第06講任意角三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式及恒等式【考點梳理】一、任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1，0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線.二、1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tan__α.2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限三、解1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α?β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).[名師提醒]1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).2.cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).四、正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)一解兩解一解一解無解五、解三角形的實際應(yīng)用1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2).3.方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.【解題方法和技巧】1.定義法求三角函數(shù)值的三種情況①已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解；②已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值；③已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標．2.三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數(shù)式時，一般需要升次．3.“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．4.“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．5.“給值求角”：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．6.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系.7.在已知關(guān)系式中，既含有邊又含有角，通常的解題思路是：先將角都化成邊或邊都化成角，再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解.8.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，可知角C為鈍角，則△ABC為鈍角三角形.【考點剖析】【考點1】任意角三角函數(shù)一、單選題1．（2022·上海市市西中學(xué)高三階段練習(xí)）若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，中心角為的扇形，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為（）A． B．4 C．8 D．【答案】C【分析】先求出圓錐的底面圓半徑，設(shè)截面在圓錐底面的軌跡，用含a的式子表達出截面面積，利用基本不等式求出最大值.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的高為h則，解得：，設(shè)截面在圓錐底面的軌跡，則截面等腰三角形的高，所以截面面積，當且僅當，即等號成立，故選：C2．（2022·上海交大附中高三階段練習(xí)）存在函數(shù)滿足，對任意都有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對ACD，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，取特殊值推出矛盾判斷即可；對B，令再化簡分析即可【詳解】對A，取可得，即，再取可得，即，故A錯誤；對B，令，此時，即，符合題設(shè)，故B正確；對C，取，有；取，有，故C錯誤；對D，取得，再取可得，故D錯誤故選：B3．（2021·上海奉賢區(qū)致遠高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】在中，由求出角A，再利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】因角是的內(nèi)角，則，當時，或，即不一定能推出，若，則，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C二、填空題4．（2022·上海市實驗學(xué)校高三階段練習(xí)）已知角的頂點與平面直角坐標系的原點重合，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點，則的值是________．【答案】【分析】由題意和三角函數(shù)定義可得sinα和cosα，再由二倍角公式可得答案．【詳解】由題意和三角函數(shù)的定義可得，，所以.故答案為：5．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上恰有14個零點，則符合條件的所有的取值范圍是______．【答案】【分析】先求出零點的一般形式，從而可求的取值范圍.【詳解】由可得，故或，其中.連續(xù)的14個零點為：，；，；，，，若，則，此時.若，則，此時，故.故答案為：.6．（2022·上?！じ呷A段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點，則____________【答案】【分析】由任意角三角函數(shù)定義，代入運算即得解【詳解】由任意角三角函數(shù)定義，故答案為：7．（2021·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三階段練習(xí)）若角的終邊在第一象限，函數(shù)的定義域為，且f(0)=0，f(1)=1，當時，有，則使等式成立的的集合為_________【答案】【分析】利用賦值法結(jié)合給定等式求出的表達式，再求出的值即可得解.【詳解】因函數(shù)的定義域為，且f(0)=0，f(1)=1，當時，有，則當時，，當時，，于是得，而，因此，，而角的終邊在第一象限，即，解得，，所以使等式成立的的集合為.故答案為：【考點2】誘導(dǎo)公式一、填空題1．（2020·上海市金山中學(xué)高三期中）已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點，則______________.【答案】1【解析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，先求得的值，可得的值.【詳解】角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點，，，所以，.故答案為：1.【點睛】本題考查已知終邊上一點求三角函數(shù)值的問題，涉及到三角函數(shù)的定義，是一道容易題.2．（2021·上海普陀·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點、，若，則實數(shù)的取值范圍為__．【答案】【分析】令，分析函數(shù)與函數(shù)在上的兩個交點的橫坐標、滿足，數(shù)形結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，繪制函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如圖.當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有三個交點，不合乎題意.由題意得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，且交點的橫坐標、滿足，則和為臨界條件，由圖可得，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.3．（2021·上海市金山中學(xué)高三期中）若＝，則的值是________．【答案】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即解．【詳解】∵＝，∴.故答案為：.4．（2022·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知，，則________．【答案】【分析】利用二倍角的余弦公式、誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】因為，因為，則，因此，.故答案為：.5．（2022·上海靜安·模擬預(yù)測）已知，則的值為_____________．【答案】【分析】由倍角公式以及誘導(dǎo)公式求解即可．【詳解】故答案為：6．（2022·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為___________.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式化簡，從而求得的最大值.【詳解】，所以的最大值為.故答案為：7．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則的取值范圍是__________．【答案】.【分析】將已知不等式去絕對值得，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性以及反正切函數(shù)的公式可得結(jié)果.【詳解】由得，因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，考查了正切函數(shù)的單調(diào)性，考查了反正切函數(shù)的公式，屬于基礎(chǔ)題.【考點3】和差角公式一、單選題1．（2022·上?！じ呷_學(xué)考試）中，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)積化和差公式得，再結(jié)合不等式放縮和輔助角公式求解即可.【詳解】解：，其中，當且僅當，時等號成立，所以的最大值為故選：C2．（2021·上海市風(fēng)華中學(xué)高三期中）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C．π D．2π【答案】C【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得，結(jié)合函數(shù)的定義域，由無意義，周期的定義可得答案.【詳解】，由，得且可得函數(shù)的最小正周期，但是，當時，，無意義，所以，又，且對定義域內(nèi)的任意自變量，也在定義域內(nèi).所以函數(shù)的最小正周期.故選：C.二、多選題3．（2022·上?！じ呷A段練習(xí)）設(shè)銳角內(nèi)部的一點O滿足，且，則角A的大小可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由題意，，兩邊同乘，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：銳角內(nèi)部的一點O滿足，則O為的外接圓的圓心，設(shè)半徑為R，因為，所以，所以，即，所以，所以，所以，即，所以，因為，所以或，所以或，故選：AD.三、填空題4．（2022·上海市奉賢中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，，則___________.【答案】【分析】由平方關(guān)系求得，然后由兩角和的正弦公式計算．【詳解】因為，所以，所以，所以．故答案為：5．（2021·上海楊浦·一模）在中，三邊a?b?c所對的三個內(nèi)角分別為A?B?C，若，，，則邊長___________.【答案】5【分析】由正弦定理求得，從而得，，由誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式求得，再得，最后由正弦定理求得．【詳解】由正弦定理得，所以，則，又，所以，，，，又由正弦定理得．故答案為：5．6．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三開學(xué)考試）若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)，利用兩角差的余弦公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：．7．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）化簡：___________.【答案】【分析】逆用兩角差的余弦公式化簡即可求解.【詳解】，故答案為：.四、解答題8．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知向量，，.(1)若，求的值；(2)若與的夾角為，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算得到方程，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；（2）首先求出，，依題意可得，再利用兩角差的正弦公式計算可得；(1)解：因為，且，所以，即，所以；(2)解：因為，，所以，，因為與的夾角為，所以，即，所以，因為，所以，所以，所以；9．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知以角B為鈍角的的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，，，且.(1)求角B的大小；(2)求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用，結(jié)合正弦定理，求出，為鈍角，所以.（2）化簡，由（1）知，，，即可確定的取值范圍，(1)因為，所以，得：，由正弦定理化簡得：，所以，為鈍角，所以.(2)因為，由（1）知，，，，故的取值范圍是.10．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a、b、c，且（1）求的值；（2）若，，求B和c.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件和三角恒等變換的公式，求得，即可求解.（2）由，得到，利用弦定理求得，得到，進而求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）因為，所以，即，即即.（2）因為，因為，所以，由正弦定理得，所以因為為鈍角，所以為銳角，故，所以，所以.【考點4】二倍角與半角一、填空題1．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，若，則______．【答案】【分析】由化簡可得，根據(jù)判斷，即可求得答案.【詳解】由得，，即，則，因為，則，所以，故答案為：2．（2022·上海師大附中高三階段練習(xí)）若直線的傾斜角為α，則sin2α的值為___________.【答案】【分析】根據(jù)直線斜率為傾斜角的正切值，結(jié)合三角恒等變換公式即可求解.【詳解】由題可知，，則.故答案為：.3．（2022·上海靜安·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前9項和為___________________．【答案】18【分析】化簡函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，利用等差中項的性質(zhì)結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】，由，可得，當時，，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，由等差中項的性質(zhì)可得，故，所以，數(shù)列的前項和為.故答案為：184．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線的傾斜角大小是，則___________.【答案】【分析】由直線方程可知，再結(jié)合二倍角公式，即可求解.【詳解】由條件可知，所以.故答案為：5．（2021·上海·模擬預(yù)測）在三角形中，，則___________．【答案】【分析】將問題化簡為，由余弦定理求得，代入即可求得結(jié)果.【詳解】解：由余弦定理得，所以．故答案為：6．（2022·上海寶山·一模）在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，若，則的最大值為___________.【答案】【分析】由三角恒等變換可得,再由余弦定理及重要不等式即可求解.【詳解】由得，由，得，所以,所以，當且僅當時，等號成立.故答案為：二、解答題7．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，角A所對邊，角所對邊，若，求的面積．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用二倍角公式得到，利用換元法求出單增區(qū)間；（2）先求出，利用余弦定理求出c，即可求出三角形的面積.(1).令，則.因為在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.即的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由，可得：.因為，所以，所以時，；時，.但此時，，所以，所以，不符合三角形內(nèi)角和定理，舍去.所以在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：或.當時，;當時，.所以的面積為或.8．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，求.【答案】【解析】先由，利用萬能公式得再利用平方關(guān)系求，最后根據(jù)兩角差余弦公式求結(jié)果.【詳解】【點睛】本題考查萬能公式、同角三角函數(shù)平方關(guān)系、兩角差余弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知，是實常數(shù)，.（1）當，時，求函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和最大值；（2）是否存在，使得是與有關(guān)的常數(shù)函數(shù)（即的值與x的取值無關(guān)）？若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，說明理由.【答案】（1）；，；最大值；（2）存在，.【分析】先由題意對函數(shù)化簡變形得，（1）將，代入上式可得，從而可求出函數(shù)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間和最大值；（2）由于，所以當時，的值與x的取值無關(guān)【詳解】解：由題意得，（1）當，時，，所以函數(shù)的最小正周期為，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；當時，取得最大值為，（2）由（1）可知，顯然當，即時，的值與x的取值無關(guān)，所以存在，使得是與有關(guān)的常數(shù)函數(shù)，【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意將化簡變形為，考查計算能力，屬于中檔題10．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）利用倍角公式降冪，求得，再利用，得到等量關(guān)系式，求得，之后利用輔助角公式化簡，可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由的范圍，得到相應(yīng)整體角的范圍，進一步求得在上的最大值和最小值.【詳解】（1），∵，∴，解得，∴，∴函數(shù)的最小正周期為.（2）∵，∴，∴.∴當，即時，，當，即時，.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的問題，解題思路如下：（1）利用正、余弦倍角公式降冪，利用條件求相應(yīng)參數(shù)值，利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式；（2）利用函數(shù)的性質(zhì)，得到其最小正周期；（3）根據(jù)自變量的范圍，求得整體角的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最值.【考點5】解斜三角形一、單選題1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，“”是“”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)知：、都有，由等價法知條件“”、“”之間的充分、必要關(guān)系.【詳解】∵中，由正弦定理，∴當必有，根據(jù)三角形中大邊對大角知：；當時，在三角形中由，有或成立，即；∴“”是“”的充要條件.故選：C二、填空題2．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）若滿足，，的恰有一個，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)條件由正弦定理表示，判斷唯一解時的范圍【詳解】已知，則由正弦定理，則，又，當時，有兩解；當或時，有唯一解，故．故答案為：3．（2022·上海市市西中學(xué)高三階段練習(xí)）有一個正四面體的棱長為，現(xiàn)用一張圓形的包裝紙將其完全包?。ú荒懿眉艏?，但可以折疊），那么包裝紙的最小半徑為________．【答案】【分析】將正四面體的四個側(cè)面展開，可形成一個邊長為的正三角形，計算出該等邊三角形的外接圓半徑，即可得解.【詳解】將正四面體的四個側(cè)面展開，可形成一個邊長為的正三角形，如下圖所示：該等邊三角形的外接圓半徑為.故答案為：.4．（2021·上?！つM預(yù)測）已知的三內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，若，則內(nèi)角A的大小是___________【答案】或或【分析】利用余弦定理以及二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】因為，所以由余弦定理可得，，從而，即或，又因為，所以或或.故答案為：或或.三、解答題5．（2022·上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測）已知在三角形中，，三角形的面積．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)或(2)，或，【分析】（1）根據(jù)面積公式及，得到，分C為銳角和C為鈍角時，求出，進而求出，求出；（2）由面積公式求出，分C為銳角和C為鈍角，由余弦定理和正弦定理求出答案.(1)∵而分情況討論，當C為銳角時，，∴當C為鈍角時，，(2),因為，所以，分情況討論，當C為銳角時，由余弦定理，由正弦定理，，當C為鈍角時，，由余弦定理，由正弦定理，，6．（2022·上海·位育中學(xué)模擬預(yù)測）如圖所示，在一條海防警戒線上的點處各有一個水聲監(jiān)測點，兩點到點的距離分別為20千米和50千米.某時刻，收到發(fā)自靜止目標的一個聲波信號，8秒后同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是千米/秒.(1)設(shè)到的距離為千米，用表示到的距離，并求的值;(2)求靜止目標到海防警戒線的距離.(結(jié)果精確到千米).【答案】(1)(千米),(千米),，(2)千米【分析】（1）根據(jù)題意可得，，結(jié)合余弦定理求解；（2）在△中，利用余弦定理可得，進而可求，利用等面積運算求解．(1)根據(jù)題意可得：(千米),(千米),(千米),(千米),∵，則即，解得(2)在△中，，則設(shè)到的距離為(千米)，則∴靜止目標到海防警戒線的距離為千米7．（2022·上海虹口·二模）如圖，某公園擬劃出形如平行四邊形的區(qū)域進行綠化，在此綠化區(qū)域中，分別以和為圓心角的兩個扇形區(qū)域種植花卉，且這兩個扇形的圓弧均與相切.(1)若，，（長度單位：米），求種植花卉區(qū)域的面積；(2)若扇形的半徑為10米，圓心角為，則多大時，平行四邊形綠地占地面積最小？【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得的大小，再根據(jù)正弦定理可得，進而求得扇形的半徑，從而得到種植花卉區(qū)域的面積（2）設(shè)，根據(jù)直角三角形中的關(guān)系可得關(guān)于的表達式，從而得到平行四邊形的面積表達式，從而根據(jù)三角函數(shù)的最值求解即可(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半徑，故種植花卉區(qū)域的面積(2)設(shè)，則，故，，故平行四邊形綠地占地面積，因為，故要面積最小，則當，即，時面積取得最小值，即多大時，平行四邊形綠地占地面積最小8．（2022·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知三角形花園，頂點、、為花園的三個出入口，滿足，，（單位：米）．(1)求三角形花園的面積（精確到平方米）；(2)若三角形個內(nèi)角均小于，到三角形三個頂點距離之和最短的點必滿足、、正好三等分點所在的周角，該點所對三角形三邊的張角相等，均為．所以這個點也稱為三角形的等角中心．請根據(jù)此知識求出三角形花園的最佳會合點到三個出入口的最小距離和（滿足到三個出入口的距離和最?。敬鸢浮?1)平方米，(2)米【分析】（1）由余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式可求得的值，再利用余弦定理可求得，進而可求得的值，即可得解.(1)由余弦定理可得，則為銳角，所以，，所以，（平方米）.(2)解：中，最長，，則為銳角，故為銳角三角形，由（1）可知，所以，，根據(jù)余弦定理可得，同理可得，，以上三個等式相加可得，所以，，因此，，則（米）.因此，三角形花園的最佳會合點到三個出入口的最小距離和為米.9．（2022·上海金山·二模）在中，角、、所對的邊分別為、、.已知，且為銳角.(1)求角的大小；(2)若，證明：是直角三角形.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用正弦定理邊化角可解得，再由為銳角即可求解（2）利用正弦定理邊化角之后再消元，可得，再結(jié)合的范圍即可得證(1)由正弦定理可知，，又在中，，即，為銳角，.(2)所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即為直角三角形.10．（2022·上海長寧·二模）在中，角的對邊分別為．(1)若，求(2)若，的面積，求外接圓半徑的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡即可（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，再根據(jù)基本不等式可得，再根據(jù)正弦定理求解即可(1)因為，由正弦定理，，所以，因為，所以(2)由已知，，所以，

所以

因為所以（當時取等號）

所以所以的最小值為（當時取得）11．（2021·上海奉賢·一模）在中，所對邊滿足.(1)求的值；(2)若，，求的周長.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用題干條件和余弦定理求出；（2）先求出，利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出，求出周長.(1)化簡得：，兩邊同除以，及，因為，所以.(2)因為，且，所以，因為，由正弦定理得：，故，由余弦定理得：，即，解得：，其中，所以，故的周長為12．（2020·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）四邊形如圖所示，已知，.（1）求的值；（2）記與的面積分別是與，求的最大值.【答案】（1）（2）最大值為14【分析】（1）利用余弦定理，求出，即可求的值；（2）求出的表達式，，即可求的最大值.【詳解】解：（1）在中，由余弦定理得，在中，同理可得，所以.（2）依題意，，所以，因為，所以.解得，所以，當時取等號，即的最大值為14.【點睛】本題主要考查了解三角形，解三角形是高考重點考查的內(nèi)容，正確變形合理轉(zhuǎn)化，把涉及到的量轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi)求解，涉及求最值時可以適當?shù)剡x取變量，把所求最值用變量表示，屬于中等題.13．（2022·上海·高三開學(xué)考試）已知在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求角；（2）由（1）知：，根據(jù)是銳角三角形可求出，利用正弦定理化角為邊，，，結(jié)合以及角的范圍，再利用三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.(1)因為，由正弦定理可得：，因為，所以，所以，所以，，因為，，所以可得：，所以.(2)由正弦定理知：，所以，，所以，因為，故，所以，，所以，故的取值范圍為.14．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且acosC＝（2b﹣c）cosA．（1）若3，求△ABC的面積；（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范圍.【答案】（1）（2）（，）.【解析】（1）利用正弦定理可求角A，結(jié)合數(shù)量積3，可求△ABC的面積；（2）結(jié)合角之間的關(guān)系，把2cos2B+cos2C化簡為，然后結(jié)合角的范圍可求.【詳解】（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，∵B為三角形內(nèi)角，sinB≠0，∴cosA，又∵A∈（0，π），∴A，∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，∴S△ABCbcsinA.（2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），∴2B∈（，），∴cos（2B）∈（，），∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.∴2cos2B+cos2C的取值范圍（，）.【點睛】本題主要考查求解三角形及范圍問題，求解三角形時邊角的轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，范圍問題一般是把目標式化簡為標準型進行求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【考點6】三角恒等變換的應(yīng)用一、單選題1．（2022·上海交大附中高三開學(xué)考試）已知、都是銳角，且，，那么、之間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】推導(dǎo)出，可得出，求出的取值范圍，即可得解.【詳解】因為，則，所以，，因為、都是銳角，由題意可得，所以，，所以，，因為、都是銳角，則且，則，所以，，因此，.故選：D.2．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，，下列各式中成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可得，再根據(jù)兩角和的余切公式化簡求解即可.【詳解】因為在中，，故，又，所以，即，整理可得.故選：A【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和、兩角和的余切公式化簡.需要根據(jù)選項判斷公式的選擇與計算，屬于中檔題.二、填空題3．（2022·上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試）若，且，則的值為___________.【答案】或【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式和兩角差的正弦公式可得，分類討論當、時的情況，結(jié)合和輔助角公式計算即可.【詳解】由題意知，則，即，當時，，即，由，得；當時，，所以，即，由，得，所以，得.故答案為：或三、解答題4．（2022·上海黃浦·二模）某公園要建造如圖所示的綠地，、為互相垂直的墻體，已有材料可建成的圍欄與的總長度為米，且．設(shè)（）．(1)當，時，求的長；（結(jié)果精確到米）(2)當時，求面積的最大值及此時的值．【答案】(1)米(2)當時，養(yǎng)殖場最大的面積為平方米【分析】（1）在中，根據(jù)余弦定理求解即可；（2）當時，可得，再化簡可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值分析即可(1)在中，，，，由余弦定理，得，故．因此的長約為米．(2)連接．由題意，，，在△中，由正弦定理，得．于是，．當，即時，取到最大值，最大值為．因此，當時，養(yǎng)殖場最大的面積為平方米5．（2020·上海·高三專題練習(xí)）在中，滿足．（1）求；（2）設(shè)，求的值.【答案】（1）（2）1或【分析】（1）先利用平方關(guān)系將余弦化為正弦，再結(jié)合正余弦定理化簡可得C.（2）由（1）結(jié)合兩角和與差的余弦公式及同角基本關(guān)系式將已知化簡整理成關(guān)于正切的二次方程，解之即可.【詳解】（1）∵，，∴變形為，即，利用正弦定理可得：，由余弦定理可得cosC=，即C=.（2）由（1）可得cos（A+B）=，A+B=，又cosAcosB=，可得，同時cos（）cos（）=，∴===-=，∴，∴或4.【點睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，考查了利用同角基本關(guān)系式處理齊次式的技巧，考查了學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，屬于難題.6．（2022·上海市實驗學(xué)校高三開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，，求的值；(2)在銳角△中，、、分別是角、、的對邊，若，，△的面積，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）化簡可得，由題意可知，進而可得，分析角可知，用兩角差的正弦公式即可求得；（2）由（1）可知，結(jié)合的范圍可得,再由面積公式即可求得，最后利用余弦定理即可求得.(1)∵，∴，又∵，∴，∴，∴，(2)∵，∴，又∵，∴，∴，即，又∵，∴，由余弦定理得，，即.7．（2021·上?！?fù)旦附中高三階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，且，求的值（2）求函數(shù)的最小正周期和值域.【答案】（1）；（2），【分析】（1）根據(jù)兩角和差的余弦公式進行計算即可（2）利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得．【詳解】解：（1）若，且，則，則，則．（2）即，所以函數(shù)的最小正周期，，，即8．（2022·上海市進才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，x∈R，且f(x)的最大值為1.（1）求m的值，并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊a、b、c，若，且，試判斷△ABC的形狀.【答案】（1），(k∈Z)；（2）直角三角形.【分析】（1）化簡的解析式，求出其最大值，結(jié)合已知最大值可求得的值，利用正弦函數(shù)的遞增區(qū)間可解得的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用可求得，將邊化角，結(jié)合可求得，，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）,因為，所以，由+2kπ≤2x+≤+2kπ，，得到：，，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)（2）因為，則，則，因為，所以，所以，所以，又，則，，化簡得，得，因為，所以，所以，所以所以，故△ABC為直角三角形.【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟練掌握三角恒等變換公式以及正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.【真題模擬題專練】一、單選題1．（2021·上海松江·一模）已知角的終邊經(jīng)過點，將角的終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由條件求出，再根據(jù)角的旋轉(zhuǎn)及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以故選：B2．（2022·上海閔行·二模）“角的終邊關(guān)于軸對稱”是“"的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條許 D．既不充分也不必要各件【答案】B【分析】先證明充分性，再舉出反例說明必要性不成立，得到答案.【詳解】由角的終邊關(guān)于軸對稱，則，可知，即成立，充分性成立；當時，角的終邊關(guān)于軸對稱或，所以“角的終邊關(guān)于軸對稱”是“”的充分不必要條件，故選：B.3．（2022·上?！つM預(yù)測）如圖，在中，已知，D是邊上的一點，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理求出，得到，由正弦定理進行求解出答案.【詳解】在中，由余弦定理得：，因為，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得：故選：D4．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知銳角，其外接圓半徑為，，邊上的高的取值范圍為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)題意得，再結(jié)合條件得，再分析求值域即可.【詳解】因為為銳角三角形，，設(shè)邊上的高為，所以，解得由正弦定理可得，，所以，，，因為，所以因為，所以，所以，所以，所以高的取值范圍為.故選：C.二、填空題5．（2021·上海徐匯·一模）已知某圓錐的底面圓的半徑為，若其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的側(cè)面積為_______．【答案】【分析】根據(jù)底面圓的半徑求出圓錐的母線長，進而求出圓雉的側(cè)面積.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，圓錐的母線長為，則，因為其側(cè)面展開圖為一個半圓，所以.故答案為：6．（2021·上海青浦·一模）一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為18cm的扇形，則圓錐的母線與底面所成角的余弦值為__________.【答案】【分析】設(shè)母線長為，底面半徑為，利用側(cè)面展開圖，求出圓心角，然后求出底面半徑，即可求出圓錐母線與底面所成角的余弦值．【詳解】設(shè)母線長為，底面半徑為，則依題意易知cm，由，代入數(shù)據(jù)即可得cm，因此所求角α的余弦值即為．故答案為：.7．（2022·上海青浦·二模）已知角的終邊過點，則的值為_________．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算即可.【詳解】解：因為角的終邊過點，所以.故答案為：-2.8．（2022·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）已知，若，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】根據(jù)角的范圍分區(qū)間討論，去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的三角不等式，求解即可.【詳解】由題，當時，原不等式可化為，解得，當時，由原不等式可得，解得，綜上.故答案為：9．（2022·上海松江·二模）已知角為的內(nèi)角，，則_________．【答案】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)，即可求解.【詳解】由條件可知，.故答案為：10．（2022·上海黃浦·二模）設(shè)，．若對任意實數(shù)都有，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組的組數(shù)為____________．【答案】【分析】由恒成立的等式可確定，；結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的知識，分別討論不同取值時對應(yīng)的的取值，結(jié)合的范圍可得結(jié)果.【詳解】對任意實數(shù)都有，與的最值和最小正周期相同，，，即，，①當，時，，，又，或，則或；②當，時，，；又，或，則或；③當，時，，，又，或，則或；④當，時，，；又，或，則或；綜上所述：滿足條件的有序?qū)崝?shù)組共有組.故答案為：.11．（2022·上海徐匯·三模）已知，則___________.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故答案為：.12．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）若，則___________.【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式六化簡，即可求解.【詳解】因為，所以，故答案為：.13．（2022·上海金山·二模）已知平面向量滿足，若關(guān)于的方程有實數(shù)解，則面積的最大值為__________.【答案】【分析】對兩邊平方有有解，再利用基本不等式可得，進而求得面積的最大值即可【詳解】設(shè)，因為，故，則，顯然，對兩邊平方有，即有解，因為，當且僅當，即時取等號.故，則面積的最大值為，當且僅當時取等號.故答案為：14．（2022·上海金山·二模）已知向量，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡可得，再求解單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合求解即可【詳解】由題意，，故的單調(diào)遞增區(qū)間：，即，故在的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：三、解答題15．（2021·上?！つM預(yù)測）某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知，，線段BA，CD與，的長度之和為30，圓心角為弧度.(1)求關(guān)于x的函數(shù)表達式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長公式結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、的等式，即可得出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）利用扇形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值，即可得出結(jié)論.(1)解：根據(jù)題意，可算得，．因為，所以，所以，.(2)解：根據(jù)題意，可知，當時，.綜上所述，當時