流體靜力學(xué)：研究（平衡）靜止或相對(duì)平衡流體的力學(xué)規(guī)律及其應(yīng)用的科學(xué)。相對(duì)平衡：是指流體宏觀質(zhì)點(diǎn)之間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到了相對(duì)的平衡。流體處于平衡狀態(tài)包括了兩種形式：流體對(duì)地球無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，叫絕對(duì)靜止，也稱為重力場(chǎng)的流體平衡。如盛裝在固定不動(dòng)容器中的液體。流體整體對(duì)地球有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但流體對(duì)運(yùn)動(dòng)容器無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)之間也無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這種靜止叫相對(duì)靜止或叫流體的相對(duì)平衡。例如盛裝在作等加速直線運(yùn)動(dòng)和作等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的容器內(nèi)的液體。項(xiàng)目3流體靜力學(xué)

【案例導(dǎo)入】青海省共和縣溝后水庫“8.27”特大垮壩事故青海省共和縣溝后水庫潰壩現(xiàn)場(chǎng)建筑被大水沖毀后的情景主要內(nèi)容任務(wù)1作用在流體上的力任務(wù)2流體靜壓強(qiáng)特性任務(wù)3流體平衡微分方程任務(wù)4重力場(chǎng)中靜力學(xué)基本方程主要內(nèi)容任務(wù)5靜壓力的測(cè)量任務(wù)6液體的相對(duì)平衡任務(wù)7液體作用在平面上的總壓力任務(wù)8液體作用在曲面上的總壓力任務(wù)1作用在流體上的力一、表面力無論是靜止或運(yùn)動(dòng)的流體都受到外力的作用。作用在流體上的力按其物理性質(zhì)來看，有重力、彈性力、摩擦力、表面張力等。如按其作用的方式來分，這些力分為表面力和質(zhì)量力兩類。表面力是流體內(nèi)部各部分之間或流體和其他物體之間通過毗鄰流體接觸表面作用在流體上的力，其大小和受作用的表面面積成正比。由于流體內(nèi)部不能承受拉力，所以表面力又可分為垂直于作用面的壓力和平行于作用面的切力。如圖所示，作用于點(diǎn)的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力，用數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫成二、質(zhì)量力

質(zhì)量力是流體質(zhì)點(diǎn)受某種力場(chǎng)的作用力，它的大小與流體的質(zhì)量成正比。對(duì)于均質(zhì)流體，質(zhì)量力也必然和受作用流體的體積成正比，所以質(zhì)量力又稱為體積力。運(yùn)水汽車沿斜面行駛

【解】由題意，作用在水體上的單位質(zhì)量力為

因此

任務(wù)2

流體靜壓強(qiáng)特性當(dāng)流體處于絕對(duì)靜止或相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，作用在與之接觸的表面上的壓應(yīng)力稱為流體的靜壓強(qiáng)，表示一點(diǎn)上流體靜壓力的強(qiáng)度。其表達(dá)式為:

1、

靜壓強(qiáng)作用的垂向性流體靜壓強(qiáng)的方向與受壓面垂直并指向受壓面，即流體靜壓強(qiáng)的方向只能沿作用面的內(nèi)法線方向，與作用面的內(nèi)法線方向一致。一、流體靜壓強(qiáng)特性一、流體靜壓強(qiáng)特性2、靜壓強(qiáng)的各項(xiàng)等值性Y

是質(zhì)量力在y

方向的分量dxdydzpxpnpzpyxyznoM

在靜止流體中取出以M為頂點(diǎn)的四面體流體微元，它受到的質(zhì)量力和表面力必是平衡的，以y方向?yàn)槔?，寫出平衡方程此時(shí)，pn，px，py，pz已是同一點(diǎn)（M點(diǎn)）在不同方位作用面上的靜壓強(qiáng)，其中斜面的方位n又是任取的，這就證明了靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān)，也就是同一點(diǎn)上各個(gè)方向的流體的靜壓強(qiáng)大小相等。

當(dāng)四面體微元趨于M點(diǎn)時(shí)，注意到質(zhì)量力比起面力為高階無窮小，即得pn=py，同理有pn=px，pn=pzdxdydzpxpnpzpyxyznoM表面力在y

方向上的分量只有左右一對(duì)面元上的壓力，合力為odxdzpxyzdy

在靜止流體中取出六面體流體微元，分析其在

y

方向的受力。微元所受y

方向上的質(zhì)量力為

任務(wù)3

流體平衡微分方程流體平衡微分方程的建立odxdzpxyzdy平衡方程為或同理有和其中X,Y,Z

是質(zhì)量力f的三個(gè)分量。

稱為靜壓強(qiáng)場(chǎng)的梯度。它

是數(shù)量場(chǎng)p(x,y,z)對(duì)應(yīng)的一

個(gè)矢量場(chǎng)。

稱為哈米爾頓算子,它同時(shí)具有矢量和微分（對(duì)跟隨其后的變量）運(yùn)算的功能。用它來表達(dá)梯度，非常簡(jiǎn)潔，并便于記憶。平衡微分方程的矢量形式其中乘以dx乘以dy乘以dz三式相加，整理平衡微分萬程的普遍積分式所以

流體靜壓強(qiáng)是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，它的全微分為壓力差方程在靜止流體中，空間點(diǎn)的坐標(biāo)增量為dx、dy、dz時(shí)，相應(yīng)的流體靜壓強(qiáng)增加dp，壓強(qiáng)的增量取決于質(zhì)量力。力勢(shì)函數(shù)（標(biāo)量）

Potentialfunction：物理含義為單位質(zhì)量的重力勢(shì)能

代入上式可得：

積分方程流體平衡條件：只有在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，不可壓縮均質(zhì)流體才能處于平衡狀態(tài)，這就是流體平衡的條件。1、等壓面方程等壓面

2、等壓面的性質(zhì)（a）在平衡的流體中，通過任意一點(diǎn)的等壓面，必與該點(diǎn)所受的質(zhì)量力互相垂直。（b）當(dāng)兩種互不相混的液體處于平衡時(shí)，它們的分界面必為等壓面。

同一液體的等壓面不同液體的等壓面任務(wù)4重力場(chǎng)中靜力學(xué)基本方程

靜力學(xué)基本方程

靜力學(xué)基本方程的物理意義一.重力作用下的平衡方程

z

軸鉛垂向上，流體不可壓縮。積分

重力場(chǎng)中連通的同種靜止液體中：①壓強(qiáng)隨位置高程線性變化；

②等壓面是水平面，與質(zhì)量力（重力）垂直；

③是常數(shù)。

或二.靜力學(xué)基本方程的物理意義

在靜水壓強(qiáng)分布公式

中，各項(xiàng)都為長(zhǎng)度量綱，稱為水頭（液柱高）。

——

位置水頭，以任取水平面為基準(zhǔn)面

z=0

，鉛垂向

上為正。

——

壓強(qiáng)水頭，以大氣壓為基準(zhǔn)，用相對(duì)壓強(qiáng)代入計(jì)

算。

——

測(cè)壓管水頭。

要知道靜止流體中具體的壓強(qiáng)分布，關(guān)鍵是知道其中某一點(diǎn)的壓強(qiáng)，從而確定積分常數(shù)C

若z=z1時(shí),p=p1,則或ghAp0ApAzoh

如果靜止液體有自由面，將自由面作為基準(zhǔn)面

z=0，自由面上的壓強(qiáng)為

p0

，則

若令h

=

z（向下為正），則ghAp0ApAzoh封閉容器圖

圓柱形容器

活塞底面的壓強(qiáng)可按靜力平衡條件確定通過B點(diǎn)作一水平面1－1，根據(jù)等壓面特性知：1－1為等壓面B一.壓力的表示方法A絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O大氣壓強(qiáng)

paO壓強(qiáng)

壓強(qiáng)

p記值的零點(diǎn)不同，有不同的名稱：

以完全真空為零點(diǎn)，記為

pabs絕對(duì)壓強(qiáng)兩者的關(guān)系為:

pr=

pabs-

pa

以當(dāng)?shù)卮髿鈮?/p>

pa

為零點(diǎn)，記為

pr

相對(duì)壓強(qiáng)為負(fù)值時(shí)，其絕對(duì)值稱為真空壓強(qiáng)。相對(duì)壓強(qiáng)真空壓強(qiáng)任務(wù)5靜壓力的測(cè)量BA絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)A點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)真空壓強(qiáng)A點(diǎn)相對(duì)壓強(qiáng)B點(diǎn)絕對(duì)壓強(qiáng)相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)O大氣壓強(qiáng)

paO壓強(qiáng)

今后討論壓強(qiáng)一般指相對(duì)壓強(qiáng)，省略下標(biāo)，記為

p

，若指絕對(duì)壓強(qiáng)則特別注明。常用的壓力單位有以下三種二.壓力的單位

用液柱高度表示。單位是毫米水柱或毫米汞柱，符號(hào)分別是mmH2O或mmHg。用大氣壓表示。表3.l壓力單位換算表例3-4

將1atm換算為以mmHg及mH2O為單位的數(shù)據(jù)。

例3-5由某壓力表測(cè)出的讀數(shù)為5at，試換算成以MPa表示的絕對(duì)壓強(qiáng)。

流體靜壓強(qiáng)的測(cè)量?jī)x表主要有液柱式、金屬式和電測(cè)式三大類。液柱式儀表測(cè)量精度高，但量程較小，一般用于低壓實(shí)驗(yàn)場(chǎng)所。金屬式儀表利用金屬彈性元件的變形來測(cè)量壓強(qiáng)，可測(cè)計(jì)示壓強(qiáng)的叫壓力表，可測(cè)真空度的叫真空表。電測(cè)式將彈性元件的機(jī)械變形轉(zhuǎn)化成電阻、電容、電感等電量，便于遠(yuǎn)距離測(cè)量及動(dòng)態(tài)測(cè)量。由于電測(cè)式壓力計(jì)與流體力學(xué)基本理論聯(lián)系不大，故在此只介紹液柱式和金屬式測(cè)壓儀表。三.靜壓強(qiáng)的測(cè)量為減少毛細(xì)管（capillarytube）作用而引起的誤差，測(cè)壓管內(nèi)徑應(yīng)不小于

（1）測(cè)壓管

測(cè)壓管簡(jiǎn)單的測(cè)壓管就是一根玻璃管，一端連在要測(cè)量壓力處的容器壁上，另一端開口與大氣相通。根據(jù)管內(nèi)液面上升的高度，便可得出容器中液體某點(diǎn)的靜壓力數(shù)值

（2）U形管測(cè)壓計(jì)為了克服測(cè)壓管測(cè)量范圍和工作液體的限制，常使用U形測(cè)壓管和U形管真空計(jì)來測(cè)量3個(gè)大氣壓以內(nèi)的壓強(qiáng)。在管內(nèi)裝有測(cè)壓用的工作液體，稱為封液，是與被測(cè)流體不相混的。常用的封液有水、水銀（mercury）、油及酒精（alcohol）等。杯式測(cè)壓計(jì)是一種改良的U形測(cè)壓管，如右圖所示。它是由一個(gè)內(nèi)盛水銀的金屬杯與裝在刻度板上的開口玻璃管相連接而組成的測(cè)壓計(jì)。

（3）杯式測(cè)壓計(jì)和多支U形管測(cè)壓計(jì)

多支U形管測(cè)壓計(jì)是幾個(gè)U形管的組合物，如右圖所示。當(dāng)容器A中氣體的壓強(qiáng)大于3大氣壓時(shí)，可采用這種形式的測(cè)壓計(jì)。求出B點(diǎn)壓強(qiáng)后，可以推算出容器A中任意一點(diǎn)的壓強(qiáng)。

在工程實(shí)際中，測(cè)量?jī)牲c(diǎn)壓強(qiáng)差的儀器叫差壓計(jì)。差壓計(jì)用于測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的壓差。如右圖所示的U形管差壓計(jì)。（4）差壓計(jì)

微壓計(jì)一般用于測(cè)量氣體壓強(qiáng)，它在一個(gè)較大截面的容器上安裝一個(gè)可調(diào)傾斜角的測(cè)壓管，容器中裝有封液，重度為，如右圖所示。（5）微壓計(jì)

常用的金屬式測(cè)壓計(jì)有彈簧管壓力計(jì)，它的工作原理是利用彈簧元件在被測(cè)壓強(qiáng)作用下產(chǎn)生彈簧變形帶動(dòng)指針指示壓力。（6）金屬壓力表與真空表彈簧管壓力計(jì)U形測(cè)壓管

氣水分離器等壓面方程

邊界條件壓強(qiáng)分布方程1.平面上的等加速運(yùn)動(dòng)(非慣性/動(dòng)坐標(biāo)系)自由液面方程圖2-12（a）

任務(wù)6液體的相對(duì)平衡一、等加速直線運(yùn)動(dòng)容器中液體的相對(duì)平衡2.容器沿斜面的等加速運(yùn)動(dòng)質(zhì)量力分量

全微分方程壓強(qiáng)分布方程等壓面方程

思考題

等加速直線運(yùn)動(dòng)的容器求下面三種情況下，（1）壓力分布；（2）等壓面方程；（3）自由液面方程；（4）自由液面與水平面的夾角。

勻加速直線運(yùn)動(dòng)的油箱

分析：勻加速直線運(yùn)動(dòng)的油箱，自由液面斜率。

水箱沿水平方向運(yùn)動(dòng)

（2）二、等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的平衡代入靜力學(xué)微分方程積分邊界條件

靜壓強(qiáng)分布和自由液面方程自由液面條件

自由液面方程

壓強(qiáng)分布方程

盛水的旋轉(zhuǎn)圓筒

（2）（1）液體作用在平面上的總壓力包括三個(gè)方面的問題：1.總壓力的大小2.總壓力的作用點(diǎn)3.總壓力的方向任務(wù)7液體作用在平面上的總壓力

完整的總壓力求解包括其大小、方向、作用點(diǎn)。

靜力奇象h

水深相同，桶底面積相同，桶底所受水壓力相同，整桶所受水的作用力(桶內(nèi)水的重量）不同。

一.總壓力的大小

二.總壓力的作用點(diǎn)

若作用在液體自由表面的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)，而平面外側(cè)也作用著大氣壓強(qiáng)，則僅由液體產(chǎn)生的總壓力作用點(diǎn)的坐標(biāo)

附B-1靜矩與形心

一、截面靜矩靜矩的量綱為：L3xCyxyCCxydAO分別稱為截面對(duì)坐標(biāo)軸x與y的靜矩或一次矩。靜矩可能為正，可能為負(fù)，也可能為0。二、截面形心xCyxyCCxydAO或由靜矩公式當(dāng)坐標(biāo)yc或xc為0，即當(dāng)坐標(biāo)軸x或y通過形心時(shí)，截面對(duì)該軸的靜矩為0；反之，如果截面對(duì)某軸的靜矩為0，則該軸必通過形心。三、常見幾何圖形的形心位置和面積1.矩形截面2.圓形截面3.三角形截面Cyxbh對(duì)稱圖形，形心一定在對(duì)稱軸上。CxydbCh/3h四、組合截面的靜矩和形心1.組合截面的靜矩2.組合截面的形心xyOx2y2x1y1C1C2

使用上述公式時(shí)，對(duì)于挖掉部分的面積應(yīng)取負(fù)值。附B-2慣性矩分別稱

為截面對(duì)

x與

y軸的慣性矩。慣性矩恒為正，單位為：m4。一、截面慣性矩yxxydAO組合圖形的慣性矩xA1A2二、簡(jiǎn)單截面的慣性矩1.矩形截面xbh/2h/2CydydA2.圓形截面xDCd

dAd

xCDdy3.環(huán)形截面其中，

=d/D附B-3慣性矩平行軸定理

截面對(duì)任一軸的慣性矩，等于對(duì)其形心軸x0的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離yC平方的乘積。yxdAO(A)yx0y0CyCy0當(dāng)坐標(biāo)軸通過形心時(shí)，截面對(duì)該軸的靜矩為0。同理可得：

（a）（b）（c）半面浸在水中的平板

二維曲面上的液體總壓力任務(wù)8靜止液體作用在曲面上的總壓力總壓力的水平分力總壓力的鉛直分力一.總壓力的大小和方向

曲面上靜水總壓力

二.總壓力的作用點(diǎn)

總壓力在曲面上的作用點(diǎn)EXIT實(shí)壓力體虛壓力體三.壓力體

圓弧形閘門

綜合實(shí)例

阿基米德

原理

靜止液體作用在物體上的總壓力—浮力的大小等于物體所排開液體的重量，方向鉛垂向上，作用線通過物體被液體浸沒部分體積的形心—浮心。Archimedeslaw擴(kuò)展提高一.阿基米德原理阿基米德（Archimedes,287-212B.C.希臘）

公元前3世紀(jì)阿基米德浮力定律物體沉浮設(shè)物體的重量為G，浮力為F，顯然可得如下結(jié)論：當(dāng)G>F時(shí)，物體將下沉至液體的底部——沉體；當(dāng)G<F時(shí)，物體將上浮而露出水面——浮體。這樣，物體排開液體的體積變?。ǜ×ψ冃。?，直至重力等于浮力；當(dāng)G=F時(shí)，物體可以潛沒于液體中，處于淹沒平衡狀態(tài)——潛體

。

在連續(xù)介質(zhì)假設(shè)下，討論描述流體運(yùn)動(dòng)的方法，根據(jù)運(yùn)動(dòng)要素的特性對(duì)流動(dòng)進(jìn)行分類。本章的討論是純運(yùn)動(dòng)學(xué)意義上的，不涉及流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)因素。連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)具體約束，也在本章的討論范圍之中。EXIT項(xiàng)目4流體運(yùn)動(dòng)學(xué)EXIT任務(wù)1流體運(yùn)動(dòng)的描述方法任務(wù)2流場(chǎng)的幾個(gè)基本概念任務(wù)3連續(xù)性方程任務(wù)4流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解項(xiàng)目4流體運(yùn)動(dòng)學(xué)任務(wù)5勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)綜合實(shí)例

描述流體運(yùn)動(dòng)的困難拉格朗日法歐拉法歐拉法的質(zhì)點(diǎn)加速度兩種方法的關(guān)系及比較

任務(wù)1流體運(yùn)動(dòng)的描述方法EXIT

離散

質(zhì)點(diǎn)系剛體流體質(zhì)點(diǎn)間的約束強(qiáng)無弱

一.描述流體運(yùn)動(dòng)的困難質(zhì)點(diǎn)數(shù)N個(gè)無窮無窮EXIT

離散

質(zhì)點(diǎn)系剛體流體EXIT六個(gè)自由

度運(yùn)動(dòng)

編號(hào)，逐點(diǎn)描述

3N個(gè)自由度困難：

無窮多質(zhì)點(diǎn)有變形不易顯示

離散

質(zhì)點(diǎn)系剛體流體EXITt1t2t3t4t5

二.拉格朗日法EXITt6

以研究單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程作為基礎(chǔ)，綜合所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。

拉格朗日法是質(zhì)點(diǎn)系法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的位移矢量為：(a,b,c)

是拉格朗日變數(shù)，即

t=t0

時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的空間位置，用來對(duì)連續(xù)介質(zhì)中無窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，作為質(zhì)點(diǎn)標(biāo)簽。

流體在運(yùn)動(dòng)過程中其它運(yùn)動(dòng)要素和物理量的時(shí)間歷程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：EXIT易知指定空間位置不同流體質(zhì)點(diǎn)

三.歐拉法EXIT

以研究流場(chǎng)中各個(gè)空間點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)要素的變化情況作為基礎(chǔ)，綜合所有的空間點(diǎn)的情況，構(gòu)成整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)。

歐拉法是流場(chǎng)法，它定義流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量場(chǎng)為：(x,y,z)

是空間點(diǎn)（場(chǎng)點(diǎn)）。流速u

是在t

時(shí)刻占據(jù)(x,y,z)

的那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量。

流體的其它運(yùn)動(dòng)要素和物理特性也都可用相應(yīng)的時(shí)間和空間域上的場(chǎng)的形式表達(dá)。如加速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)等：EXIT歐拉（L.Euler,

1707-1783，瑞士）拉格朗日（J-L.Lagrange，1736－1813，意大利)EXIT拉格朗日法

歐拉法

著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，跟蹤質(zhì)點(diǎn)描述其運(yùn)動(dòng)歷程著眼于空間點(diǎn)，研究質(zhì)點(diǎn)流經(jīng)空間各固定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特性布哨跟蹤EXIT

歐拉法是描述流體運(yùn)動(dòng)常用的一種方法。EXIT

如果流場(chǎng)的空間分布不隨時(shí)間變化，其歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間t，這樣的流場(chǎng)稱為恒定流。否則稱為非恒定流。

歐拉法把流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素和物理量都用場(chǎng)的形式表達(dá)，為在分析流體力學(xué)問題時(shí)直接運(yùn)用場(chǎng)論的數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造了便利條件。

四.歐拉法的質(zhì)點(diǎn)加速度

速度是同一流體質(zhì)點(diǎn)的位移對(duì)時(shí)間的變化率，加速度則是同一流體質(zhì)點(diǎn)的速度對(duì)時(shí)間的變化率。

通過位移求速度或通過速度求加速度，必須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)該在拉格朗日觀點(diǎn)下進(jìn)行。EXIT

若流動(dòng)是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只須將位移矢量直接對(duì)時(shí)間求一、二階導(dǎo)數(shù)即可。

求導(dǎo)時(shí)a,b,c作為參數(shù)不變，意即跟定流體質(zhì)點(diǎn)。EXIT

跟定流體質(zhì)點(diǎn)后，x,y,z均隨t

變，而且

若流場(chǎng)是用歐拉法描述的，流體質(zhì)點(diǎn)加速度的求法必須特別注意。

用歐拉法描述，處理拉格朗日觀點(diǎn)的問題。EXIT=+質(zhì)

點(diǎn)

加

速

度

位變

加速度由流速不均勻性引起時(shí)變加速度由流速

不恒定

性引起EXIT分量形式EXITB’AA’BuAdtuBdt舉例EXIT

五.兩種方法的關(guān)系及比較在拉格朗日法中，流體的運(yùn)動(dòng)和物理參數(shù)被表示成拉格朗日變量（a，b，c，t）的函數(shù)；在歐拉法中，流體的運(yùn)動(dòng)和物理參數(shù)則被表示成歐拉變量（x，y，z，t）的函數(shù)。因此，兩種方法之間的關(guān)系就是拉格朗日變數(shù)和歐拉變數(shù)之間的數(shù)學(xué)變換。（1）拉格朗日法是研究流體質(zhì)點(diǎn)本身運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一種方法，這種方法看似簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻比較復(fù)雜，因?yàn)槿我鈺r(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的位置及其運(yùn)動(dòng)軌跡x=x（a，b，c，t），y=y（a，b，c，t），z=z（a，b，c，t）并不容易知道，因此，使用拉格朗日法有不少困難。只有在需要研究流體質(zhì)點(diǎn)本身的運(yùn)動(dòng)時(shí)才采用拉格朗日法。（2）在流體力學(xué)研究中大多采用歐拉法主要原因有：（a）采用歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)得到的是流場(chǎng)，可以采用場(chǎng)論這一有力的數(shù)學(xué)工具；（b）采用歐拉法得到的運(yùn)動(dòng)微分方程是一階偏微分方程組，如：與采用拉格朗日法得到的二階運(yùn)動(dòng)偏微分方程組相比求解要與采用拉格朗日法得到的二階運(yùn)動(dòng)偏微分方程組相比求解要容易；（c）工程中解決大量實(shí)際問題時(shí)，往往并不需要知道每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，而只需要知道每個(gè)空間點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)情況就可以了。

任務(wù)2有關(guān)流場(chǎng)的幾個(gè)基本概念EXIT

定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)跡線和流線

流管、流束及總流

過流斷面和水力直徑

流量及平均速度一維、二維和三維流動(dòng)均勻流、非均勻流；漸變流、急變流系統(tǒng)和控制體

一.恒定流、非恒定流

若流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的任何運(yùn)動(dòng)要素均不隨時(shí)間變化，稱流動(dòng)為恒定流。否則，為非恒定流。

恒定流中，所有物理量的歐拉表達(dá)式中將不顯含時(shí)間，它們只是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，時(shí)變導(dǎo)數(shù)為零。

例如，恒定流的流速場(chǎng)：

恒定流的時(shí)變加速度為零，但位變加速度可以不為零。EXIT如圖a所示，定水頭孔口出流是定常流動(dòng)。同一空間點(diǎn)的速度不隨時(shí)間變化（時(shí)變加速度為0），但流場(chǎng)速度隨空間位置變化（從A到B位變加速度不為0）。變水頭孔口出流是非定常流動(dòng)，如圖b所示。同一空間點(diǎn)的速度隨時(shí)間變化（時(shí)變加速度不為0），流場(chǎng)速度隨空間位置也變化（位變加速度也不為0）。流體流動(dòng)的穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)與所選定的參考系有關(guān)。如圖所示的勻速飛行的飛行器周圍空氣的流動(dòng)，相對(duì)于固定在地面的坐標(biāo)系是非穩(wěn)態(tài)的，相對(duì)于固定在飛行器上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系是穩(wěn)態(tài)的；勻速旋轉(zhuǎn)的通風(fēng)機(jī)葉輪流道中的氣體流動(dòng)，在固定在地面的坐標(biāo)系中觀察，流動(dòng)是非定常的，在固定于葉輪上的運(yùn)動(dòng)參考系觀察則是定常的。AAAAAA

某一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻占據(jù)的空間位置。t1時(shí)刻t2時(shí)刻

二.跡線和流線EXIT跡線

跡線是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，是與拉格朗日觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。

拉格朗日法中位移表達(dá)式即為跡線的參數(shù)方程。t是變數(shù)，a,b,c是參數(shù)。EXIT

這是由三個(gè)一階常微分方程組成的方程組，未知變量為質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)（x,y,z），它是t

的函數(shù)。給定初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，就可以積分得到跡線。

在歐拉觀點(diǎn)下求跡線，因須跟定流體質(zhì)點(diǎn)，此時(shí)歐拉變數(shù)x,y,z成為t

的函數(shù)，所以跡線的微分方程為EXITt時(shí)刻uAuBuCABCD

表示某時(shí)刻流動(dòng)方向的曲線。uDEXIT流線

流線是流速場(chǎng)的矢量線，是某瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)中的一條曲線，該瞬時(shí)位于該曲線上的流體質(zhì)點(diǎn)之速度矢量都和曲線相切。流線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。有了流線，流場(chǎng)的空間分布情況就得到了形象化的描繪。EXIT

根據(jù)定義，流線的微分方程為

實(shí)際上這是兩個(gè)微分方程，其中t是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩妫鼈兊慕痪€就是流線族。其中EXIT

在非恒定流情況下，流線一般會(huì)隨時(shí)間變化。在恒定流情況下，流線不隨時(shí)間變，流體質(zhì)點(diǎn)將沿著流線走，跡線與流線重合。

跡線和流線最基本的差別是：跡線是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移曲線，與拉格朗日觀點(diǎn)對(duì)應(yīng)，而流線是同一時(shí)刻、不同流體質(zhì)點(diǎn)速度矢量與之相切的曲線，與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。即使是在恒定流中，跡線與流線重合，兩者仍是完全不同的概念。

根據(jù)流線的定義，可以推斷：除非流速為零或無窮大處，流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折。EXIT

已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時(shí)過M(-1,-1)

點(diǎn)的流線。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0時(shí)過M(-1,-1)：C=-1

積分由流線的微分方程：t=0時(shí)過M(-1,-1)點(diǎn)的流線：EXIT例

-1解xy=1t=0時(shí)過M(-1,-1)：

C1=C2=0

已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)ux=x+t；

uy=-y+t；uz=0,試求t=0時(shí)過M(-1,-1)

點(diǎn)的跡線。ux=x+t；uy=-y+t；uz=0求解x+y=-2由跡線的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得跡線方程：EXIT例

-2解已知直角坐標(biāo)系中的速度場(chǎng)ux=2x+t；

uy=-2y；uz=0,試求t=0時(shí)和1時(shí)，過(1,1)

點(diǎn)的流線方程。例

-3【解】因

流體只在平面內(nèi)流動(dòng)。將速度代入流線方程得即：積分（將

視為不變量）得：c是積分常數(shù)，由流線通過某點(diǎn)的坐標(biāo)來確定。于是T=0時(shí)，通過（1，1）點(diǎn)（c=2）的流線方程為；T=1時(shí)，通過（1，1）點(diǎn)（c=3）的流線方程為：跡線流線xyot=0時(shí)過M(-1,-1)點(diǎn)的流線和跡線示意圖EXITM(-1,-1)流動(dòng)線條和流動(dòng)顯示流動(dòng)線條(flowlines)包括四種：流線（streamline)、跡線(pathline)、煙線(streakline)、時(shí)線(timeline)煙線(streakline)定義：由先后連續(xù)地經(jīng)過同一場(chǎng)點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線。時(shí)線(timeline)定義：由確定流體質(zhì)點(diǎn)組成的流體線。流動(dòng)往往靠流動(dòng)線條來顯示，而在實(shí)驗(yàn)中比較容易得到的流動(dòng)線條是煙線和時(shí)線。EXIT通常用攝象機(jī)能拍到什么流動(dòng)線條？應(yīng)該怎么拍？思考?EXIT流線L流管

三.流管和流束及總流

在流場(chǎng)中，取一條不與流線重合的封閉曲線L，在同一時(shí)刻過

L上每一點(diǎn)作流線，由這些流線圍成的管狀曲面稱為流管。

與流線一樣，流管是瞬時(shí)概念。

根據(jù)流管的定義易知，在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流體不可能通過流管表面流出或流入。EXIT流管內(nèi)所有流體質(zhì)點(diǎn)所形成的流動(dòng)稱流束。根據(jù)流管的性質(zhì)，流束中任何質(zhì)點(diǎn)均不能離開流束。定常流中流束的形狀與位置都不隨時(shí)間而變。當(dāng)流束的斷面積很小時(shí)稱為微元流束，可以近似認(rèn)為微元流束同一斷面上各點(diǎn)的流動(dòng)參數(shù)相等。若流管的壁面就是流場(chǎng)區(qū)域的周界，流管內(nèi)所有流體質(zhì)點(diǎn)所形成的流動(dòng)稱總流，它代表全流場(chǎng)上所有質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)。總流所占據(jù)的空間稱流道，它是總流經(jīng)過的通道?？偭靼雌溥吔缧再|(zhì)的不同可以分為三類：（1）

：邊界全部是固體時(shí)的流動(dòng)稱為有壓流動(dòng)，有壓流動(dòng)的特點(diǎn)是流體流動(dòng)主要靠壓強(qiáng)差驅(qū)動(dòng)，如供水管路、通風(fēng)巷道、液壓管路中的流動(dòng)等。（2：總流邊界部分是固體、部分是氣體時(shí)的流動(dòng)稱為無壓流動(dòng)，無壓流動(dòng)的特點(diǎn)是流體流動(dòng)主要靠重力（傾角）驅(qū)動(dòng)，如明渠流、河流等。（3）

：總流的邊界不與固體接觸時(shí)稱為射流。射流是靠消耗自身的動(dòng)能來實(shí)現(xiàn)流動(dòng)的。有壓流無壓流射流EXIT

四.過流斷面和水力直徑過流斷面與總流或流束中的流線處處垂直的斷面稱為過流斷面。過流斷面一般是曲面，當(dāng)流線平行時(shí)過流斷面是平面。過流斷面的面積是對(duì)流束尺度大小的度量。微元流束的過流斷面面積為無窮小。水力直徑水力直徑和水力半徑的概念在非圓管道和明渠流計(jì)算中經(jīng)常用到。總流的過流斷面上，流體與固體接觸的長(zhǎng)度稱為濕周，用表示。對(duì)于圖a，濕周

；對(duì)于圖b，濕周

；對(duì)于圖c；濕周。總流過流斷面的面積

與濕周

之比稱為水力

半徑,水力半徑的4倍稱為水力直徑,即；對(duì)于圓形管道，水力直徑：對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正方形管道；對(duì)于長(zhǎng)、寬分別為a、b的矩形管道：

如圖所示為半圓拱形通風(fēng)巷

，已知求水力直徑

和水力半徑?！窘狻?/p>

過流面積

濕周

水力半徑

水力直徑例

-4

稱為質(zhì)量流量，記為Qm，單位為kg/s.流量計(jì)算

公式中，曲面A的法線指向應(yīng)予明確，指向相反，流量將反號(hào)。閉曲面的法向一般指所圍區(qū)域的外法向。

通過流場(chǎng)中某曲面A的流速通量稱為流量，記為Q

，它的物理意義是單位時(shí)間穿過該曲面的流體體積，所以也稱為體積流量，單位為m3/s.dAuAnEXIT

五.流量及平均流速

總流過流斷面上的流速與法向一致，所以穿過過流斷面A的流量大小

為，其中u

為流速的大小。EXIT

定義體積流量與斷面面積之比為斷面平均流速，它是過流斷面上不均勻流速u的一個(gè)平均值，假設(shè)過流斷面上各點(diǎn)流速大小均等于v，方向與實(shí)際流動(dòng)方向相同，則通過的流量與實(shí)際流量相等。平均流速

六.一維、二維和三維流動(dòng)一維流動(dòng)二維流動(dòng)三維流動(dòng)平面流動(dòng)軸對(duì)稱流動(dòng)

任何實(shí)際流動(dòng)從本質(zhì)上講都是在三維空間內(nèi)發(fā)生的，二維和一維流動(dòng)是在一些特定情況下對(duì)實(shí)際流動(dòng)的簡(jiǎn)化和抽象，以便分析處理。EXIT

流場(chǎng)與某一空間坐標(biāo)變量無關(guān)，且沿該坐標(biāo)方向無速度分量的流動(dòng)。xyoxyzou0u0二維流動(dòng)EXIT直角系中的平面流動(dòng)：大展弦比機(jī)翼繞流zro子午面EXIT柱坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱流動(dòng)：液體在圓截面管道中的流動(dòng)

流動(dòng)要素只取決于一個(gè)空間坐標(biāo)變量的流動(dòng)

在實(shí)際問題中，常把總流也簡(jiǎn)化為一維流動(dòng)，此時(shí)取定空間曲線坐標(biāo)s

的值相當(dāng)于指定總流的過流斷面，但由于過流斷面上的流動(dòng)要素一般是不均勻的，所以一維簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是要在過流斷面上給出運(yùn)動(dòng)要素的代表值，通常的辦法是取平均值。s其流場(chǎng)為s—空間曲線坐標(biāo)

元流是嚴(yán)格的一維流動(dòng)，空間曲線坐標(biāo)s

沿著流線。EXIT一維流動(dòng)位變導(dǎo)數(shù)？均勻流非均勻流

七.均勻流、非均勻流；漸變流、急變流

均勻流的流線必為相互平行的直線，而非均勻流的流線要么是曲線，要么是不相平行的直線。EXIT為什么？判別uxazyxo

以下的流動(dòng)是均勻流：

應(yīng)注意將均勻流與完全不隨空間位置而變的等速直線流動(dòng)

相區(qū)別，前者是流動(dòng)沿著流線方向不變，后者是流動(dòng)沿著空間任何方向不變。后者是均勻流的一個(gè)特例。EXIT例如

在實(shí)際流動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)見到均勻流，如等截面的長(zhǎng)直管道內(nèi)的流動(dòng)、斷面形狀不變，且水深不變的長(zhǎng)直渠道內(nèi)的流動(dòng)等。

恒定均勻流的時(shí)變加速度和位變加速度都為零，即流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力為零，將作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若總流為均勻流，其過流斷面是平面。這些均勻流的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，將給以后處理相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問題帶來便利，因此在分析流動(dòng)時(shí)，特別關(guān)注流動(dòng)是否為均勻流的判別。EXIT是否接近均勻流？漸變流流線雖不平行，但夾角較?。?/p>

流線雖有彎曲，但曲率較小。急變流流線間夾角較大；

流線彎曲的曲率較大。

漸變流和急變流是工程意義上對(duì)流動(dòng)是否符合均勻流條件的劃分，兩者之間沒有明顯的、確定的界限，需要根據(jù)實(shí)際情況來判定。是否EXIT均勻流，漸變流和急變流示意圖EXIT

圖中閘門出流時(shí)，流體的慣性作用使得閘門孔孔口出流后形成收縮。最小斷面c-c稱作收縮斷面，該斷面通常看作是漸變流。

八.系統(tǒng)和控制體

由確定的流體質(zhì)點(diǎn)組成的集合稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中，其空間位置、體積、形狀都會(huì)隨時(shí)間變化，但與外界無質(zhì)量交換。

有流體流過的固定不變的空間區(qū)域稱為控制體，其邊界叫控制面。不同的時(shí)間控制體將被不同的系統(tǒng)所占據(jù)。

站在系統(tǒng)的角度觀察和描述流體的運(yùn)動(dòng)及物理量的變化是拉格朗日方法的特征，而站在控制體的角度觀察和描述流體的運(yùn)動(dòng)及物理量的變化是歐拉方法的特征。EXIT占據(jù)有限體積

系統(tǒng)

流體團(tuán)微分體積

系統(tǒng)

流體微團(tuán)

最小的

系統(tǒng)

流體質(zhì)點(diǎn)

有限體積

控制體

微元

控制體

場(chǎng)點(diǎn)大小EXIT任務(wù)3連續(xù)性方程EXIT

直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程

連續(xù)性方程的其他幾種常見形式定?？偭鞯倪B續(xù)性方程

連續(xù)性方程——質(zhì)量守恒定律對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)基本約束

用歐拉觀點(diǎn)對(duì)質(zhì)量守恒原理的描述：連續(xù)介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)必須維持質(zhì)點(diǎn)的連續(xù)性，即質(zhì)點(diǎn)間不能發(fā)生空隙。因此，凈流入控制體的流體質(zhì)量必等于控制體內(nèi)因流體密度變化而增加的質(zhì)量。EXIT

一.直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’凈流入前后這一對(duì)表面的流體質(zhì)量為

在時(shí)間段dt

里，從abcd

面流入微元體的流體質(zhì)量為從a’b’c’d’面流出的流體質(zhì)量為EXITxyzodxdydzuzabcda’b’c’d’

同理可知，在時(shí)間段dt

里，沿著y方向和z方向凈流入左右和上下兩對(duì)表面的流體質(zhì)量分別為和uyEXIT三維流動(dòng)的連續(xù)性微分方程

在時(shí)間段dt

里，微元內(nèi)流體質(zhì)量的增加

根據(jù)質(zhì)量守恒原理簡(jiǎn)化或?qū)懗蒃XIT

恒定流動(dòng)的連續(xù)方程EXIT

極坐標(biāo)中平面流動(dòng)的連續(xù)方程d

u

ourrd

dr

r

對(duì)于不可壓縮流體的流動(dòng)（不論是恒定或非恒定），連續(xù)方程為EXIT速度場(chǎng)的

散度為零

二.連續(xù)性方程的其他幾種常見形式不可壓縮流體速度場(chǎng)的散度流體微團(tuán)在三個(gè)互相垂直方向上的線變形速率之和，也是流體微團(tuán)的體積膨脹率。

連續(xù)方程表明不可壓縮流體微團(tuán)在三個(gè)互相垂直方向上的線變形速率的總和必為零，若在一個(gè)方向上有拉伸，則必有另一個(gè)方向上的壓縮，在運(yùn)動(dòng)過程中其體積不會(huì)發(fā)生變化。EXIT對(duì)于不可壓縮流體沿x方向的一維流動(dòng)，

，其連續(xù)性方程為：對(duì)于可壓縮流體在

xy平面內(nèi)的二維定常流動(dòng)，其連續(xù)性方程為：對(duì)于不可壓縮流體在

xy平面內(nèi)的二維流動(dòng)，其連續(xù)性方程為：EXIT

恒定條件下：總流管的形狀、位置不隨時(shí)間變化?？偭鲀?nèi)的流體是不存在空隙的連續(xù)介質(zhì)，其密度分布恒定，所以這段總流管內(nèi)的流體質(zhì)量也不隨時(shí)間變化。沒有流體穿過總流管側(cè)壁流入或流出，流體只能通過兩個(gè)過流斷面進(jìn)出控制體。

控制體：上游過流斷面A1和下游過流斷面A2之間的總流管A1A2QmQm

三.定常總流的連續(xù)性方程通過恒定總流兩個(gè)過流斷面的質(zhì)量流量相等。

恒定總流

連續(xù)方程即或通過恒定總流兩個(gè)過流斷面的體積流量相等。

根據(jù)質(zhì)量守恒定律即可得出結(jié)論：在單位時(shí)間內(nèi)通過A1流入控制體的流體質(zhì)量等于通過A2流出控制體的流體質(zhì)量。

又若流體不可壓，

=const

EXIT

對(duì)于不可壓縮流體，根據(jù)連續(xù)方程，容易理解為什么流線的疏密能夠反映流速的大小。

在有分流匯入及流出的情況下，連續(xù)方程只須作相應(yīng)變化。質(zhì)量的總流入=質(zhì)量的總流出。EXIT任務(wù)4流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解EXIT平面流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析三維流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)

考察和分析流體質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位移和相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

談及相對(duì)運(yùn)動(dòng)就必須把討論問題的尺度從流體質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)大到流體微團(tuán)。

給出在同一時(shí)刻流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)速度之間的關(guān)系。分析流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。EXIT

一.平面流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析剛體運(yùn)動(dòng):移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)流體運(yùn)動(dòng):移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、變形控制體的選取:邊長(zhǎng)為dx，dy，dz的微元平行六面體。E形心處速度：vx,vy,vzE點(diǎn)處速度：流體微團(tuán)上各點(diǎn)速度的表示各角點(diǎn)處x方向速度：E以平面運(yùn)動(dòng)為例流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解

各角點(diǎn)的速度分量中都包含vx,vyx方向移動(dòng)速度：vxz方向移動(dòng)速度：vzy方向移動(dòng)速度：vy1.移動(dòng)A和D、B和C間的x向速度分量差:x方向線應(yīng)變速度：z方向線應(yīng)變速度：y方向線應(yīng)變速度：C和D、B和A間的y向速度分量差:2.線變形運(yùn)動(dòng)A和D、B和C間的y向速度分量差:C和D、B和A間的x向速度分量差:結(jié)果:(1)AD邊和BC邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)微元角度(2)AB邊和DC邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)微元角度3.角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)(1)角變形運(yùn)動(dòng)角變形角變形速度:每秒內(nèi)一個(gè)直角的角度變化量3.角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)(續(xù))(2)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)速度:每秒內(nèi)繞同一轉(zhuǎn)軸的兩條互相垂直的微元線段旋轉(zhuǎn)角度的平均值3.角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)(續(xù))第一項(xiàng)：平移運(yùn)動(dòng)第二項(xiàng)：線變形運(yùn)動(dòng)第三項(xiàng)：角變形運(yùn)動(dòng)第四項(xiàng)：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解(續(xù))

考察在M點(diǎn)的一階臺(tái)勞展開，以x方向分量為例。

二.三維流動(dòng)的微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分解EXITdr

同理EXIT合并成矢量形式流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)間速度關(guān)系的一般形式亥姆霍茲速度分解定理EXIT主對(duì)角線上三個(gè)元素是線變形速率其余的是角變形速率流體的變形速率張量，是二階對(duì)稱張量EXIT流體旋轉(zhuǎn)角速度矢量，它恰是流速場(chǎng)的旋度矢量的一半。

旋度EXIT

亥姆霍茲速度分解定理各項(xiàng)的物理意義:

點(diǎn)的流速；

:點(diǎn)的流速；

:流體變形率張量[

]

對(duì)兩點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的貢獻(xiàn)，包括線變形和角變形；

:流體平均旋轉(zhuǎn)角速度引起的兩點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。平移變形轉(zhuǎn)動(dòng)基準(zhǔn)點(diǎn)是展開點(diǎn)MEXIT變形速度轉(zhuǎn)動(dòng)速度適用范圍流體剛體有因點(diǎn)而異流體微團(tuán)無不隨點(diǎn)變整個(gè)剛體

流體速度分解與剛體速度分解的異同EXIT

三.有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)根據(jù)矢量的旋度定義，有對(duì)于速度場(chǎng)

，令：稱

為渦量或渦度。與速度場(chǎng)

對(duì)應(yīng)，

也構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)，稱之為渦量場(chǎng)。

唯一的標(biāo)準(zhǔn)是看流速場(chǎng)是否滿足，寫成分量形式為：旋度無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)這個(gè)分類是

很重要的EXIT

判別渦量注意：研究流體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，研究對(duì)象應(yīng)取流體微團(tuán)，而非流體質(zhì)點(diǎn)。

一般來說，粘性流體的流動(dòng)是有旋的，而理想流體的流動(dòng)可能是無旋的，也可能是有旋的。流動(dòng)究竟是有旋還是無旋，是根據(jù)流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來確定的，如果在所討論的流場(chǎng)中，每一個(gè)流體微團(tuán)都不作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則流動(dòng)是無旋的，即

有旋流動(dòng)和有勢(shì)流動(dòng)的判別僅在于流速場(chǎng)的旋度是否為零。不要根據(jù)流線是直線或曲線來直觀判別，以免出錯(cuò)。流線是圓周，無旋流線是直線，有旋xyoxyoEXIT1.渦線仿照流線的定義，可定義渦線

來表示

的方向，即渦線是表示

方向的曲線，渦線處處與

相切。渦線的微分方程概念2.旋渦通常把斷面上

較大的渦管稱作旋渦或旋渦體。3.渦管通過任一封閉曲線C的所有渦線所構(gòu)成的管狀曲面稱渦管。4.速度環(huán)量在三維流場(chǎng)中任選一有向封閉曲線C。流速沿著C的積分

稱為曲線C的速度環(huán)量速度環(huán)量是標(biāo)量，其正負(fù)號(hào)不僅與速度的方向有關(guān)，而且與線積分的繞行方向有關(guān)規(guī)定沿封閉周線繞行的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向。5.梯度補(bǔ)充：梯度、散度和旋度（以直角坐標(biāo)系為例）1、梯度（gradient）：表示一個(gè)物理量（可以是標(biāo)量也可以是矢量，如溫度、壓力、速度等）相對(duì)于另一給定可變量（尤指距離）的變化率（表征物理量沿某個(gè)方向變化的劇烈程度），是標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的量度。對(duì)任一標(biāo)量對(duì)任一矢量6.散度2、散度（divergence）：用以判斷矢量場(chǎng)是否有源。如果某一矢量的散度處處為0，則稱該矢量場(chǎng)為無源場(chǎng)（也稱為管式場(chǎng)），否則為有源場(chǎng)。

對(duì)任一矢量

7.旋度3、旋度（vorticity）：用以判斷矢量場(chǎng)是否有旋。如果某一矢量的旋度處處為0，則稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，否則為有旋場(chǎng)。無旋場(chǎng)和有勢(shì)場(chǎng)是等價(jià)的。對(duì)任一矢量

(1).微元封閉周線的斯托克斯定理沿微元封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍的面積的渦通量。8.斯托克斯定理(2).平面上有限單連通區(qū)的斯托克斯定理沿包圍平面上有限單連通區(qū)域的封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍的面積的渦通量。(3).空間表面上的斯托克斯定理沿空間任一封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線上的空間表面的渦通量。9.湯姆孫定理正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下沿任何由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變化。10.亥姆霍茲旋渦定理

(1).亥姆霍茲第一定理

在同一瞬間渦管各截面上的渦通量都相同(2).亥姆霍茲第二定理

正壓性的理想流體在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，渦管永遠(yuǎn)保持為由相同流體質(zhì)點(diǎn)組成的渦管。(3).亥姆霍茲第三定理

在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的強(qiáng)度不隨時(shí)間而變化，永遠(yuǎn)保持定值。例1：有旋、無旋流動(dòng)判斷。某不可壓縮流場(chǎng)，各方向的速度分別為

求t=0和t=0.5時(shí)，在（1，1）點(diǎn)處流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，并說明是有旋還是無旋流動(dòng)。解：屬于二維流動(dòng)。

在（1，1）點(diǎn)，

例2例3例3例4例5任務(wù)5勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系無旋流動(dòng)有勢(shì)流動(dòng)等價(jià)

稱為

速度勢(shì)函數(shù)一.流速勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)EXIT

起點(diǎn)不同，速度勢(shì)相差一個(gè)常數(shù)，不會(huì)影響對(duì)流場(chǎng)的描述。EXIT速度勢(shì)函數(shù)的定義速度勢(shì)函數(shù)的求法（一）直接根據(jù)定義求

與路徑無關(guān)，可選一條簡(jiǎn)便的路徑計(jì)算M0M1Oyxz

要按照定義求速度勢(shì)，不要誤認(rèn)為做三個(gè)獨(dú)立的不定積分。

給出流場(chǎng)，求解速度勢(shì)，要先檢查流場(chǎng)是否無旋。代入確定EXIT速度勢(shì)函數(shù)的求法（二）尋找全微分已知速度場(chǎng):

此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢(shì)流，并求速度勢(shì)函數(shù)。求證由知EXIT例-1不可壓縮無旋平面流動(dòng)EXIT按三個(gè)不定積分求按定義求按三個(gè)不定積分求由知EXIT例-2已知速度場(chǎng):

此流動(dòng)是不可壓縮流體的無旋流動(dòng)，并求速度勢(shì)函數(shù)。求證不可壓縮無旋滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。EXIT不可壓流體無旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程極坐標(biāo)中速度勢(shì)函數(shù)dlxyd

r

rd

dr有勢(shì)流動(dòng)&速度勢(shì)函數(shù)小結(jié)

無旋流動(dòng)也稱有勢(shì)流動(dòng)或勢(shì)流。速度場(chǎng)有勢(shì)的充要條件：流動(dòng)無旋。

有勢(shì)流動(dòng)無旋流場(chǎng)中，速度的旋度處處為0。根據(jù)場(chǎng)論：若任一矢量場(chǎng)的旋度為0，則該矢量一定是某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度（梯度的旋度等于0）。因此——速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)。直角坐標(biāo)系已知速度勢(shì)函數(shù)，可求勢(shì)流場(chǎng)的速度分布。

速度勢(shì)函數(shù)potentialfunction流動(dòng)無旋速度場(chǎng)有勢(shì)等價(jià)

速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)（1）速度沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量等于速度勢(shì)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。（2）在不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)函數(shù)滿足拉普拉斯方程。直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系

勢(shì)函數(shù)是無旋流動(dòng)中的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，它在任一方向上的導(dǎo)數(shù)等于該方向的速度。

調(diào)和函數(shù)Laplace方程的解（調(diào)和函數(shù)）具有線性可疊加性?。。?）有勢(shì)流動(dòng)中沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點(diǎn)與起點(diǎn)的速度勢(shì)之差。不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)方程改寫矢量場(chǎng)無旋，必有相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)定義其勢(shì)函數(shù)EXIT不可壓縮流體平面流動(dòng)流函數(shù)的定義原流速場(chǎng)的流函數(shù)Streamfunction

將平面上一段有向微元弧長(zhǎng)順時(shí)針轉(zhuǎn)900，方向?yàn)閐l之法向n

，大小為dl

，可記為ndl根據(jù)流函數(shù)定義dlndldx-dxdydyuEXIT不可壓縮流體平面流動(dòng)流函數(shù)的物理意義

流函數(shù)的微分為穿過微元弧長(zhǎng)的流量，所以把

稱為流函數(shù)。表示穿過M0

至M連線的流量，它與連線路徑無關(guān)，在起點(diǎn)M0

確定的情況下，它是終點(diǎn)M的坐標(biāo)的函數(shù)。

根據(jù)定義確定流函數(shù)時(shí)選取不同的起點(diǎn)M0

，流函數(shù)將相差一個(gè)常數(shù)，但同樣不會(huì)影響對(duì)流場(chǎng)的描述。M0M

對(duì)于不可壓流體的平面流動(dòng)是容易理解的，而三維流動(dòng)就得不到這樣的結(jié)論。EXITEXITM0M1M2Q2Q1Q

兩點(diǎn)流函數(shù)的差表示穿過兩點(diǎn)間任意連線的流量。流函數(shù)與流線、流量的關(guān)系EXIT

同一條流線上任意兩點(diǎn)的流函數(shù)值相等。M0M2Q2Q1M1M1、M2在同一條流線上，則

=const不可壓流體平面流動(dòng)的流線方程

=C

如圖中所示,若表示有流量自M1M2連線左側(cè)流進(jìn)右側(cè)，由此可在流線上畫出流動(dòng)方向。M1M2=C1=C2

利用流函數(shù)定義，可確定流動(dòng)方向。EXIT儒科夫斯基法則(教材p99)沿著流速u的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o

就是

增值的方向；或者說沿

增值方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o即為流速u的方向。Joukowskirule儒科夫斯基法則u

如果不可壓縮流體平面流動(dòng)是無旋的，那么說明流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。EXIT不可壓縮流體平面流動(dòng)流函數(shù)的求法不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程

流函數(shù)的概念本與流動(dòng)是否無旋無關(guān)，在這里引出，是為了下面建立不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)復(fù)勢(shì)的需要。

類似于速度勢(shì)函數(shù)的求法，若已知不可壓縮流體平面流動(dòng)的速度場(chǎng)，則流函數(shù)也可用定義直接求或用尋找全微分的方法求。注二維流動(dòng)和流函數(shù)小結(jié)

流函數(shù)存在的條件二維不可壓縮流體流動(dòng)的連續(xù)方程為如果有一個(gè)函數(shù)，其滿足流函數(shù)存在的條件不論是理想流體還是粘性流體，是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，是有旋流動(dòng)還是無旋流動(dòng)，只要是平面或軸對(duì)稱不可壓縮流動(dòng)，總存在流函數(shù)。但對(duì)于（二維）可壓縮流體的流動(dòng)，由于連續(xù)方程中多了項(xiàng)，故只有在定常流動(dòng)時(shí)才存在流函數(shù)。則此函數(shù)一定滿足二維不可壓縮流動(dòng)的連續(xù)性方程，就稱為流函數(shù)。存在標(biāo)量函數(shù)能自動(dòng)滿足平面或軸對(duì)稱流動(dòng)的連續(xù)性方程。streamfunction或流函數(shù)存在的2種情況1.對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，若存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，且有：函數(shù)就稱為二維不可壓縮流動(dòng)的流函數(shù)。則函數(shù)能自動(dòng)滿足的連續(xù)性方程：2.對(duì)于二維定?？蓧嚎s流動(dòng)，如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，且有：函數(shù)就稱為二維定常可壓縮流動(dòng)的流函數(shù)。則函數(shù)能自動(dòng)滿足的連續(xù)性方程：

流函數(shù)的性質(zhì)（1）在同一條流線上流函數(shù)是常數(shù)，等流函數(shù)線即是流線。證明平面流動(dòng)的流線方程

如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，且有：則積分可得結(jié)論流線上流函數(shù)是常數(shù)，等流函數(shù)線是流線。（2）在平面流動(dòng)中，兩條流線間單位厚度通過的體積流量等于兩條流線上