2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

3.2雙曲線

3.2.1雙曲線及其標準方程

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一雙曲線的定義及其應(yīng)用

1.（2022廣東汕頭金山中學(xué)月考）已知M（-3,0）,N⑶。，|PM|-]PN|=6,則動點P的

軌跡是（）

A.一條射線B.雙曲線右支

C.雙曲線D.雙曲線左支

2.設(shè)9則關(guān)于x,y的方程三—三=1所表示的曲線是（）

A.焦點在y軸上的雙曲線

B.焦點在x軸上的雙曲線

C.焦點在y軸上的橢圓

D.焦點在x軸上的橢圓

3.雙曲線x2-^=l的左、右焦點分別為M,F2,點P在雙曲線上，若|PF』=3,則

|PF2|=（）

A.5B.1C.3D.1或5

4.已知雙曲線。一看=1上一點P到左焦點B的距離為10,則PR的中點N到坐標

45

原點0的距離為（）

A.3或7B.6或14C.3D.7

5.設(shè)F?F2為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上,且滿足NFFF2=90°,則

△F1PF2的面積是（）

A.1B.yC.2D.V5

6.(2022甘肅慶陽期末)已知雙曲線)-1=1的左、右焦點分別為R,F2,P為右支

41Z

上一動點,Q(1,4),則|PQ|+1PF"的最小值為.

題組二雙曲線的標準方程

7.已知雙曲線的焦點為日(-4,0),F2(4,0),雙曲線上一點P與F?F?的距離差的絕

對值等于2,則該雙曲線的標準方程為()

%2y2

A.土—匕=1

124

公=1

8.(2022河北張家口四中期中)已知雙曲線的一個焦點為B(-花,0),點P在該雙

曲線上，線段PF,的中點坐標為(0,2),則該雙曲線的標準方程是(

A.?—y2=lB.x2—

D.[-1=1

2332

22

9.已知方程三-±=i表示雙曲線,則k的取值范圍是()

l+fc1-fc

A.(-1,1)B.(0,+8)

C.[0,+8)D.-1)U(1,+8)

10.求經(jīng)過點P(-3,2V7)和Q(-6V2,-7)的雙曲線的標準方程.

22

11.已知某雙曲線與雙曲線3—9=1有相同的焦點,且經(jīng)過點(-今-遍)求該雙

ioy

曲線的標準方程.

12.已知雙曲線C的焦點為%(-2,0),F2(2,0),點A在C上,且關(guān)于原點0的對稱點

為B,|AB|=|FR|,四邊形ARBF2的面積為6,求雙曲線C的標準方程.

題組三雙曲線的綜合運用

13.(2022浙江金華期中)金知4ABC的頂點A(-5,0),B(5,0),其內(nèi)切圓圓心在直

線x=3上，則頂點C的軌跡方程是()

%2y2

A.3=1B.￡-

三9一16169

v2-.2

C?卜*l(x>3)D.———=1(x>4)

ioy

14.(2022江西南昌一模)許多建筑融入了數(shù)學(xué)元素后更具神韻，數(shù)學(xué)賦予了建筑

活力，數(shù)學(xué)的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致.已知圖1是單葉雙曲面(由雙曲線旋轉(zhuǎn)

形成的立體圖形)型建筑，圖2是其中截面最細附近處的部分圖形，上、下底面與

地面平行.現(xiàn)測得下底面直徑AB=20aU米,上底面直徑CD=20魚米,AB與CD間的

距離為80米,與上、下底面等距離的G處的直徑等于CD,則最細部分處的直徑為

()

圖1圖2

A.10米B.20米

C.10g米D.10西米

22

15.已知某雙曲線與橢圓芻+5=1有相同的焦點，且雙曲線與橢圓的一個交點的

2736

縱坐標為4,求該雙曲線的標準方程.

能力提升練

題組一雙曲線的定義及其應(yīng)用

v2C

1.（2022北京豐臺月考）已知以產(chǎn)2為雙曲線9-y'l的兩個焦點，點P在雙曲線上

4

且滿足NFFF2=90°,那么點P到x軸的距離為()

.2V30?V30?2V5口煙

---D.—C.U.—

22

2.(2022江西宜春月考)已知方程等-+Jw=l(m，n￡R)表示雙曲線，且該雙曲

mz+nn_3mz

線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是()

A.(0,V3)B.(0,3)

C.(-1,V3)D.(-1,3)

3.(2021廣東東莞期末)已知雙曲線C:?-*1的左、右焦點分別為F?F2,P為雙

曲線C上一點，直線1分別與以R為圓心，|FFl為半徑的圓和以Fz為圓心，|F2Pl

為半徑的圓相切于點A,B,則|AB|=()

A.2V7B.6C.8D.10

4.(2022山西懷仁期末)已知F-2分別是雙曲線的左、右焦點,A,B是過

ioy

點迪的直線與雙曲線左支的交點，且|AB|=5,則AABF?的周長是.

題組二雙曲線的標準方程及其應(yīng)用

5.已知雙曲線的兩個焦點分別是F1(-V5,0),F2(V5,0),P是雙曲線上一點，且

IPFII?|PFz|=2,則該雙曲線的標準方程為.

6.(2022重慶育才中學(xué)月考)數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難

入微.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與

+(y-b)2相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點(x,y)與點(a,b)之間的距離的

幾何問題.結(jié)合上述觀點，可得方程IV%2+4x+5——2_4x+程=2的解

為.

題組三雙曲線的綜合運用

22

7.(2022四川成都外國語學(xué)校期中)已知點P在曲線G：3—5=1上，點Q在曲線

ioy

2222

C2:(x+5)+y=l上，點R在曲線C3:(x-5)+y=l上,則|PQHPRI的最大值是()

A.6B.8C.10D.12

8.某地發(fā)生地震,為了援救災(zāi)民,救援員在如圖所示的P處收到一批救災(zāi)藥品，現(xiàn)

要把這批藥品沿道路PA,PB運送到矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中去，已知

PA=100km,PB=150km,BC=60km,ZAPB=60°,試在災(zāi)民區(qū)中確定一條界線，使位于

界線一側(cè)的點沿道路PA送藥較近,而另一側(cè)的點沿道路PB送藥較近,請說明這一

界線是一條什么曲線，并求出其方程.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.A因為|PM|-|PN|=6=|MN],所以動點P的軌跡是一條射線.

方法總結(jié)

已知定點M,N及動點P,||PM|-|PN||<|MN|時，點P的軌跡是雙曲

線；||PMHPN||=|MN|時，點P的軌跡是兩條分別以M,N為端點的射

線；||PM|-|PN||>|MN|時，點P的軌跡不存在.

2.C因為?！?斗，冗)，所以-(^。入立0〉0,所以關(guān)于乂,丫的方程三一二=1所

\4/sin?cosd

表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓.

3.A依題意得,a=l,b=3,因此c=V10.因為|PF』=3￡(c-a,a+c),所以點P在雙曲

線的左支上，因此|PF』-1PF21=-2,即3-|PF21=-2,所以|PF?|=5,故選A.

易錯警示

已知F?F2分別是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線上,若|PE|<c-a,則點P

不存在;若c-aW|PF,|<c+a,則點P只能在左支上;若[PF』2c+a,則點P既能在左

支上,又能在右支上.

4.A連接PF2(Fz為雙曲線的右焦點)，則ON是△PFE的中位線，???|0用三匹|.

?JIPF1HPF2I|=4,|PFJ=1O,|PF21=14或6,|ON|=JPF2|=7或3.

5.A由雙曲線的定義得IIPF1HPF2I|=4,

2

易知|F1F21=2V5,V|PFt1+1PF212=IFE12,

222

/.(IPFtJ-1PF21)=IPF!1+1PF21-21PFtI?|PF2|=16,

/.IPF,I-|PF2|=2,

則△FFF2的面積是:|PFj?|PF21=1.故選A.

6.答案9

22

解析因為點P在雙曲線亍-裔=1的右支上，所以|PF』-|PFz|=4,所以

|PFi|=|PF2|+4.連接QF2.

又Q(l,4),F2(4,0),所以|PF"+|PQU|PF2|+4+|PQ|2|QF2|+4=9,當且僅當Q,P,F2

三點共線時取.故|PQ|+|PF』的最小值為9.

7.C由題意設(shè)雙曲線的標準方程為真與=l(a>0，b>0).易得c=4,a=l,所以

b2=c2-a2=16-l=15.所以雙曲線的標準方程是x2-^=l.故選C.

8.B設(shè)雙曲線的標準方程為**l(a>O,b〉O),易知c=V5,又c2=a2+b2,所以

a2bz

22一

b2=5-a2,所以巳-4=1.因為線段PF,的中點坐標為(0.2),F,(-^5,0),所以點P的

QN5-az

坐標為(y,4).將(而,4)代入雙曲線方程，得?4=1,解得a2=l或a?=25(舍去)，

Q/5-az

所以雙曲線的標準方程為x2-^-=l.故選B.

9.A由題意得(1+k)(1-k)>0,所以(k-1)(k+l)<0,所以-l<k<L

故選A.

10.解析設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=l(mn〈0),

則｛需;富」i解得「二前

I/乙fit"I171L,'YX,~

<一25，

22

故雙曲線的標準方程為5-3=1.

2575

22

11.解析由雙曲線.-近=1,得C2=16+9=25,AC=5.

設(shè)所求雙曲線的標準方程為馬-白1(a>0,b>0).

a2b2

?.?所求雙曲線與雙曲線3=1共焦點，，b2=25-a2,故所求雙曲線方程可寫為

22

-xy——=11

a225-a2,

點(-y，-⑹在所求雙曲線上，

.卜(_(-㈤2

,?a225-a2'

化簡得4a「1291+125=0,

解得a2=l或a2ag.

4

當a2衛(wèi)時,b2=25-a2=25--=--<0,舍去，

444

.*.a2=l,b2=24,

2

...所求雙曲線的標準方程為X2-^=1.

22

12.解析設(shè)雙曲線C的標準方程為召-￡=1(a>0,b>0).易知原點0分別為AB和

FE的中點，

所以四邊形ARBF2為平行四邊形，

又因為|AB|=|FEl,

所以平行四邊形ARBF2為矩形.

因為四邊形AF3F2的面積為6,

所以|AFi||AFz|=6,

又因為|AF-2+|AF2|2=|FF2「=16,1IA&HAF2I|=2a,

222222

所以4a2=IAF,|+1AF2|-21AFI|IAF21=16-12=4,解得a=l,所以b=c-a=3.

c、，2

故雙曲線C的標準方程為x2-^-=l.

13.C如圖,設(shè)AABC與圓的切點分別為D,E,F,則|AD|=|AE|=8,

|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.

22

根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是雙曲線的右支，除去點(3,0),方程為？-￡1(X>3).

916

故選C.

14.B取DC的中點E,以EG所在直線為y軸,EG的中點0為坐標原點建立平面直

角坐標系，如圖所示.

易知D(10V2,20),B(10V10,-60).

'200_400_]

設(shè)雙曲線的標準方程為今汩(a>0,b>0),則短"解得依二案二，所

以最細部分處的直徑為2a=20(米).故選B.

15.解析由題意得橢圓的焦點為(0,-3),(0,3),故可設(shè)雙曲線的方程為

22

彳-卷=l(a>0,b>0),且a?+b2=9.由雙曲線與橢圓的一個交點的縱坐標為4,可得此

az

交點的坐標為2運4)或(-“虧,4).由交點在雙曲線上知號—1=1.

(u^+匕2=9,(2_A.2”2

由竺一竺_1得n%Z/故所求雙曲線的標準方程為5-器=1.

能力提升練

1.D不妨設(shè)|PF1|=X,|PF2]=y(x>y).

易得c=V5,a=2,b=l.

,點P在雙曲線上，.\x-y=4.①

?.?NFFF2=90°,，x2+y2=20.②

由①②得xy=2,.,.S&1PF2gxy=L

設(shè)△F1PF2斜邊上的高為h,則稱?2c-h=V5h=l,

解得h=?,故點P到x軸的距離為日故選D.

2.D因為雙曲線兩焦點間的距離為4,所以c=2.

2222

當焦點在X軸上時，方程『+一7=1可化為等--*_=1,所以

z+nn-3m￡mz+n3mz-n

4=(m2+n)+(3m'-n),解得m2=l.

22

因為三一-*=1表示雙曲線，所以近+0?(3m2-n)>0,即(n+1)(n-3)(0,

mz+n3mz-n

解得T〈n〈3,故n的取值范圍是(-1,3).

2222

當焦點在y軸上時，方程=一+-=1可化為--不^=1,所以

mz+nn-3mzn-3mz-(mz+n)

4=(n-3m2)-(ni2+n),解得m2=-l,無解.

綜上,n的取值范圍是(-1,3).故選D.

3.B依題意得a=4,b=3,c=Va2+b2=5.

不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上,如圖所示.

過F2作FzD_LAFi于點D.

易得四邊形ABF2D為矩形.

,.,|AF,|=|PFd,|BF2|=|PF2|,

A|F1D|=|AF1|-|AD|=|AFl|-|BF2|=|PF1|-|PF2|=2a=8.

又：|FF21二2C=10,

222

...在RtZ\RDF2中，|F2DI=IF1F212-1FIDI=V10-8=6,

A|AB|=|F2D|=6.

4.答案26

解析由題意得|AFz|-|AFj=2a=8,IBF2I-|BF』=2a=8,

所以IAF2I+IBF2HlAF』+|BFj)=16,

即IAF2I+IBF2I-|AB|=16.

因為|AB|=5,所以|AF2|+|BF2」=16+5=21,

所以AABF2的周長為IAF21+1BF21+1ABI=21+5=26.

、v2c

5.答案--y2=l

4

解析由題意得,雙曲線的焦點在X軸上，且|FE|=2c=2花.

2

由雙曲線的定義知||PFj-IPF2I|=2a,得|PFI|2-2|PFJ-|PF2|+|PF2|=

4a2.

由耐?麗=0矢口PF|_LPF2,

二|PFI|2+|PF2「=|FF2|2=20.

2222

又|PFj?|PF2|=2,/.a=4,/.b=c-a=l,

2門

該雙曲線的標準方程為二v-y2=1.

4

6.答案x=土手

解析由|V%2+4x+5-Vx2-4x+5I=2,

得IJa+2)2+(1-0)2-J(X-2)2+(1-0)21=2,其幾何意義為平面內(nèi)一點(X,1)

與兩定點(-2,0),(2,0)的距離之差的絕對值為2.

平面內(nèi)與兩定點(-2,0),(2,0)的距離之差的絕對值為2的點的軌跡是雙曲線.

22

設(shè)雙曲線的方程為?卷=1(a>0,b>0),

a2b2

由題意得a=l,b=V22