專題5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算專題5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三二導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2.特別提醒：區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線（1）曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線是指P為切點(diǎn)，斜率為f′(x0)的切線，是唯一的一條切線．（2）曲線y＝f(x)過點(diǎn)P(x0，y0)的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條，切線可能有多條．3．幾類重要的切線方程(1)y＝x－1是曲線y＝lnx的切線，y＝x是曲線y＝ln(x＋1)的切線，…，y＝x＋n是曲線y＝ln(x＋n＋1)的切線，如圖1.(2)y＝x＋1與y＝ex是曲線y＝ex的切線，如圖2.(3)y＝x是曲線y＝sinx與y＝tanx的切線，如圖3.(4)y＝x－1是曲線y＝x2－x，y＝xlnx及y＝1－eq\f(1,x)的切線，如圖4.由以上切線方程可得重要不等式，如lnx≤x－1，x＋1≤ex等．知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四常用結(jié)論1．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2.可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若f′(x)為增函數(shù)，則f(x)的圖象是下凹的；反之，若f′(x)為減函數(shù)，則f(x)的圖象是上凸的．3．熟記以下結(jié)論：(1)；(2)(f(x)≠0)；(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．考點(diǎn)01導(dǎo)數(shù)的概念【典例01】（2023上·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某種新產(chǎn)品的社會(huì)需求量是時(shí)間的函數(shù)，記作：．若，社會(huì)需求量的市場(chǎng)飽和水平估計(jì)為500萬件，經(jīng)研究可得，的導(dǎo)函數(shù)滿足：（k為正的常數(shù)），則函數(shù)的圖像可能為（

）A．①② B．①③ C．②④ D．①②④【典例02】（2023上·北京·高二清華附中?？计谥校┮阎瘮?shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【規(guī)律方法】1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法：①求函數(shù)的增量；②求平均變化率；③得導(dǎo)數(shù)，簡記作：一差、二比、三極限.2.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”．3.瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)．考點(diǎn)02導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【典例03】（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【典例04】（2022下·廣東揭陽·高二?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則的值為【總結(jié)提升】1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原則如下：（1）連乘積的形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)；（2）根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)；（3）復(fù)雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導(dǎo)；（4）不能直接求導(dǎo)：適當(dāng)恒等變形，轉(zhuǎn)化為能求導(dǎo)的形式再求導(dǎo)．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決.①分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，適當(dāng)選定中間變量；②分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中特別要注意的是中間變量；③根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)；④復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程.3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的區(qū)間與聯(lián)系：導(dǎo)數(shù)是原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，而導(dǎo)數(shù)值是導(dǎo)函數(shù)在某一點(diǎn)的函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)值是常數(shù).考點(diǎn)03曲線切線的斜率、傾斜角問題【典例05】（2023上·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）奇函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．12 B． C．8 D．【典例06】（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考期中）曲線在處的切線的傾斜角為，則．考點(diǎn)04求在曲線上一點(diǎn)的切線方程（斜率）【典例07】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在處的切線方程為（

）A． B． C． D．【典例08】（2023上·山東·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則在點(diǎn)處切線方程為．【規(guī)律方法】以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0))為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．考點(diǎn)05求過一點(diǎn)的切線方程（斜率）【典例09】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）過原點(diǎn)與曲線相切的一條切線的方程為.【典例10】（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線的方程；(2)求過原點(diǎn)O與曲線相切的直線的方程.【總結(jié)提升】如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝fx0，,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′x0，))得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程．求切線方程時(shí)，要注意判斷已知點(diǎn)是否滿足曲線方程，即是否在曲線上；與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè)．考點(diǎn)06求切點(diǎn)坐標(biāo)【典例11】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【典例12】（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（e，1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.【總結(jié)提升】已知斜率求切點(diǎn)：已知斜率k，求切點(diǎn)(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.考點(diǎn)07切線的平行與垂直【典例13】（2023下·江西·高二校聯(lián)考期中）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．【典例14】（2023上·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)圖像在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線互相垂直，若，則實(shí)數(shù)a的范圍是．考點(diǎn)08曲線的公切線問題【典例15】（2023下·四川綿陽·高二?？计谥校┤糁本€是曲線的切線，也是曲線的切線，則（

）A．2 B．3 C．1 【典例16】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）試寫出曲線與曲線的一條公切線方程.【規(guī)律總結(jié)】1.解決此類問題通常有兩種方法一是利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；二是設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝.2.處理與公切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)，建立方程(組)的依據(jù)主要是：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．考點(diǎn)09求參數(shù)問題【典例17】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，若，則實(shí)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例18】（2023下·廣東汕頭·高二統(tǒng)考期末）已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為.【規(guī)律方法】已知曲線的切線條數(shù)求參數(shù)范圍問題時(shí)，需要明確的是，曲線存在幾條切線，就會(huì)相應(yīng)的有幾個(gè)切點(diǎn)，因此就可以將切線條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；也就是說抓住“切點(diǎn)”這個(gè)“牛鼻子”，將問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．考點(diǎn)10導(dǎo)數(shù)幾何意義相關(guān)的應(yīng)用問題【典例19】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，直線與曲線相切，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【典例20】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為.【規(guī)律方法】求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍．(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．2．（2020·北京·高考真題）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．3.（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．一、單選題1．（2022下·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．2.（2023上·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則（

）．A．3 B．2 C．1 D．03．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．－4 B．－3 C．4 D．34．（2023下·湖北·高二武漢市第四十九中學(xué)校聯(lián)考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）．A．26 B．23 C．15 D．11二、多選題5．（2023下·湖南·高二期中）過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程可能是（

）A．B．C．D．三、填空題6．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為．7．（2022上·四川廣安·高三廣安二中?？计谥校┣€在處的切線的傾斜角為，則.8．（2022上·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)與在它們的一個(gè)交點(diǎn)處切線互相垂直，則的最小值為.9．（2023上·江蘇常州·高三常州高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)且同時(shí)與曲線，曲線都相切的直線有兩條，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．10．（2023下·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)統(tǒng)考開學(xué)考試）若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范