2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重點(diǎn)培優(yōu)第四單元正比例和反比例部分（原卷版）編者的話：《2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項(xiàng)練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。專項(xiàng)練習(xí)部分是從?？碱}和期末真題中選取對(duì)應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第四單元正比例和反比例部分。本部分內(nèi)容主要以正比例和反比例的認(rèn)識(shí)、判斷及圖表應(yīng)用為主，而利用正比例和反比例解決生活實(shí)際問題則編輯在《比例的應(yīng)用部分》中。本部分內(nèi)容偏理解，建議根據(jù)學(xué)生情況選擇性進(jìn)行講解，一共劃分為九個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用。【考點(diǎn)一】認(rèn)識(shí)正比例?！痉椒c(diǎn)撥】一、正比例的意義兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系，用字母表示為(一定）二、判斷兩種量是否成正比例關(guān)系的方法先找變量（找兩種相關(guān)聯(lián)的量），再看定量（看兩種相關(guān)聯(lián)的量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值是否一定），最后作出判斷。三、正比例關(guān)系圖象的特點(diǎn)正比例關(guān)系圖象是一條從（0，0）出發(fā)的無限延伸的射線，從圖象中可以直觀地看到兩種量的變化規(guī)律，不用計(jì)算就可以根據(jù)一種量的值直接找到對(duì)應(yīng)的另一種量的值?！镜湫屠}】科學(xué)小組在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)進(jìn)行觀察實(shí)驗(yàn)，測得竹竿的高與竿影的長如下表。（1）說一說竿影的長與竹竿的高的變化關(guān)系。（2）寫出竿影的長與竹竿的高的比，你有什么發(fā)現(xiàn)?（（3）竹竿的高與竿影的長是不是成正比例?說明理由。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】乘船的人數(shù)與所付船費(fèi)如下表。（1）表格中的（）和（）是兩種相關(guān)聯(lián)的量，船費(fèi)隨著（）的變化而變化；（2）船費(fèi)與人數(shù)數(shù)量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值是（），這個(gè)比值實(shí)際上表示（）；（3）因?yàn)槊咳说模ǎ┮欢ǎ裕ǎ┖停ǎ┏桑ǎ┍壤P(guān)系。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】乘船的人數(shù)與所付的船費(fèi)為：（1）計(jì)算船費(fèi)與對(duì)應(yīng)人數(shù)的比值，說一說哪個(gè)量沒有變化?（2）乘船船費(fèi)與人數(shù)有什么關(guān)系?【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】觀察一輛汽車運(yùn)貨時(shí)間和運(yùn)貨噸數(shù)統(tǒng)計(jì)表：運(yùn)貨時(shí)間（時(shí)）123456…運(yùn)貨噸數(shù)（噸）51015202530…（1）表中變化的量有()和()。（2）()擴(kuò)大，()也隨著擴(kuò)大。（3）3小時(shí)運(yùn)貨()噸，運(yùn)30噸需要()小時(shí)。（4）運(yùn)貨噸數(shù)和運(yùn)貨時(shí)間這兩種量中相對(duì)應(yīng)兩個(gè)數(shù)的比值都等于()，所以表中的兩種量成()比例?！究键c(diǎn)二】認(rèn)識(shí)反比例?！痉椒c(diǎn)撥】一、反比例的意義兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系，用字母表示為xy=k（一定）。二、判斷兩種量是否成反比例關(guān)系的方法先找變量（兩種相關(guān)聯(lián)的量），再看定量（看兩種相關(guān)聯(lián)的量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積是否一定），最后作出判斷?！镜湫屠}】小紅看一本書，每天看的頁數(shù)和所用的天數(shù)如下表。（1）表中（）和（）是兩種相關(guān)聯(lián)的量。（2）這兩種相關(guān)聯(lián)的量中，相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積是（），這個(gè)積表示的是（）。（3）由此可知∶（）一定時(shí)，（）和（）成（）比例關(guān)系?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】某工廠生產(chǎn)一批零件，每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與需要的天數(shù)如下表。（1）表中有哪兩種量?它們是不是相關(guān)聯(lián)的量?（2）寫出幾組這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積，并比較積的大小，想一想，這個(gè)積表示什么?（3）每天生產(chǎn)的個(gè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系嗎?為什么?【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】運(yùn)一批貨物，每天運(yùn)的噸數(shù)和需要的天數(shù)如下表：每天運(yùn)的噸數(shù)300150100756050需要的天數(shù)123456（1）寫出幾組這兩組量中的對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積，并比較積的大小。（2）說明這個(gè)積表示什么？（3）表中相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量成反比例嗎？為什么？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】生產(chǎn)240個(gè)零件，工作效率和工作時(shí)間如下表。工作效率（個(gè)/時(shí)）12080604840…工作時(shí)間/時(shí)234…（1）填寫上表，工作時(shí)間是隨著哪個(gè)量的變化而變化的？（2）相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積各是多少？（3）這個(gè)乘積的實(shí)際意義是什么？你能用式子表示出它與工作效率、工作時(shí)間之間的關(guān)系嗎？（4）工作效率和工作時(shí)間成反比例嗎？為什么？【考點(diǎn)三】利用“商正積反”直接判斷比例關(guān)系?！痉椒c(diǎn)撥】判斷正比例和反比例關(guān)系主要有三點(diǎn)：1.是否為相關(guān)聯(lián)的量；2.是不是一種量隨著另一種量的變化而變化，其中正比例關(guān)系兩種量的變化方向相同，反比例關(guān)系兩種量的變化方向相反；3.比值或乘加是否一定（“商正積反”）：①若兩個(gè)變量的比值一定，則成正比例；②若兩個(gè)變量的乘積一定，則成反比例。補(bǔ)充：正比例關(guān)系和反比例關(guān)系的異同點(diǎn)：【典型例題1】下面各題中的兩個(gè)量，哪些成正比例，哪些成反比例，哪些既不成正比例也不成反比例?（1）等邊三角形的周長與邊長。（2）妙想從家步行到學(xué)校的平均速度與所花的時(shí)間。（3）每年體檢，你們班視力正常的人數(shù)與近視的人數(shù)?！镜湫屠}2】關(guān)于圓，下列說法（）是錯(cuò)誤的。A.圓的周長與直徑成正比例B.圓的周長與半徑成正比例C.圓的面積與半徑成正比例D.圓的周長與面積不成正比例【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】判斷下列各題中的兩種量是否成比例，成什么比例。

（1）全班的學(xué)生人數(shù)一定，每組的人數(shù)和組數(shù)。()

（2）圓柱的體積一定，底面積和高。()

（3）在平地上，同一時(shí)間的竿長和竿影長。()【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】下面各題中兩種量是否成比例，如果成比例成什么比例，填一填。

（1）蘋果的單價(jià)一定，購買蘋果的總量和總價(jià)（）比例。

（2）長方形的周長是20厘米，它的長和寬（）比例。

（3）圓錐體的體積一定，它的底面積和高（）比例?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】判斷下面各題中的兩種量是否成比例關(guān)系？如果成比例，成什么比例關(guān)系？（1）圓錐的體積一定，圓錐的底面積與高。()（2）《作文輔導(dǎo)報(bào)》的單價(jià)一定，訂閱的費(fèi)用與訂閱的數(shù)量。()（3）全班人數(shù)一定，男生人數(shù)與女生人數(shù)。()（4）煤的數(shù)量一定，使用天數(shù)與每天的平均用煤量。()【考點(diǎn)四】正比例和反比例的簡單應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】此類題型已知正比例或反比例關(guān)系，求變量是多少，可以根據(jù)正比例和反比例的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即正比例是兩個(gè)變量的商一定，反比例是兩個(gè)變量的積一定?！镜湫屠}1】已知x與y成正比例關(guān)系，在下表的空格中填寫合適的數(shù)。【典型例題2】下表中x和y兩個(gè)量成反比例關(guān)系，請(qǐng)把表格填寫完整?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】下表中，如果x與y成正比例，那么？處表示的數(shù)是()；如果x與y成反比例，那么？處表示的數(shù)是()。x48y6？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如下圖，當(dāng)表格中的兩個(gè)量A、B成反比例時(shí)，則C的值是()。A3CB69【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】在下表的空格中填上合適的數(shù)。（1）x與y成正比例關(guān)系。x2()8y2.46()（2）x與y成反比例關(guān)系。x0.1()y100()【考點(diǎn)五】正比例和反比例的綜合應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】正比例和反比例的綜合應(yīng)用，一是判斷比例關(guān)系，二是利用比例關(guān)系求值。【典型例題】一個(gè)工程隊(duì)修路的時(shí)間與修路的米數(shù)的情況如下表。（1）將上面的表格填寫完整。（2）工程隊(duì)修路的時(shí)間和修路的米數(shù)成正比例關(guān)系嗎?為什么?（3）如果修8天，可以修路多少米?【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】給一間房子鋪地磚，每塊地磚的面積和所需地磚的數(shù)量如下：（1）每塊地磚的面積和所需地磚數(shù)量有什么關(guān)系?（2）若每塊地磚的面積是0.5平方米，需要多少塊地磚?【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】用同等規(guī)格的方磚鋪地。地面面積（m2）13()15方磚（塊）41224()①把表格填完整。②表中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)可以求出()。③因?yàn)?)一定，所以表中()和()成()比例?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】新冠肺炎疫情期間，口罩需求量大幅上升。某工廠接到任務(wù)，緊急生產(chǎn)一批口罩，下面是每小時(shí)生產(chǎn)口罩的數(shù)量與完成任務(wù)總共需要的時(shí)間的關(guān)系。每小時(shí)生產(chǎn)口罩的數(shù)量/萬只3468時(shí)間/時(shí)48362418（1）這項(xiàng)任務(wù)一共需要生產(chǎn)（

）萬只口罩。（2）如果用a表示每小時(shí)生產(chǎn)口罩的數(shù)量（單位：萬只），t表示完成任務(wù)需要的時(shí)間，那么a和t成（

）比例關(guān)系，這兩種量的關(guān)系式是（

）。（3）如果每小時(shí)生產(chǎn)9萬只口罩，那么完成這項(xiàng)任務(wù)一共需要多少小時(shí)？【考點(diǎn)六】根據(jù)乘積式或分?jǐn)?shù)式，判斷比例關(guān)系?！痉椒c(diǎn)撥】已知乘積式，先把乘積式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，看是否能求比值或乘積，最后再判斷比例關(guān)系?！镜湫屠}1】若A=5B（A、B均為大于0的自然數(shù)），則A和B成（）比例。【典型例題2】已知＝c（a、b、c都不為零）。當(dāng)a一定時(shí)，b與c成_____比例。當(dāng)b一定時(shí)，a與c成_____比例。當(dāng)c一定時(shí)，a與b成_____比例?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如果4a＝3b，那么a∶b＝（）∶（），a和b成（）比例。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】已知5x＝4y（x、y均不為0），x：y＝()∶()，x和y成()比例?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如果（x、y均不為0），那么x與y成()比例關(guān)系；如果（x、y均不為0），那么x與y成()比例關(guān)系?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)4】在A×B＝C中，當(dāng)B一定時(shí)，A和C成()比例，當(dāng)C一定時(shí)，A和B成()比例?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)5】如果y＝，那么x和y成()比例關(guān)系；如果y＝，那么x和y成()比例關(guān)系?！究键c(diǎn)七】圖表中的正比例?！痉椒c(diǎn)撥】正比例關(guān)系圖象的特點(diǎn)：正比例關(guān)系的圖象是一條從（0.0）出發(fā)的無限延伸的射線，從圖象中可以直觀地看到兩種量的變化規(guī)律，不用計(jì)算就可以根據(jù)一種量的值直接找到對(duì)應(yīng)的另一種量的值?！镜湫屠}】下圖表示某工程隊(duì)修筑公路的長度與所用時(shí)間的關(guān)系，這個(gè)工程隊(duì)修路長度與所用時(shí)間成（）比例，照這樣計(jì)算，修筑650米公路需要（）小時(shí)。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖表示的是某種汽車所行路程和耗油量關(guān)系的圖象，根據(jù)圖象回答下面問題。（1）汽車耗油量與所行路程成（）比例關(guān)系；（2）汽車行駛60km的耗油量是（）L。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一根彈簧掛上物體（質(zhì)量不超過20千克）后長度會(huì)伸長，下圖表示一個(gè)物體的質(zhì)量和彈簧伸長的長度之間的關(guān)系。（1）物體的質(zhì)量與彈簧伸長的長度成（）比例。（2）如果掛上7干克的物體，那么彈簧應(yīng)伸長多少厘米?（3）要使彈簧伸長4.5厘米，應(yīng)掛上多少干克的物體?【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】電信公司推出校園卡業(yè)務(wù)，下圖表示長途電話通話時(shí)間與話費(fèi)的關(guān)系，觀察下圖并回答后面的問題。（1）校園卡每分鐘話費(fèi)是多少?（2）通話1小時(shí)需要話費(fèi)多少?（3）淘氣和國外表哥通話花費(fèi)16.5元，他倆通話了多長時(shí)間?【考點(diǎn)八】圖表中的反比例?！痉椒c(diǎn)撥】反比例關(guān)系圖像的特點(diǎn)：從圖象中可以直觀地看到反比例關(guān)系圖象中兩種量的變化規(guī)律，不用計(jì)算就可以根據(jù)一種量的值直接找到對(duì)應(yīng)的另一種量的值?！镜湫屠}】把相同體積的水倒入底面積不同的圓柱形杯子中，杯子的底面積和杯中水面的高度關(guān)系的圖象如圖所示：（1）底面積和水面高度成（）比例關(guān)系。（2）底面積是10cm2的杯子中，水面的高度是（）cm，底面積是30cm2的杯子中，水面的高度是（）cm。（3）估計(jì)一下，底面積是40cm2的杯子中，水面的高度是（）cm。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】小麗正在讀一本故事書，下圖表示的是她讀書的天數(shù)和每天讀書的頁數(shù)之間的關(guān)系。（1）圖中的一條曲線，反映了（）和（）成（）比例；（2）由圖象判斷，整本書有（）頁，如果20天讀完，每天要讀（）頁；如果每天讀5頁，需要讀（）天。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】下面的圖象表示小強(qiáng)從甲地到乙地不同的速度和所對(duì)應(yīng)的時(shí)間。（1）在這個(gè)過程中，哪種量沒有變？（2）速度和所對(duì)應(yīng)的時(shí)間成什么比例關(guān)系？（3）不計(jì)算，觀察圖象，如果每小時(shí)行40km，那么從甲地到乙地大約需要多少小時(shí)？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】小強(qiáng)用下面的圖像表示從甲地到乙地，用不同的速度和所用的時(shí)間。把圖像所表示的數(shù)據(jù)填在下面的表內(nèi)。時(shí)間/時(shí)速度（千米/時(shí)）回答下面問題：（1）在這一過程中，哪個(gè)量沒有變？（2）速度和時(shí)間有什么關(guān)系？（3）不計(jì)算，從圖中觀察，如果每小時(shí)行40千米，大約用多少小時(shí)？【考點(diǎn)九】正比例和反比例在圖表中的綜合應(yīng)用（繪圖）?！痉椒c(diǎn)撥】正比例、反比例實(shí)際應(yīng)用的解題步驟：1.結(jié)合圖像觀察來確定是正比例還是反比例。2.若是正比例則利用兩個(gè)量商一定的關(guān)系求解；若是反比例就利用兩個(gè)量積一定的關(guān)系求解?！镜湫屠}】小宇和小奇參加自行車比賽。（1）如果他們都是勻速行駛，請(qǐng)將下表補(bǔ)充完整。（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在右圖中找出小宇和小奇行駛的時(shí)間和路程的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再把這些點(diǎn)按順序連起來。（3）他們所用的時(shí)間和對(duì)應(yīng)的路程成什么比例關(guān)系?為什么?【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】下圖表示一輛汽車在高速公路上行駛的路程