專題15共邊共角相似模型【模型】如圖，已知,要證∽,只需再知道一組對應(yīng)角相等（兩組對角分別相等的兩三角形相似）或（兩組對應(yīng)邊成比例且其夾角對應(yīng)相等的兩三角形相似）即可證明∽【例1】如圖，在中，是斜邊上的高，則圖中的相似三角形共有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD所以有三對相似三角形，故選：C．【例2】如圖，在中，點D在AB上，請再添一個適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是__________．【答案】（答案不唯一，也可以增加條件：或）．【分析】題目中相似的兩個三角形已經(jīng)有一個公共角，可以再增加一對相等的角，用兩組角相等判定兩三角形相似，也可以增加兩組對應(yīng)邊成比例，利用兩組邊對應(yīng)成比例及夾角相等判定兩三角形相似．【解析】若增加條件：∠ACD=∠ABC，∵∠ACD=∠ABC，且∠A=∠A，∴．【例3】定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)為的理想點,理由見解析(2)或【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點是的“理想點”；（2）由是的“理想點”，分三種情況：當(dāng)在上時，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當(dāng)在上時，，對應(yīng)邊成比例即可求長度；不可能在上．【解析】（1）解：點是的“理想點”，理由如下：是中點，，，，，，，，，，，點是的“理想點”；（2）①在上時，如圖：是的“理想點”，或，當(dāng)時，，，，即是邊上的高，當(dāng)時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，，②，，有，“理想點”不可能在邊上，③在邊上時，如圖：是的“理想點”，，又，，，即，，綜上所述，點是的“理想點”，的長為或．一、單選題1．如圖，點是的邊上的一點，若添加一個條件，使與相似，則下列所添加的條件錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在與中，已知有一對公共角∠B，只需再添加一組對應(yīng)角相等，或夾已知等角的兩組對應(yīng)邊成比例，即可判斷正誤．【解析】A．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；B．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；C．已知∠B=∠B,若，則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；D．若，但夾的角不是公共等角∠B，則不能證明兩三角形相似，錯誤，符合題意，故選：D．2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點D為垂足，為了證明∠BAC＝90°，以下添加的等積式中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①由題意得出，證明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，則可證出結(jié)論；②不能證明△ABC與△ADC相似，得出②不符合題意；證出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合題意；根據(jù)不能證明△ABC與△ABD相似，則可得出結(jié)論．【解析】解：①∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵，∴，∴△ADC∽△BDA，∴∠DAC=∠ABD，∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，故①符合題意；②∵AB?CD=AC?AD，∴，∴不能證明△ABC與△ADC相似；故②不符合題意；③∵，∴，∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴∠ADC=∠BAC=90°，故③符合題意；④由不能證明△ABC與△ABD相似，故④不符合題意；故選：B．3．如圖，D是△ABC的邊AB上一點，要使△ACD∽△ABC，則具備的條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件逐一判斷即可．【解析】解：由題意得∠DAC=∠BAC，當(dāng)時，不能證明△ACD∽△ABC，故A選項不符合題意；當(dāng)時，不能證明△ACD∽△ABC，故B選項不符合題意；當(dāng)時，不能證明△ACD∽△ABC，故C選項不符合題意；當(dāng)，即時，能證明△ACD∽△ABC，故D選項符合題意；故選D．4．如圖，D是△ABC的邊AB上一點，下列條件：①∠ACD＝∠B；②；③＝；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】△ABC和△ACD有公共角∠A，然后根據(jù)相似三角形的判定方法對各個條件進(jìn)行判斷，從而得到答案．【解析】∵∠DAC=∠CAB，∴當(dāng)∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB，可根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷△ACD∽△ABC，故①④正確；當(dāng)時，可根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷△ACD∽△ABC，故②正確；當(dāng)＝時，雖∠DAC=∠CAB但不是夾角，所以△ACD與△ABC不相似，故③不正確．因此有3個正確．故選：C．5．如圖，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD為BC邊的中線，過點C作CE⊥AD于點E，交AB于點F．若AC＝2，則線段EF的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點B作BH⊥BC，交CF的延長線于H，由勾股定理可求AD的長，由面積法可求CE，由“AAS”可證△ACD≌△CBH，可得CD＝BH＝1，AD＝CH＝，通過證明△ACF∽△BHF，可得＝，可求CF的長，即可求解．【解析】解：如圖，過點B作BH⊥BC，交CF的延長線于H，∵AD為BC邊的中線，AC＝BC＝2，∴CD＝BD＝1，∴AD＝＝＝，∵，∴CE＝＝，∵∠ADC+∠BCH＝90°，∠BCH+∠H＝90°，∴∠ADC＝∠H，在△ACD和△CBH中，，∴△ACD≌△CBH（AAS），∴CD＝BH＝1，AD＝CH＝，∵AC⊥BC，BH⊥BC，∴AC∥BH，∴△ACF∽△BHF，∴＝，∴CF＝，∴EF＝CF﹣CE＝﹣＝，故選：B．6．如圖，在△ABC中，DEBC，過點A作AM⊥BC于M，交DE于N，若S△ADE：S△ABC＝4：9，則AN：NM的值是（）A．4：9 B．3：2 C．9：4 D．2：1【答案】D【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)，即可得到相似比，根據(jù)相似比即可得到結(jié)果．【解析】解：∵,∴，∵，∴相似比，∵，∴，∴相似比，∴，故選：D．7．如圖，在中，點在AB邊上，若，，，，則線段CD的長為（

）A．4 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解析】解：∠ADC＝∠ACB，，，，∵，，，∴,，即AC=∴，解得DC=．故選C．8．如圖，在中，，將繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，此時點D在上，連接，線段分別交于點H、K，則下列四個結(jié)論中：①；②是等邊三角形；③；④當(dāng)時，；正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】①由繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到△AEF≌△ABC，又由∠BAD＝60°，即可證明；②由ABCD，得到∠EDH＝∠DAB＝60°，又由ADBC，得到∠AEF＝120°，進(jìn)一步得∠DEH＝60°，∠DHE＝60°，結(jié)論得證；③過點H作HMAD交AB于點M，連接DM，證明△BHC、△DMH和△BHM是等邊三角形，得到DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，點H為CD的中點，再證明△CKH∽△AKB，進(jìn)一步得到AD＝3HK；④過點C作CN⊥AB的延長線于點N，分別用AD表示出△ACF和的面積，即可得到結(jié)論．【解析】解：①∵將繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)至，∴△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∵∠BAD＝60°，∴∠CAF＝∠EAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD＝60°，故①正確；②∵ABCD，∴∠EDH＝∠DAB＝60°，∵ADBC，∴∠AEF＝∠ABC＝180°－∠BAD＝120°，∴∠DEH＝180°－∠AEF＝60°，∴∠DHE＝180°－∠EDH－∠DEH＝60°，∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°，∴△DEH是等邊三角形，故②正確；③過點H作HMAD交AB于點M，連接DM，如圖1，∵△EDH是等邊三角形，∴∠BHC＝∠EHD＝60°，∵ADBCHM，∴∠BCH＝∠EDH＝60°，∠DHM＝∠BCH＝60°，∴∠CBH＝180°－∠BCH－∠BHC＝60°，∠BHM＝180°－∠DHM－∠BCH＝60°，∴△BHC是等邊三角形，∵HMADBC，∴∠DHM＝∠BCH＝60°，∠DMH＝∠BHM＝60°，∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°，∴△DMH和△BHM都是等邊三角形，∴DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，∴點H為CD的中點，∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK，∴△CKH∽△AKB，∴，∴，∴AD＝3HK，∴2AD＝3HK錯誤，故③錯誤；④過點C作CN⊥AB的延長線于點N，如圖2，則∠BNC＝90°，∵ABCD，∴∠DCN＝180°－∠BNC＝90°，∵∠BCD＝60°，∴∠BCN＝30°，∴BN＝BC＝AD，CN＝BC＝AD，∴AN＝AB＋BN＝2AD＋AD＝AD，∴AC＝＝AD，由①可知，∠CAF＝＝60°，AC＝AF，∴△ACF是等邊三角形，∴等邊三角形△ACF的高為AC＝AD，∴,∵的邊AB上的高＝CN＝AD，∴，∴，故④正確，綜上，①②④正確，故選：A．二、填空題9．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，則AC的長為．【答案】【分析】證明△ACD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【解析】解：∵AD=2，BD=3，∴AB=AD+BD=2+3=5，∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，即，解得，AC=，故答案為：．10．如圖，，和分別是和的高，若，則與的周長之比為_____．與的面積之比為______．【答案】

2∶3

4∶9【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．【解析】∵和分別是和的高，，，且，∴相似比為2：3，∴與的周長之比為2：3，∴與的面積之比為4：9．故答案為：2∶3；4∶9．11．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O．點E在CD上，且DE：EC＝1：3，連接BE交AC于點F，若OF＝，則正方形的邊長為_______．【答案】7【分析】過點E作EG⊥BD于點G，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△BOF∽△BGE，可得，根據(jù)DE：EC=1：3，設(shè)DE=x，則EC=3x，可得DC=BC=4x，列出方程即可求出結(jié)果．【解析】解：如圖，過點E作EG⊥BD于點G，∵正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∴AC⊥BD，∠BDC=45°，∴∠BOF=∠BGE，∵∠OBF=∠GBE，∴△BOF∽△BGE，∴∵DE：EC=1：3，設(shè)DE=x，則EC=3x，∴DC=BC=4x，解得4x=7，∴BC=4x=7，∴正方形的邊長為7．故答案為：712．如圖，已知，，點M、N分別是、的中點，則________．【答案】1：2【分析】由于，得出，∠B=∠E，結(jié)合中線的定義得出，則可證明△ABN∽△DEN，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)果．【解析】解：∵，∴，∠B=∠E，∵點M、N分別是、的中點，即，，，∴△ABN∽△DEN，，故答案為：1：2．13．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AF平分∠BAC，交DE于點G，交BC于點F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，則DE：BC＝_____．【答案】【分析】先證△ADE∽△ACB，再根據(jù)GA、FA分別是△ADE、△ABC的角平分線可得＝，然后再由AG：FG＝3：2可得AG：AF＝3：5即可解答．【解析】解：∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∵GA、FA分別是△ADE、△ABC的角平分線，∴＝（相似三角形的對應(yīng)角平分線的比等于相似比），∵AG：FG＝3：2，∴AG：AF＝3：5，∴DE：BC＝3：5．故答案為3：5．14．將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如圖①擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C．將△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，則＝________．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD＝AD＝BD＝AB，根據(jù)等邊對等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根據(jù)∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF計算得30°，根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD＝60°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠CPD＝60°，從而得到∠CPD＝∠BCD，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得結(jié)論．【解析】解：∵∠ACB＝90°，點D為AB的中點，∴CD＝AD＝BD＝AB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠ADC＝180°﹣30°×2＝120°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF＝120°﹣90°＝30°；∵∠EDF＝90°，∴∠PDM+∠E′DF＝∠CDN+∠E′DF＝90°，∴∠PDM＝∠CDN，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD＝60°，∵∠CPD＝∠A+∠ADE＝30°+30°＝60°，∴∠CPD＝∠BCD，∴△DPM∽△DCN，∴＝，∵∠ACD＝30°，∠CDP＝90°，∴＝tan∠ACD＝tan30°＝，∴＝．故答案為：．15．如圖，△ABC中，CE⊥AB，BF⊥AC，若∠A＝60°，EF＝2，則BC＝_______．【答案】4【分析】先判定△AFB∽△AEC，進(jìn)而證明△AEF∽△ACB，得到，再證明AB=2AF，問題即可解決．【解析】解：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AFB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A，∴△AFB∽△AEC，∴，即，又∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BF⊥AC，且∠A=60°，∴∠ABF=30°，∴AF=AB，∴BC=2EF=4．故答案為：4．16．如圖，在△ABC中，AB=AC=6．D是AC中點，E是BC上一點，BE=，∠AED=∠B，則CE的長為_____________．【答案】【分析】求出∠BAE＝∠DEC，證明△ABE∽△ECD，推出即可解決問題．【解析】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠DEC，∠AED＝∠B，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴，∵CD＝AC＝3，∴，解得：，故答案為：．三、解答題17．如圖，在三角形ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點A開始沿邊AB運(yùn)動，速度為2cm/s，點Q從點B開始沿BC邊運(yùn)動，速度為4cm/s，如果點P、Q兩動點同時運(yùn)動，何時QBP與ABC相似？【答案】經(jīng)過4秒或1.6秒時，△QBC與△ABC相似【分析】由題意可得，，根據(jù)△QBC與△ABC相似，分情況列式計算即可．【解析】解：由題意可得，∵∠PBQ=∠ABC，當(dāng)時，，即，解得：；當(dāng)時，，即，解得：；即經(jīng)過4秒或1.6秒時，△QBC與△ABC相似．18．已知，如圖，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D為BC邊上一點，BD＝1，AD+AC=8．（1）找出圖中的一對相似三角形并證明；（2）求AC長．【答案】（1）△BAD∽△BCA，理由見詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，然后由∠B是公共角，問題可證；（2）由（1）可得，再由AD+AC=8可求解．【解析】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：AB＝2，BC＝4，BD＝1，，，又∠B=∠B，△BAD∽△BCA；（2）由（1）得：，即，AD+AC=8，，解得：，．19．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根據(jù)∠C=∠C，即可證明結(jié)論．【解析】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．20．已知：如圖，在中，D是AC上一點，聯(lián)結(jié)BD，且∠ABD=∠ACB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB=7，求AC的長.【答案】(1)見詳解；（2）【解析】（1）證明：∵∠A=∠A,∠ABD=∠ACB,∴△ABD∽△ACB.（2）解:∵△ABD∽△ACB，∴，∴，∴21．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）AD=．【分析】（1）證明△ADC∽△ACB，即可得出結(jié)論；（2）證明△BFE∽△BCF，得出BF2=BE?BC，求出BC，則可求出AD．【解析】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∴AC2=AD?AB．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，又∵∠BFE=∠A，∴∠BFE=∠C，又∵∠FBE=∠CBF，∴△BFE∽△BCF，∴，∴BF2=BE?BC，∴BC===，∴AD=．22．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求出CD的長．【解析】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．23．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，∠COB＝2∠PCB．（1）求證：CP是⊙O的切線；（2）若M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB＝6，求MC?MN的值．【答案】（1）見解析；（2）18【分析】（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可，根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP即可；（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ABM＝∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN?MC，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BM，代入數(shù)據(jù)可得MN?MC=BM2=18．【解析】（1）證明：∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO．又∵∠COB＝2∠CAO，∠COB＝2∠PCB，∴∠CAO＝∠ACO＝∠PCB．又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°．即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半徑．∴PC是⊙O的切線；（2）解：連接MA，MB，∵點M是弧AB的中點，∴，∴∠ACM＝∠BCM．∵∠ACM＝∠ABM，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMN＝∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴，∴BM2＝MN?MC．∵AB是⊙O的直徑，，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∴∠ABM=∠BAM=45°，∵AB＝6，∴BM＝ABsin45°==，∴MN?MC＝BM2＝18．24．如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，進(jìn)而求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；（2）由可證，進(jìn)而得出，再由（1）可證，由此即可得出線段之間關(guān)系．【解析】（1）證明：，，，，，，，．（2）解：，，，，AD是△ABC的中線，，，即：，∴．25．（1）如圖1，在中，為上一點，．求證：．（2）如圖2，在中，是上一點，連接，．已知，，．求證：．（3）如圖3，四邊形內(nèi)接于，、相交于點．已知的半徑為2，，，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由化比例，與，可證∽即可；（2）由，可得，AD=BC，根據(jù)線段比值計算，，可得，由∠EAC=∠CAB，可證∽即可；（3）連接交于點，連接，根據(jù)，，可得AC=2AE，根據(jù)線段比值計算可得，由∠BAC=∠EAB，可證∽，可證∠ABD=∠ADB，可得BF=DF，根據(jù)勾股定理OF=，可求，可證，，可得S△BCD=即可．【解析】（1）證明：如圖1，∵，∴，又∵，∴∽，∴．（2）證明：如圖2，∵，∴，AD=BC，∵，，，∴，∴，，∴，∵∠EAC=∠CAB，∴∽，∴，即，∴．∴；（3）解：如圖3，連接OA交于點，連接，∵，，∴AC=2AE，∴，，∴，∵∠BAC=∠EAB，∴∽，∴，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABD=∠ADB，∴點A是弧的中點，BD為弦，OA為半徑，∴，BF=DF，∵，，∴BF=DF=，在Rt△OBF中，根據(jù)勾股定理OF=，∴，∴，∵，∴，，∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=，∴．26．如圖1，四邊形內(nèi)接于是的直徑，．延長交的延長線于點．（1）證明：．（2）當(dāng)時，①求的長度．②如圖2，作平分交于點，連結(jié)，求的面積．【答案】（1）見詳解；（2）①；②【分析】（1）由題意易得∠BAD=∠ACD，由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角得∠ECD=∠BAD，然后問題可求解；（2）①由（1）及題意易得△CDE∽△ABE，則有，進(jìn)而可得，然后設(shè)，最后根據(jù)勾股定理可求解；②連接CF，過點F作FH⊥AE于點H，由題意易得∠ABF=∠ACF=∠ADF=45°，由①可得，，則有，進(jìn)而可得，△FHD是等腰直角三角形，然后設(shè)DH=FH=x，則，由勾股定理可求解x的值，最后根據(jù)三角形面積計算公式可求解．【解析】（1）證明：∵，∴∠BAD=∠ACD，∵四邊形內(nèi)接于，∴∠ECD=∠BAD，∴；（2）解：①由（1）得：，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=∠CDE=90°，∵CD=CD，∴△ADC≌△EDC（ASA），∴AD=DE，AC=CE，∵∠E=∠E，∴△CDE∽△ABE，∵，∴，∴，∴，設(shè)，在Rt△CDE中，，∴，解得：，∴；②連接CF，過點F作FH⊥AE于點H，如圖所示：由①得：，，∵平分，∠ABC=90°，∴∠ABF=45°，∴∠ACF=∠ADF=45°，∵AC是是⊙O的直徑，∴∠AFC=90°，∴△AFC和△FHD是等腰直角三角形，∴AF=FC，F(xiàn)H=DH，∴，設(shè)DH=FH=x，則，∴在Rt△AHF中，，解得：（不符合題意，舍去）∴，∴．27．如圖1，在菱形ABCD中，AC是對角線，AB＝AC＝6，點E、F分別是邊AB、BC上的動點，且滿足AE＝BF，連接AF與CE相交于點G．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交CE于點H，若CF＝4，，求GH的值．（3）如圖3，點O為線段CE中點，將線段EO繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EM，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時，請直接寫出AE的長．【答案】（1）60°；（2）；（3）2或【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到△ABC，△ACD是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△ABF≌△CAE，得到∠BAF＝∠ACE，從而結(jié)合三角形的外角性質(zhì)求解即可；（2）延長GA至點K使得AK＝CG，首先結(jié)合（1）的結(jié)論推出△AFC∽△CFG，得到，從而求出GF，AG，CG，再證明△ADK≌△CDG，推出△DKG是等邊三角形，從而求出DG，最后根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（3）分別根據(jù)等腰三角形的定義進(jìn)行分類討論，并結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，AB＝AC，∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∴△ABC，△ACD是等邊三角形．∴∠ABC＝∠CAE，在△ABF與△CAE中，∴△ABF≌△CAE(SAS)，∴∠BAF＝∠ACE，∴∠CGF＝∠GAC＋∠ACG＝∠GAC＋∠BAF＝∠BAC＝60°；（2）如圖所示，延長GA至點K使得AK＝CG．∵∠BAF＝∠ACE，∴∠FAC＝∠GCF，∵∠GFC＝∠AFC，∴△AFC∽△CFG，∴,∵CF＝4，，AC＝6，∴，，∵∠FGC＝60°，∠ADC＝60°，∴∠AGC＋∠ADC＝180°，∴∠GAD＋∠GCD＝180°，∵∠KAD＋∠GAD＝180°，∴∠KAD＝∠GCD，又∵DC=DA，∴△ADK≌△CDG（SAS），∴DK＝DG，∠KDA＝∠GDC，∴∠KDG＝∠ADC＝60°，∴△DKG是等邊三角形，∴∠AGD＝∠DGH＝60°，DG＝KG＝AK＋AG＝AG＋CG＝，∵，∠DGH＝60°，∴；（3）①若AM=MC，則△MAC為等腰三角形，此時，取AC中點為點P，連接OP，OM，BM，∵∠MEO=60°，EO=EM，∴△OEM為等邊三角形，∵∠FGC=60°，∴∠MEO=∠FGC，∴ME∥AF，∵O為CE的中點，P為AC的中點，

∴OP為△AEC的中位線，OP∥AB，∵△ABC為等邊三角形，△MAC為等腰三角形，P為AC的中點，∴由“三線合一”知，B、M、P三點共線，且BP⊥AC，AP=PC=AC=3，∠ABP=∠ABC=30°，∵△OEM為等邊三角形，∴OE=OM，∠OEM=∠OME，∵OE=OC，∴OM=OC，∠OMC=∠OCM，∴∠OEM+∠OCM=∠OME+∠OMC，即：∠OEM+∠OCM=∠EMC，∴∠EMC=90°，CM⊥EM，∴在Rt△CEM中，∠ECM=90°-60°=30°，此時，如圖所示，將△AEC繞著C點逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△BNC，連接MN，則∠ACE=∠BCN，∠NBC=60°，∵∠ECM=30°，∴∠ACE+∠MCB=30°，∴∠BCN+∠MCB=∠MCN=30°，∴∠MCN=∠MCE=30°，∵CE=CN，∠MCN=∠MCE，CM=CM，∴△MCE≌△MCN，∴∠CMN=∠CME=90°，∴E、M、N三點共線，∴△ECN為等邊三角形，∵∠NBC=∠ACB=60°，∴BN∥AC，∵∠BPC=90°，∴∠NBM=90°，∵∠CMN=90°，∴∠BMN+∠CMP=90°，∵∠BMN+∠BNM=90°，∴∠BNM=∠CMP，∴△BMN∽△PCM，∴，∵，∴，∵PC=3，∴BM=，在Rt△ABP中，AP=3，∠ABP=30°，∴BP=，∴PM=BP-BM=，∵∠MBC=30°，∠OMC=90°-∠OME=30°，∴∠MBC+∠MCB=∠OMC+∠OMP，∴∠MCB=∠OMP，∵OP∥AB，∴∠OPC=∠BAC=60°，∴∠OPM=90°-60°=30°，∴△OPM∽△MBC，∴，即：，∴OP=1，∵OP為△AEC的中位線，∴AE=2OP=2；②若AM=AC，則△AMC為等腰三角形，如圖所示，取AC中點P，連接OP，延長AO交MC于Q點，由①可知，△EMC始終為直角三角形，∠EMC=90°，∠ECM=30°，且EM與AF始終平行，∴∠EMC=∠AQC=90°，AQ⊥MC于Q點，∵OM=OC，∴O點在AQ上，∵∠COQ=60°，∠CGF=60°，

∴此時O點和G點重合，∵∠CPO=∠CAB=60°，∠COQ=60°，∴∠APO=∠AOC=120°，∴△APO∽△AOC，∴，∵AC=6，AP=3，∴，∴AO=，∵Rt△OCQ中，∠OCQ=30°，∴設(shè)OQ=x，則CQ=x，在Rt△CAQ中，，即：，解得：或（不合題意，舍去），∴，，∴由得：，解得：，∵OP是△AEC的中位線，∴AE=2OP=；③若AC=MC，則E點在AB的延長線上，此時與E點在邊AB上運(yùn)動矛盾，故該種情況舍去；綜上，AE＝2或．28．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB上一點．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證出，證明∽，得出，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則（），同（1）得，則，在中，，過作于，易證，求出，再由平行線分線段成比例定理即可得出答案；（3）過點作于，設(shè)，則（），，證明∽，得出，，求出，證明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴設(shè)，則（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，過作于，如圖2所示：則，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：過點作于，如圖3所示：∵，∴設(shè)，則（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：．29．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設(shè)移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．（1）當(dāng)t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．【分析】根據(jù)勾股定理求得AB=5cm．（1）分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況討論：利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求t的值．（2）如圖，過點P作PH⊥BC于點H，構(gòu)造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據(jù)“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S與t的關(guān)系式，則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值．【解析】解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根據(jù)勾股定理，得．（1）以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：①當(dāng)△AMP∽△ABC時，，即，解得；②當(dāng)△APM∽△ABC時，，即，解得t=0（不合題意，舍去）．綜上所述，當(dāng)時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似．（2）存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：假設(shè)存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．如圖，過點P作PH⊥BC于點H．則PH∥AC，∴，即．∴．∴．∵，∴S有最小值．當(dāng)時，S最小值=．答：當(dāng)時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是．30．我們定義：對角線垂直的凸四邊形叫做“準(zhǔn)箏形”．如圖1，四邊形ABCD中，AC⊥BD，則四邊形ABCD是“準(zhǔn)箏形”．（1）“三條邊相等的準(zhǔn)箏形是菱形”是命題；（填“真”或“假”）（2）如圖1，在準(zhǔn)箏形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BC＝4，求CD的長．（3）如圖2，在準(zhǔn)箏形ABCD中，AC與BD交于點O，點P在線段AD