連續(xù)損傷力學

但不少實驗證明，許多材料的參數(shù)k與循環(huán)應力幅σa相關，即k=k(σa)

。相應地，式（6）應寫為:

可見，當參數(shù)k與σa無關，損傷演變方程式（8）符合線性累積損傷理論(圖a)；當參數(shù)k與σa相關(圖b)，則容易由圖推出:（8）說明屬于非線性累積。

第六章連續(xù)損傷力學

對兩級循環(huán)加載的疲勞問題，即k=1，2，且σa1

＞σa2

，其ω~N/Nf關系如下圖所示。若先加σa1

，循環(huán)周次ΔN1；再加σa2

，循環(huán)周次ΔN2時斷裂。若已知σa1

和σa2下的疲勞壽命分別為N1f和N2f，則可得到:

若改變加載次序：先加σa2

，相應周次ΔN2

；再加σa1，相應周次ΔN1

，而斷裂得到的累積結果為:

說明若參數(shù)k與σa相關，則累積的結果與加載次序有關。

第六章連續(xù)損傷力學第六章連續(xù)損傷力學

2）高周疲勞損傷模型（1）基于微塑性分析的模型對于高周疲勞，通常循環(huán)應力的最大值低于屈服極限（但高于疲勞極限），材料仍會發(fā)生疲勞破壞。這是由于材料某些局部的細觀組織發(fā)生了塑性變形，即所謂微塑性的不可逆變形。循環(huán)應力造成的循環(huán)微塑性應變是高周疲勞的主要微觀機制。假定細觀結構的應力-應變關系與宏觀的關系一致，設晶粒屈服后，其微塑性應力-應變關系仍用冪律表示如下：式中是微塑性應變；ka和na是材料參數(shù)。

（9）第六章連續(xù)損傷力學Lemaitre認為微塑性損傷演變方程可以有類似于宏塑性損傷演變方程的形式，參照彈塑性損傷公式并用累積微塑性應變率代替累積宏塑性應變率，有：這里δ0和α0是材料參數(shù)。在多維情況下，可設：這里k、

也是材料參數(shù)。將此式代入（10），得到微塑性損傷演變方程的具體形式：式中，Tr是三軸性因子；，（10）或（11）（12）第六章連續(xù)損傷力學

在單軸應力情況下，，，以及Tr=1，則由式（12）可得單軸應力下微塑性損傷演變方程：若循環(huán)應力是比例加載，并且并考慮到一次加載中，損傷變化很小而加以忽略。對式（12）積分得：從而得到疲勞損傷演化方程：（13）（14）或第六章連續(xù)損傷力學

對于穩(wěn)定的高周疲勞問題，積分上式，并利用初始條件(N=0時，ψ=1)和破壞條件(N=Nf時，ψ=0)，可得:

式中

在1維情況下，對拉伸脈動循環(huán)，，，疲勞損傷演變方程簡化為:

積分此式，利用初始條件與破壞條件，可得式（15），但疲勞壽命表達式應是:（15）（16）（17）或第六章連續(xù)損傷力學

代入式（17），單軸疲勞損傷演變方程改為:

對連續(xù)變化的載荷，積分上式，取破壞條件N=N*，ω=1時，有:

得:

疲勞損傷演變方程與線性累積疲勞損傷理論是一致的。（18）（19）第六章連續(xù)損傷力學(2)Choboche模型Chaboche研究疲勞損傷演變時,考慮到平均應力的影響，疲勞損傷的演變方程表示為:

式中，f是損傷度的函數(shù)；β、b是材料參數(shù)，σ0和σ1分別為脈動循環(huán)應力和對稱循環(huán)應力下的疲勞極限，σa是材料的拉伸強度極限。且b與平均應力有關：

（a）對，這里β1也是材料參數(shù)，于是疲勞損傷演變方程寫為（20）（21）第六章連續(xù)損傷力學

積分上式，利用初始條件，得到：

（b）取，這里α也是材料參數(shù)，疲勞損傷演化方程為：積分后得：（23）（22）（25）（26）（24）第六章連續(xù)損傷力學

3）低周疲勞損傷模型（1）低周疲勞的經(jīng)典模型低周疲勞的特點是循環(huán)載荷的最大應力σmax達到甚至超過材料的屈服極限σy；它的疲勞壽命要比高周疲勞的壽命短得多，常低于104~105次循環(huán)；通常用應變（或塑性應變）作為載荷參量。根據(jù)實驗結果，在壽命Nf

=104~105周的范圍內(nèi)，應變幅Δε與壽命Nf有如下經(jīng)驗關系：式中，M和c1是材料參數(shù)。更多的實驗表明，低周疲勞壽命與塑性應變幅有更直接的關系，即著名的Coffin-Manson低周疲勞經(jīng)驗公式：（27）第六章連續(xù)損傷力學

式中，材料參數(shù)α稱為塑性系數(shù)。一般情況下，α=0.3~0.8，粗略估算可取α=0.5。

(2)基于彈塑性損傷分析的模型Lemaitre應用應變等效性假設，用有效等價應力代替等價應力σeq，取如下應力-應變關系(冪硬化律):式中，kc和mc是材料參數(shù)。對于脈動循環(huán)加載，有和，則上式可寫為:這里，pi是第次循環(huán)的累積塑性應變的起始值。將上面關系式代入損傷擴展力表達式，有:第六章連續(xù)損傷力學如令、，則損傷演變方程改寫為：

對一次循環(huán)，若是比例加載、不考慮準單側效應，則Tr是常數(shù)；再設一次循環(huán)中損傷度ω變化很小而認為是常數(shù)。對式（29）作一次循環(huán)積分得：（28）（29）第六章連續(xù)損傷力學

得到低周疲勞損傷演化方程：對于恒累積塑性應變幅（且為比例加載），積分上式，利用初始條件（N=0時，ω=0)和破壞條件(N=Nf時，ω=1)，有：（30）（31）（32）（33）第六章連續(xù)損傷力學

在1維情況下，取，Tr=1，疲勞損傷演變方程寫為：疲勞壽命為：與Coffin-Mansn公式是一致的。（3）加載頻率相關的模型Lemaitre曾提出一個粘塑性損傷演變方程：（34）（35）（36）第六章連續(xù)損傷力學

式中，n、β2和A是材料參數(shù)。A+和A-分別表示材料受拉和受壓的不同情況。設有以下塑性應變率關系：這里的m和k為材料參數(shù)。k+和k-分別表示材料受拉和受壓情況。將式（37）代入式（36）得：對一次循環(huán)的積分，并分為前、后兩部：前者從t到t+Δt/2；后者從t+Δt/2到t+Δt/2，有：如取,則有如下的演化方程：（37）（38）第六章連續(xù)損傷力學

考慮到一次循環(huán)中損傷度ω不變，以及有：由于加載頻率為：。于是有：積分此式，并利用初始和破壞條件得：整理后得：與C-M模型一致。（39）（40）第六章連續(xù)損傷力學（3）Chaboche模型將以下塑性應力-應變關系代入高周疲勞的Cha