數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單的表示本講義整體上難度中等偏上，題目有一定的分層，題量略大！1數(shù)列的相關(guān)概念(1)定義：數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù)；(2)數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，第一項(xiàng)常稱為首項(xiàng)；(3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1,a2數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義例子按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,4,….,n無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列1,2,3,4,…,n,n+1….按項(xiàng)的大小遞增數(shù)列a2,4,8,…,2n,…遞減數(shù)列a1,常數(shù)列每項(xiàng)都相等的數(shù)列1,1,1,…擺動(dòng)數(shù)列每項(xiàng)的大小忽大忽小的數(shù)列1,-2,3,-4,5,…3數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列就是定義在正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3....n})上的函數(shù)f(n)，其圖象是一系列有限或無(wú)限孤立的點(diǎn)PS日后研究數(shù)列的性質(zhì)可以從函數(shù)的角度出發(fā)，比如單調(diào)性，最值等.數(shù)列an4通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)Eg數(shù)列1,0,1,0，…，其通項(xiàng)公式可以是an=注：(1)an與{an}是不同的概念，{an(2)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)值；而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào)，它是自變量的值.5遞推公式若已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1(或前n項(xiàng))，且任一項(xiàng)an和它的前一項(xiàng)an-1(Ega1(初始條件)，an=3a16an與S若Sn為數(shù)列an的前n則an【題型一】數(shù)列的相關(guān)概念【典題1】下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是.①數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1,0,-1是同一數(shù)列；②數(shù)列0,1,2,3,…可以表示為{n} ③數(shù)列{1n2-1}的第④每一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式都是唯一確定的．【解析】對(duì)于①，數(shù)列是有序的，故數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1,0,-1是不同的數(shù)列，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；對(duì)于②，數(shù)列0,1,2,3,…可以表示為{n-1}，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；對(duì)于③，數(shù)列{1n2-1}的第k-1對(duì)于④，數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有多個(gè)，故選項(xiàng)④錯(cuò)誤．故選：③．【點(diǎn)撥】注意集合與數(shù)列的在“順序、異同性、表示方法”上的區(qū)別.數(shù)列是有序性，集合是無(wú)序性的；集合是互異性的，但數(shù)列不作要求.【典題2】求數(shù)列{2n【解析】an方法一作差法an+1所以an+1<an，故數(shù)列{方法二作商法an+1又∵an>0，所以an+1<an方法三函數(shù)思想an∵fx=3x+4在(0,+∞)遞減，∴故數(shù)列{2n+11n+4}是【點(diǎn)撥】求證數(shù)列單調(diào)性，常用方法有三：作差法，比較an+1-a作商法，比較an+1an與1視通項(xiàng)公式為函數(shù)解析式，用函數(shù)單調(diào)性的方法處理，此時(shí)要注意n的取值范圍是正整數(shù).鞏固練習(xí)1(★)下列敘述正確的是()A．?dāng)?shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是同一數(shù)列 B．?dāng)?shù)列0,1,2,3,…的通項(xiàng)公式是anC．－1,1,－1,1,…是常數(shù)列 D【答案】D【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A、數(shù)列1,3,5,7與數(shù)列7,5,3,1中順序不同，不是同一數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、數(shù)列0,1,2,3,…的通項(xiàng)公式是an=n－對(duì)于C、常數(shù)列的通項(xiàng)為an=a，則－對(duì)于D、1,2,22,故選：D．2(★)下列說(shuō)法不正確的是()A．?dāng)?shù)列不一定有通項(xiàng)公式 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一 C．?dāng)?shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示 D．?dāng)?shù)列的項(xiàng)不能相等【答案】D【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式，如某班級(jí)每天消耗的文具數(shù)量，A正確；對(duì)于B，數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有多個(gè)，不一定唯一，B正確；對(duì)于C，數(shù)列中n為正整數(shù)，可以用一群孤立的點(diǎn)表示，C正確；對(duì)于D，數(shù)列的項(xiàng)的可以相等，D錯(cuò)誤；故選：D．3(★)下列敘述正確的是()A．?dāng)?shù)列{nn+1}是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列0,1,2,3,…C．?dāng)?shù)列0,0,0,1,…是常數(shù)列 D．?dāng)?shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列【答案】A【解析】依題意，設(shè)y=nn+1=1-1n+1，n∈{n}表示單元素集合，這個(gè)集合只有一個(gè)元素n，顯然數(shù)列0,1,2,3,…不能用它表示；故B錯(cuò)誤；因?yàn)閿?shù)列0,0,0,1,…中的常數(shù)不相等，故它不是常數(shù)列，C錯(cuò)誤；數(shù)列根構(gòu)成該數(shù)列的項(xiàng)的順序有關(guān)，所以數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是不同的數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：A．4(★)下列數(shù)列中，156是其中一項(xiàng)的是()A．{n2+1} B．{n2-1}【答案】C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若數(shù)列為{n2+1}對(duì)于B，若數(shù)列為{n2-1}對(duì)于C，若數(shù)列為{n2+n}，則有n2+n=156，解可得n=12或-13對(duì)于D，若數(shù)列為{n2+n-1}故選：C．5(★★)數(shù)列an是遞增數(shù)列，則anA．a(chǎn)n=-1n B．a(chǎn)n=n2-3【答案】A【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，an=-1n，有an-an-1=1n-1-1n=1n(n-1)，又由n≥2，則an-an-1>0，數(shù)列an是遞增數(shù)列，符合題意；

對(duì)于B，a6(★★)已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意n∈N*【答案】λ>-【解析】∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴對(duì)于任意n∈∴n+12+2λ(n+1)+1>∵數(shù)列{-2n+12}7(★★★)已知數(shù)列{bn}滿足bn=2λ(-12【答案】(【解析】數(shù)列{b則bn+1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，6λ<2n+1(-1由于{2n+1)2n}為遞增數(shù)列，則數(shù)列{2n+1)∴6λ<20，即λ<10當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，6λ<2n+1(-1由于{-(2n+1)2n}為遞減數(shù)列，則數(shù)列{-(2n+1)∴6λ>-6，∴λ>-1，綜上所述實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-【題型二】數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系【典題1】數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=-2n【解析】方法一數(shù)列的單調(diào)性根據(jù)題意，an-1則an-當(dāng)1≤n≤3時(shí)，an-當(dāng)n>3時(shí)，anan先遞增后遞減，而a故數(shù)列{an}各項(xiàng)中最大項(xiàng)是第方法二函數(shù)法依題意，an表示拋物線f(n)=-2n2又y=-2故到對(duì)稱軸x=9故當(dāng)n=2時(shí)，a故數(shù)列{an}各項(xiàng)中最大項(xiàng)是第【點(diǎn)撥】數(shù)列是特殊的函數(shù)，可用數(shù)形結(jié)合的方法，但要注意自變量n是正整數(shù).【典題2】數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=【解析】an=∵f(x)=x+2x在(0,7∴an=12(n+7n)在而a2此時(shí)an=n【點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式想到與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)，形如y=一次函數(shù)鞏固練習(xí)1(★)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-3nA．第13項(xiàng) B．第14項(xiàng) C．第15項(xiàng) D．第16項(xiàng)【答案】C【解析】根據(jù)題意，數(shù)列{an}則an-1則an當(dāng)1≤n≤15時(shí)，an-a當(dāng)n≥16時(shí)，an-a故數(shù)列{an}故選：C．2(★)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+kn+2，若對(duì)于n∈A．k≥-3 B．k>-3 C．k≥-2 D．k>-2【答案】A【解析】若an+1≥an成立，則函數(shù)則對(duì)稱軸-k2≤故選：A．3(★★)數(shù)列12A．既有最大項(xiàng)，又有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng) C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．既無(wú)最大項(xiàng)，又無(wú)最小項(xiàng)【答案】A【解析】∵210=1024,211=2048，

∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，12n-2022在1≤n≤10時(shí)為減數(shù)列且為負(fù)，在n≥11時(shí)為減數(shù)列且為正，

4(★★)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=n+2n-k，對(duì)任意n∈NA．k≤6 B．5<k<6 C．k>6 D．6<k<7【答案】D【解析】an=n+2∵對(duì)任意n∈N*，都有∴n=6時(shí)，an由k是正數(shù)以及反比例函數(shù)的單調(diào)性可知6－k<0且∴正數(shù)k的取值范圍是6<k<7．故選：D．5(★★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an=(3n-19)?5A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】根據(jù)題意，數(shù)列{an}當(dāng)n≤6時(shí)，有an<0，當(dāng)n≥7則當(dāng)n=6時(shí)，Sn故選：B．6(★★★)數(shù)列{an}中，an=2n+kn，若對(duì)任意n∈N*，都有【答案】[12,24]【解析】數(shù)列{an}中，an=2n+故有2n+kn≥6+k3當(dāng)n=3時(shí)，k∈R當(dāng)n≥4時(shí)，k≤6n，當(dāng)n=2時(shí)，k≥12，當(dāng)n=1時(shí)，k≥6．綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[12,24].7(★★)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(2n+1)(910)n【答案】9【解析】令a=(9可得n≤8.5．∴{an}8(★★)設(shè)an=n2-2kn+6n∈N*,【答案】(1)略；(2)是k≤2【解析】(1)證明：a=2n解得k<2n+12，∴k<32．

∴k≤1是{an}為遞增數(shù)列的充分不必要條件；

(2)解：?n∈N*,【題型三】由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式【典題1】寫出下列數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)-7,14,-21,28，…；(2)14，38，516，732【解析】分解結(jié)構(gòu)法(1)數(shù)列-7,14,-21,28，序號(hào)1234……n符號(hào)-+-+-1絕對(duì)值71421287n項(xiàng)-1故an=-1n7n；((2)數(shù)列14，38，516序號(hào)1234……n分子13572n-1分母4816322項(xiàng)(2n-1)(分子相鄰數(shù)之間的差是2，是等差數(shù)列；分母相鄰數(shù)之間是2倍的關(guān)系，是等比數(shù)列)故a變形法(3)數(shù)列2,5,10,17,26,…中若每項(xiàng)減去1，則變成1,4,9,16,25,…，這些數(shù)都是完全平方數(shù)，易想到數(shù)列的通項(xiàng)是n2則原數(shù)列只需要在這基礎(chǔ)上加回1便可，即an(4)數(shù)列2,32,332,3332,33332,….中若每項(xiàng)加上1，則變成3,33,333,3333,33333,….，再每項(xiàng)乘以3，變成9,99,999,9999,99999,…其中9=10-1,99=102-1，999=則其通項(xiàng)bn要求原數(shù)列的通項(xiàng)公式，則“逆回去”，除以3再減1可得an鞏固練習(xí)1(★)數(shù)列-15,17,-19A．(-1)n-12n+3B．(-1)n3n+2C【答案】D【解析】由a1=-15，排除A,C，由分母為奇數(shù)列，分子為-1n故選：D．2(★)下列可作為數(shù)列1,2,1,2,1,2,…的通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n=1+(-1)n-12B．a(chǎn)【答案】B【解析】根據(jù)題意，數(shù)列1,2,1,2,1,2,…其奇數(shù)項(xiàng)為1，可以看作3+(-1)2，偶數(shù)項(xiàng)為2，可以看作3-(-1)其通項(xiàng)公式可以為：an故選：B．3(★)數(shù)列1,85,15A．a(chǎn)n=n22n+1B．a(chǎn)n【答案】D【解析】根據(jù)題意，數(shù)列1,8有a1=1×33=1，a2=則an故選：D．4(★★)已知數(shù)列1,3,5,7,…,A．第22項(xiàng) B．第23項(xiàng) C．第24項(xiàng) D．第28項(xiàng)【答案】B【解析】∵35=45，令45=2n-1，解得n=23．∴35是此數(shù)列的第5(★★)寫出以下各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)1,-12,14,-18,…(4)12,56,【答案】(1)an=-1n+1×12n-1(4)an【題型四】遞推公式【典題1】下列給出的圖形中，星星的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的一個(gè)遞推公式可以是()A.an+1=anC．a(chǎn)n+1=an【解析】根據(jù)題意，可得a1=1，a2=3，a發(fā)現(xiàn)規(guī)律：an而a故an+1即an=故選：B．【典題2】已知數(shù)列{an}滿足a【解析】由條件知an+1-∴把以上n-1個(gè)式子累加得到an∴∵a故a【點(diǎn)撥】這是累加法，適合形如an+1=鞏固練習(xí)1(★)在數(shù)列{an}中，a1A．2 B．3 C．-1 D．1【答案】C【解析】a1則a2=1-2=-1，a3=1+1=2，故選：C．2(★)在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=A．12 B．25 C．52【答案】B【解析】∵1令n=3，得1a1+1a3=2a故選：B．3(★)在數(shù)列{an}中，an+1=2 A.35B.45【答案】C【解析】a可見(jiàn)數(shù)列{an}的最小正周期為4，而2012=4×503，所以a4(★★)已知數(shù)列{an}滿足an=1(n=1,2)an-1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】∵數(shù)列{an}滿足an∴a1=為斐波那契數(shù)列，可得an除以4的余數(shù)分別為：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…其余數(shù)的周期為6，而2016=4×504，∴a2016除以4所得到的余數(shù)是故選：A．5(★★)在數(shù)列{an}中，a1=1，a11=3，且任意連續(xù)三項(xiàng)的和為9【答案】5【解析】∵an+an+1∴1+a可得a4=1，同理可得：∴a可得：a2016故答案為：5．6(★★★)在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=5，且a【答案】-1【解析】法一：令n=1，則a3令n=2，則a4令n=3，則a5令n=4，則a6令n=5，則a7令n=6，則a8∴數(shù)列{an}∴a法二：an+2=an+3=①+②得an+3∴an+3=-an，∴∴a∴由a1=1,a∴a7(★★)已知a1=1,an【答案】a【解析】∵an=n又有an∵a∴a8(★★★)設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且n+1【答案】a【解析】{an}是首項(xiàng)為1可得n(a即有n(a由{an}可得(n+1)a則na可得an=1n，【題型五】an與Sn【典題1】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=n2?an(n?2)A．2(n+1)2 B．2n(n+1) C．1【解析