4．3．1等比數(shù)列的概念【題型歸納目錄】題型一：等比數(shù)列的判斷題型二：等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用題型三：等比數(shù)列的證明題型四：等比中項及應(yīng)用題型五：等比數(shù)列的實際應(yīng)用題型六：等比數(shù)列通項公式的推廣及應(yīng)用題型七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型八：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問題【知識點梳理】知識點一、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知識點詮釋：①由于等比數(shù)列每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q可不能是0；②“從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)”，這里的項具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個；③隱含條件：任一項且；“”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件；④常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列．不為0的常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；⑤證明一個數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)．利用這種形式來判定，就便于操作了．知識點二、等比中項如果三個數(shù)、、成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為與的等比中項．其中．知識點詮釋：①只有當(dāng)與同號即時，與才有等比中項，且與有兩個互為相反數(shù)的等比中項．當(dāng)與異號或有一個為零即時，與沒有等比中項．②任意兩個實數(shù)與都有等差中項，且當(dāng)與確定時，等差中項唯一．但任意兩個實數(shù)與不一定有等比中項，且當(dāng)與有等比中項時，等比中項不唯一．③當(dāng)時，、、成等比數(shù)列．④是、、成等比數(shù)列的必要不充分條件．知識點三、等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的通項公式首相為，公比為的等比數(shù)列的通項公式為：推導(dǎo)過程：（1）歸納法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：∴；；；……當(dāng)n=1時，上式也成立∴歸納得出：（2）疊乘法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：，，，……，把以上個等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知識點詮釋：①通項公式由首項和公比完全確定，一旦一個等比數(shù)列的首項和公比確定，該等比數(shù)列就唯一確定了．②通項公式中共涉及、、、四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量．等比數(shù)列的通項公式的推廣已知等比數(shù)列中，第項為，公比為，則：證明：∵，∴∴由上可知，等比數(shù)列的通項公式可以用數(shù)列中的任一項與公比來表示，通項公式可以看成是時的特殊情況．知識點四、等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列的公比為①若，且，則，特別地，當(dāng)時．②下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項，，，…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為．③若，是項數(shù)相同的等比數(shù)列，則、、（是常數(shù)且）、、（，是常數(shù)）、、也是等比數(shù)列；④連續(xù)項和（不為零）仍是等比數(shù)列．即，，，…成等比數(shù)列．知識點五、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中，，若設(shè)，則：（1）當(dāng)時，，等比數(shù)列是非零常數(shù)列．它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點．（2）當(dāng)時，等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)；它的圖象是分布在曲線（）上的一些孤立的點．①當(dāng)且時，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；②當(dāng)且時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；③當(dāng)且時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；④當(dāng)且時，等比數(shù)列是遞增數(shù)列．（3）當(dāng)時，等比數(shù)列是擺動數(shù)列．知識點詮釋：常數(shù)列不一定是等比數(shù)列，只有非零常數(shù)列才是公比為1的等比數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列常用的兩種解題方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步驟：運用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項公式求解；（2）優(yōu)缺點：適應(yīng)面廣，入手簡單，思路清晰，但有時運算稍繁．2、性質(zhì)法（利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題）（1）基本思想：充分發(fā)揮項的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項與項之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；（2）優(yōu)缺點：簡單快捷，但是適應(yīng)面窄，有一定的思維含量．【典型例題】題型一：等比數(shù)列的判斷例1．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（

）．A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列例2．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等比數(shù)列的個數(shù)是（

）①

②

③

④A． B． C． D．例3．（2023·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）數(shù)列1，1，1，…，1，…必為（

）A．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 B．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列變式1．（2023·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）如果數(shù)列是等比數(shù)列，那么（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列變式2．（2023·上海虹口·上海市復(fù)興高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）數(shù)列{}中，“”是“{}是公比為2的等比數(shù)列”的（

）.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件變式3．（2023·高二課時練習(xí)）已知是公比不為1的等比數(shù)列，則以下數(shù)列：①；②；③；④；⑤，其中等比數(shù)列的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【方法技巧與總結(jié)】一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．題型二：等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用例4．（2023·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．例5．（2023·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列滿足：，，公比．求的通項公式．例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和滿足：.求的通項公式；變式4．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列．(1)若，，求；(2)若，，求和q；(3)若，，求.變式5．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列．(1)若，，求的通項公式；(2)若，，，求n．變式6．（2023·西藏拉薩·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求.【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的通項公式涉及4個量，，，，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，和是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．題型三：等比數(shù)列的證明例7．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，

(1)求(2)若，求證數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的通項公式(3)求數(shù)列的通項公式例8．（2023·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了．預(yù)計以后每年年增長率與第一年的相同，公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬元．(1)用表示與，并寫出與的關(guān)系式；(2)求證：當(dāng)時，數(shù)列為等比數(shù)列，并說明的現(xiàn)實意義；(3)若公司希望經(jīng)過年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金的近似值（取整數(shù)）．例9．（2023·福建福州·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，已知，，記為的前n項和，，．(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項公式；(2)求數(shù)列的通項公式．變式7．（2023·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)數(shù)列滿足，證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．變式8．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列中，，.(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)若不等式對于恒成立，求實數(shù)的最小值.變式9．（2023·高二課時練習(xí)）數(shù)列中，，，且是以3為公比的等比數(shù)列，記．(1)求、、、的值；(2)求證：是等比數(shù)列．變式10．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.【方法技巧與總結(jié)】1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項法：（）為等比數(shù)列；3、通項公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列．4、構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)關(guān)系時，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把與對照，求出即可．題型四：等比中項及應(yīng)用例10．（2023·新疆巴音郭楞·高二八一中學(xué)?？计谥校?shù)1與4的等差中項，等比中項分別是（

）A．， B．，2 C．，2 D．，例11．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校考期中）在等比數(shù)列中，，，則與的等比中項是（

）A． B． C． D．例12．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期中）已知等比數(shù)列，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（

）．A． B． C． D．變式11．（2023·陜西西安·高二?？计谥校┤魹閷崝?shù)，數(shù)列﹣1，，﹣25是等比數(shù)列，則的值為（

）A．5 B．﹣5 C． D．﹣10變式12．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期末）已知三個數(shù)成等比，且1和4為其中的兩數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4變式13．（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，，，是各項均不為零的等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去得到的新數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C． D．1變式14．（2023·上海普陀·高二曹楊二中?？计谥校┮阎?，，四個實數(shù)成等差數(shù)列，4，，1三個正實數(shù)成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）由等比中項的定義可知，所以只有a，b同號時，a，b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項．（2）在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項（有窮數(shù)列的末項除外）都是它的前一項和后一項的等比中項．（3）a，G，b成等比數(shù)列等價于．題型五：等比數(shù)列的實際應(yīng)用例13．（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校?023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個國家、92個國際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國與共建“一帶一路”國家的進(jìn)出口累計總額年均增長率為．現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計總額為萬億美元，則2022年進(jìn)出口累計總額（保留1位小數(shù)）約為（

）．參考數(shù)據(jù)：A．萬億 B．萬億 C．萬億 D．萬億例14．（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂律制，它與五度相生律、純律并稱三大律制．“十二平均律”將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．而早在16世紀(jì)，明代朱載最早用精湛的數(shù)學(xué)方法近似計算出這個比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．若第一個單音的頻率為，則第四個單音的頻率為（

）A． B． C． D．例15．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在第n次操作中去掉的線段長度之和不小于，則n的最大值為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．7 B．8 C．9 D．10變式15．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校校考階段練習(xí)）某種細(xì)菌在生長過程中，每分鐘分裂一次（由一個分裂為兩個），經(jīng)過2小時后，此細(xì)菌可由一個分裂成（

）A．個 B．個 C．個 D．個變式16．（2023·安徽·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）某高科技企業(yè)為一科技項目注入啟動資金1000萬元作為項目資金，已知每年可獲利20%，但由于競爭激烈，每年年底需要從利潤中取出100萬元資金進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，設(shè)經(jīng)過年后，該項目資金達(dá)到或超過翻一番（即為原來的2倍）的目標(biāo)，則的最小值為（，）（

）A．4 B．5 C．6 D．7【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型即將實際問題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問題．題型六：等比數(shù)列通項公式的推廣及應(yīng)用例16．（2023·全國·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，公比，若，則______．例17．（2023·全國·高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則______．例18．（2023·廣西·平桂高中高二階段練習(xí)）數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則___________．變式17．（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則______．變式18．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，存在正整數(shù)m，有，，則＝________．【方法技巧與總結(jié)】（1）應(yīng)用，可以憑借任意已知項和公比直接寫出通項公式，不必再求．（2）等比數(shù)列的單調(diào)性由，共同確定，但只要單調(diào)，必有．題型七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個等比數(shù)列，的前項積分別為，，若，則.例20．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期中）在正項等比數(shù)列中，若，則．例21．（2023·江西南昌·高三江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．變式19．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，，是方程的兩個實數(shù)根，則．變式20．（2023·河北邢臺·高三邢臺一中校考階段練習(xí)）若為等差數(shù)列，是其前項的和，且，為等比數(shù)列，，則的值為.變式21．（2023·安徽六安·高三六安一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，，．變式22．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若等比數(shù)列滿足，，則．變式23．（2023·云南昆明·昆明一中?？家荒＃┮阎缺葦?shù)列的各項都是正數(shù)，，，則的公比為.變式24．（2023·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中,則.變式25．（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，若，，則.變式26．（2023·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項等比數(shù)列的前項積為，若是中唯一的最小項，則滿足條件的的通項公式可以是（寫出一個即可）.變式27．（2023·貴州貴陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列是等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，，，數(shù)列的前n項積為，則的最大值為．變式28．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，若，，則當(dāng)取得最大值時，．變式29．（2023·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為.【方法技巧與總結(jié)】利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題（1）基本思路：充分發(fā)揮項的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項與項之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題．（2）優(yōu)缺點：簡便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量．題型八：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問題例22．（2023·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)高二階段練習(xí)）有四個正數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個數(shù)成等比數(shù)列，且最后一個數(shù)是25，求此四個數(shù)．例23．（2023·陜西·西安市鄠邑區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）依次排列的四個數(shù)，其和為13，第四個數(shù)是第二個數(shù)的3倍，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，求這四個數(shù)．例24．（2023·全國·高二課時練習(xí)）四個數(shù)中前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，若首末兩數(shù)之和為14，中間兩數(shù)之和為12，求這四個數(shù)．變式30．（2023·江蘇·高二課時練習(xí)）已知三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為，它們的平方和為，求這三個數(shù)．變式31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）有四個數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，第一個數(shù)與第四個數(shù)的和為，中間兩個數(shù)的和為，求這四個數(shù)．變式32．（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知四個數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項與第3項之和為－，求這四個數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】幾個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法（1）三個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為．推廣到一般：奇數(shù)個數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，（2）四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為．推廣到一般：偶數(shù)個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，（3）四個數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號是否相同時，可設(shè)為．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．22．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．2 D．43．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則（

）A． B．3 C．±3 D．4．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)校考期中）已知等比數(shù)列，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（

）．A． B． C． D．5．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，的前項之積為，則的公比（

）A． B． C．2 D．6．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且公差不為，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，則（

）A． B． C． D．8．（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足且.若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列是一個無窮等比數(shù)列，前項和為，公比為，則（

）A．將數(shù)列中的前項去掉，剩余項按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列B．取出數(shù)列的偶數(shù)項，剩余項按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列C．從數(shù)列中每隔10項取出一項組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列10．（2023·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．的前項和11．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列12．（2