第三章導數與微分習題答案練習題3.1根據導數定義，求下列函數的導數：（1），求。解：。（2），求。解：。求拋物線在點處的切線方程和法線方程。解：在處的切線斜率為，法線斜率為，在處的切線方程為；法線方程為。為何值時，與相切？解：設與在相切，則有，解得。試求出曲線與軸交點處的切線方程。解：曲線與軸的交點為，；切線斜率為，切線方程為。討論在處的連續(xù)性和可導性。解：由于，，，則在處連續(xù)。又，，，所以在處可導且。討論分別在，，處的連續(xù)性與可導性，并求出。解：在處，，，，故在處連續(xù)。又，，故在處不可導。在處，，，，故在處連續(xù)。又，，故在處可導。在處，，，則在處不連續(xù)，從而在處不可導。且。練習題3.2求下列函數的導數（其中為常量）：（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2.求下列函數在指定點的導數：（1）已知，求，。解：，，。（2）已知，求，。解：，。練習題3.3求下列函數的導數：（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：（7）：（8）：（9）：（10）：（11）：（12）：2.若函數，且，求。解：。3.證明：（1）可導的偶函數的導數是奇函數。證明：設為偶函數且可導，則有，兩邊對求導，有，即，得證。（2）可導的奇函數的導數是偶函數。證明：設為奇函數且可導，則有，兩邊對求導，有，即，得證。（3）可導的周期函數的導數是具有相同周期的周期函數。證明：設為可導周期函數，周期為，則有，兩邊再對求導，得到，得證。4.設在處連續(xù)，且（為常數），證明：在處可導。證明：由于在處連續(xù)，則，又因為，極限存在，則必有，即，從而，即在處可導。5.求下列隱函數的導數：（1）：，（2）：，6.利用對數求導法求下列函數的導數：（1）：，（2）：，（3）；（4）：求下列函數的高階導數：（1），求。解：，。（2），求。解：，。（3），求。解：，（4），求。解。（5），求。解：，，，（6），求。解;：，，，8．已知，求及。解：，，。9.驗證：滿足關系式。證明：，，代入，則左邊==右邊，等式成立。10.求由曲線所確定的函數的導數。解：。11.求曲線在處的切線方程和法線方程。解：切線的斜率為，切線過點，則切線方程為，法線方程為。練習題3.4求下列函數的微分：（1）.：（2）.：（3）.：（4）.：（5）.：（6）.：（7）.，求：解：，，（8）.，求：解：，（9）.，求：（10）.,求：2.求下列各式的近似值：（1）.：設，則（2）.：設，（3）.：設，則（4）.：設，，而，則3.落在平靜水面上的小石子兒產生同心波紋，若最外一圈波半徑增大率總是m/s，問在s末被擾動水面面積增大率為多少？解：由題意，被擾動的水面面積為，，秒末最外一圈波半徑為m/s，。4.一球在斜面上向上滾，在s末與開始的距離為m，其初速度是多少？何時開始向下滾？解：，當時，初速度；當，即時，開始向下滾動。5.一矩形兩邊長分別用來表示，若邊以m/s的速度減少，邊以m/s的速度增加，求在m，m時矩形面積的變化速度積對角線的變化速度。解：矩形的面積，；對角線，。6.設氣體以的常速注入球狀的氣球，假定氣體的壓力不變，那么當半徑為時，氣球半徑增加的速率是多少？解：，。已知，在時計算當時的和。解：，時，；時，時，復習題三1.判斷題（1）（）若函數在點可導，則；（2）（√）若在處可導，則一定存在；（3）（√）函數是定義區(qū)間上的可導函數；（4）（）函數在其定義域內可導；（5）（）若在上連續(xù)，則在內一定可導；（6）（）；（7）（）函數在點可導；(8)（√）若則；(9)（）；(10)（）若在點不可導，則在不連續(xù)；(11)（）函數在點處不可導.2.填空題，則；曲線在點處的切線方程是；設，則=；=；設，則=；設，則；曲線在點處的切線方程是；若與在處可導，則=；=；設在處可導，且，則用的代數式表示為；導數的幾何意義為；曲線在處的切線方程是；曲線在處的切線方程是；則；曲線在點處切線方程是；的近似值是；17.（是正整數）的階導數是；選擇題設在點處可導，則下列命題中正確的是（A）（A）存在（B）不存在（C）存在（D）不存在設在處可導，且，則等于（D）（A）4（B）–4（C）2（D）–2設，則在點處（A）（A）可導（B）連續(xù)但不可導（C）不連續(xù)（D）無定義設可導，則=（B）（A）（B）（C）（D）設，且存在，則等于（B）（A）（B）（C）（D）函數，則（D）（A）（B）（C）（D）函數的導數為（D）（A）（B）（C）（D）函數在處連續(xù)，是在處可導的（B）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件已知，則（C）（A）（B）（C）（D）函數在處（D）（A）連續(xù)但不可導（B）連續(xù)且可導（C）極限存在但不連續(xù)（D）不連續(xù)也不可導函數，在處（B）（A）左連續(xù)（B）右連續(xù)（C）連續(xù)（D）左、右皆不連續(xù)設，則（A）（A）（B）（C）（D）設，則（A）（A）（B）（C）（D）已知函數，則（A）（A）（B）（C）（D）設，則在處（C）（A）極限不存在（B）極限存在，但不連續(xù)+（C）連續(xù)但不可導（D）可導已知，則（C）（A）（B）（C）（D）計算與應用題設（），求解：設確定是的函數，求解：設，求解：設，求解：設確定是的函數，求解：設，求解：，求及解：,求及解：，，求及解： ，求及解：，求及解：,求及解：已知，求解：設，求解：