2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《幾何模型綜合壓軸題》專題突破訓(xùn)練（附答案）

1.如圖，點(diǎn)￡是正方形邊8c上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與8、C重合），連接DE交對(duì)角線

NC于點(diǎn)尸，△4。尸的外接圓。交邊Z8于點(diǎn)G,連接G。、GE.

（1）求NEZJG的度數(shù)；

（2）若求tanNDEG.

2.如圖，在等腰中，AB=BC,。是8c的中點(diǎn)，E為4C邊上任意一點(diǎn)，連接

DE,將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段。p，連接EF,交AB于點(diǎn)、G.

（1）如圖1,若4B=6,AE=g求及）的長(zhǎng)；

（2）如圖2,點(diǎn)G恰好是E尸的中點(diǎn)，連接8F,求證：CD=MBF；

（3）如圖3,若45=紈歷，連接CF,當(dāng)。尸噂~8尸取得最小值時(shí).請(qǐng)直接寫(xiě)出S^CEF

的值.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABO為等腰直角三角形，ZAOB=90a,AO=BO,點(diǎn)、

A的坐標(biāo)為（3,1）.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P,使得B/+P8的值最小，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）在第四象限是否存在一點(diǎn)使得以點(diǎn)O,A,〃為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角

形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)用的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖1,在△/8C中，BE平分N4BC,C/平分NZC8,BE與CF交于點(diǎn)、D.

(1)若/B4C=74°,則N8OC=；

(2)如圖2,NBAC=90°,作MDLBE交4B于點(diǎn)M,求證：DM=DE；

(3)如圖3,ZBAC=60°,N/8C=80°,若點(diǎn)G為CO的中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線8c上，

連接MG,將線段GM繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得GN,NG=MG,連接。N,當(dāng)。N最短

時(shí)，直接寫(xiě)出NMGC的度數(shù).

5.在△48C中，//=45°,點(diǎn)。是邊48上一動(dòng)點(diǎn)，連接CZ).

(1)如圖1,若NZOC=30°,將線段CD繞著D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ED,連接CE.若

CE=\2,求的長(zhǎng);

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CFL月8于F,當(dāng)點(diǎn)。在線段2尸上時(shí)，將線段8繞著。逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到￡￡>,連接CE,過(guò)點(diǎn)E作EG〃/C交Z8于點(diǎn)G.求證：AG=2DF；

(3)如圖3,若4BC=15°,48=3+37”，將線段CD繞著。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到

ED,連接CE.請(qǐng)直接寫(xiě)出?！?工8。的最小值.

2

6.已知：如圖，N8是。。的直徑，點(diǎn)A/為半徑。的中點(diǎn)，弦于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)。

作DELCA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)若點(diǎn)F在弧BD上,且NDCF=45°,CF交4B于點(diǎn)N.

①請(qǐng)補(bǔ)全圖形；

②若。求尸N的長(zhǎng).

7.在△/8C中，NC4B=90°,AC=AB.若點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，連接8￡),將8。繞點(diǎn)8

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到8E,連接CE,交4B于點(diǎn)F.

圖1圖2

(1)如圖1,若NABE=75°,80=4,求力C的長(zhǎng)；

(2)如圖2,點(diǎn)G為8c的中點(diǎn)，連接FG交BD于點(diǎn)H.若NABD=30。，猜想線段

OC與線段”G的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；

(3)如圖3,若“8=4,。為/C的中點(diǎn)，將△48。繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)得△/'BD',連接/'

C、A'D,當(dāng)返4C最小時(shí)，求S彳

2

8.如圖1,在四邊形N8CD中，4c交BD于點(diǎn)、E,△/￡>￡為等邊三角形.

(1)若點(diǎn)E為8。的中點(diǎn)，AD=4,CD=5,求△8CE的面積；

(2)如圖2,若BC=CD,點(diǎn)尸為CZ)的中點(diǎn)，求證：4B=2AF；

(3)如圖3,若N8〃CD,乙840=90°,點(diǎn)P為四邊形Z3CD內(nèi)一點(diǎn)，且N/PZ)=90°,

連接8P,取8尸的中點(diǎn)。，連接CQ.當(dāng)AB=6x[^,/。=4近，tan/Z8C=2時(shí)，求

CQ+^-BQ的最小值.

10

圖1圖2圖3

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/1：產(chǎn)=與4+>/§和直線/2：y=-\[3x+b相交于y

軸上的點(diǎn)8,且分別交x軸于點(diǎn)N和點(diǎn)C.

(1)求△/8C的面積；

(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)F為直線h上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF+CF

最小時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PF+退的最小值；

2

(3)將△OBC沿直線/1平移，平移后記為△OniG，直線交4于點(diǎn)用，直線々A

交x軸于點(diǎn)N,當(dāng)△與胸為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)3的橫坐標(biāo).

10.如圖1,拋物線y=-x2+w+c經(jīng)過(guò)8(3,0),C(0,3)兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一交

點(diǎn)為/,連接ZC、BC.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)/的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)。是線段/C的中點(diǎn)，連接8。，在y軸上是否存在一點(diǎn)E,使得△8DE是以

8。為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

(3)如圖2,尸為拋物線在第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作尸。,8c于0,當(dāng)尸。的長(zhǎng)度最

大時(shí)，在線段8C上找一點(diǎn)M使PM+亞8/W的值最小，求PA/+返力忖的最小值.

22

11.如圖，拋物線的解析式為y=-：x24^哈戶5,拋物線與x軸交于48兩點(diǎn)(/點(diǎn)

在B點(diǎn)的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D.

(1)E點(diǎn)是線段8c上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線EF平行于v軸，交8c于點(diǎn)凡

若線段C。長(zhǎng)度保持不變，沿直線8c移動(dòng)得到。。，當(dāng)線段EF最大時(shí)，求EC+Ood

D,B的最小值;

(2)Q是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)尸是△4P0為等邊三角

形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出三角形邊長(zhǎng)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.如圖1,拋物線y=N+(機(jī)-2)x-2加(加＞0)與x軸交于48兩點(diǎn)(/在8左邊)，

與y軸交于點(diǎn)C.連接ZC,BC.且△N8C的面積為8.

(1)求加的值；

(2)在(1)的條件下，在第一象限內(nèi)拋物線上有一點(diǎn)T,T的橫坐標(biāo)為f,使

60°.求(f-1)2的值.

(3)如圖2,點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接/P,求CP+\后/P的最小值，并求出此時(shí)

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

13.如圖1,四邊形是。。的內(nèi)接四邊形，其中對(duì)角線ZC、8。相交于點(diǎn)

E,在4C上取一點(diǎn)凡使得/F=4B,過(guò)點(diǎn)/作交于點(diǎn)G、H.

(1)證明：XAED心ADC.

(2)如圖2,若4E=1,且G4恰好經(jīng)過(guò)圓心O,求8c的值.

(3)若ZE=1,EF=2,設(shè)5E的長(zhǎng)為x.

①如圖3,用含有x的代數(shù)式表示△88的周長(zhǎng).

圖1圖2圖3圖4

14.在菱形/BCD中，ZDAB=30°.

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)E,連接CE,點(diǎn)尸是線段CE的中點(diǎn)，連接8尸，

若即=2-愿，求線段8尸的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)8作8E_LZO于點(diǎn)E,連接CE,過(guò)點(diǎn)。作。ATLOC,連接"C,且

NMCE=15°,連接ME,請(qǐng)?zhí)剿骶€段BE,DM,EM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,連接NC,點(diǎn)。是對(duì)角線4C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若/3=2戈，求08+QC+Q9

的最小值.

卻

圖2

圖3

15.已知，Z8是。。的直徑，AB=<^[2,AC=BC.

(1)求弦8c的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)、D是AB下方。。上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)48重合)，以C。為邊，作正方形CDEF,

如圖1所示，若M是。產(chǎn)的中點(diǎn)，N是8c的中點(diǎn)，求證：線段"N的長(zhǎng)為定值；

(3)如圖2,點(diǎn)尸是動(dòng)點(diǎn)，且/P=2,連接CP,PB,一動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2

個(gè)單位的速度沿線段CP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以每秒1個(gè)單位的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)B,到達(dá)點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值.

16.如圖，已知拋物線歹=以2-20￥-8〃(〃>0)與、軸從左至右依次交于4B兩點(diǎn),與歹

軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y=-烏x+里&與拋物線的另一交點(diǎn)為。，且點(diǎn)D的橫

33

坐標(biāo)為-5.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P(x,了)在該二次函數(shù)的圖象上，且求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)尸為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)B和。)，連接AF.是否存在點(diǎn)尸，使得2AF+DF

的值最??？若存在，分別求出產(chǎn)的最小值和點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于4C兩點(diǎn)，拋

物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)4、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為8.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，的面積等

于AABC面積的固，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

5

（3）如圖2,以8為圓心，2為半徑的。8與x軸交于E、尸兩點(diǎn)（尸在￡右側(cè)），若尸

點(diǎn)是。8上一動(dòng)點(diǎn)，連接口，以為為腰作等腰RtAR4。，使/以。=90°（尸、4、D

三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD.求尸。長(zhǎng)度的取值范圍.

圖I圖2

18.如圖，拋物線y=-JEx2-6jjx+7想交x軸于4,8兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)B左側(cè)），交y

軸于點(diǎn)C,直線y=&x+7近經(jīng)過(guò)點(diǎn)/、C,點(diǎn)M是線段NC上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C

重合）.

（1）求Z,8兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)當(dāng)點(diǎn)P,C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求AM的最小值及此時(shí)點(diǎn)M的坐

標(biāo);

（3）連接8C,當(dāng)△力。M與△/8C相似時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

19.如圖，在△NBC與ADEF中，NACB=NEDF=90°,BC=AC,ED=FD,點(diǎn)、D在

AB±..

(1)如圖1,若點(diǎn)尸在/C的延長(zhǎng)線上，連接/E,探究線段/尸、AE、之間的數(shù)量

關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,若點(diǎn)。與點(diǎn)4重合，且ZC=M，DE=4,將&DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),連接

8F,點(diǎn)G為8尸的中點(diǎn)，連接CG,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，求&CG+8G的最小值；

2

(3)如圖3,若點(diǎn)。為的中點(diǎn)，連接8尸、CE交于點(diǎn)"，CE交AB于點(diǎn)、N,且8C：

DE-.ME=7：9：10,請(qǐng)直接寫(xiě)出坨的值.

20.【問(wèn)題提出】如圖①，已知海島”到海岸公路8。的距離為N8的長(zhǎng)度，C為公路80上

的酒店，從海島/到酒店C,先乘船到登陸點(diǎn)O,船速為0,再乘汽車，車速為船速的〃

倍，點(diǎn)。選在何處時(shí)，所用時(shí)間最短？

【特例分析】若〃=2,則時(shí)間￡=世年，當(dāng)。為定值時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定

a2a

一點(diǎn)。，使得膽嗎的值最小.如圖②，過(guò)點(diǎn)C作射線CM,使得/8CA/=30。.

a2a

(1)過(guò)點(diǎn)。作。ELCA/,垂足為E,試說(shuō)明：Z)E=-y-;

(2)請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)?！?

【問(wèn)題解決】（3）請(qǐng)你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問(wèn)題.（寫(xiě)出具體

方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）

【綜合運(yùn)用】（4）如圖③，拋物線y=-Sx2+9x+3與x軸分別交于48兩點(diǎn)，與y軸

44

交于點(diǎn)C,E為。8中點(diǎn)，設(shè)尸為線段8c上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接EF.一動(dòng)點(diǎn)P從E

出發(fā)，沿線段EF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿著線段FC以每秒立個(gè)單位的速

3

度運(yùn)動(dòng)到C后停止.若點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少，請(qǐng)求出最少時(shí)間和此時(shí)點(diǎn)尸的

參考答案

1.解：(1),??四邊形/BCD是正方形，

/.ZBAC=45a,

???而=而，

:.NEDG=NE4G=45°；

(2)延長(zhǎng)8/至點(diǎn)P,使4P=CE,連接QP,

..BE_5

'CE2,

?.C?E_2,

BC7

?.?四邊形Z88是正方形，

：.AD=DC,NB4D=NDCE=90°,

，NPAD=NDCE,

又,：AP=CE,

:./\DCE安MAP(SAS\

：.DE=DP,NCDE=/ADP,ZP=ZDEC,

；./ADC=NPDE=90",

：.ZEDG=ZPDG=45°,

又<DG=DG,

:.△EDGQAPDG(SAS),

：.NDEG=4P,

二NDEC=ADEG,

.?.tanZZ)EG=tanZDC￡：=—.

CDCB7

2.解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH_L8C于點(diǎn)〃,

:.NCHE=90°,

在等腰直角三角形Z8C中，

"：AB=6,

BC=6,ZC=6V^,

為8c中點(diǎn)，

：.CD=^-BC,

2

?；AE=正,

：.CE=AC-CE=5V2,

VZC=45°,

.?.△CHE也是等腰直角三角形,

：.CH=EH=5,

：.HD=CH-CD=2,

：.在RtADHE中，二”正都+血2=^29.

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)E作尸于交點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)、D作DNLBC交4C于N,

.?.△8N為等腰直角三角形,

：.CD=ND,

,:BD=CD,

:,BD=DN,

*/Z5+ZBDE=N6+NBDE,

/.Z5=Z6,

在△BFD和ANED中，

rBD=DN

?Z5=Z6.

,DF=DE

A/XBFD^NED(SAS),

：.BF=EN,N3=/4,

在.和△尸8G中，

rZl=Z2

</MGE=NBGF,

GF=GE

：./\EMG^/\FBG(AAS),

：.ME=BF,

:.ME=EN,

VZ2+Z3=45°,

.?.Nl+/4=45°,

，NMEN=Nl+N4+NFED=90°,

：.ZAEM=90°,

.?.△AEM是等腰直角三角形，

：.AE=ME=BF=EN,

：.BF=—AN,

2

,JDN//BC,。是8c的中點(diǎn)，

/.CN=AN,

：.BF=—CN,

2

又V在等腰RtACDN中，CD=^CN,

:.CD=47BF.

(3)如圖3-1中，取/C的中點(diǎn)T,連接。7,BT,則△8DT是等腰直角三角形.

：.ZBDF=ZTDE,

'：DB=DT,DF=DE,

；.4BDF公ATDE(SAS),

:.NDBF=NDTE='35°,

?：NDBT=135°,

：.F,B,T共線，

.?.點(diǎn)下在直線37上運(yùn)動(dòng),

如圖3-2中，取NT的中點(diǎn)。，連接8。，作FH工BQ于點(diǎn)H,C/J_8。于點(diǎn)J,交BT

于點(diǎn)R.

圖3-2

?FHQT1

BHBT2

5

二CF-^-BF=CF+FHWCJ,

5

二當(dāng)點(diǎn)F與R重合時(shí)，CF+&BF的值最小,

5

?：NBTQ=/CTR=90°,BT=CT,ZQBT=ZRCT,

：.^\BTQ^^CTR(ASA),

：.TR=QT,

?：AB=BC=4品,ZABC=90°,

：.AC=\[^4B=8,

：.AT=CT=BT=4,QT=RT=2,

：.BF=TE=2,

：.S=->CE-FT=—X2X2^2.

△CEFF22

3.解：(1)過(guò)點(diǎn)力作ACJ_x軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)8作軸于點(diǎn)。，

???點(diǎn)”的坐標(biāo)為(3,1),

：.0C=3,AC=1,

又?.ZCJLx軸，8O_Lx軸，

AZACO=ZBDO=90°,

：.ZOAC+ZAOC=90°,

又?：NAOB=90°,

：.ZBOD+ZAOC=90a,

：.ZOAC=ZBOD,

又.：AO=BO,

:.△AOCQXOBD(AAS),

：.OC=BD=3,AC=OD^\,

.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-1,3)；

(2)如圖2,作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)連接力￡交x軸于點(diǎn)P,連接8P,

由對(duì)稱性可知BP=B'P,

：.AP+BP=AP+B'P^AB',

...當(dāng)/、B\尸三點(diǎn)共線時(shí)RI+P8的值最小，

連接89交x軸于點(diǎn)E,則E(-l,0),

?.?點(diǎn)8與9關(guān)于x軸對(duì)稱，

二點(diǎn)8'的坐標(biāo)為(-1,-3),

設(shè)直線N9的解析式為y=kx+b,

.f-k+b=-3

"l3k+b=l

k=l

b二-2

??y=x-2,

：.P(2,0)；

(3)存在一點(diǎn)〃，使得以點(diǎn)O,4,M為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，理由如下:

①當(dāng)N4OM=90°時(shí)，AO=OM9

如圖3,過(guò)點(diǎn)力作歹軸交于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)用作MELy軸交于點(diǎn)E,

VZFOA^ZE4O=90°,ZFOA+ZEOM=90°,

???ZFAO=ZEOM,

?：AO=OM,

:ZAg/XEOM(AAS)f

：?OF=EM,OE=FA,

9：A(3,1),

：.AF=3fOF=1,

：.M(1,-3)；

②如圖4,當(dāng)NO4A/=90°時(shí)，OA=AMf

過(guò)點(diǎn)4作Z產(chǎn)，y軸交于F點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃作MGL4E交于點(diǎn)G,

VZE4O+ZFOA=90°,ZE4O+ZGAM=90°,

???NAFO=/GAM,

：./XFAO^/XGMA(44S),

：.AF=GM,OF=AF,

9：A(3,1),

：.AF=3fOF=1f

：.M(4,-2)；

③如圖5,當(dāng)NOW4=90°時(shí)，OM=AMf

過(guò)點(diǎn)M作軸交于。點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)力作力尸_1_。加交于尸點(diǎn)，

\9ZOMQ^-ZQOM=90°,ZOMQ+ZAM=90°,

：.ZQOM=/AMP,

：./\OQM^/\MPA(AAS),

：?OQ=MP,QM=AP,

9：A(3,1),

：.QM+MP=3,\+QO=QM,

???1+00+00=3,

：.Q0=\,

：.M(2,-1)；

綜上所述：M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3)或(4,-2)或(2,-1).

4.(1)解：VZBAC=14°,

AZABC^-ZACB=\06°,

?：BE平分/ABC,CF平分N4C5,

ZDBC=—/ABC,ZDCB=—NACB,

22

/.ZDBC+ZDCB=-QABC+NACB)=53。，

2

：.ZBDC=127°,

故答案為：127°；

(2)證明：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。G_L48于G,DHL4c于H,DPLBC于P,

平分N/8C,CC平分/NC8,DGA.ABTG,DHLAC于H,DPLBC于P,

:.DP=DH=DG,

'：MD±BE,

：.ZMDE=ZA=90°,

AZAMD+ZAED=180Q,

VZAMD+ZDMG^180°,

：.NDMG=NAED,

又,；NDG4=NDHE=90°,

:.l\DMG安/\DEH(44S),

:.DM=DE；

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)G作G0J_DC,且GQ=GC,連接QV,

'：ZBAC=60°,ZABC=S0°,

AZACB=40°,

；./BCD=20°,

?.?將線段GM繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得GN,

:?MG=GN,/MGN=90°=/QGC,

?,.ZMGC=ZQGC,

又?.?G0=GC,MG=GN,

:?△MGgANGQ(SAS),

：.ZQ=ZMCG=20°,

???點(diǎn)N在直線QN上運(yùn)動(dòng)，

J當(dāng)。NJ_QV時(shí)，ON有最小值為。M,

此時(shí)，延長(zhǎng)MG交8C于T,連接MVf,

點(diǎn)為H,

?：DNkQN,BCLNQ,

:?DN〃BC,NBHQ=90°,

：?ZNDG=4BCD,4THN=90°,

???點(diǎn)G是8C的中點(diǎn)，

:?DG=CG,

又丁NDGN=/CGT,

:?/\DNG%叢CTN(ASA)f

:.TG=GN,

:?TG=GN=GM\

???NT"M=90°,

???點(diǎn)M與點(diǎn)〃重合，

,:GM=GN,/MGN=90。,

???NGMl/=45°,

???N0GM=25°,

???NQGC=NMGM=90°,

:?/MGC=/QGN=25°,

???當(dāng)。N最短時(shí)，NMGC的度數(shù)度數(shù)為25。.

5.(1)解：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)從

由旋轉(zhuǎn)可知，DE=CD,ZCDE=90°,

?：CE=n,

：.CD=6yp2,

在RtZXCDH中，ZADC=30°,

：.CH=3\[2,DH=3巫,

在RtA4cH中，乙4=45°,

：.AH=HC=?>\[2,

：.AD=AH+DH=3y/2+3企；

(2)證明：過(guò)E點(diǎn)作EKLNB交于點(diǎn)K,

由旋轉(zhuǎn)可知，DE=CD,NCDE=90°,

/EDK+NFDC=ZFDC+ZDCF,

：.ZEDK=NDCF,

：./\EDK^/\DCF(44S),

：.DK=CF,EK=DF,

；/Z=45°,

ACF=AF,

：.DK=AF,

,:GE〃AC,

：.ZEGK=ZA=45°,

：.GK=EK=DF,

：.GD=KF,

：.DF=DK+KF=AF+GD,

:.AG=2DF；

(3)解：過(guò)點(diǎn)C作CN8交于尸點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作N/8G=30°,過(guò)點(diǎn)。作2G交

于點(diǎn)

2

"：CD=ED,

：.DE+^BD=DE+MD=CD+MD^CM,

2

過(guò)點(diǎn)C作CNLBG交于點(diǎn)N,

當(dāng)?！?工8。=。汽時(shí)，DE4BD有最小值；

22

過(guò)“作AQVBC交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,

"8ZC=45°,48C=15°,

AZACQ=60°,

設(shè)C0=x,則4C=2x,AQ=6X,

在Rt△4C尸中，AF=CF=&x,

:?AB，CF=BC?A。,

：.(3+36)?版x=BC,退x,

解得8C=3十凈,近,

V3

9：ZCBN=45°,

??.CN=^3C=6+3,

2

6.(1)證明：如圖，在OO中，

?；?！?上48于點(diǎn)”,

:?DM=CM,

VZOMD=ZAMC=90°,OM=AM9

:?4OMD學(xué)AAMC(SAS),

：.ZODM=/ACM,

：.OD//AC,

*：DE-LCAf

:?NE=90°,

：.ZODE=\800-Z90°=90°,

是。。的半徑，且。

.?.OE是00的切線.

（2）①補(bǔ)全圖形如圖所示.

②如圖，連接。C,作尸GL/B于點(diǎn)G,則NOG尸=90°,

垂直平分。4

.\AC=OC=OA,

.?.△/OC是等邊三角形，

ZACO^ZMOC=60°,

AZOCM^ZACM=-ZACO=30Q,

2

：.DE=—CD,

2

'：CM^—CD,

2

:.CM=DE=M，

?.?/OMC=90°,

：.OM=—OC,

2

,：OM2+CM2=OC2,

（/oc）2+（V3）2=00,

解得0c=2或0c=-2（不符合題意，舍去），

：.OF=OC=2,

'：ZDCF=45°,

:.NDOF=2NDCF=90°,

'：ZDOM=ZCAM=60°,

：.ZFOG=180°-60°-90°=30°,

：.FG=^OF=\,

2

■:NMNC=4MCN=45°,

:.NGNF=NMNC=45°,

:.NGFN=NGNF=45°,

：.NG=FG=l,

:.FN=Q]2+]2=6.

7.解：（1）過(guò)。作。G_L8C,垂足是G,如圖1：

:.NEBD=90°,

■:NABE=15°,

二480=15°,

VZABC=45°,

:.NDBC=30°,

二在直角△BOG中有OG=/BD=2,BG=V3DG=2V3,

VZACB=45°,

在直角△■DCG中，CG=DG=2,

/.BC=BG+CG=2+2V3,

BC—yf'Z+A/6;

（2）線段。C與線段〃G的數(shù)量關(guān)系為：〃G=W~CD，

證明：延長(zhǎng)。，過(guò)E作EN垂直于C4的延長(zhǎng)線，垂足是N,連接8MED,過(guò)G作GA7

_LZ8于如圖：

由旋轉(zhuǎn)可知NEBD=90°,

：.ZEDB=45°

:./END=ZEBD=90°,

：.E,B,D,N四點(diǎn)共圓，

:.NBNE=NEDB=45°,NNEB+NBDN=180°

?:NBDC+NBDN=180°,ZBCD=45°,

：.NBEN=ZBDC,

：.ZBNE=45°-BCD,

在△SEN和△BOC中，

rZBNE=ZBCD

■ZBEN=ZBBC.

,BE=BA

:.ABEN必BDC(44S),

：.BN=BC,

,：ZBAC=90°,

在等腰△8NC中，由三線合一可知反4是CN的中線,

■:NB4C=NEND=90°,

J.EN//AB,

?.?/是CN的中點(diǎn)，

尸是EC的中點(diǎn)，

：G是8c的中點(diǎn)，

...尸G是△BEC的中位線，

J.FG//BE,FG=—BE,

2

?:BELBD,

:,FGLBD,

VZABD=30Q,

AZBFG=60°,

VZABC=45°，

：.ZBGF=15°,

設(shè)4C=m則48=a,

在RtA^RD中，,4D=—a,BD=BE=^^3,

33

：.FG=^BE,

2

."G=^-a,

3

'：GM±ABf

...△8GM是等腰三角形，

:.MG=MB=^~BG*吟BC嗎'AC=1a-

乙乙乙乙乙乙

在RtZ\MFG中，ZMFG=60°,

:*MF=MG,

6&

BF=BM+MF=3'1^a,

6

在RtZ\8"7中，ZBFG=60°,

HG=FG-FH=^

312

又.：CD=

.CD_4

.?函—TT

:.HG="6

4

(3)設(shè)則8c=64，取BC的中點(diǎn)M連接不D,A'C,A'N,連接。N,

如圖3,

B

由旋轉(zhuǎn)可知HB=AB=a,

?.?支上一^—=揚(yáng)4=&=近，

BNV2KBa

石a

BNVB"2'

又NA'BN=NCBA',

：./\A'BNs^CBA',

.A'N_A'B&

,?A'C-BC2，

V2

：.A'N^—A'C,

2

根據(jù)旋轉(zhuǎn)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，A'D+^AZc最小，即是⑷。+/W最小，此時(shí)。、

4、N共線，即4在線段。N上，

設(shè)此時(shí)4落在/"處,過(guò)Z"作4hL/8于F,連接44",如圖4,

,:D,N分別是ZC,8c的中點(diǎn),

.?.ON是△/BC的中位線，

C.DN//AB,

"."ABLAC,

：.DNLAC,

V=ZA"E4-ZA"DA=90°，

...四邊形4'用。是矩形，

：.AF=A''D,A''F=AD=2,

?.?又4'8=/8=4,

設(shè)AF=x,

在直角三角形⑷‘心中，A"B2=A”產(chǎn)+BF^,

,42=22+(4-x)2,

解得X=4-W5.

.?.此時(shí)S,BC=S/BC-S0,'B-%,NC=W"-匆""尸-勺CW甘X4X4

-^X4X2--^-X4X(4-2\f3)=4\后-4.

8.(1)解：如圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CH_L8Z)于“，設(shè)￡7/=x.

圖1

是等邊三角形，

:.AD=DE=4,NAED=/CEH=60°,

■:NCHE=90°,

：.CH=EH'tan60°=0x,

..。2=飯+￡)/,

/.25=3x2+(x+4)2,

A4X2+8X-9=0

.”=二2K一或一(舍棄)，

22

?-2V3

??U/79

2

???%BEC=}X4X屈:年二體-2M.

解法二：過(guò)點(diǎn)8作8JJ_/C交4C的延長(zhǎng)線于/過(guò)點(diǎn)。作。TL4E于兀

A

T

證明區(qū)/=。r，求出。丁，即可解決問(wèn)題.

(2)證明：如圖2中，延長(zhǎng)力尸到G,使得bG=4F,連接。G,CG,延長(zhǎng)GC交5。

于T,過(guò)點(diǎn)C作CHLBD于H.

?：AF=FG,CF=FD,

.??四邊形ACGD是平行四邊形，

:.AC//DG,GC〃AD,

：.ZCAD+AADG=\^°,

???△4OE是等邊三角形，

：.AE=AD,AAED=ZADE=ZEAD=60°,

：.ZAEB=ZADG=\2Q°,

：.ZCGD=ZEAD=60°=/GDT,

???△DGT是等邊三角形，

:.DG=DT,/CTE=NCET=60。,

.?.△CET是等邊三角形，

ACT=CE,NCTE=NCET=6Q°,

,:CB=CD,CHLBD,

：.BH=DH,TH=EH,

:.BT=DE,

:.BE=DT=DG,

：.^AEB^^ADG(SAS),

：.AB=AG=2AF.

(3)解：如圖3中，取力。的中點(diǎn)。，連接OP,OB,0C,取08的中點(diǎn)),連接QJ,

CJ,過(guò)點(diǎn)C作于尸，在J8上取一點(diǎn)T,使得JT=X2_,連接。T,TC.

5

AZ/4DC=9O°,

?：CFLAB,

；.NCE4=90°,

二四邊形//8是矩形,

:.AD=CF=4?

tanNCBA-—2,

BF

：.BF=142,

二/尸=小歷，

：.AD=AF,

四邊形4尸8是正方形,

;BC=VBF2+CF2=1(木歷)2十(4&)2=2V10，CO=\/OD2+CD2=

V(2V2)2+(472)2=2VW，08=Jo人2+AB2=4后

:?CB=CO,

?:CF=CD,ZCFB=ZCDO=90°,

ARtACFB^RtACOOQHL),

：./BCF=/DCO,

：.ZBCO=ZDCF=90°,

BJ=JO,

?*CJ=-^OB~2A^5，

C7，=VTJ2+CJ2=J(^~)2+(2遙)2,

?：BQ=QP,BJ=JO,

:?QJ*OP=K，

???Q/=2,TJ，JB=—X2A/5=2,

5

.QJ,JB

*'JTQJ'

?：NQJT=ZQJB,

:.△QJTs^BJQ,

提

.QT_JT_5_V10

"BQJQ7710,

CQ+^^-BQ=CQ+QT^CT=~^-,

C°+曙/0的最小值為華￡.

9.解：（1）由題意知：/?=V3

???直線4：y=-VSx+Vs

當(dāng)y=0時(shí)，x=i

：.C(1,0)

?.?直線外尸=率*力舊

.?.當(dāng)y=0時(shí)，與xW5=。，

/.x=-3

：.A(-3,0)

沁加=/[1-(-3)]Xe=2?；

(2)在RtZ\A8。中，月82=402+802=32+(e)2=12

在RtZXBOC中，8C2=OC2+O82=i2+(6)2=4

■：在AABC中，4B2+BU=12+4=16=^(72

二△NBC是直角三角形，J.ABLBC

作C點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'(-1,2愿)，連接CE交直線/]于F,

圖1

VC(-1,2A/3)E(5,0)

二直線CE：y=-^-x+1V3

y=-^-xi-|-V3

y=/^x-N^3

\=1

解得:|丫竽

?"(l，173)

作二、四象限的角平分線4,過(guò)點(diǎn)P作尸0，/3于0，

貝ljPQ=-^-OP,

2

PF+^-0P=FP+PQ,

當(dāng)足P,。三點(diǎn)共線時(shí)最小，即過(guò)尸作尸于。交V軸于P，作FG〃。？交直線4

于G.

此時(shí)△尸0G為等腰直角三角形，斜邊尸G=其空?+1,

,PF‘券0尸的最小值為：尸0=卒尸6=告旄+^

(3)①如圖2中,當(dāng)為M=8|N時(shí)，

:點(diǎn)G中直線y=叵x(chóng)-叵上運(yùn)動(dòng),設(shè)G(加，——),BQ1交x軸于￡,則

OOOO

EB}=?+返m-亞_=&&+近切，

13333

BiE9142

OE=-^=—+^m,MB、=NB、=20E=3+且m,

V3331133

把點(diǎn)M坐標(biāo)代入直線y=得到:

—V3+^-m+—+—m=-A/3（機(jī)-1）+V3.

3333

解得加=14-臚

②如圖3中當(dāng)MN=A"|時(shí)，同法可得

把點(diǎn)M代入、=-通由?得到，2恒+"，〃=?

Vs（陽(yáng)-1）+V3，

99

解得，加=菖.

5

2^34^132、

③如圖4中，當(dāng)為歷=8]N時(shí)，同法可得〃（加-1

3333

\「卜，/

Jq江k；v'

V4

把點(diǎn)“代入尸-eX+6得到，呼~(yú)-母耳，

7?--m=-A/3（〃？-1）十一§，

OOO3

解得加=14+y.

跡+國(guó)），

④如圖5中，當(dāng)MW=N5|時(shí)，同法可得MC/n-l,

.\/

圖5赭

把點(diǎn)”代入y=-禽xW§得到，-（尊

=~\[3（m-1）W3.

解得〃?=4,

14+6e成彳

綜上所述，G的橫坐標(biāo)為：14-6產(chǎn)或盤(pán)或

11511

10.解：（1）將B（3,0）,C（0,3）代入丁=-x2+bx+c得：

r-9+3b+c=0）解得（b=2,

\c=3Ic=3

.??拋物線的解析式為y=-N+2X+3,

在y=-x2+2x+3中，令y=0得-x2+2x+3=（）,

解得x=3或x=-1,

：.A(-1,0),

答:拋物線的解析式為y=-H+2X+3,點(diǎn)4的坐標(biāo)是(-1,0)；

(2)在〉軸上存在一點(diǎn)E,使得△8OE是以8。為斜邊的直角三角形，理由如下:

二線段/C的中點(diǎn)。(卷卷),

設(shè)E(0,(),

又B(3,0),

?；NBED=90°,

：.BE2+DE^=BD2,

即(3-0)2+(0-/)2+(0+工)2+(/-3.)2=(3-L)2+(0-3)2,

2222

化簡(jiǎn)整理得：2/2-2/-3=0,

解得/=更返_或尸圭亞1_,

44

.?.E的坐標(biāo)為(0,刎11_)或(0,支婪_)；

44

(3)?:B(3,0),C(0,3),

???8。的解析式為：y=-x+3,

作直線〃?〃5C,如圖:

當(dāng)直線機(jī)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這個(gè)公共點(diǎn)即為P,此時(shí)尸0最大,

由-x+n--x2+2x+3得x2-3x+n-3=0,

?：x=(-3)2-4X1X(M-3)=0,

._21

../7-------4----,

此時(shí)X2-3X^^-3=0,

4

解得:xl=x2=^,

：.p邑耳，

24

過(guò)P作尸MLx軸于N,交BC于M,

CO3V2MN

:sin/C8O=

BC-372-2-BM

BM,

2

...PM+喙

BM最小即是PM+MN最小,

而PN_Lx軸，P、M、N共線,

8M最小值即是尸N的長(zhǎng),

15

BM=PM+MN=PN=—

24

即PM4yA的最小值是生.

24

11.解：(1)因?yàn)閥=-工W+^lx+5=-1(x-5\f3)(x+x/3).

333

：.A(-xTS,0),B(56，0),C(0,5),拋物線對(duì)稱軸為x-5V3-V3=2正,

2

由8、c坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=-噂x+5,

令x=24，貝ijy=-返X2\f§+5=3,

3

：.D(25/3,3),

：.CD=CD'^4.

設(shè)E（s,-上加2+生應(yīng)加+5）,則尸（加，-返〃?+5）,

333

.…-1,,464＜、眄0—12國(guó)巨-1（5對(duì)、2,

EF3333332

25■,

4

.?.當(dāng)〃?=上叵時(shí)，￡廠取得最大值空，此時(shí)E（殳巨，生）.

2424

如圖1,作平行四邊形ECDE,則EC=E77,E（會(huì)巨，—）.

24

作OG_L08于G,EHLOB于H.

圖1

VtanZCBO=—=—^=-=—,所以/C8O=30°,

OB5V33

：.D'G=—D'B,

2

:.EC+CD'+D'B=CD'+E'D'+D'G^CD'+EH,

當(dāng)且僅當(dāng)￡、D\G三點(diǎn)共線時(shí)，

107

EC+CD'^D'B取得最小值CD'+E'H=4+^-!-=—.

244

（2）①如圖2,是等邊三角形，此時(shí)。與8重合,

圖2

等邊三角形的邊長(zhǎng)為AQ=AB=M.

②如圖3,△/P。是等邊三角形，此時(shí)。與8重合，尸在x軸下方.

???等邊三角形的邊長(zhǎng)為AQ=AB=6>f3.

③如圖4,△ZP0是等邊三角形，此時(shí)。與C重合，P在x軸上方.

等邊三角形的邊長(zhǎng)為AQ=AC=2\H.

④如圖5,△NP0是等邊三角形，此時(shí)0在第三象限，P在x軸下方.

?：R4=PB=PQ,所以從。、8三點(diǎn)在以P為圓心均為半徑為圓周上,

AZABQ=^ZAPQ=30°,

，直線BQ的解析式為了=喙》-5,

聯(lián)立方程組，

y=4'”挈"5

解叱于或｛記(舍)'

.?.0=(-2e,-7),

：.AQ=2\[r^>即等邊△/P0的邊長(zhǎng)為2jJE.

綜上所述，滿足要求的等邊三角形的邊長(zhǎng)可以是：66、2/、2^/13