第四章極限定理§4.1大數(shù)定律一、問題的提出1.頻率的穩(wěn)定性：在第一章概率的統(tǒng)計(jì)定義里提到，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率mn/n在[0，1]內(nèi)的某個數(shù)p附近擺動，且試驗(yàn)次數(shù)n越大，擺動的幅度越小.把頻率的穩(wěn)定值p叫做概率.

這里頻率的穩(wěn)定性并非

而是隨著n的不斷增加，頻率mn/n趨向于概率p幾乎是必然的，或頻率遠(yuǎn)離概率幾乎是不可能的.即2.一般平均結(jié)果也具有穩(wěn)定性如：測量長為a的木棒，在測量中，由于各種因素的影響，測量結(jié)果是個隨機(jī)變量.做n次測量，其算術(shù)平均值也不就等于a，但當(dāng)n→∞時，算術(shù)平均值幾乎就是a.即3.

大數(shù)定理的一般概念

凡是用來闡明大量的隨機(jī)變量的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律.定義4.1

設(shè)X1，X2，…，Xn,…是隨機(jī)變量序列，記作{Xn}令它仍是隨機(jī)變量.若存在常數(shù)列{an},使任ε>0,有：則稱服從大數(shù)定理.注10

依概率收斂——設(shè){Xn}為隨機(jī)變量序列，a為常數(shù)，若則稱隨機(jī)變量{Xn}依概率收斂于a.記作20

大數(shù)定理反映的就是平均結(jié)果依概率收斂于一個常數(shù).

二、切貝曉夫（Chebyshev）大數(shù)定理

（2）X的方差越小，P(|X

-EX|<e

)就越大，即X的取值越集中在EX

附近.這進(jìn)一步說明了方差的含義：刻劃了隨機(jī)變量取值與均值的離散程度.

證明：

設(shè)X

為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x)注（1）結(jié)論等價(jià)于設(shè)隨機(jī)變量X

的期望EX及方差DX存在，則對任意的

e>0，有EXEX-

EX+

1.切貝曉夫不等式

例1某電網(wǎng)有10000盞燈，夜晚每盞燈打開的概率為0.7,假定各燈的開、關(guān)彼此獨(dú)立.用切比曉夫不等式估計(jì)夜晚同時開著的燈的數(shù)量在6800與7200之間的概率.解：設(shè)X表示夜晚同時開的燈數(shù)，則X~B（10000，0.7）.EX=7000，DX=2100

由切貝曉夫不等式得:

（3）切貝曉夫不等式用于估計(jì)概率，只要知道期望和方差即可.可以不需要知道概率分布，因此，估計(jì)結(jié)果不很精確.（4）切貝曉夫不等式用來證明切貝曉夫大數(shù)定理.由切貝曉夫不等式證：2.切貝曉夫大數(shù)定理

定理4.1

設(shè)X1,X2,…,X

n,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，期望EX1,EX2,…,EXn,…及方差DX1,DX2,…,DXn,…都存在，且方差有界（對任意i

有DXi

M（常數(shù)）），則對于任意的>0，恒有

推論設(shè)X1,X2,…,Xn,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，EXi=

,DXi=

2

（i=1，2，…），則對于任意的>0，恒有注:(1)(3)當(dāng)n充分大時,“n個獨(dú)立隨機(jī)變量的算術(shù)平均”的離散程度是很小的.即，只要n充分大，盡管n個隨機(jī)變量可以各有分布，但其算術(shù)平均以后得到的隨機(jī)變量將較密集地聚集在它的期望附近，不再為個別隨機(jī)變量所左右---大數(shù)定律.

推論中方差的存在性可去掉，得如下結(jié)論

辛欽大數(shù)定理：設(shè)X1,X2,…,Xn,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列EXi=

,（i=1，2，…），則對于任意的>0，恒有算術(shù)平均值可作為期望值的近似值.

這一推論使算術(shù)平均值的法則有了理論根據(jù).假使要測量某一個物理量a

,在不變的條件下重復(fù)測量n次，得到的觀測值x1,x2,…,xn

是不完全相同的，這些結(jié)果可以看作是服從同一分布并且期望值為a

的n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn

…的試驗(yàn)數(shù)值.由推論可知，當(dāng)n充分大時,取()作為a

的近似值，可以認(rèn)為所發(fā)生的誤差是很小的.即對于同一個隨機(jī)變量X進(jìn)行n

次獨(dú)立觀察，則所有觀察結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于隨機(jī)變量的期望值EX=

a

.三、貝努利大數(shù)定理證：令

設(shè)mn

為n

重貝努利試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的次數(shù)，p

是A

在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對任意的

>0

有或X1,X2,…,Xn

獨(dú)立同分布,都服從0-1分布，EXi=p,DXi=p(1-p)由Th4.1推論得：對于任意的

>0，恒有

該定理給出了頻率的穩(wěn)定性的理論依據(jù)，說明在試驗(yàn)條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行多次試驗(yàn)時，事件A發(fā)生的頻率將依概率收斂于概率.這正是概率的統(tǒng)計(jì)定義的理論依據(jù).

貝努利大數(shù)定理

設(shè)mn

為n

重貝努利試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的次數(shù)，p

是A

在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對任意的

>0

有四、小概率事件的實(shí)際不發(fā)生原理

若P(A)=p很小，由Bernoulli大數(shù)定理知：A發(fā)生的頻率m/n很小，即大量試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)很少，那么在一次（個別）試驗(yàn)中，我們認(rèn)為A不發(fā)生.

小概率事件的實(shí)際不發(fā)生原理：一個概率很小的事件在個別試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的.

實(shí)際生活中，我們就是忽略了小概率事件發(fā)生的可能性.如守株待兔、因噎廢食等.10

何謂小概率？這一問題在概率論中不能給出統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn).注20

小概率事件的實(shí)際不發(fā)生與不可能事件的區(qū)別.引例：測量的誤差X服從正態(tài)分布，測量時受很多因素的影響，如儀器的精度、人的視覺、空氣的溫度、濕度…等，各個因素獨(dú)立的，對誤差X的影響都是微小的，甚至是感覺不到的，但它們的總和使得測量產(chǎn)生誤差X服從正態(tài)分布.

一個隨機(jī)變量，如果它是很多個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，不管它們是離散的還是連續(xù)的或者是任何類型的，只要它們其中每一個對總和只產(chǎn)生微小的影響，則當(dāng)求和項(xiàng)數(shù)無限增加時，這一總和的分布就趨于正態(tài)分布.這就是中心極限定理的內(nèi)容.§4.2中心極限定理一、中心極限定理的一般概念

凡是用來闡明大量的獨(dú)立的隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一系列定理，統(tǒng)稱為中心極限定理.

設(shè)X1,X2,…,Xn,…為相互獨(dú)立隨機(jī)變量，它們的期望和方差都存在，定義：如果稱X1,X2,…,Xn,…服從中心極限定理.注：(1)Yn的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.當(dāng)n充分大時，

Yn近似服從N(0，1)(2)若X1,X2,…,Xn,…服從中心極限定理，則X1+X2+…+Xn的極限分布為正態(tài)分布.當(dāng)n充分大時，X1+X2+…+Xn近似服從問題：X1,X2,…,Xn,…服從中心極限定理的條件？

定理4.4(林德貝格-勒維中心極限定理）(2)定理對離散型、連續(xù)型R.V.都適用.二、獨(dú)立同分布中心極限定理=P(Yn≤x)=F(x)N(0,1)又的標(biāo)準(zhǔn)化R.V.注(1)當(dāng)n充分大時，Yn近似服從N(0,1).(3)對獨(dú)立同分布的R.V.序列,只要期望和方差存在,不論Xi服從何分布，和的極限分布都是正態(tài)分布.

例1

[P126例1]設(shè)某商店每天接待顧客100人,設(shè)每位顧客的消費(fèi)額服從[0,60]上的均勻分布,且顧客的消費(fèi)是相互獨(dú)立的.求商店的日銷售額超過3500的概率.

Xi服從[0，60]的均勻分布

解：第i個顧客的消費(fèi)額為Xi(元),（i=1,2,…,100).Xi獨(dú)立同分布

EXi=30

DXi=300則商店的銷售額為100Xi

例2一袋鹽的重量(千克)是一隨機(jī)變量,期望為1,方差為0.01,一箱裝有100袋.求一箱鹽的重量在98至102千克之間的概率.

解：第i袋鹽的重量為Xi(千克),（i=1,2,…,100).Xi獨(dú)立同分布.

EXi=1，

DXi=0.01

例3[P126例2]一射擊運(yùn)動員，在一次射擊中所得環(huán)數(shù)X

的概率分布如下表所示.問在100次射擊中所得的總環(huán)數(shù)介于915環(huán)與945環(huán)之間的概率是多少？

解：令X

i

表示第i

次所得環(huán)數(shù)，則X

i(i=1,2,…,100)獨(dú)立同分布.EXi=9.3EXi2

=87.1DXi=EXi2

–(EXi)2=87.1–(9.3)2

=0.61X1098P0.50.30.2Xi

三、棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理設(shè)Yn

服從參數(shù)為

n，p(0<p<1)的二項(xiàng)分布,則對任意實(shí)數(shù)x

有

證：令{Xi

}為獨(dú)立,服從參數(shù)為p的0-1分布，(i=1,2,…,n…)且EXi

=p，DXi

=p(1-p)由林德貝格-勒維定理可推得本定理.

定理4.5

（棣莫弗-拉普拉斯定理）EYn=np，DYn=np(1-p)

由定理4.5得:二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布.

若X~B(n,p),n充分大時,X近似服從N(np,np(1-p))

可用正態(tài)分布近似計(jì)算二項(xiàng)分布.

例1設(shè)有10000

盞電燈,夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,假定各燈開關(guān)彼此獨(dú)立,求同時開著的燈數(shù)在6800

與7200

之間的概率.解：令X為同時開燈的數(shù)目,則X~B(10000,0.7).由中心極限定理知：X

近似服從N(7000,2100).

例2食堂為1000個學(xué)生服務(wù)，每個學(xué)生去食堂吃早餐的概率為0.6,去與不去食堂用餐互不影響。問食堂想以99.7%的把握保障供應(yīng)，每天應(yīng)準(zhǔn)備多少份早餐？解：應(yīng)準(zhǔn)備N份早餐.X“到食堂用餐的學(xué)生數(shù)”，則X~B(1000,0.6).由中心極限定理：X近似服從N(600,240).=(X

N)0.997=例3每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01,求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率.

解:命中飛機(jī)的炮彈數(shù)X~B(500,0.01)法一=0.17635法二n大p小，λ=np=5，X近似服從P(5)，則P(X=5)≈P5(5)=0.175467.法三極限定理

二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量可看作許多相互獨(dú)立的0-1分

布的隨機(jī)變量之和，下面是當(dāng)X

~B(20,0.5)時，X的概率分布圖：極限定理

泊松分布相當(dāng)于