試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat15頁2023-2024學(xué)年山東省煙臺市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，且，則m的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【答案】B【分析】根據(jù)集合的元素不重復(fù)可解得.【詳解】因?yàn)椋曰?，解得，或或，?dāng)時(shí)，，又集合中不能有相同的元素，所以故選：B2．命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可判斷．【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，命題“”的否定為“”.故選：A.3．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用特值法及作差法判斷.【詳解】對于A，取，則，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對于B，取，則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對于C，取，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D，∵，且，∴，且，則，即，故D正確.故選：D.4．某地民用燃?xì)鈭?zhí)行“階梯氣價(jià)”，按照用氣量收費(fèi)，具體計(jì)費(fèi)方法如下表所示．若某戶居民去年繳納的燃?xì)赓M(fèi)為868元，則該戶居民去年的用氣量為（

）每戶每年用氣量單價(jià)不超過的部分超過但不超過的部分超過的部分A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分段討論列方程求解.【詳解】該戶居民去年的用氣量為，繳納的燃?xì)赓M(fèi)為元，當(dāng)時(shí)，，令，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，解得，不合題意，綜上，.故選：C.5．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一次函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故A錯(cuò)誤；對于B，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，相符，故B正確；對于C，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故C錯(cuò)誤；對于D，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.6．若函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，可轉(zhuǎn)化為恒成立問題來求解.【詳解】函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，解得，故選：A.7．若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)是減函數(shù)，則由每一段是減函數(shù)，且左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)函數(shù)值求解.【詳解】由題意得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的開口向上，對稱軸，當(dāng)時(shí)，，得，所以得：，解得：，故D項(xiàng)正確.故選：D.8．已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題中條件結(jié)合函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)，判斷出的值的正負(fù)情況，所求不等式等價(jià)變形為或，求解即可.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，則，又在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，可化為，可得或，即或，解得.故選：C.二、多選題9．以下各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AC【分析】根據(jù)同一函數(shù)的概念判斷即可.【詳解】與的定義域，對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故A正確；由解得，則的定義域?yàn)?，由解得或，則的定義域?yàn)榛騽t與的定義域不同，不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；與的定義域，對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故C正確；的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．給定集合，定義且，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用基本不等式求得集合，根據(jù)新定義進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則，故A正確；∵，，由新定義可知，，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD.11．已知，，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為6C．的最大值為0 D．的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)均值不等式和不等式的性質(zhì)判斷AB，消元思想和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用判斷CD即可.【詳解】對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號，A正確；對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號，B錯(cuò)誤；對于C：，所以，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)取到等號，C正確；對于D：，由函數(shù)性質(zhì)易知在單調(diào)遞增，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選：AC12．德國數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)立者，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn)．某數(shù)學(xué)小組類比拓?fù)鋵W(xué)中的康托爾三等分集，定義了區(qū)間上的函數(shù)，且滿足：①任意，；②；③，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【分析】利用賦值法，求得，由單調(diào)性定義可判斷A；由③得，利用對稱性性質(zhì)可判斷B；求得，，進(jìn)而得，可判斷C；求得，進(jìn)而得，即，即可判斷D.【詳解】由②得，即，得，而，得，∴，故A錯(cuò)誤；由③可知，，即，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；由②得，則，由③得，即，由，得，故C正確；由，得，則，∵任意，，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴，即，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．已知為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】1【分析】由列等式求解即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，得，得，得.故答案為：114．若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，以及充分不必要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式的解集記為，不等式，解得或，解集記為或，若“”是“”的充分不必要條件，則，所以.故答案為：.15．已知命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，需對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，并結(jié)合判別式即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由題意得：當(dāng)時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，的對稱軸為，所以，只需，解得：，當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意，綜上，的取值范圍為，故答案為：四、雙空題16．設(shè)，，用表示，中較小者，記為，則；若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為.【答案】2【分析】計(jì)算與，比較大小可得；結(jié)合解不等式，得出的解析式，作出圖象，將方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】，，則；由，解得，由，解得或，則，作出圖象，如圖，

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為.故答案為：2；.五、解答題17．已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，然后利用集合的并集運(yùn)算求解；（2）先求出，然后利用并集運(yùn)算，求出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以.（2）因?yàn)?，，所以?/p>

解得：.故的取值范圍為：.18．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求在上的解析式；(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以，即．綜上，，，（2）任取，且，，因?yàn)?，且所以，，且，所以，即，所以，函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．19．某工廠擬建造一個(gè)深為2.5米的長方體無蓋貯水池，如果池底每平方米的造價(jià)為200元，池壁每平方米的造價(jià)為100元，總造價(jià)不超過3萬元，怎樣設(shè)計(jì)水池，才能使其容積最大?最大容積是多少?【答案】當(dāng)池底的長和寬均為10米時(shí)，其容積最大，最大容積為立方米【分析】設(shè)池底的長為x米，寬為y米，則水池的容積為，由題意得，結(jié)合基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化整理，解不等式即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)池底的長為x米，寬為y米，則水池的容積為，由題意得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，所以，即，解得，即．所以，當(dāng)，即池底的長和寬均為10米時(shí)，其容積最大．此時(shí)，最大容積為立方米.20．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的解析式；(2)若存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，由條件可得，得到的值即可；（2）令，由條件得，且．令，，由題意可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）設(shè)的解析式為，則，解得，因此．（2）因?yàn)?，所以．令，則，且．令，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．因?yàn)榇嬖?，使得，所以．所以．又因?yàn)?，所以的取值范圍?21．已知函數(shù)滿足：，．令．(1)求值，并證明為偶函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，．(i)判斷在上的單調(diào)性，并說明理由；(ii)若，求不等式的解集．【答案】(1)，證明見解析；(2)(i)在上單調(diào)遞增，理由見解析；(ii)或【分析】（1）利用賦值法，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義證明即可；（2）（i）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；(ii)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】（1）因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，則，所以．令，則，所以．令，則，所以，，所以為偶函數(shù).（2）(i)因?yàn)椋瑑蛇呁缘?，即．任取，且，則，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．(ii)因?yàn)?，所以，所以原不等式可化為．又為偶函?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，解得或，所以原不等式的解集為或．22．已知函數(shù)，，(1)解關(guān)于x的不等式；(2)從①，②]這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題的橫線處，并給出問題的解答．問題：是否存在正數(shù)t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）先代入，再進(jìn)行因式分解，最后根據(jù)參數(shù)的取值不同分別得到解集即可；（2）先將題目意思理解為定義域和值域問題，然后對二次函數(shù)對稱軸的分布分類討論，根據(jù)不同情況分別求出和的值，再逐一驗(yàn)證是否符合要求即可.【詳解】（1）由，則，即，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，綜上，當(dāng)時(shí)不等式的解集為，時(shí)不等式的解集為，時(shí)不等式的解集為；（2）因?yàn)槭情_口向下的二次函數(shù)，若選擇條件①：此時(shí)的解集為，所以，，且，由，，得，解得，當(dāng)時(shí)，