現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)報(bào)告Banach壓縮映像原理及其應(yīng)用院系：信息與電氣工程專(zhuān)業(yè)：電子與通信工程導(dǎo)師：劉愛(ài)軍姓名：崔少鵬學(xué)號(hào)：12S130046摘要在科學(xué)技術(shù)迅速發(fā)展的今天，各學(xué)科對(duì)數(shù)學(xué)的要求越來(lái)越高，如工程、經(jīng)濟(jì)、管理中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)越來(lái)越多、越來(lái)越深刻。泛函分析是數(shù)學(xué)中比較年輕的分支，它是古典分析觀點(diǎn)的推廣，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點(diǎn)研究無(wú)窮維向量空間上的函數(shù)，內(nèi)容極其豐富，體系更加系統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)，觀點(diǎn)尤為深刻，作為一種研究工具已經(jīng)滲入到工程、化學(xué)、生物以及數(shù)學(xué)的許多分支。在微分方程、概率論、力學(xué)、控制論等許多學(xué)科得到廣泛的應(yīng)用。對(duì)于數(shù)學(xué)工作者和以數(shù)學(xué)為工具的工程技術(shù)人員來(lái)說(shuō)，泛函分析是一個(gè)非常有效的數(shù)學(xué)工具。本文將利用泛函分析中的Banach壓縮映像理論研究求解代數(shù)方程、微分方程、積分方程以及數(shù)值分析中迭代算法收斂性的理論依據(jù)，該方法是數(shù)學(xué)和工程計(jì)算中最常用的方法之一。文中首先介紹Banach壓縮映像原理理論，然后將其用到代數(shù)方程、微分方程以及積分方程的求解中。關(guān)鍵詞：Banach壓縮映象，微分方程，積分方程，線性方程組隨著現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，我們?cè)诮夥匠蹋òǔＮ⒎址匠?、偏微分方程、積分方程、差分方程、代數(shù)方程等）的過(guò)程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。幾乎可以這樣說(shuō)：對(duì)一個(gè)方程，只要給定一個(gè)迭代公式，就算求出了這個(gè)方程的解，我們?nèi)孕枰紤]迭代公式的收斂性、解的穩(wěn)定性和收斂速度等問(wèn)題。但是在逐次迭代中，我們必須保證迭代過(guò)程中得到的是收斂序列，否則就毫無(wú)意義了，而迭代法求解方程的實(shí)質(zhì)就是尋求變換（映射、映照）的不動(dòng)點(diǎn)。例如求解方程的根，我們就可以令，則求的根就變成求的不動(dòng)點(diǎn)，即求，使。而通常求映射的不動(dòng)點(diǎn)的方法中，最簡(jiǎn)單的就是下面我們所講述的Banach壓縮映像原理。下面我們通過(guò)幾個(gè)有用的定義和例子慢慢引出Banach壓縮映像原理。定義1設(shè)T是集合X到X的映射，若存在，使得,則稱(chēng)x為映射T的不動(dòng)點(diǎn)（fixedpoint）。例1平移映射為，則沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)。例2定義映射為，則T有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)：0和1。例3投影映射定義為，對(duì)每一個(gè)，，則有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。我們一般比較關(guān)心映射在什么條件下存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，在本文中，我們將指出，完備的度量空間X到自身的某一類(lèi)映射（稱(chēng)為壓縮映射），存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。這就是Banach壓縮映象原理，在證明該原理的過(guò)程中，具體地給出了如何求不動(dòng)點(diǎn)的方法，即迭代法。定義2設(shè)是度量空間，映射。若存在一個(gè)常數(shù)，使得一切，有，則映射T稱(chēng)為X上的壓縮映射（contractionmapping）。定理1（Banach壓縮映象原理）設(shè)是完備的度量空間，映射為壓縮映射，則T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即存在唯一的使得。證明存在性。任取，我們采取如下迭代法構(gòu)造一個(gè)序列，令由假設(shè)為壓縮映射，則存在，使得（）。我們證明為Cauchy序列。由于對(duì)于任意的正整數(shù)，由三角不等式及上式得=。由于，那么當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意給定的，當(dāng)n充分大時(shí)，。這就證明了是Cauchy序列。由于X是完備的，則可設(shè).現(xiàn)在證明序列的極限x就是T的不動(dòng)點(diǎn)，事實(shí)上由。因此。唯一性。若，則，于是由以及，則，從而。證畢。注（1）從定理的證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，迭代序列的初始值可任意選取，最終都能夠收斂到唯一的不動(dòng)點(diǎn)，（2）該定理提供了近似計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)的誤差估計(jì)公式（3）因?yàn)橥陚涠攘靠臻g的任何閉子集在原度量下仍然是完備的，所以定理中的壓縮映象不需要在整個(gè)空間X上有定義，只要在某個(gè)閉集上有定義，且象也在該閉集內(nèi)，定理的結(jié)論仍然成立。然而在實(shí)際的應(yīng)用中，有時(shí)候T本省未必是壓縮映象，但T的若干次復(fù)合是壓縮映象，這是T仍然有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，這就是下面所述的對(duì)壓縮映象原理的改進(jìn)定理。定理2設(shè)X是完備度量空間，是一個(gè)映射。如果存在某個(gè)自然數(shù)，使是壓縮映射，那么T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)（這里是T的次復(fù)合，即）。證明由定理1知，存在唯一的，使得?，F(xiàn)證明點(diǎn)x也是映射T的唯一不動(dòng)點(diǎn)。由于，故也是的不動(dòng)點(diǎn)，由的不動(dòng)點(diǎn)的唯一性得到。又若也是T的不動(dòng)點(diǎn)，即，則。這說(shuō)明是的不動(dòng)點(diǎn)，再由的不動(dòng)點(diǎn)唯一性得到。推論1設(shè)是完備的度量空間，映射在Y=上的壓縮映射，并且滿足，其中是壓縮映射T決定的常數(shù)，則T在Y中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明設(shè)是完備的度量空間，那么也是完備的度量空間，由假定在Y=上是壓縮映射，及對(duì)任意的，，下面證明T限制到Y(jié)上時(shí)，T將Y映射到Y(jié)中。由假設(shè)，所以。對(duì)任意的，,所以。因此是壓縮映射，根據(jù)定理1，T在Y中存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。Banach壓縮映象原理的應(yīng)用本小節(jié)通過(guò)代數(shù)方程、微分方程、積分方程的解的存在性和唯一性的研究為例，說(shuō)明壓縮映象定理1和定理2的具體應(yīng)用。定理3線性代數(shù)方程組均可寫(xiě)成如下形式，其中。如果矩陣C滿足條件，則存在唯一解，且此解可以由迭代求得。證明取，定義度量為，。構(gòu)造映射為,那么方程的解等價(jià)于映射T的不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)于，由于，記，由條件,因此T是壓縮映象，于是T有唯一不動(dòng)點(diǎn)，所以方程有唯一解，且此解可由如下迭代序列近似計(jì)算求得。定理4Fredholm積分方程形如，其中是定義區(qū)間上的未知數(shù)。設(shè)該核函數(shù)是矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)（從而K在D上有界，可設(shè)），是一個(gè)給定的上的連續(xù)函數(shù)，若參數(shù)滿足，則積分方程有唯一的解。證明對(duì)任意的，令，由于v，K都是連續(xù)的，則上式定義了一個(gè)映射。積分方程的解的存在唯一性等價(jià)于映射T在中有唯一不動(dòng)點(diǎn)。由于又由假設(shè)，得到，所以T是完備的度量空間C上的壓縮映射，應(yīng)用Banach壓縮映像原理，有唯一的，使得，也就是說(shuō)此滿足方程。例4在上考慮積分方程，，其中。證明：對(duì)任意的，積分方程都存在唯一連續(xù)解。證明對(duì)固定的，令算子，則，那么積分方程解的存在唯一性等價(jià)于算子T在上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)?？紤]算子的作用，由于不知道的大小，不能夠判定算子T是否為壓縮映射，采用迭代法，討論是否為壓縮映射。一般地，假定，那么。根據(jù)歸納原理，上面估計(jì)對(duì)一切正整數(shù)都成立。于是。所以當(dāng)n充分大時(shí)，，這表明算子是壓縮映射，依定理2，算子T存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，使，從而積分方程存在唯一解。定理5（常微分方程解的存在定理）考慮具有初值條件的微分方程，其中是二元連續(xù)函數(shù)，并且關(guān)于y滿足Lipschitz條件：則當(dāng)時(shí)，此微分方程存在唯一連續(xù)解。證明取空間C（這里），如果微分方程有解，那么對(duì)微分方程積分得到。反過(guò)來(lái)，如果積分方程有解，那么微分方程也有解。定義映射如下,則是方程的解當(dāng)且僅當(dāng)是T的不動(dòng)點(diǎn)。由Lipschitz條件，按C中的范數(shù)有當(dāng)時(shí)，T是C上的壓縮映射，由于C是完備的，有定理1知T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，從而方程存在唯一連續(xù)解。例5（Newton法）設(shè)是定義在上的二次連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)，，使得，。求證存在的鄰域，使得，迭代序列是收斂的，并且。證明考慮，則有。因?yàn)椋?，在點(diǎn)處連續(xù)，所以，從而的鄰域，使得，于是，對(duì)，是收斂的。設(shè)，，聯(lián)合，，可以推得，故有。總結(jié)通過(guò)這學(xué)期對(duì)泛函分析的學(xué)習(xí)，讓我對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有了一個(gè)比較系統(tǒng)全面的了解，這幾周的泛函分析的學(xué)習(xí)中，我們主要對(duì)泛函的值域進(jìn)行了討論，接下來(lái)分別討論了度量（距離）空間，賦范線性空間，內(nèi)積空間作為定義域的性質(zhì)，接下來(lái)就是對(duì)泛函本身進(jìn)行了討論，但主要是限于線性算子實(shí)數(shù)有很多很好的性質(zhì)：確界存在定理，單調(diào)有界數(shù)列必有極限，閉區(qū)間套定理，有界數(shù)列必有極限，cauchy列的收斂性，連續(xù)映射、閉區(qū)間映射到閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間映射到開(kāi)區(qū)間的等價(jià)性。緊性、列緊性。接下來(lái)對(duì)距離空間、賦范空間、內(nèi)積空間的討論也都是基本上圍繞著這些展開(kāi)以及一些各自的性質(zhì)，如距離空間的baire綱定理，賦范空間的有限維賦范空間上的任意兩個(gè)范數(shù)的等價(jià)性，內(nèi)積空間的正交性。另外還學(xué)習(xí)了黎曼積分之外的另一種積分勒貝格積分，感覺(jué)收獲還是很大的，以前學(xué)習(xí)的一些知識(shí)不知道如何去理解，學(xué)過(guò)泛函后有了新的發(fā)現(xiàn)。特別是在專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域的研究和學(xué)習(xí)中有很大的幫助，在沒(méi)有學(xué)習(xí)泛函分析之前，對(duì)專(zhuān)業(yè)的論文閱讀，理解分析都有很大的困難，有很多數(shù)學(xué)公式根本就看不懂，經(jīng)過(guò)這學(xué)期泛函分析的學(xué)習(xí)讓我真正認(rèn)識(shí)理解了這些公式的含義，同時(shí)也為以后專(zhuān)業(yè)方向更深入的研究打好了基礎(chǔ)。微分方程、積分方程和線性方程組在各個(gè)學(xué)科專(zhuān)業(yè)中都有涉及，通信專(zhuān)業(yè)更是離不開(kāi)對(duì)此類(lèi)方程的分析計(jì)算，特別是線性方程組解的存在性、唯一性以及解的穩(wěn)定性。因此本次我選擇泛函分析中的一個(gè)重要原理——Banach壓縮映像原理，進(jìn)行了分析與理解，同時(shí)并將它運(yùn)用到微分方程、積分方程和線性方程組的求解中，對(duì)解的唯一性和存在性給予了一定的證明，加深了對(duì)Banach壓縮映像原理的理解和學(xué)習(xí)。同時(shí)，選取了