2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在我國(guó)傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個(gè)物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關(guān)系，具體是：

金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個(gè)，這二者具有相生關(guān)系的概率是()

A.0.2B.0.5C.0.4D.0.8

2,若a=0.5°6,0=0.6°5,c=2°s,則下列結(jié)論正確的是()

A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a

3.某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識(shí)別、人臉

識(shí)別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個(gè)方向展開研究，且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識(shí)

別，則這6名研究生不同的分配方向共有()

A.480種B.360種C.24()種D.120種

4.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)二滿足三=2-i,則z=()

1+21

A.1+iB.-1+iC.l-2iD.l+2i

5.已知/(x)是定義在［—2,2］上的奇函數(shù)，當(dāng)x?0,2］時(shí)，/(x)=2'-l,貝!!/(一2)+/(0)=()

A.-3B.2C.3D.-2

6.已知點(diǎn)￡為雙曲線C:J—上-=l(a>0)的右焦點(diǎn)，直線y=與雙曲線交于A,3兩點(diǎn)，若NAF,B=—,則

a43

△AF?B的面積為()

A.272B.2GC.472D.4百

7.已知數(shù)列｛4｝滿足：,(〃cN*)諾正整數(shù)%(后25)使得4+d+…+d=q%…4成

Q[—I,?6

立，貝!U=()

A.16B.17C.18D.19

8.如圖，平面四邊形ACB。中，ABIBC,AB=6,BC=2,A/W。為等邊三角形，現(xiàn)將△AB。沿AB翻

折，使點(diǎn)。移動(dòng)至點(diǎn)P,且PB1BC,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(

D.巫兀

A.8"B.6%C.44

3

9.在三棱錐P—ABC中，AB=BC=5,AC=6,尸在底面ABC內(nèi)的射影。位于直線AC上，且AO=2C￡>,PD=4.

設(shè)三棱錐P-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在球Q的球面上，則球Q的半徑為（）

.V689?7689?55/265726

A.--------B.--------C.--------Dn.--------

8686

22

V-v

10.已知橢圓*+二的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,過E的直線交橢圓于A,8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M,

ab.

若月、M是線段AS的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）

￡「2石

A.L?-------D.正

255

11.復(fù)數(shù)z=二二的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

12.已知函數(shù)〃幻=但*6穴），若關(guān)于X的方程/（x）-〃?+l=O恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范

圍為（）

A.（叵,1）B.（0,—）C.（1,-+1）D.（1,叵+1）

2e2ee2e

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)〃同=411（5+。）（3>0,0<。<2］）滿足：①/（x）是偶函數(shù)；②/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（?,（）］對(duì)稱.則

同時(shí)滿足①②的3,（P的一組值可以分別是.

14.曲線y=er（x2+2）在點(diǎn)（0,2）處的切線方程為.

15.在正方體ABCD-ABgR中，E為棱AA,的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱A罔上的點(diǎn)，且=g尸片，則異面直線EF與BC1

所成角的余弦值為.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知直線/:y=：與函數(shù)/（x）=sin［3+?>0）的圖象在y軸右側(cè)的公共點(diǎn)從

左到右依次為4，4，…，若點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為1,則點(diǎn)人的橫坐標(biāo)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來的紙質(zhì)廣告收入如下表所

示：

年份201020112012201320142015201620172018

時(shí)間代號(hào)，123456789

廣告收入y（千萬元）22.22.52.832.52.321.8

根據(jù)這9年的數(shù)據(jù)，對(duì)f和V作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243；

根據(jù)后5年的數(shù)據(jù)，對(duì)/和作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.

（1）如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入，現(xiàn)在有兩個(gè)方案,

方案一：選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，方案二：選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).

從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析，你覺得哪個(gè)方案更合適？

附：相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：

小概率

n2

0.050.01

30.8780.959

70.6660.798

（2）某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書，據(jù)統(tǒng)計(jì)，在該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中，只購(gòu)買電

子書的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比例為1（）%,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率，若從上述讀者

中隨機(jī)調(diào)查了3位，求購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

2

18.（12分）設(shè)點(diǎn)片6（。,0）分別是橢圓C:「+y2=i（a>i）的左、右焦點(diǎn)，p為橢圓C上任意一點(diǎn)，且

a

西?颶的最小值為1.

(1)求橢圓C的方程;

(2)如圖，動(dòng)直線/?=依+根與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線/上的兩點(diǎn)，且6MF2N±l,

求四邊形F\MNFZ面積5的最大值.

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量Z=(cos<z,sina),很=cosa+~,sin^?+^，其中0<a<].

(1)求僅一￡)?￡的值；

(2)若工=(1,1),且(%+?P￡,求a的值.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=j3x+6,g(x)=J14-x,若存在實(shí)數(shù)工使/(x)+g(x)>a成立，求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=爐-5x+21nx.

(1)求f(x)的極值；

(2)若/(玉)=/(%2)=/(毛)，且與</<芻，證明：X]+々>1.

22.(10分)如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸為拋物線G：￡=2處(〃>0)的焦點(diǎn)，且拋物線G上點(diǎn)尸處的切線與圓

。2：/+尸=1相切于點(diǎn)。

(1)當(dāng)直線P。的方程為x-y-夜=0時(shí)，求拋物線G的方程；

S.

(2)當(dāng)正數(shù)。變化時(shí)，記S1,S?分別為△EPQ,AFOQ的面積，求亡的最小值.

32

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.

【詳解】

從五行中任取兩個(gè)，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共1()種,

其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5種，所以所求的概率為且='=0.5.

102

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得a*,c的取值范圍，即可求解，得到答案.

【詳解】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得1>0.6°，5>0.5°5>0.5°-6>0,即1>匕>。>0,

又由c=2°‘>l,所以c>Z?>a.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)事的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得“，4c的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考

查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

將人臉識(shí)別方向的人數(shù)分成：有2人、有1人兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).

【詳解】

當(dāng)人臉識(shí)別方向有2人時(shí)，有￡=120種，當(dāng)人臉識(shí)別方向有1人時(shí)，有C；A：=240種，.?.共有360種.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查簡(jiǎn)單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為彳=一9一+『，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出z.

1+2;

詳解：由題設(shè)有5=二一+7=1—2i+i=l—i,故z=l+i,故選A.

l+2z

點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共朝復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

由奇函數(shù)定義求出/(0)和/(-2).

【詳解】

因?yàn)?(x)是定義在［—2,2］上的奇函數(shù)，二/(0)=0.又當(dāng)xe(0,2］時(shí)，

/(X)=2f-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,,-./(-2)+/(O)=-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

6.D

【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為￡,連接4片,8耳，由對(duì)稱性可知四邊形4耳8名是平行四邊形,

設(shè)|*|=小|*|=勺得4c2=弓2+弓2一2化3$。，求出住的值，即得解.

【詳解】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為匕，連接4片,8耳，

由對(duì)稱性可知四邊形人耳8后是平行四邊形，

■7T

=

所以SAAF?B，4居=—?

設(shè)|4用=?|也|=々，貝ij4c2=r;+r^-2r}r2cosy=+r^-rtr2,

又=2a.故上=4/=16,

S

所以^F2=I■和sin(=?

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解

掌握水平.

7.B

【解析】

2

計(jì)算4一+…=4+1-5,故+a2+...+&*-=應(yīng)+]+女—16=ak+l+1,解得答案.

【詳解】

當(dāng)〃之6時(shí)，a?+l=0,?2??-1=(a?+1)a?-1,即aj=“同一生,+1,且4=3L

故“6-+%-+...+an~=(%_。6)+(“8_%)+…+(見+1_°")+〃_5=?！?]—a6+n—5,

aa

+i~+…+a『=k+\+%—16=ak+i+1,故Z=17.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.

8.A

【解析】

將三棱錐尸-ABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角

形的外心連線上，在R^OBE中,計(jì)算半徑08即可.

【詳解】

由PB1BC,可知8C_L平面RW.

將三棱錐尸-ABC補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同.

由此易知外接球球心。應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,

記的外心為E，由△A8O為等邊三角形，

可得BE=1.又0E=*=l,故在RhOBE中,0B=O,

此即為外接球半徑，從而外接球表面積為8萬.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

9.A

【解析】

設(shè)AC的中點(diǎn)為O先求出AABC外接圓的半徑，設(shè)QM=a,利用平面ABC,得QM〃PD,在及

△OMQ中利用勾股定理構(gòu)造方程求得球的半徑即可

【詳解】

設(shè)AC的中點(diǎn)為O,因?yàn)锳3=BC,所以AA8C外接圓的圓心M在B0上.設(shè)此圓的半徑為r.

25

因?yàn)?。=4,所以（4—「）2+3?=產(chǎn)，解得r=高.

O

因?yàn)镺D=OC—8=3—2=1,所以CM=#+（4—.）2=羋-

設(shè)QM=a,易知QM_L平面ABC,則QM〃PO.

因?yàn)镼P=QB,所以&PD一a）?+DM?=J”？+/2,

即（4—a）2+孚=/+竽，解得。=1.所以球。的半徑/?=。8=，717=邈^.

64648

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查球的組合體，考查空間想象能力，考查計(jì)算求解能力，是中檔題

10.D

【解析】

根據(jù)題意，求得A,M,B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，即可求得結(jié)果.

【詳解】

由已知可知，M點(diǎn)為中點(diǎn)，士為中點(diǎn),

故可得行+乙=2七“=(),故可得.q=c；

2222

cvbb

代入橢圓方程可得:+2r=1,解得曠=±幺，不妨取以=幺，

abaa

(b2}

故可得A點(diǎn)的坐標(biāo)為c,一，

1a7

…fb2}(b2}

則A/0,——,易知8點(diǎn)坐標(biāo)-2c,-,

lla)I2a)

將3點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得/=5C2,所以離心率為好,

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓離心率的求解，難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得A8,/點(diǎn)的坐標(biāo)，屬中檔題.

11.D

【解析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出z,再寫出其共軌復(fù)數(shù)，得共甄復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).得結(jié)論.

【詳解】

iz(l-2z)i+221.-?121

l+2z-(l+2z)(l-2i)-5-552對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(y,—y),在第四象限.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共班復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

12.D

【解析】

討論x>0,x=0,尤<0三種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

1-2x，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在+8)上單調(diào)遞減，且/(g)=等

當(dāng)x>o時(shí)，y(x)=—,故尸(x)=

ex2\[xex

當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=0；

當(dāng)”。時(shí)，?。?亨,八，）=-宗<。,

函數(shù)單調(diào)遞減;

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則0</〃—叵，故me（l,叵+1）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3兀

13.—9—

22

【解析】

根據(jù)/（X）是偶函數(shù)和/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可求出滿足條件的0和。.

【詳解】

由/（x）是偶函數(shù)及0M8<2兀，可取夕=^,

貝U/（x）=sin^（vx+y^=coswx,

由/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（三,0）對(duì)稱，得0x1=E+],kwZ,

33

即。=3kH—9keZ,可取co——?

22

371

故。，。的一組值可以分別是7，--

22

37C

故答案為：-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.y-2x+2

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出在(0,2)處的一階導(dǎo)數(shù)值，即得出所求切線的斜率，再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.

【詳解】

令〃力=/(爐+2),■■f'(x)=e\x2+2x+2),所以尸(0)=2,又?.?/(0)=2,二所求切線方程為y-2=2x,即

y=2x+2.

故答案為：y=2x+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率，屬于基

礎(chǔ)題.

【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標(biāo)系，寫個(gè)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得麗，西■.由空間向量的夾角求法即可求得異

面直線EF與BG所成角的余弦值.

【詳解】

根據(jù)題意畫出幾何圖形，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則E(O,O,；W，O,I}B(LO,O)，G(L1,I).

所以加=￡,0,；),西'=(0,1,1).

同邛網(wǎng)=①

EF-BC{Vio

所以cos<EF,BC\>=RR

所以異面直線EF與BQ所成角的余弦值為平,

故答案為：叵.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.

16.1

【解析】

當(dāng)X=1時(shí)，/(x)=sin((y+—)=-^ro+—=2k^+—,或。+軍=24萬+2(％eZ),依題意可得口+乙=紅，可求得。，

62666666

繼而可得答案.

【詳解】

JT1

因?yàn)辄c(diǎn)4的橫坐標(biāo)為1,即當(dāng)x=l時(shí)，f(x)=sin^+-)=-,

62

所以co+—=2k7v+—'^cD+—=2k7r+—(kEZ),

66l66

1jr

又直線/：y=］與函數(shù)/?=sin(s+?)(G>0)的圖象在)'軸右側(cè)的公共點(diǎn)從左到右依次為A,4

rv*1、i45%

所以69+—=—,

6O

,,2萬

故①=9

所以函數(shù)的關(guān)系式為/(x)=sin(4x+￡).

當(dāng)々=3時(shí)，f(1)=sin(—x3+—)=-,

即點(diǎn)&的橫坐標(biāo)為1,(3,g)為二函數(shù)的圖象的第二個(gè)公共點(diǎn).

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力及思維能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

Q1

17.(1)選取方案二更合適；(2)—

125

【解析】

(1)可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會(huì)接著下跌，前四年的增長(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)不能作為預(yù)測(cè)后續(xù)數(shù)據(jù)的依據(jù)，而后5年

的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值0.984>0.959,所以有99%的把握認(rèn)為y與?具有線性相關(guān)關(guān)系，從而可得結(jié)論；(2)

32

求得購(gòu)買電子書的概率為《，只購(gòu)買紙質(zhì)書的概率為不，購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購(gòu)買電

子書，2人購(gòu)買電子書一人只購(gòu)買紙質(zhì)書，由此能求出購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

【詳解】

(1)選取方案二更合適，理由如下：

①題中介紹了，隨著電子閱讀的普及，傳統(tǒng)紙媒受到了強(qiáng)烈的沖擊，從表格中的數(shù)據(jù)中可以看出從2014年開始，廣告

收入呈現(xiàn)逐年下降的趨勢(shì)，可以預(yù)見，2019年的紙質(zhì)廣告收入會(huì)接著下跌，前四年的增長(zhǎng)趨勢(shì)已經(jīng)不能作為預(yù)測(cè)后續(xù)

數(shù)據(jù)的依據(jù).

②相關(guān)系數(shù)年|越接近1,線性相關(guān)性越強(qiáng)，因?yàn)楦鶕?jù)9年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值().243<0.666,我們沒有理

由認(rèn)為)，與/具有線性相關(guān)關(guān)系；而后5年的數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值().984>0.959,所以有99%的把握認(rèn)為y

與f具有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)因?yàn)樵谠摼W(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中，只購(gòu)買電子書的讀者比例為50%,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比

例為io%,所以從該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中任取一位，購(gòu)買電子書的概率為/+歷=2,只購(gòu)買紙質(zhì)書的概率

2

為二，購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)書人數(shù)有兩種情況：3人購(gòu)買電子書，2人購(gòu)買電子書一人只購(gòu)買紙質(zhì)書.概率

【點(diǎn)睛】

本題主要考查最優(yōu)方案的選擇，考查了相關(guān)關(guān)系的定義以及互斥事件的概率與獨(dú)立事件概率公式的應(yīng)用，考查閱讀能

力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的

事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型

進(jìn)行解答.

18.(1)—+/=1；(2)2.

2,

【解析】

42_1

(D利用兩?兩■的最小值為1,可得朋?%=》2+V-02=巴9/+1一°2,xe[-a,a],即可求橢圓C的

a

方程；

(2)將直線/的方程y=h+〃，代入橢圓C的方程中，得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線/與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)

知，△=()即可得到〃?，上的關(guān)系式，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到4=|EM，4=優(yōu)根.當(dāng)b()時(shí)，設(shè)直

線/的傾斜角為。，貝！]|4一%|=|加川*]m14,即可得到四邊形片MN寫面積S的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)，

結(jié)合當(dāng)z=()時(shí)，四邊形耳是矩形，即可得出S的最大值.

【詳解】

<1)設(shè)P(x,y),則[P=(x+c,y),F2P=(x-c,y),

2i

222a22

PF\?PF\=x+y-c=x+l-c9xe[-a.a]9

a"

由題意得，1—c2=0=>c=l=>a2=2>

2

橢圓C的方程為±x+y2=l；

2

(2)將直線[的方程y=kx+m代入橢圓C的方程x2+2丁=2中，

得(2人2+1)%2+4kmx+2trr-2=0.

由直線/與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=16k2m2-4(2k2+1)(2/??-2)=0,

化簡(jiǎn)得：加2=2^+1.

設(shè)忻k+n

4=M=j：,d2=\F2M\=.J,

yjk2+lyjk2+l

當(dāng)ZHO時(shí)，設(shè)直線/的傾斜角為e,

則|4-蜀=|M^x|tane|,

.,?修|二向|4一村,

1

s=

2-

K十1

..2帆_4同=4

?■=2標(biāo)+1，-爐+廣疝+i-1

同+忖

二當(dāng)kwO時(shí)，網(wǎng)＞1,帆+時(shí)＞2，

AS＜2.

當(dāng)％=()時(shí)，四邊形片"”是矩形，5=2.

所以四邊形F,MNF］面積5的最大值為2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識(shí)、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的

性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

19.(1)--1(2)a=—.

212

【解析】

⑴根據(jù)僅-孫￡=￡%—同二由向量￡,坂的坐標(biāo)直接計(jì)算即得；⑵先求出力+3再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系

解得a.

【詳解】

71

(1)由題，向量a=(cosa,sina),b=cosa+,sina+工

~I4

則,—￡然=￡%—同

=cosacoscr+—+sinasina+--(cos2or+sin2a

I4；I4)[

71—1浮1

/71、/、、

(2)vc=(1,1),：,b+c=cosa-\■——+1,sinCLH—+1

<4>I4JJ

v\b+c\//a,

71

cosa+——+1sincr-心4+1coscr=0,

、4,l4J

整理得sina-cosa=sinl+lcos<z-cosl(2+71Isin6)f,

4

7T?刀■口r?7冗1

化簡(jiǎn)得&sinCC------=sin—,即sma----

44I442

八c兀兀7171

Q0<a<一,/.——<a------<—,

2444

7T7Tan54

/.OL------=——9即a=—?

4612

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量平行，是?？碱}型.

20.TO,8)

【解析】

試題分析:先將問題“存在實(shí)數(shù)X使/(X)+g(X)>a成立”轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)/(X)+g(X)的最大值”，再借助柯西不等式

求出/(x)+g(x)的最大值即可獲解.

試題解析:

存在實(shí)數(shù)x使/(x)+g(x)>a成立，等價(jià)于/(x)+g(x)的最大值大于

因?yàn)?(x)+g(x)=^3X+6+y/14-x=^X-X/X4-2+1X5/14—X,

由柯西不等式：(昂+4(3+l)(x+2+14-x)=64,

所以/(x)+g(x)=j3x+6+J14—xW8,當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)取“=”,

故常數(shù)”的取值范圍是(-8,8).

考點(diǎn)：柯西不等式即運(yùn)用和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.

9

如⑴/⑴極大值為一72瓜2；極小值為_6+22(2)見解析

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)/(X)求導(dǎo)，進(jìn)而可求出單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的極值;

⑵構(gòu)造函數(shù)F(x)=，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得尸(X)<0,從而/(x)</(I-X)在［0,；)上

恒成立，再結(jié)合%e)=/(玉)</(1一%)，可得到x2>l-x,，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

(1)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+紀(jì))，/'(*)=2*—5+［=生^^0>0),

所以當(dāng)xe(0,g)U(2,一)時(shí),廣。)>0；當(dāng)x出,2)時(shí)，((x)<0,

則/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[(),：]和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為2].

門、1519

故f(x)的極大值為/7=：-不+21117=—：—21n2；f(x)的極小值為/(2)=4-10+21n2=-6+21n2.

(2)證明:由(1)知0<X]V；<工2<2<工3，

設(shè)函數(shù)F(x)=于(X)-/(I-x),xe(0,；),

則FXxXV-Sx+Zlnx-(1-x)2-5(l-x)+21n(l-x),

*，(、(2x-l)(x-2)^(2x-l)(x+l)2(21)2

F(x)=------------+------------=---------,

x1-xx(l-X)

則b'(x)〉0在［0,；)上恒成立，即F(x)在［0,；)上單調(diào)遞增,

故F(x)<F(g),

=0，則/(x)=/(x)-/(l-x)<0,xel0,1j,

又嗚卜/(J佃

即/(x)</(I-x)在(0,g)上恒成立.

因?yàn)闉樗?(玉)</0_玉),

又/（々）=/（xj，則/（w）</（1-石）,

因?yàn)?玉w（g,2）,且/（x）在],2）上單調(diào)遞減，

所以%>1-玉,故7+