DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第六章

彎曲變形齒輪軸的變形6.1

工程中的彎曲變形問題梁式起重機的變形卡車彈簧片的變形可以較大。6.2

撓曲線的微分方程由于橫向力作用在對稱面內(nèi)，因此彎曲變形也發(fā)生在此平面內(nèi)。任意橫截面都將繞中性軸產(chǎn)生一轉(zhuǎn)角，變形后梁的軸線變?yōu)槠矫媲€.平面彎曲情況，梁的軸線變形為平面曲線——稱作撓曲線.撓曲線的曲率與彎矩之間的關(guān)系與純彎曲時相同，即撓曲線y變形后橫截面位置的改變稱作位移.有三種位移：

橫截面形心的垂直位移，記作

w；

截面繞中性軸的旋轉(zhuǎn)角，記作θ；

橫截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不計.撓曲線y撓度w:

軸上任一點（橫截面形心）在y方向上的位移，記作w(有的書上也記作y,v).沿y正方向為正，反之為負.轉(zhuǎn)角θ

:

變形后橫截面的位置與變形前位置之間的夾角，逆時針方向為正，反之為負，也稱作傾角或傾斜角.因此，軸上任一點的位移可用撓度w和轉(zhuǎn)角θ表示.

轉(zhuǎn)角也是x軸和撓曲線切線之間的夾角，因此在Oxw坐標系中有如下關(guān)系:撓曲線y考慮小變形假設(shè)，實際上變形很小以至于撓曲線近乎水平，在此條件下:顯然，θ

是撓曲線的斜率.撓曲線y這表明撓曲線在某一點的斜率可用該點橫截面的轉(zhuǎn)角

表示.撓曲線方程:橫截面的撓度w是位置x的函數(shù).轉(zhuǎn)角方程:在小變形假設(shè)的條件下，轉(zhuǎn)角

很小，可近似為

:w＝

w（x)對于橫力彎曲狀態(tài)

(忽略剪力

FQ),曲率方程為:經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得如下公式：對于純彎曲狀態(tài)，曲率方程為：稱為撓曲軸近似微分方程.這里正負號根據(jù)撓度w的方向而定.

于是：根據(jù)小變形假設(shè),因此:在我們選定的坐標系中，撓曲軸微分方程的最終形式為對方程積分一次可得

這里C和D

是積分常數(shù).它們可由梁的邊界條件（位移限制）和連續(xù)性條件確定.撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程對于等截面梁,微分方程可寫為:兩次積分可得6.3用積分法求彎曲變形邊界條件連續(xù)性條件

-彈簧變形wA=0wA=0wA=ΔwAL=wARwAL=wAR

在確定了常數(shù)C和D之后，可以很容易地得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，也就能夠計算任意橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。F梁的剛度條件可從相應(yīng)的設(shè)計規(guī)范或手冊中查得。許用撓度許用轉(zhuǎn)角例6-1

寫出撓度和轉(zhuǎn)角方程，并計算最大撓度wmax.Oxy解:1.建立Oxy

坐標系.2.寫出梁的彎矩方程:xM(x)FQ(x)3.寫出撓曲線微分方程并對其進行積分.對方程進行兩次積分可得a)撓曲線的近似微分方程為:c)撓曲線方程b)轉(zhuǎn)角方程4.計算積分常數(shù)固定端的位移限制:5.撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程為

:由撓曲線方程可知，wmax

位于梁的自由端.

當(dāng)

x=l時，6.計算最大撓度

wmax.(向下)(順時針方向)y積分方法計算梁的位移的主要步驟:1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼?2)寫出彎矩方程

M(x);4)對方程進行積分，根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)，寫出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程;3)建立撓曲線近似微分方程:5)計算梁的位移的最大值.FaaaFEICABxy例6-2:懸臂梁如圖所示，用積分法計算A點的撓度wA和轉(zhuǎn)角

A.解:

坐標系如圖所示,應(yīng)該指出的是，當(dāng)梁受非連續(xù)性載荷作用時，梁的彎矩方程應(yīng)分段給出.

對于AC段有:xx近似微分方程為積分兩次可得對于CB段有xFaaaFEICABxxy

近似微分方程積分常數(shù)C1、D1和C2、D2根據(jù)梁的邊界條件和連續(xù)性條件確定.積分兩次可得位移邊界條件:當(dāng)x=2a時連續(xù)性條件

:當(dāng)x=a時于是有xFaaaFEICABxxy因此最后(向下)(逆時針方向)AC段:CB段：(2)各段之間的連續(xù)性條件對于確定積分常數(shù)是必須的；(3)需注意梁上各段變量x的范圍。(1)如果梁被分成兩段，將有4個積分常數(shù)，積分常數(shù)的數(shù)量是分段數(shù)的兩倍；注意在一些工程手冊中，將梁在某些簡單載荷作用下的變形列表表示，此表稱為變形表。

疊加法：當(dāng)梁上同時作用幾個載荷時，可分別求出每個載荷單獨引起的變形，把所得變形疊加即為這些載荷共同作用引起的變形。i

表示任意單獨載荷.

w=Σwi

θ=Σθi6.4用疊加法求彎曲變形例6-3

對于如下簡支梁，請計算撓度wC

和轉(zhuǎn)角θB

，q、l和EI為已知。解:1.有三個載荷作用的梁可以被看作是各載荷單獨作用時的三個梁的疊加。因此www2.查變形表可得www3.將以上結(jié)果疊加，可以得到截面C的撓度和截面B的轉(zhuǎn)角。ABlaBCFABCFABC例6-4

外伸梁受載荷如圖所示，試用疊加法計算外伸端C截面的撓度。解:

將梁按支座形式分成兩段，研究每一段的變形時將另一段視作剛體。AB段：BC段視作剛體。w2qBFaBC段：AB段視作剛體。w1F逐段分析求和法：ABlaBCF對于變形表中沒有的形式（如外伸梁等），將其分解成已有的形式（如簡支梁、懸臂梁）。分段進行分析。當(dāng)以某一段為研究對象時，其余各段均視為剛體。求解靜不定問題的一般內(nèi)容建立并解平衡方程變形協(xié)調(diào)關(guān)系方程力-位移關(guān)系方程6.5簡單超靜定梁3-3=04-3=1lMAABFAyFAxq超靜定梁ABFBMAFAyFAxq已知：梁的EI,q和l.請計算約束反力.例6-5lABMAFAyFAxFB3.建立協(xié)調(diào)方程wB=wB(q)+wB(FB)=0解：1.外力分析，確定靜不定度.2.建立平衡方程

q4-3=1

lAMAFAyFAxBqwB(q)=－ql4/8EIwB(q)wB(FBy)wB(FBy)=Fbyl

3/3EI4.聯(lián)立求解以上方程FB=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy

=5ql/8,4.建立力-位移