高數(shù)級數(shù)理論部分練習(xí)10．5．28一．填空1．級數(shù)的和為。2．把函數(shù)展開成的冪級數(shù)到：。3．級數(shù)的和為。4．設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，在上的表達(dá)式為，則在處的傅里葉級數(shù)收斂于。5．冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。6．若冪級數(shù)在時收斂，則冪級數(shù)在時是否絕對收斂？7．若，則級數(shù)收斂，對么？（）8．若在上是以為周期的按段光滑函數(shù)，則=9．，當(dāng)=時收斂。10．級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)收斂。（）11．若級數(shù)與都發(fā)散，則也發(fā)散。（）12．若級數(shù)發(fā)散，則。（）13．若級數(shù)收斂，那么它的更序級數(shù)一定收斂。（）14．若在上收斂于且每個都在上連續(xù)，則也在上連續(xù)。（）二．選擇題1．下列級數(shù)中收斂的是（）（A）（B）（C）（D）。2．若級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中（）收斂。（A）（B）（C）（D）。3．設(shè)，則下列級數(shù)中和不是1的為（）（A）（B）（C）（D）4．將函數(shù)展開成的冪級數(shù)得到（）（A）（B）（C）（D）5．下列級數(shù)條件收斂的是（）（A）（B）（C）（D）6．（）A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、可收斂也可能發(fā)散7．的收斂域為（）A、B、C、D、8．下列級數(shù)中條件收斂的是（）A、B、C、D、9．若級數(shù)和都發(fā)散，則（）A、必發(fā)散；B、發(fā)散；C、必發(fā)散D以上說法都不對10．是級數(shù)收斂的。必要條件；B、充分條件；C、充要條件；D、既非充分又非必要。11．下列命題正確的是．若與都發(fā)散，則也發(fā)散．若收斂，而發(fā)散，則必發(fā)散．若…且絕對收斂，則必收斂．級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界．12．下列命題正確的是．(A)絕對收斂級數(shù)的更序級數(shù)一定收斂．(B)若為條件收斂級數(shù)，則一定發(fā)散．(C)若發(fā)散，則．(D)若收斂，則也收斂．三．計算與證明1．求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。2．討論在時的斂散性。3．設(shè)的傅里葉級數(shù)為，求系數(shù)。4．求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與收斂半徑。5．求冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂半徑。6判別級數(shù)斂散性。7．求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。8．求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。9．求級數(shù)的收斂域，并求出它的和函數(shù)，由此求出的和。10．將，在上展開成余弦級數(shù)，并求出它的和函數(shù)。11．確定級數(shù)的收斂域，并求和函數(shù)。12．求級數(shù)在其收斂域中的和函數(shù)。13．求級數(shù)的收斂半徑及和函數(shù)14.求的和函數(shù)。15．將函數(shù)在上展開為正弦級數(shù)、余弦級數(shù)。16．求冪級數(shù)的和函數(shù)。參考答案填空1．2.3、04、35、6、絕對收斂7．×8．9、；10．×；11×12×13√14×二．選擇1、C2、B3、C4、B5、A6.B；7．B；8.B；9、C；10、A；11．B12．A三．計算與證明1.當(dāng)時，級數(shù)成為發(fā)散，所以收斂區(qū)間為。。2.當(dāng)時，,所以級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時，，所以級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時，，而在時收斂，所以時收斂。3.。4.，當(dāng)和時級數(shù)收斂，所以收斂區(qū)間為。收斂半徑為。5.，當(dāng)時，收斂，當(dāng)時，發(fā)散，所以收斂區(qū)間為，收斂半徑為。6.因為，且當(dāng)時，，而收斂，所以收斂。7.，收斂區(qū)間為。。8.，而當(dāng)時，級數(shù)都收斂，所以收斂區(qū)間為。令=，,則，于是，當(dāng)x=0時，和函數(shù)為0；當(dāng)x=1時，和函數(shù)為1。9．∴收斂域為令10．~11、收斂域為：12.===令， ，則= =13.公比，一般項；……10分14.從而收斂域為設(shè) 當(dāng)時，有15．將函數(shù)在上展開為余弦級數(shù)。解：要把在上展開為余弦級數(shù)，先將延拓成上的偶函數(shù)，再延