函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第4課時函數(shù)的奇偶性及周期性(對應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)13～14頁)考點分析考點新知①函數(shù)奇偶性的考查一直是近幾年江蘇命題的熱點，命題時主要是考查函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)等.②能綜合運用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及周期性分析和解決有關(guān)問題．了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，并能運用奇偶性定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性.掌握奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖象對稱關(guān)系，并能熟練地利用對稱性解決函數(shù)的綜合問題.③了解周期函數(shù)的意義，并能利用函數(shù)的周期性解決一些問題.1.(必修1P45習(xí)題8改編)函數(shù)f(x)＝mx2＋(2m－1)x＋1是偶函數(shù)，則實數(shù)m＝________．答案：eq\f(1,2)解析：由f(－x)＝f(x)，知m＝eq\f(1,2).2.(必修1P43練習(xí)5改編)函數(shù)f(x)＝x3－x的圖象關(guān)于________對稱.答案：原點解析：由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點對稱．3.(原創(chuàng))設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且周期為3，若f(1)＝－1，則f(2015)＝________．答案：1解析：由條件，f(2015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1.4.(必修1P43練習(xí)4)對于定義在R上的函數(shù)f(x)，給出下列說法：①若f(x)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)；②若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；③若f(－2)≠f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；④若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)．其中，正確的說法是________．(填序號)答案：①③解析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，①正確，而③與①互為逆否命題，故③也正確，若舉例奇函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x>0，,x＋2，x<0，))由于f(－2)＝f(2)，所以②④都錯誤．5.(必修1P54練習(xí)測試10)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x3＋x＋1，則當(dāng)x<0時，f(x)＝________．答案：x3＋x－1解析：若x<0，則－x>0，f(－x)＝－x3－x＋1，由于f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋x－1.1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)．一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．2.判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行，一般步驟是：(1)考查定義域是否關(guān)于原點對稱．(2)根據(jù)定義域考查表達(dá)式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)．若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)．若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)．若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，則f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，即非奇非偶函數(shù)．3.函數(shù)的圖象與性質(zhì)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．4.函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的相關(guān)關(guān)系(1)注意函數(shù)y＝f(x)與y＝kf(x)的單調(diào)性與k(k≠0)有關(guān)．(2)注意函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性之間的關(guān)系．(3)奇函數(shù)在[a，b]和[－b，－a]上有相同的單調(diào)性．(4)偶函數(shù)在[a，b]和[－b，－a]上有相反的單調(diào)性．5.函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常數(shù)T，使得對任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，T為函數(shù)f(x)的一個周期．(D為定義域)題型1判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；(3)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(4)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3).解：(1)定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．(2)去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,|x＋2|－2≠0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x≠0且x≠－4.))故f(x)的定義域為[－1，0)∪(0，1]，關(guān)于原點對稱，且有x＋2＞0.從而有f(x)＝eq\f(\r(1－x2),x＋2－2)＝eq\f(\r(1－x2),x)，這時有f(－x)＝eq\f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq\f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．(3)因為f(x)定義域為[－1，1)，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(4)因為f(x)定義域為{－eq\r(3)，eq\r(3)}，所以f(x)＝0，則f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x4＋x；(2)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x（x<0），,－x2＋x（x>0）；))(3)f(x)＝lg(x＋eq\r(x2＋1))．解：(1)定義域為R，f(－1)＝0，f(1)＝2，由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；(2)因為函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且當(dāng)x＜0時，－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x2＋x)＝－f(x)(x＜0)．當(dāng)x＞0時，－x＜0，所以f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝－(－x2＋x)＝－f(x)(x＞0)．故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．(3)由x＋eq\r(x2＋1)>0，得x∈R，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x＋eq\r(x2＋1))＋lg(x＋eq\r(x2＋1))＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．題型2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2(1)設(shè)a∈R，f(x)＝eq\f(a·2x＋a－2,2x＋1)(x∈R)，試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)；(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(－1，1)上的偶函數(shù)，在(0，1)上是增函數(shù)，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)要使f(x)為奇函數(shù)，∵x∈R，∴需f(x)＋f(－x)＝0.∵f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)，∴f(－x)＝a－eq\f(2,2－x＋1)＝a－eq\f(2x＋1,2x＋1).由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,2x＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2x＋1,2x＋1)))＝0，得2a－eq\f(2（2x＋1）,2x＋1)＝0，∴a＝1.(2)由f(x)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，1))，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<a－2<1，,－1<4－a2<1，))解得eq\r(3)<a<eq\r(5).由f(a－2)－f(4－a2)<0，得f(a－2)<f(4－a2)．因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(|a－2|)<f(|4－a2|)．由于f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，所以|a－2|<|4－a2|，解得a<－3或a>－1且a≠2.綜上，實數(shù)a的取值范圍是eq\r(3)<a<eq\r(5)且a≠2.eq\a\vs4\al(變式訓(xùn)練)(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x>0))是奇函數(shù)，求a＋b的值；(2)已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－2，2]，且在區(qū)間[－2，0]內(nèi)遞減，若f(1－m)＋f(1－m2)<0，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)當(dāng)x>0時，－x<0，由題意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx.從而a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0.(2)由f(x)的定義域是[－2，2]，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤1－m2≤2，))解得－1≤m≤eq\r(3).因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(1－m)<－f(1－m2)，即f(1－m)<f(m2－1)．由奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，0]內(nèi)遞減，所以在[－2，2]上是遞減函數(shù)，所以1－m>m2－1，解得－2<m<1.綜上，實數(shù)m的取值范圍是－1≤m<1.題型3函數(shù)奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用例3設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2，4]時，求f(x)的解析式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．(1)證明：因為f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)解：因為x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．(3)解：因為f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)已知定義在R上的函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，又f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值與最小值．(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，從而f(0)＝0.令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．(2)證明：設(shè)x1、x2∈R，且x1＞x2，則x1－x2＞0，于是f(x1－x2)＜0.從而f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＜0.所以f(x)為減函數(shù)．(3)解：由(2)知，所求函數(shù)的最大值為f(－3)，最小值為f(6)．f(－3)＝－f(3)＝－[f(2)＋f(1)]＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2，f(6)＝－f(－6)＝－[f(－3)＋f(－3)]＝－4.于是f(x)在[－3，6]上的最大值為2，最小值為－4.1.(2013·蘇州期初)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x)．當(dāng)x∈(0，2)時，f(x)＝－x＋4，則f(7)＝________．答案：－3解析：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.2.(2013·江蘇)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：作出f(x)＝x2－4x(x>0)的圖象，如圖所示．由于f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，作出x<0的圖象．不等式f(x)>x表示函數(shù)y＝f(x)的圖象在y＝x的上方，觀察圖象易得，原不等式的解集為(－5，0)∪(5，＋∞)．3.(2013·天津)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f(log2a)＋f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)≤2f(1)，則a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))解析：因為f(logeq\s\do9(\f(1,2))a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，所以原不等式可化為f(log2a)≤f(1)．又f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以|log2a|≤1，解得eq\f(1,2)≤a≤2.4.(2013·鹽城二模)設(shè)函數(shù)y＝f(x)滿足對任意的x∈R，f(x)≥0且f2(x＋1)＋f2(x)＝9.已知當(dāng)x∈[0，1)時，有f(x)＝2－|4x－2|，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2013,6)))＝________．答案：eq\r(5)解析：由題知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，因為f(x)≥0且f2(x＋1)＋f2(x)＝9，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝eq\r(5)，如此循環(huán)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(671,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4×168－1,2)))＝eq\r(5)，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2013,6)))＝eq\r(5).1.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（1－x），x≤0，,f（x－1）－f（x－2），x>0，))則f(2014)＝________．答案：1解析：由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn)，所以f(2014)＝f(4)＝1.2.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點個數(shù)為________．答案：7解析：由條件，當(dāng)0≤x＜2時，f(x)＝x(x＋1)(x－1)，即當(dāng)0≤x＜2時，f(x)＝0有兩個根0，1，又由周期性，當(dāng)2≤x<4時，f(x)＝0有兩個根2，3，當(dāng)4≤x<6時，f(x)＝0有兩個根4，5，而6也是f(x)＝0的根，故y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點個數(shù)為7.3.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2，若對任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是________．答案：[eq\r(2)，＋∞)解析：∵當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，又f(x＋t)≥2f(x)＝f(eq\r(2x))，易知f(x)在R上是增函數(shù)，∴x＋t≥eq\r(2)x，∴t≥(eq\r(2)－1)x.∵x∈[t，t＋2]，∴t≥(eq\r(2)－1)(t＋2)，∴t≥eq\r(2).