課題：正態(tài)分布知識點1．正態(tài)分布概念：若連續(xù)型隨機變量ζ的概率密度函數(shù)為，其中為常數(shù)，且，則稱服從正態(tài)分布，簡記為～。的圖象稱為正態(tài)曲線。2．正態(tài)分布的期望與方差：若～，則標準正態(tài)分布曲線3．正態(tài)曲線的性質：標準正態(tài)分布曲線（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線關于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；（4）曲線與x軸之間的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．在標準正態(tài)分布表中相應于的值是指總體取值小于的概率即時，則的值可在標準正態(tài)分布表中查到時，可利用其圖象的對稱性獲得來求出，5．兩個重要公式：（1）（2）xyOxyO6．與的關系：（1）若～，則～，有（2）若～，則【注1】正態(tài)總體三個基本概率值（1）P（μ－σ<X≤μ＋σ）＝0．6826；（2）P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）＝0．9544；（3）P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）＝0．9974．【注2】正態(tài)分布問題的關鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性，把待求區(qū)間內的概率向已知區(qū)間內的概率轉化．解題時要充分結合圖形進行分析、求解，要注意數(shù)形結合思想及化歸思想的運用．（1）熟記P（μ－σ<X≤μ＋σ），P（μ－2σ<X≤μ＋2σ），P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）的值；（2）充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1．①正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，從而在關于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相同．②P（X≤a）＝1－P（X≥a），P（X≤μ－a）＝P（X≥μ＋a）．典型例題例1已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，。）A．4．56%B．13．59%C．27．18%D．31．74%例2若正態(tài)分布密度函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但沒最小值C．有最大值，但沒最大值D．無最大值和最小值例3在一次英語考試中，考試的成績服從正態(tài)分布，那么考試成績在區(qū)間內的概率是（）A．0．6826B．0．3174C．0．9544D．0．9974例4據統(tǒng)計“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天的游客人數(shù)服從正態(tài)分布，則在此期間的某一天，太陽島的人數(shù)不超過2300的概率為（）附；若，A．B．C．D．例5隨機變量服從正態(tài)分布，已知，則=（）A．0．1B．0．2C．0．4D．0．6例6已知某次數(shù)學考試的成績服從正態(tài)分布N（116，64），則成績在140分以上的考生所占的百分比為（）．A．0．3%B．0．23%C．1．5% D．0．15%例7在我校2023年高三11月月考中理科數(shù)學成績（），統(tǒng)計結果顯示，假設我校參加此次考試有780人，那么試估計此次考試中，我校成績高于120分的有人．例8已知隨機變量服從正態(tài)分布，且方程有實數(shù)解得概率為，若，則．例9已知服從正態(tài)分布的隨機變量在區(qū)間，和內取值的概率分別為68．3%，95．4%和99．7%．某校高一年級1000名學生的某次考試成績服從正態(tài)分布，則此次成績在（60，120）范圍內的學生大約有（）[來源:Z．xx．k．Com]A．997人B．972人C．954人D．683人例10在某市舉辦的“中華文化藝術節(jié)”知識大賽中，大賽分預賽與復賽兩個環(huán)節(jié)．預賽有4000人參賽．先從預賽學生中隨機抽取100人成績得到如下頻率分布直方圖：（1）若從上述樣本中預賽成績不低于60分的學生中隨機抽取2人，求至少1人成績不低于80分的概率；（2）由頻率分布直方圖可以認為該市全體參加預賽的學生成績Z服從正態(tài)分布，其中可以近似為100名學生的預賽平均成績，，試估計全市參加預賽學生中成績不低于91分的人數(shù)；（3）預賽成績不低于91分的學生可以參加復賽．復賽規(guī)則如下：①每人復賽初始分均為100分；②參賽學生可在開始答題前自行選擇答題數(shù)量，每答一題需要扣掉一定分數(shù)來獲取答題資格，規(guī)定回答第題時扣掉分；③每答對一題加2分，答錯既不加分也不扣分；④答完n題后參賽學生的最后分數(shù)即為復賽分數(shù)．已知學生甲答對每題的概率為0．75，且各題答對與否相互獨立，若甲期望得到最佳復賽成績，則他的答題數(shù)量n應為多少？（參考數(shù)據，若，則，，）．例11習近平總書記在黨的十九大工作報告中提出，永遠把人民對美好生活的向往作為奮斗目標．在這一號召的引領下，全國人民積極工作，健康生活．當前，“日行萬步”正成為健康生活的代名詞．某學校工會積極組織該校教職工參與“日行萬步”活動．界定日行步數(shù)不足千步的人為“不健康生活方式者”，不少于千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般生活方式者”．某日，學校工會隨機抽取了該校名教職工，統(tǒng)計他們的日行步數(shù)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示：（1）求名教職工日行步數(shù)（千步）的樣本平均數(shù)（結果四舍五入保留整數(shù)）；（2）由直方圖可以認為該校教職工的日行步數(shù)（千步）服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)，標準差的近似值為，求該校被抽取的名教職工中日行步數(shù)（千步）的人數(shù)（結果四舍五入保留整數(shù)）；（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率．若工會從該校教職工中隨機抽取人作為“日行萬步”活動的慰問獎勵對象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵，獎勵金額每人元；“一般生活方式者”獎勵金額每人元；“超健康生活方式者”獎勵金額每人元．求工會慰問獎勵金額的分布列和數(shù)學期望．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，．例12某城市為疏導城市內的交通擁堵問題，現(xiàn)對城市中某條快速路進行限速，經智能交通管理服務系統(tǒng)觀測計算，通過該快速路的所有車輛行駛速度近似服從正態(tài)分布，其中平均車速，標準差．通過分析，車速保持在之間，可令道路保持良好的行駛狀況，故認為車速在之外的車輛需矯正速度（速度單位：）．（1）從該快速路上觀測到的車輛中任取一輛，估計該車輛需矯正速度的概率．（2）某興趣小組也對該快速路進行了觀測，他們于某個時間段內隨機對100輛車的速度進行取樣，根據測量的數(shù)據列出上面的條形圖．①估計這100輛車的速度的中位數(shù)（同一區(qū)間中數(shù)據視為均勻分布）；②若以該興趣小組測得數(shù)據中的頻率視為概率，從該快速路上的所有車輛中任取三輛，記其中不需要矯正速度的車輛數(shù)為速度X，求X的分布列和期望．附：若，則；；．舉一反三1．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，，若，則（）A．0．1358B．0．1359C．0．2716D．0．27182．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（ξ≤4）＝0．84，則P（ξ＜0）＝（）A．0．16B．0．32C．0．68D．0．843．已知隨機變量,其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向正方形中隨機投擲個點，則落入陰影部分的點個數(shù)的估計值為（）附：若隨機變量,則,A．B．C．D．4．若隨機變量，且，則展開式中項的系數(shù)是__________．5．國家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定46個城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達35％以上．截至2019年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經接近70％．武漢市在實施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的320個社區(qū)中隨機抽取50個社區(qū)，對這50個社區(qū)某天產生的垃圾量（單位：噸）進行了調查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)垃圾數(shù)量超過28噸/天的確定為“超標”社區(qū)：垃圾量頻數(shù)56912864（1）通過頻數(shù)分布表估算出這50個社區(qū)這一天垃圾量的平均值（精確到0．1）；（2）若該市人口數(shù)量在兩萬人左右的社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為（1）中的樣本平均值，近似為樣本方差，經計算得．請利用正態(tài)分布知識估計這320個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)．（3）通過研究樣本原始數(shù)據發(fā)現(xiàn)，抽取的50個社區(qū)中這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府決定對這8個“超標”社區(qū)的垃圾來源進行跟蹤調查．現(xiàn)計劃在這8個“超標”社區(qū)中任取5個先進行跟蹤調查，設為抽到的這一天的垃圾量至少為30．5噸的社區(qū)個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．（參考數(shù)據：；；）課后練習1．已知隨機變量，且，則（）A．B．C．D．2．設隨即變量服從正態(tài)分布，，則等于（）A．B．C．D．3．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），P（ξ>2）＝0．023，則P（－2≤ξ≤2）＝（）A．0．954B．0．977C．0．488D．0．4774．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則__________．5．若隨機變量服從正態(tài)分布，，，設，且則__________．6．為了解一種植物的生長情況，抽取一批該植物樣本測量高度（單位：），其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求該植物樣本高度的平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）假設該植物的高度服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布求．附：．若，則，，）7．某種子公司培育了一個豌豆的新品種，新品種豌豆豆莢的長度比原來有所增加，培育人員在一塊田地（超過1畝）種植新品種，采摘后去掉殘次品，將剩下的豆莢隨機按每20個一袋裝袋密封．現(xiàn)從中隨機抽取5袋，測量豌豆豆莢的長度（單位：），將測量結果按，，，，分為5組，整理得到如圖所