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九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一.選擇題（共8小題）

1.下列數(shù)學(xué)符號中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A=B=cTTDOO

2.將二次函數(shù)y=9圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)是

（）

A,y=(A+1)2+2B.y=(.x-1)2-2C.y=(A+1)2-2D.y=(x-1)2+2

3.如圖，四邊形被力內(nèi)接于￡為少延長線上一點(diǎn)，如果N4%120°,那么N5等

A.a>09b>09c>QB.a<0,b<09c<Q

C.a<0,b>09c<0D.a>09b<09c>0

5.半徑為7的圓，其圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列各點(diǎn)在圓外的是()

A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)

6.如圖，把菱形ABOC繞息0順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形DFOE,則下列角中不是旋轉(zhuǎn)角的為（）

A.NBOFB.NAODC.Z.COED.NCOF

7.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以

鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，切為。0

的直徑，弦血1比于耳磔=1寸，心=10寸，求直徑皮的長則或=（）

8.如圖，Rt△被7中，AC=BC=2,正方形頌F的頂點(diǎn)D、尸分別在4C、比邊上，設(shè)CD

的長度為％△被7與正方形龍印重疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之

間的函數(shù)關(guān)系的是（）

二.填空題（共8小題）

9.請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x=3的二次函數(shù)解析式.

10.點(diǎn)尸(1,-2)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

11.如圖，把△嫉■繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)35°,得到△/S'C,A'B'交ZC于點(diǎn)。若

12.頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州

拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園.該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為2

米的正六邊形，那么這個地基的面積是米2.

13.如圖，拋物線尸蘇與直線尸如c的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為Z(-2,4),B(1,1),

則關(guān)于x內(nèi)方鞋城-bx-c=0的解為.

14.如圖，PA,用是。0的切線，/、8分別為切點(diǎn)，網(wǎng)交圓于點(diǎn)C,若三60°,PC

15.閱讀下面材料：

在學(xué)習(xí)《圓》這一章時，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:

尺規(guī)作圖：過圓外一點(diǎn)作圓的切線.

巳知：尸為。。外一點(diǎn).

求作：經(jīng)過點(diǎn)夕的。0的切線.

小敏的作法如下：

如圖，

(1)連接多作線段8的垂直平分線郵交8于點(diǎn)C；

(2)以點(diǎn)C為圓心，切的長為半徑作圓，交。。于4,B兩點(diǎn);

(3)作直線*,PB.所以直線總，陽就是所求作的切線.

老師認(rèn)為小敏的作法正確.

請回答：連接出，0B后,可證N4l4/-Ng=90°,其依據(jù)是;由此可證明直

線切，陽都是。。的切線，其依據(jù)是.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OAM,

依此方式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形6M期曲19GM9,如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),

那么點(diǎn)用(H9的坐標(biāo)為.

三.解答題(共12小題)

17.已知：二次函數(shù)的圖象如圖所示，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

18.巳知二次函數(shù)尸f-6A+8.

(1)將尸6外8化成尸a(x-hi)?+”的形式;

(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)0WxW4時，y的取值范圍是.

109-

8

7

6

5

4

3

2

1

1II[1I111

.12345678910x

19.如圖，A,。是半圓上的兩點(diǎn)，。為圓心，比是直徑，/力=35°,求/物。的度數(shù).

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，陽的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(1,0),0(0,0),8(2,

2).以點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心，將如逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△出陽.

(1)畫出△出陽；

(2)直接寫出點(diǎn)4和點(diǎn)名的坐標(biāo)；

(3)求線段隔的長度.

21.一件輪廓為圓形的文物出土后只留下了一塊殘片，文物學(xué)家希望能把此件文物進(jìn)行復(fù)

原，因此把殘片抽象成了一個弓形，如圖，經(jīng)過測量得到弓形高3=工米，/優(yōu)=30°,

5

請你幫助文物學(xué)家完成下面兩項(xiàng)工作：

(1)作出此文物輪廓圓心0的位置(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)求出弓形所在圓的半徑.

22.如圖，在等邊△布中，點(diǎn)〃是四邊上一點(diǎn)，連接切，將線段如繞點(diǎn)C按順時針方

向旋轉(zhuǎn)60。后得到您連接版求證：AE//BC.

23.如圖，有一塊鐵片下腳料，其外輪廓中的曲線是拋物線的一部分，要裁出一個等邊三

角形，使其一個頂點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，求這個等邊三角

24.如圖，割線被7與。。相交于8、。兩點(diǎn)，〃為。。上一點(diǎn)，￡為弧死的中點(diǎn)，OE交BC

于F,應(yīng)交47于G,NADG=NAGD.

(1)求證明：物是?！ǖ那芯€；

(2)若N4=60。，。。的半徑為4,求助的長.

25.吳京同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對一個新函數(shù)尸一^一的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了如

X2-4X+5

下探究，請幫他把探究過程補(bǔ)充完整

(1)該函數(shù)的自變量X的取值范圍是.

(2)歹悚：

X???-2-10123456???

y???5m-15-5n-1_A5???

"TFF2~TF

表中H=,n=.

(3)描點(diǎn)、連線

在下面的格點(diǎn)圖中，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系S中，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)

的點(diǎn)(其中x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo))，并根據(jù)描出的點(diǎn)畫出該函數(shù)的圖象：

①;

②.

26.在平面直角坐標(biāo)系xCy中，拋物線y=-f+2㈤r-zz^+l的對稱軸是直線x=l.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)〃(A,yi),￡(3,乃)在拋物線上，若請直接寫出A的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)“(p,(?)為拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)-1V0V2時，點(diǎn)〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)

都在直線y=Ax-4的上方，求A的取值范圍.

27.已知：在△被7中，Z.BAC=^°,AB=AC.

(1)如圖1,將線段ZC繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到似連結(jié)卬、BD,N54C的平分線

交朋于點(diǎn)反連結(jié)出

①求證：NAED=NCEDi

②用等式表示線段被CE、加之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果)；

(2)在圖2中，若將線段47繞點(diǎn)Z順時針旋轉(zhuǎn)60°得到期連結(jié)CD、BD,N班C的平

分線交出的延長線于點(diǎn)￡連結(jié)出請補(bǔ)全圖形，并用等式表示線段被CE、加之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明.

D

圖1

28.定義：把一個半圓與拋物線的一部分組成的封閉圖形稱為“蛋圓

如圖，拋物線y=9-2x-3與x軸交于點(diǎn)4B,與y軸交于點(diǎn)。，以四為直徑，在x

軸上方作半圓交y軸于點(diǎn)G半圓的圓心記為〃,此時這個半圓與這條拋物線x軸下方部

分組成的圖形就稱為“蛋圓”.

(1)直接寫出點(diǎn)A,B,。的坐標(biāo)及“蛋圓”弦皮的長；

A,B,C,CD=；

(2)如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.

①求經(jīng)過點(diǎn)。的“蛋圓”切線的解析式；

②求經(jīng)過點(diǎn)，的“蛋圓”切線的解析式；

(3)由(2)求得過點(diǎn)〃的“蛋圓”切線與x軸交點(diǎn)記為E,點(diǎn)F是“蛋圓”上一動點(diǎn),

試問是否存在心片5△衣，若存在請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(4)點(diǎn)P是“蛋圓”外一點(diǎn)，且滿足NgX60°,當(dāng)即最大時，請直接寫出點(diǎn)戶的坐

備用圖

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.下列數(shù)學(xué)符號中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()

=B=D

ACITOO

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義即可求出答案.

【解答】解：A不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；

員不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；

G是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；

A既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

2.將二次函數(shù)尸步圖象向左平移1個單位，再向下平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)是

()

A.y=(A+1)2+2B.y=(x-1)2-2C.y=(jf+1)2-2D.y=(x-1)2+2

【分析】拋物線平移不改變a的值，由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)果.

【解答】解：原拋物線的頂點(diǎn)為(0,0),向左平移1個單位，再向下平移2個單位，那

么新拋物線的頂點(diǎn)為(-1,-2),

可設(shè)新拋物線的解析式為：y=(x-K)2+k,

代入得：尸(戶1)2-2.

.?.所得圖象的解析式為：y=(戶1)2-2；

故選：C.

3.如圖，四邊形被力內(nèi)接于。0,￡為應(yīng)延長線上一點(diǎn)，如果N4乃一120。，那么N8等

【分析】由四邊形被笫內(nèi)接于可得/?■/小%-180°,又由/四丹/延乃-180°,

即可求得N8=N4?=120°.

【解答】解：加6N4?=180°,N班N37=180°,

:?NB=NADE=1200.

故選：B.

4.二次函數(shù)尸藪的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確是()

A.a>0,A>0,c>0B.a<0,8V0,c<0

C.a<0,b>09c<QD.a>0,b<09c>Q

【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向確定aVO,再根據(jù)對稱軸在，軸右，可確定

a與6異號，然后再根據(jù)二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)可以確定c>0.

【解答】解：?.?拋物線開口向上，

：.a>0,

?對稱軸在y軸右側(cè)，

...a與6異號，

：.b<Q,

?.?拋物線與y軸交于正半軸，

；.c>0,

故選：D.

5.半徑為7的圓，其圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列各點(diǎn)在圓外的是()

A.(3,4)B.(4,4)C.(4,5)D.(4,6)

【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系.本題

可由勾股定理等性質(zhì)算出點(diǎn)與圓心的距離d,則時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)</=/?時，點(diǎn)在

圓上，當(dāng)dVr時，點(diǎn)在圓內(nèi).

【解答】解：4d=5<r,所以在圓內(nèi)；

B、d=4y/2<r,所以在圓內(nèi)；

C、占'歷Vr,所以在圓內(nèi)；

D、d=2yfl3>r,所以在圓外.

故選：D.

6.如圖，把菱形被心繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形加陽則下列角中不是旋轉(zhuǎn)角的為（)

A.Z.BOFB.Z.AODC.Z.COED.Z.COF

【分析】兩對應(yīng)邊所組成的角都可以作為旋轉(zhuǎn)角，結(jié)合圖形即可得出答案.

【解答】解：4如旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊為第故N9可以作為旋轉(zhuǎn)角，故本選項(xiàng)錯誤；

B、如旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊為陽，故N4即可以作為旋轉(zhuǎn)角，故本選項(xiàng)錯誤；

C、比旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊為何故應(yīng)可以作為旋轉(zhuǎn)角，故本選項(xiàng)錯誤；

D、笫旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊為龍不是陽故NQ用不可以作為旋轉(zhuǎn)角，故本選項(xiàng)正確；

故選：D.

7.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)暮作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小以

鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可表述為：“如圖，龍為。0

的直徑，弦但L%于我，初=1寸，-10寸，求直徑皮的長則折（）

【分析】連接如構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由龍垂直也得到點(diǎn)￡為血的中

點(diǎn)，由340可求出血的長，再設(shè)出圓的半徑由為我表示出好根據(jù)勾股定理建立

關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可

得到答案.

【解答】解：連接如，且相=10,

：.AE=BE=5,

設(shè)圓o的半徑總的長為%則比三折X

■:DE=\,

：.OE=x-1,

在直角三角形/龍中，根據(jù)勾股定理得:

X-(x-1)2=52,化簡得：x-x+2z-l=25,

即2x=26,

解得：x=13

所以07=26(寸).

8.如圖，Rt△被7中，AC=BC=2,正方形CZffiF的頂點(diǎn)D、尸分別在4C、■邊上，設(shè)CD

的長度為x,△胸與正方形。廝重疊部分的面積為人則下列圖象中能表示y與x之

間的函數(shù)關(guān)系的是()

【分析】分類討論：當(dāng)0V41時，根據(jù)正方形的面積公式得到尸步；當(dāng)1V42時,

初交班于乂斯交協(xié)于M利用重疊的面積等于正方形的面積減去等腰直角三角形例也

的面積得到尸￥-2(x-1)②，配方得到尸-(X-2)2+2,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：當(dāng)OVxWl時，y=x,

當(dāng)1<M2時，ED費(fèi)AB于M,EF交AB于N,如圖，

CD=x,則AD=2-x,

?；Rt△被7中，AC=BC=2,

...△兒必為等腰直角三角形，

：.DM=2-x,

：.EM=x-(2-x)=2x-2,

:(2X-2)，(A-1)2,

2

'.y=-x-2(x-1)2=-x+4x-2--(x-2)2+2,

.x2,(O<x<1)

?,t-(x-2)2+2,(l<x<2)^

9.請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線尸3的二次函數(shù)解析式y(tǒng)=f-6K6.

【分析】因?yàn)殚_口向上，所以a>0；根據(jù)對稱軸為段2可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,縱坐標(biāo)

可任意選擇一個數(shù)，由頂點(diǎn)式寫出二次函數(shù)解析式.

【解答】解：依題意取a=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)（3,-3）,

由頂點(diǎn)式得尸（x-3）2-3.

即y=x-6A+6.

故答案為：y=x-6A+6（答案不唯一）.

10.點(diǎn)尸（1,-2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,2）.

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號

相反，即點(diǎn)尸（￡,y）關(guān)于原點(diǎn)0的對稱點(diǎn)是戶（-x,-y）可以直接得到答案.

【解答】解：?.,點(diǎn)尸（1,-2）,

...關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是：（-1,2）

故答案為：（-1,2）.

11.如圖，把△胸繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35°,得到△/!'ffC,A'B'交ZC于點(diǎn)。.若

【分析】根據(jù)題意得出N4。'=35°,則N4=90°-35°=55°,即可得出N4的

度數(shù).

【解答】解：?.?把△胸繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)35°,得到B'C,A'B'交AC

于點(diǎn)。，ZA'況-90。，

/.ZACA'=35°,則=90°-35°=55°,

則N4=N/'=55".

故答案為：55°.

12.頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州

拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園.該園有一個六角亭，如果它的地基是半徑為2

米的正六邊形，那么這個地基的面積是」強(qiáng)一米:

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，易得△砥7是等邊三角形，繼而可得正六邊形的邊長，

由SJE大邊用=6治潮求得結(jié)果即可.

【解答】解：如圖所示：

連接陽OC,過點(diǎn)。作皿況■于小

:六邊形ABCDEF是正六邊形,

二工X360°=60°,

6

'：OB=OC,

二△敗1是等邊三角形，

：.BC=OB=OC,

2

：.OH=M，

S正大邊形=6SX@c=6xlx2XA/3=6A/3?

2

故答案為：673.

13.如圖，拋物線尸a?與直線尸仆c的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為力(-2,4),5(1,1),

則關(guān)于x的方程ax-bx-c=0的解為為=-2,苞;=1.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題得到方程組了、X~的解為

Ly=bx+c

"xi=-2fx2=l

,，于是易得關(guān)于x的方程a?-"-c=0的解.

y『4[y2=l

【解答】解：?.?拋物線尸a?與直線尸如C的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(-2,4),8(1,

1),

f_2X[=-2(x2=l

.?.方程組.了T乂的解為

力=4，[丫2=[

y=bx+c

即關(guān)于x的方程a/-bx-c=0的解為為=-2,x2=l.

故答案為X1=-2,至=1.

14.如圖，PA、而是。。的切線，45分別為切點(diǎn)，小交圓于點(diǎn)C,若N"ff=60°,PC

=6,則4C的長為」料

A

B

【分析】如圖，設(shè)⑦交。。于點(diǎn)。，連接4?.由切線的性質(zhì)易證是含30度角的直

角三角形，所以該三角形的性質(zhì)求得半徑=2；然后在等邊勿中得到初=如=2；最

后通過解直角△力5來求4c的長度.

【解答】解：如圖，設(shè)CP交。。于點(diǎn)〃，連接M設(shè)。。的半徑為r.

TPA、PB是。。的切線,ZAPB=6Q°,

：.OA±AP,ZAPO=^ZAPB=30a.

2

：.OP=2OA,4冉60°,

：.PC=2OA^-OC=3r=6,則r=2,

VZAOD=60°,AO=DO,

...△4如是等邊三角形，則〃>=a=2,

又是直徑，

：.ZCAD=9Q0,

二4g30°,

.MO砂cot30°=2，m，

故答案為2次.

15.閱讀下面材料：

在學(xué)習(xí)《圓》這一章時，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:

尺規(guī)作圖：過圓外一點(diǎn)作圓的切線.

已知：尸為。。外一點(diǎn).

求作：經(jīng)過點(diǎn)尸的。。的切線.

小敏的作法如下：

如圖，

(1)連接8,作線段8的垂直平分線的交。于點(diǎn)G

(2)以點(diǎn)C為圓心，C0的長為半徑作圓，交。。于4,5兩點(diǎn)；

(3)作直線處，PB.所以直線*,所就是所求作的切線.

老師認(rèn)為小敏的作法正確.

請回答：連接以，0B后,可證/。1跟=/嬲X90°,其依據(jù)是直徑所對的圓周角是直

角；由此可證明直線叫，也都是。。的切線，其依據(jù)是經(jīng)過半徑外端，且與半徑垂

直的直線是圓的切線.

【分析】分別利用圓周角定理以及切線的判定方法得出答案.

【解答】解：連接以，如后，可證NCI4P=/第三90°,其依據(jù)是：直徑所對的圓周角

是直角；

由此可證明直線處，心都是。。的切線，其依據(jù)是：經(jīng)過半徑外端，且與半徑垂直的直

線是圓的切線.

故答案為：直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑外端，且與半徑垂直的直線是圓的切線.

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形614交繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形如心氏

依此方式，繞點(diǎn)0連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形四oi聞19coi9,如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),

那么點(diǎn)的坐標(biāo)為(-J20).

【分析】根據(jù)圖形可知：點(diǎn)5在以0為圓心，以必為半徑的圓上運(yùn)動，由旋轉(zhuǎn)可知：將

正方形OABC繞息0逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OAM,相當(dāng)于將線段如繞點(diǎn)0逆時

針旋轉(zhuǎn)45°,可得對應(yīng)點(diǎn)3的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，可得結(jié)論.

【解答】解：?四邊形物必是正方形，且以=1,

：.B(1,1),

連接見

由勾股定理得：0B=j2,

由旋轉(zhuǎn)得：0B=0氏=0氏=0員=?“=啦,

?.?將正方形6M死繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形如由4,

相當(dāng)于將線段如繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)45°,依次得到/4夢=/夕陽=/氏%=-=45°,

:.氏(0,&),展(-1,1),為(一弧,0),

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019+8=252…余3,

二點(diǎn)屋。19的坐標(biāo)為(-V2,0)

故答案為(-&,0).

三.解答題(共12小題)

17.已知：二次函數(shù)的圖象如圖所示，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象知，該函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(3,0)(-1,0)(0,-1).所以利用待定系

數(shù)法可求得該二次函數(shù)的解析式.

【解答】解：由對稱性，函數(shù)圖象與x軸另一個交點(diǎn)為(-1,0),

設(shè)二次函數(shù)解析式為尸a(A+1)(A-3)(aWO),

將(0,-1)代入，解得：a=l,

3

二二次函數(shù)解析式為尸工(A+1)(x-3),

3

即二次函數(shù)解析式為y=±^-lx-l.

33

18.巳知二次函數(shù)尸3-6K8.

(1)將y=f-6戶8化成尸a(x-hi)?+A?的形式；

(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)0WxW4時，y的取值范圍是--1WK8.

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

-_12345678910x

-2

3

一

4

-?

【分析】(1)利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全

平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

(2)確定其對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)后即可確定函數(shù)的圖象；

(3)分別令x=0和4求得函數(shù)值后即可確定y的取值范圍.

【解答】解:⑴y=x2-6戶8

=-6A+9)-9+8

=(x-3)'-I；

(2)令;r=0,得尸=8,

令尸0,得『-6升8=0,解得尸2或L4,

則拋物線與x軸的交點(diǎn)為：(2,0),(4,0)；與y軸的交點(diǎn)為：(0,8).

由(1)題得：對稱軸為x=3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),開口向上，故圖象為：

(4)?.?當(dāng)x=0時，尸8；當(dāng)x=4時，y=0,

又?.?當(dāng)L1時，y有最小值-8,

...當(dāng)時，y的取值范圍是-1WK8,

故答案為-1WK8.

19.如圖，A,。是半圓上的兩點(diǎn)，。為圓心，比是直徑，NO=35。，求/如。的度數(shù).

【分析】首先根據(jù)圓周角定理得到N5的度數(shù)，再求出N4必的度數(shù)，結(jié)合三角形內(nèi)角和

或者等腰三角形的性質(zhì)即可求出NaC的度數(shù).

【解答】解法一：

：.ZB=ZD=35°,

?a1是直徑,

AZBAC=90°.

/.ZACB=900-ZABC=55°,

,：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=55°.

解法二：

解：VZZ?=35O,

：.ZAOC=2ZD=70°,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

'：Z0AaZ0CA^ZA0C=180o,

：.ZOAC=55°.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△46?的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(1,0),0(0,0),8(2,

2).以點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心，將△力必逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到陽.

(1)畫出△由陽；

(2)直接寫出點(diǎn)出和點(diǎn)瓦的坐標(biāo);

【分析】(1)分別作出點(diǎn)4和點(diǎn)5繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得對應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)0首尾順

次連接即可得；

(2)由所得圖形可得點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)利用勾股定理可得答案.

【解答】解：(1)畫出陽，如圖.

(2)點(diǎn)4(0,1),點(diǎn)>(-2,2).

(3)04=0B=Q之？+22=2

21.一件輪廓為圓形的文物出土后只留下了一塊殘片，文物學(xué)家希望能把此件文物進(jìn)行復(fù)

原，因此把殘片抽象成了一個弓形，如圖，經(jīng)過測量得到弓形高切=工米，NG4/=30°,

5

請你幫助文物學(xué)家完成下面兩項(xiàng)工作：

(1)作出此文物輪廓圓心0的位置(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)求出弓形所在圓的半徑.

【分析】(1)利用垂徑定理可知，圓心。是47的中垂線與直線切的交點(diǎn)；

(2)連接Z0.首先利用"直角中的30度所對的直角邊等于斜邊的一半“求得47

=25=2,然后推知△?!必是等邊三角形，則米.

55

【解答】解：(1)如圖所示，點(diǎn)。即為所求作的點(diǎn)；

(2)連接40.

?.,在RtA4勿中，NG4ZH30。，

：.AC=2CD=^,467=60°

5

:.AgCO

：.AO=CO=AC=^.

5

答：此弓形所在圓的半徑為2米.

22.如圖，在等邊△被7中，點(diǎn)。是四邊上一點(diǎn)，連接或，將線段卬繞點(diǎn)C按順時針方

向旋轉(zhuǎn)60。后得到皈連接烈求證：AE//BC.

AE

BC

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出48密NB=NACB=60°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

CD=CE,ZDCE=60°,求出NBCD=NACE,根據(jù)S4S推出△況陵△/◎1,根據(jù)全等得出

ZEAC=ZB=6Q°,求出NE4f=NZ",根據(jù)平行線的判定得出即可.

【解答】解：?.?△腕是等邊三角形，

：.AC=BC,ZB=ZACB=6Q°.

?.?線段切繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CE,

：.CD=CE,NDCE=60",

：.ZDCE=ZACB,

即N8辦NZO=NDC給■NACE,

：.ZBCD=ZACE,

rBC=AC

在△及笫與）中，＜ZBCD=ZACE

DC=EC

:.ABC陽AACE,

：.ZEAC=ZB=60°,

：.ZEAC=^ACB,

：.AE//BC.

23.如圖，有一塊鐵片下腳料，其外輪廓中的曲線是拋物線的一部分，要裁出一個等邊三

角形，使其一個頂點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)重合，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線上，求這個等邊三角

形的邊長（結(jié)果精確到0.1,73^1.732）.

【分析】以拋物線的頂點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)0作直線四的平行線和垂線分別作為x

軸和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線解析式為尸a/（aWO）,利用已知數(shù)據(jù)求出

a的值，再利用等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：以拋物線的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)。作直線四的平行線和垂線分別作為

X軸和了軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

則〃(3,-6)

設(shè)拋物線解析式為y=a^(aWO),

'：D(3,-6)在拋物線上代入得：2=工，

3

._22

,?y-^x，

?.?△曲是等邊三角形，

/.0H=V3BH,

設(shè)B(x,-蟲x),

■rr22

---V3x=~yx?

.'.X1=O

二BH='|V§，AB=3A/§-5.2(dm),

答：等邊三角形的邊長為5.2曲.

24.如圖，割線胸與。。相交于反C兩點(diǎn)，〃為。。上一點(diǎn)，￡為弧國的中點(diǎn)，OE交BC

于凡DE交AC于G,NADG=NAGD.

(1)求證明：4?是?！ǖ那芯€；

(2)若N4=60。，。。的半徑為4,求初的長.

【分析】(1)要證4?是。。的切線，只要連接如，再證N37=90°即可；

(2)作0H1ED千H,根據(jù)垂徑定理得到應(yīng)-2題根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形

的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接以

為犯的中點(diǎn)，

:.0E1BC千F.

:.NAG>NODE=NEGRNOED=90",

則OD=OE,

：.Z.ODE=Z.OED,

'：ZAGD=ZADG,

:.NADG^N0DE=9Q°.

即ODLAD,

是。。的切線；

(2)作OHLED^H,

：.DE=2DH,

,:ZADG=NAGD,

：.AG=AD,

'：ZJ=60°,

/.ZADG=60°,

：.ZODE=30°,

,:0D=4,

：.DH=^OD=2y[3,

2

：.DE=2Dff=4y/3.

25.吳京同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對一個新函數(shù)尸一一的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了如

x-4x+5

下探究，請幫他把探究過程補(bǔ)充完整

(1)該函數(shù)的自變量X的取值范圍是一切實(shí)數(shù).

(2)列表：

X???-2-10123456???

y???5m-15-5n-115.??

節(jié)T~TF

衣甲m=,n=.

~2~~2~

(3)描點(diǎn)、連線

在下面的格點(diǎn)圖中，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系的中，描出上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)

的點(diǎn)(其中x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo))，并根據(jù)描出的點(diǎn)畫出該函數(shù)的圖象：

②該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱.

【分析】(D分式的分母不等于零；

(2)把自變量的值代入即可求解；

(3)根據(jù)題意描點(diǎn)、連線即可；

(4)觀察圖象即可得出該函數(shù)的其他性質(zhì).

【解答】解：(1)由尸一知，『-4妙5W0,所以變量x的取值范圍是一切實(shí)

X2-4X+5

數(shù).

故答案為：一切實(shí)數(shù);

yui-------------------9a------------

(-1)2+4+5232-12+52

故答案為：苴；

22

(3)速立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描點(diǎn)畫出圖形，如下圖所示:

(4)觀察所畫出的函數(shù)圖象，有如下性質(zhì)：①該函數(shù)有最小值沒有最大值；②該函數(shù)圖

象關(guān)于直線x=2對稱.

故答案為：該函數(shù)有最小值沒有最大值；該函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱

26.在平面直角坐標(biāo)系x分中，拋物線y=-3+2曲一射+1的對稱軸是直線尸1.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)〃(〃，yi),￡(3,萬)在拋物線上，若刀〈》，請直接寫出〃的取值范圍；

(3)設(shè)點(diǎn)〃(p,°)為拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)-l〈pV2時，點(diǎn)〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)

都在直線尸公一4的上方，求A的取值范圍.

【分析】(1)由拋物線的對稱軸方程可求得片1,從而可求得拋物線的表達(dá)式；

(2)將L3代入拋物線的解析式，可求得乃=3,將尸3代入拋物線的解析式可求得

x\=-1,恁=3,由拋物線的開口向下，可知當(dāng)當(dāng)zr<-1或〃>3時，yi<yi;

（3）先根據(jù)題意畫出點(diǎn)〃關(guān)于y軸對稱點(diǎn)"的軌跡，然后根據(jù)點(diǎn)〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)

都在直線尸公一4的上方，列出關(guān)于A的不等式組即可求得A的取值范圍.

【解答】解：（1）???拋物線的對稱軸為L1,

'.x=--^-=-―——=1.

2a-1X2

解得：2Z7=1.

二拋物線的解析式為尸-f+2x.

（2）將尸3代入拋物線的解析式得尸-3?+2義3=-3.

將y=-3代入得：-『+2JT=-3.

解得：Ai=~1,至=3.

Va=-l<0,

二當(dāng)n<-1或〃>3時，y\<yi.

.?.點(diǎn)〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)掰'的坐標(biāo)為（1,-3）.

?.?當(dāng)尸=2時,g=-22+2X2=0,

二點(diǎn)〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)冊'的坐標(biāo)為（-2,0）.

①當(dāng)AV0時，

???點(diǎn)〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)都在直線尸左r-4的上方,

二-2A-4W0.

解得：k>-2.

②當(dāng)A>0時，

,點(diǎn)〃關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)都在直線尸后一4的上方,

:.k-44-3.

解得；AWL

...4的取值范圍是-2WAW1.

27.巳知：在△胸中，N54U90°,AB=AC.

（1）如圖1,將線段AC繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到似連結(jié)如、BD,NBAC的平分線

交物于點(diǎn)￡,連結(jié)圓

①求證：NAED=NCE慶

②用等式表示線段被CE、物之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）；

（2）在圖2中，若將線段47繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)60°得到似連結(jié)切、BD,N班。的平

分線交加的延長線于點(diǎn)￡連結(jié)密請補(bǔ)全圖形，并用等式表示線段服CE、放之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/戶必NZM入60°,由“S4S”可證陽

可得N3=N4=15°,由三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；

②過點(diǎn)A作AHLBD于點(diǎn)H,由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)可得BD=2BH=2

（B步EH）=2BE^AE=2EOAEi

（2）以/為頂點(diǎn)，花為一邊作NM』60°,"1交加延長線于點(diǎn)￡通過證明的

XDAF鄭XBAE烏XCAE,可得但%；BE=CE,即可得2龐-出=龍.

【解答】證明：（1）

7

B

圖1

①??,將線段/。繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到似

:.AC=AD9ZDAC=60°

：.ZBAD=ZBA&ZCAD=150°,且四=/4助

??.N3=N5=15°

^ZBAC=90°,AB=AC,四平分N曲。

???N1=N2=45°,NABC=NACB=45°

又?：AE=AE,

:.XAB3XACE(弘S)

???N3=N4=15°

:.N6=N7=30°

:.NM?=N6+N7=60°

VN板=N3+N1=6O°

：.AAED=ACED

@BD=2CE^AE

理由如下：

過點(diǎn)A作A/LLBD于點(diǎn)H,

V/EBC=/ECB

:.BE=CE,

VZAED=60°,AHLBD

：.AE=2EH

?:AB=AD,AHLBD