三線扭擺測定物體的轉(zhuǎn)動慣量摘要：通過實驗熟悉秒表、水平儀、游標(biāo)卡尺、米尺等儀器的使用，掌握質(zhì)量和周期等量的測量方法；了解用三線擺測轉(zhuǎn)動慣量的原理和方法，研究剛體轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布的關(guān)系；最后穩(wěn)固誤差并對測試結(jié)果做了分析。關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動慣量；質(zhì)量分布；三線扭擺；平行軸定理引言轉(zhuǎn)動慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動特性的物理量，是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，它與剛體質(zhì)量的大小、轉(zhuǎn)軸的位置和質(zhì)量分布等有關(guān)。對于簡單形狀的剛體，可以通過數(shù)學(xué)方法計算出它繞特定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，但對于形狀復(fù)雜的剛體，如機(jī)械零件、槍炮彈體等，用數(shù)學(xué)方法計算它的轉(zhuǎn)動慣量就非常困難，有時甚至不可能，一般用實驗方法測定。測定剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法有多種，本實驗采用三線扭擺法。正文1轉(zhuǎn)動慣量剛體和質(zhì)點是力學(xué)中兩個理想模型。在剛體動力學(xué)中，剛體轉(zhuǎn)動的角加速度正比于合外力矩，即，式中J是一個聯(lián)系力矩與角加速度之間的物理量，稱為轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)動慣量與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，還與質(zhì)量相對定軸的分布有關(guān)。一個剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)元離轉(zhuǎn)動軸距離的平方與質(zhì)元質(zhì)量的乘積對整個體積的積分，即。2三線扭擺2.1測圓盤繞中心軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量三條等長的懸線端點分別位于兩圓盤的兩個正三角形頂點上，如下圖，設(shè)圓盤質(zhì)量為，把它繞扭轉(zhuǎn)一個小角度，如果取它的最低位置為勢能零點，撤去外力矩，在這個過程中由機(jī)械能守恒定律得〔1〕式中J0是圓盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量，是經(jīng)過平衡位置時的瞬時角速度，h是上升的高度。本實驗要求﹤0.1rad，圓盤作簡諧振動，因此，式中是圓盤擺動的周期，代入式〔1〕得〔2〕如圖，，代入式〔2〕得。2.2測定圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量的理論值是，式中R1和R2分別為圓環(huán)內(nèi)外半徑。將被測圓環(huán)放在下圓盤上，使兩圓心重合。設(shè)圓環(huán)的質(zhì)量為m1，那么系統(tǒng)的總質(zhì)量為m1+m0，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為J，擺動周期為T1，那么有，所以圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。2.3測定圓柱的轉(zhuǎn)動慣量將兩個質(zhì)量均為M’、半徑為RX、形狀相同的圓柱體對稱地放置在懸盤上，柱體中心離懸盤中心的距離為x，按上法測得兩圓柱體和懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動周期為T想，那么兩圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為：QUOTE2Jx=m+2根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理，圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的理論計算公式為：QUOTEJx=M'x23實驗儀器三線扭擺、圓環(huán)一個、圓柱兩個、秒表、水平儀、游標(biāo)卡尺、米尺4用三線扭擺測定物體的轉(zhuǎn)動慣量實驗過程a.調(diào)整懸盤水平：將水平儀置于懸盤任意兩懸線之間,調(diào)整上盤上的三個旋鈕,使水平儀的氣泡在中間.再把水平儀放到另外兩懸線之間,調(diào)整上盤上的三個旋鈕,使水平儀的氣泡在中間,這時懸盤水平.b.測定儀器常數(shù)R,r：r和R分別為上下圓盤中心到懸點的距離,通過測出的兩圓盤的相鄰兩個懸點間的距離a和b由等邊三角形關(guān)系算出r和R.c.測出兩盤之間的垂直距離H、圓環(huán)的內(nèi)外直徑2R1和2R2、圓柱體直徑2Rx及圓柱體中心至懸盤中心的距離x.并測量圓環(huán),圓柱體和懸盤的質(zhì)量〔M、M’、m已標(biāo)明〕.d.測量空盤繞中心軸AB轉(zhuǎn)動的運動周期:輕輕轉(zhuǎn)動上盤(上盤上有小轉(zhuǎn)動桿),帶動下盤轉(zhuǎn)動,這樣可以防止三線擺在做扭動時發(fā)生晃動.注意扭擺的轉(zhuǎn)角控制在5°以內(nèi).用積累放大法測出扭擺運動的周期(測量擺動50次所需的時間)，重復(fù)三次取平均值，求出懸盤的擺動周期T.e.測量待測圓環(huán)與下盤共同轉(zhuǎn)動的周期:將待測圓環(huán)置于下圓盤上,注意使兩者中心重合,按上面的方法測出它們一起扭擺運動的周期T1.測出兩個小圓柱體(對稱放置)與下盤共同轉(zhuǎn)動的周期Tx.f.記錄好以上各物理量.4．1數(shù)據(jù)記錄及處理g(g(重力加速度)=9.793m/s2m0〔圓盤〕m1〔圓環(huán)〕=1182gm21〔圓柱〕=m22〔圓柱〕=137gx(兩圓柱離中心距離)=表1待測剛體的有關(guān)尺寸數(shù)據(jù)的記錄及簡單計算工程12345平均值圓盤a(cm)7.6687.6707.666//7.668b(cm)16.0816.0916.10//16.09H(cm)44.8544.8844.9044.9044.9244.89圓環(huán)D內(nèi)(cm〕10.01810.01210.02010.01210.00810.016D外(cm)15.01015.01215.01415.00815.00615.010圓柱D21(cm)2.4922.4902.4882.4922.4882.490D22(cm)2.4902.4882.4882.4902.4942.490表2待測剛體的擺動時間的數(shù)據(jù)表〔周期數(shù)為35〕

待測剛體振動35次所需時間/sT=t/3512345平均空載與圓盤t049.4349.4749.4849.3949.4649.451.41下盤與圓環(huán)t148.9048.9048.9548.9948.8848.921.40下盤與兩圓柱t246.9146.9146.8947.2947.4247.081.354.2實驗過程記錄1〕各個屢次測量的物理量的平均值及不確定度：；;t0=49.45±0.04(s)；〔s〕;t1=48.92±0.05(s);;t2=47.08±0.25(s)2〕待測物體的轉(zhuǎn)動慣量下盤加圓環(huán)：a〕空盤的轉(zhuǎn)動慣量：b〕空盤加圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量：c〕圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量平均值：圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量結(jié)果表示：=〉下盤與兩圓柱體：結(jié)果表示：理論公式：3)百分誤差的計算a)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量理論公式：相對誤差：b)圓柱的轉(zhuǎn)動慣量理論公式：相對誤差：4.4實驗結(jié)果分析4.4.1實驗結(jié)果分析r,R僅為軸心到懸孔之間的距離，不能代表真正懸盤的半徑大小。R實=8.500cm.R=7.983cm造成J的理論值比實際值偏大，因此，將R0代入數(shù)據(jù)將更準(zhǔn)確，更接近于真實值。測量H時應(yīng)先穩(wěn)住懸盤，使直尺與懸盤保持垂直，并最后減去直尺邊緣至“0〞刻度線的一小段距離。小圓柱體在圓盤上應(yīng)對稱放置，且x值不能直接得到，應(yīng)用中心至圓柱體內(nèi)側(cè)邊緣的距離加上小圓柱體的半徑。測量圓環(huán)的內(nèi)外直徑時，不易把握位置，常常導(dǎo)致測量結(jié)果偏小?？偨Y(jié)：最終得出實驗值和理論值的誤差都在3%以下，說明三線扭擺法測轉(zhuǎn)動慣量是一個比擬準(zhǔn)確的方法。而測量周期時取50次求平均也有效地減小了誤差。4.4.2阻尼作用分析眾所周知，阻尼作用使振動發(fā)生頻移為是無阻尼的諧振動的圓頻率，系阻尼指數(shù)。阻尼引起周期的誤差為式中n=(λT0)-1是振幅衰減e倍所需經(jīng)歷的振動次數(shù)。實驗證實，在正常的空氣環(huán)境中，n>50是相當(dāng)保守的估計，因此本文可忽略阻尼的影響。其中(α2+β2)/8為系統(tǒng)誤差，只需適當(dāng)調(diào)平上、下圓盤，就可使此誤差小于10－4。重點應(yīng)放在正確地測量周期并適當(dāng)增加測量次數(shù)，以使屢次周期測量的相對誤差E測〔Ts〕和E測(Tα)盡量減小，這對于間接測量更為重要。間接測量時，盡可能選用重量輕的下圓盤，也能減小實驗誤差。6結(jié)語轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，它與剛體的質(zhì)量、轉(zhuǎn)軸位置及質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)。對于形狀簡單規(guī)那么的剛體，測出其尺寸和質(zhì)量，可用數(shù)學(xué)方法計算出轉(zhuǎn)動慣量，而對形狀復(fù)雜的剛體用數(shù)學(xué)方法求轉(zhuǎn)動慣量非常困難，一般要通過實驗方法來測定。三線扭擺法測轉(zhuǎn)動慣量是一種簡單易行的方法。本文介紹了三線扭擺法測轉(zhuǎn)動慣量的方法，并進(jìn)行了實際測試。測試結(jié)果說明用三線扭擺法進(jìn)行測量轉(zhuǎn)動慣量準(zhǔn)確度較高但仍存在一些誤差，如空氣中產(chǎn)生的阻尼作用使周期變長等，我們的工作僅是初步的，還要采取其他措施來提高測量轉(zhuǎn)動慣量的準(zhǔn)確性。參考文獻(xiàn)：[1]錢鋒.潘人培.大學(xué)物理實驗〔修訂版〕[M].2005年11月第2版，高等教育出版社：1986.51-56[2]實驗六用三線扭