第1頁/共1頁數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚．2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效．3．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】理解描述法，求對數(shù)函數(shù)的定義域和值域，應用集合的并集運算即可.【詳解】，，則.故選：C．2.已知，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡，利用共軛復數(shù)的定義即可求解.【詳解】，則，所以的虛部是.故選：A3.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.3 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性即可求解.【詳解】∵為奇函數(shù)，∴時，，則，∴時，，則，故選：C．4.4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加實踐活動，則周六、周日各有兩位同學參加實踐活動的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)古典概率模型的概率求法求解即可.【詳解】4位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加實踐活動，共有種選法，設4位同學分別為A，B，C，D，則4人中選兩人在周六選法有，剩下兩人在周日，所以周六、周日各有兩位同學參加實踐活動共有種選法，所以周六、周日各有兩位同學參加實踐活動的概率.故選:B．5.已知函數(shù)在處取到最大值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用輔助角公式或逆用兩角差的正弦公式化簡后求出，再代入運用兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】因為，其中，，又在處取到最大值，所以（），即（），則，，所以，故選：A．6.已知圓：與直線：（），過上任意一點向圓引切線，切點為，，若的最小值為，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由的最小值給出的范圍，再用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】圓：，圓心，半徑，由的最小值為，可得．又，，所以的最小值為2，而圓心到直線：（）的距離等于2，即，解得，故選：D．7.函數(shù)，若存在，使得對任意，都有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因為任意，都有，所以是函數(shù)的最小值，也是極小值，又當時，，故只需即可.【詳解】由，又，因為任意，都有，所以是函數(shù)的最小值，也是極小值，故有兩實根，即有兩實根，則，記二次函數(shù)的零點為，且，則在，上單調遞增，在上單調遞減，當時，，因為是最小值，所以，即，解得，故，故選：B．8.對于數(shù)列，定義：（），稱數(shù)列是的“倒和數(shù)列”．下列命題正確的是（）A.若數(shù)列的通項為：，則數(shù)列的最小值為2B.若數(shù)列的通項為：，則數(shù)列不是單調遞增數(shù)列C.若數(shù)列的通項為：，則時數(shù)列單調遞減D.若數(shù)列的通項為：，則【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)求出在、上的單調性可判斷AB；利用導數(shù)判斷出在上的單調性可得，再由在上的單調性可判斷C；估算出、，由函數(shù)在上單調遞減可判斷D.【詳解】，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，對于A，，函數(shù)在上單調遞減，則數(shù)列的最小值為，故A錯誤；對于B，數(shù)列單調遞增，，且時，，函數(shù)在上單調遞增，則數(shù)列單調遞增，而時，，又，∴，所以數(shù)列是單調遞增數(shù)列，故B錯誤；對于C，因為函數(shù)，，當時，，在上單調遞減，且，所以時，數(shù)列單調遞減，且，又函數(shù)在上單調遞減，則時，數(shù)列單調遞增，故C錯誤；對于D，∵，，∴，由函數(shù)在上單調遞減知：，故D正確.故選：D．【點睛】關鍵點點睛：關鍵點是利用導數(shù)判斷出在、上的單調性，結合單調性解題.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中（），為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)可能相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定不同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差可能相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差一定不同【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的定義，用特值法可判斷A、B的正誤；C、D利用兩組數(shù)據(jù)的線性關系即可判斷正誤.【詳解】當取，，，時，可知A正確，B錯誤；，故時方差可能相同，故C正確；由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，時極差相同，故D錯誤，故選：AC．10.如圖，在邊長為1的正方體中取四個頂點，得到正四面體，則下列正確的是（）A.正四面體的體積為B.正四面體的外接球的半徑為C.正四面體的棱切球的半徑為D.正四面體的內切球的半徑、棱切球的半徑和外接球的半徑成等比數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】利用正方體、正四面體的結構特征，結合錐體的體積，逐項計算判斷即得.【詳解】對于A，正四面體的體積，A正確；對于B，正四面體的外接球即為正方體的外接球，球半徑為，B錯誤；對于C，正四面體的棱切球即為正方體的內切球，球半徑為，C正確；對于D，正四面體的內切球的半徑為，由，解得，顯然，，成等比數(shù)列，D正確.故選：ACD11.過雙曲線（，）的右焦點作漸近線的垂線，垂足為，且該直線與軸的交點為，若（為坐標原點），該雙曲線的離心率的可能取值是（）A B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意求出長，利用求出雙曲線離心率范圍，即可得出結果.【詳解】不妨設雙曲線的漸近線方程為，右焦點，則點到漸近線的距離為，在方程中，令，得，所以，由，可得，則，即，即，解得，又因為．所以.故選：ABD．12.已知函數(shù)的定義域是，是的導函數(shù)，若對任意的，都有，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.當時，【答案】ABC【解析】分析】先構造函數(shù)，依題意用導數(shù)判斷單調性即可逐項求解.【詳解】設，則，據(jù)題意，故是一個定義在上的增函數(shù)，則，即，化簡得，，故A，B正確；又，即，化簡得，故C正確；由于，當時，，解得，故D不正確，故選：ABC．【點睛】關鍵點點睛：關鍵是根據(jù)常用函數(shù)的導數(shù)和導數(shù)的四則運算特征反向構造函數(shù)，注意.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，則______．【答案】##【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的坐標表示以及模的坐標表示即可求出結果.【詳解】根據(jù)題意，向量，，則，又，，，故．故答案為：14.已知棱長均相等的正三棱柱，則異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】##【解析】【分析】連接，交于點，取的中點，連接，則，則為異面直線所成的角或其補角,解三角形即可.【詳解】如圖1，連接，交于點，取的中點，連接，則，則為異面直線所成的角或其補角，不妨令，則在三角形中，，，由余弦定理可知：，所以異面直線與所成角的余弦值為．故答案為：15.已知橢圓：，為坐標原點，，是橢圓上兩點，，的斜率存在并分別記為，，且，則______．【答案】36【解析】【分析】設，，，，應用斜率兩點式、差角余弦公式得，進而有，，最后由兩點距離公式求目標式的值.【詳解】設，，，，由，整理得，即，則或，所以，，．故答案為：16.已知函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)在上至少存在兩個最值點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先求得圖象平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)所得函數(shù)在區(qū)間上最值點的情況以及對進行分類討論來求得的取值范圍.【詳解】將的圖象向右平移個單位長度后，所得函數(shù)圖象對應的解析式為，則當，即時，在上至少存在兩個最值點，滿足題意；當時，，所以（），解得（）．當時，解集為，不符合題意；當時，解得；當時，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：【點睛】三角函數(shù)圖象變換，首先要看是變還是變，平移變換中：變是“左加右減”，變是“上加下減”.伸縮變換中，如：由變換為，則是縮小為原來的倍；如變?yōu)?，則是放大為原來的倍.四、解答題（共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知的內角所對的邊為，，，且．（1）證明：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理及正弦定理結合誘導公式兩角和的正弦公式化簡即可證明；（2）結合正弦定理進行邊角互化，用角表示各邊，由角的范圍確定的取值范圍．【小問1詳解】證明：由余弦定理可得，化簡可得，由正弦定理可得．又，∴，∴或，即或（舍去）．【小問2詳解】∵，∴，∴由正弦定理可得.又∵，，，∴解得，∴．令，則，∵函數(shù)在上單調遞增，∴，即．18.記為數(shù)列前項和，已知：，（）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求和：．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用等差數(shù)列定義即可得證，并結合與的關系式，求出.（2）利用前項和的倒序相加法，結合組合的性質即可求出結果.【小問1詳解】由，有，又，故，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，故，兩式相減得，即，所以，因此的通項公式為．【小問2詳解】設，則由（1）知，又，兩式相加得：，因為，，，所以.19.如圖甲，在菱形與等腰直角中，，，，現(xiàn)將沿旋轉，點旋轉到點，如圖乙，若．（1）求證：；（2）求二面角平面角的余弦的絕對值，并據(jù)此求出平面在平面上投影的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由題干數(shù)據(jù)可得為邊長為2的正三角形，且，又，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質可得平面，.連接，與交于點，可得，根據(jù)線面垂直的判定定理與性質即可證明；（2）取的中點，連接，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量法求出二面角平面角的余弦的絕對值.令平面在平面上投影的面積為，利用即可求解.【小問1詳解】證明：由菱形中，，則為邊長為2的正三角形，即，又有，，所以，即．又，即，且，平面，所以平面.因為平面，所以.如圖2，連接，與交于點，則，且，平面，所以平面.因為平面，所以．【小問2詳解】解：取的中點，連接，如圖3建立以，，分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，則，，，，，，．設為平面的一個法向量，則，即，令，則，，即．設為平面的一個法向量，則，即，令，則，，即．令二面角的平面角為，則．如圖4，在三角形中，由題意知：，，則，令平面在平面上投影的面積為，則，所以，所以平面在平面上投影的面積為．20.2023年10月7日，杭州第19屆亞運會女子排球決賽，中國隊以3比0戰(zhàn)勝日本隊，奪得冠軍，這也是中國女排第9個亞運冠軍．她們用汗水詮釋了幾代女排人不屈不撓、不斷拼搏的精神．某學校為了弘揚女排精神，組織高三同學參加《三環(huán)杯》排球賽，采用5局3勝制，每局25個回合，決勝局15個回合．在一個回合中，贏的球隊獲得1分，輸?shù)那蜿牪坏梅?，且下一回合的發(fā)球權屬于獲勝方．經統(tǒng)計，甲、乙兩支球隊在每一個回合中輸贏情況如下：當甲隊擁有發(fā)球權時，甲隊獲勝的概率為；當乙隊擁有發(fā)球權時，乙隊獲勝的概率為，且在第一回合中，甲隊和乙隊擁有相同的發(fā)球權．（1）在第一局比賽中，求在前三個回合里乙隊獲得2分的概率；（2）在第二局比賽中，假設由乙隊先發(fā)球，試比較在第五個回合中，甲乙兩隊誰發(fā)球的概率更大？【答案】（1）（2）乙隊開球的概率更大【解析】【分析】（1）考慮甲隊先發(fā)球和乙隊先發(fā)球兩種情況，根據(jù)乙隊贏2次輸1次計算概率得到答案.（2）確定，，，依次計算得到答案，或確定，得到數(shù)列由是以為首項，為公比的等比數(shù)列，計算得到答案.【小問1詳解】當某局比賽開始，甲隊先發(fā)球，乙隊獲取2分的概率為：；當某局比賽開始，乙隊先發(fā)球，乙隊獲取2分的概率為：；所以在前三局比賽中，乙隊獲得2分的概率．【小問2詳解】方法一：設在第個回合中，甲隊開球的概率為，在第五個回合中，甲隊開球的概率：，同理：，，，故，，，，，又，故在第五個回合中，乙隊開球的概率更大．方法二：設在第個回合中，甲隊開球的概率為，由全概率公式得：，即，由題意得：，所以數(shù)列由是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以：，即：，所以：，故在第五個回合中，乙隊開球的概率更大．21.已知雙曲線：（，）過且離心率為．（1）求的方程；（2）若直線與雙曲線交于，兩點，且，求證：直線恒過定點，且該定點不在上．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點坐標和離心率得到雙曲線方程.（2）考慮斜率存在和不存在兩種情況，設直線和點坐標，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關系，根據(jù)垂直得到，代入計算得到，得到定點坐標，法2，設直線的方程為，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關系，根據(jù)垂直得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】經過點，可知，離心率，解得．，解得，所以的方程為．【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得．由得（*），且，，因為，所以，．因為，所以，即，所以，即，所以，化簡得，即，解得或，且均滿足（*），當時，直線的方程為，直線過定點，即點，不符合題意，舍去；當時，直線的方程為，直線過定點，符合題意；當直線的斜率不存在時，設的方程為（），由解得，依題意，因為，，所以，即，所以，即，解得（舍）或，所以直線的方程為，直線過點，綜上所述：直線經過一個不在雙曲線上的定點，定點的坐標為．法二：由題