第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學習目標素養(yǎng)要求1．掌握空間向量基本定理及空間向量的正交分解數(shù)學抽象2．會用空間向量的三個基底表示其他向量，并能用空間向量基本定理解決一些幾何問題直觀想象、數(shù)學運算|自學導引|

空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任一空間向量p，存在唯一的____________{x，y，z}，使得p＝___________，把{a，b，c}叫做空間的一個______，a，b，c叫做________，空間中任何三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．有序?qū)崝?shù)組xa＋yb＋zc

基底基向量

1．思維辨析(對的畫“√”，錯的畫“×”)(1)0也可以作為基向量． (

)(2)空間的任意一個向量都可用三個給定向量表示． (

)(3)如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，那么一定有a與b共線． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√【預習自測】【解析】(1)由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是0，所以0不能作為基向量．(2)當三個向量不共面時，才可以表示空間中的任意一個向量．(3)由空間向量基本定理可知只有不共面的三個向量才可以作為基底．【答案】B平面向量的基底要求兩個基向量不共線，那么構(gòu)成空間向量基底的三個向量有什么條件？【答案】提示：三個向量不共面．微思考空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量__________，且長度為1，那么這個基底叫做______________，常用{i，j，k}表示．2．對空間中的任意向量a，均可以分解為xi，yj，zk，使a＝______________把空間向量分解為三個__________的向量，叫做把空間向量進行正交分解．兩兩垂直單位正交基底

xi＋yj＋zk

兩兩垂直

【答案】1【預習自測】空間向量的正交分解式是唯一的嗎？【答案】提示：基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示．所以如果選用不同的正交基底，同一向量的正交分解式也會不同．微思考|課堂互動|題型1基底的概念與判斷

(1)在下列結(jié)論中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；③若三個向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個向量a，b，c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc．其中正確結(jié)論的個數(shù)是

(

)A．0 B．1 C．2 D．3(2)若{a，b，c}為空間的一組基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是 (

)A．{a，a＋b，a－b}B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b}D．{a＋b，a－b，2a＋b}【答案】(1)A

(2)C基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，那么不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，那么不能構(gòu)成基底．②假設a＝λb＋μc，運用空間向量基本定理，建立關(guān)于λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底．1．(1)設向量a，b，c不共面，則下列可作為空間的一個基底的是(

)A．{a＋b，b－a，a} B．{a＋b，b－a，b}C．{a＋b，b－a，c} D．{a＋b＋c，a＋b，c}(2)以下命題：①|(zhì)a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；②若{a，b，c}是空間的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}是空間的另一組基底；③|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.其中正確的命題有

(

)A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】(1)C

(2)B【解析】(1)選項A，B中的三個向量都是共面向量，所以不能作為空間的一個基底；選項D中，a＋b＋c＝(a＋b)＋c，根據(jù)空間向量共面定理得這三個向量共面，所以不能作為空間的一個基底；選項C中a＋b，b－a，c不共面，故可作為空間的一個基底．故選為C.(2)①|(zhì)a|－|b|＝|a＋b|?a，b共線，反之不成立，|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充分不必要條件，因此不正確；②若{a，b，c}是空間的一組基底，假設a＋b，b＋c，c＋a共面，則存在唯一一組實數(shù)x，y，使a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)成立，即a＋b＝xb＋(x＋y)c＋ya，所以x＝1，y＝1，x＋y＝0，顯然無解，假設不成立，即a＋b，b＋c，c＋a不共面，則{a＋b，b＋c，c＋a}是空間的另一組基底，正確；③|(a·b)·c|＝|a||b||c||cos〈a，b〉|，而|cos〈a，b〉|不一定等于1，因此不正確．故選B.【答案】A 用基底表示向量的三個步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．題型3幾何體中的平行、垂直與夾角方向1證明平行

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點，求證：MN∥RS.方向2證明垂直

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱CC1，BC，CD的中點，求證：A1G⊥平面DEF.1．證明平行的方法證明直線的方向向量共線，并說明不在同一條直線上，即可說明線線平行．2．證明垂直的方法由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b＝0(a，b≠0)可知，要證兩直線垂直，可分別構(gòu)造與兩直線平行的向量，只要證明這兩個向量的數(shù)量積為0即可．3．(1)如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成角的大小是________.(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點，求證：A1O⊥平面GBD.【答案】(1)90°錦囊妙計運用向量方法解題思維導讀：近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對向量這部分內(nèi)容的考查力度，本內(nèi)容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題．不管是平面向量抑或是空間向量，越來越多的考生開始青睞向量法分析解決問題．通過運用向量法解題的思想方法的傳導，讓考生們掌握向量法解決平面及空間幾何的問題所提供的思路和分析解決問題的方法．向量法解決問題的思想使得某些數(shù)學問題變得簡化和清晰，掌握它，讓問題變得更容易．如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD．命題意圖：本題主要考查學生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力．知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使煩瑣的論證變得簡單．1．解決向量相關(guān)問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質(zhì)的認識；二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想．2．向量的數(shù)量積常用于有關(guān)兩向量相等、兩向量垂直、射影、夾角等問題中．常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題．3．用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結(jié)論？|素養(yǎng)達成|1．對基底和基向量的理解(1)空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底．(2)基底中的三個向量a，b，c都不是0．這是因為0與任意向量共線，與任意兩個向量共面．(3)一個基底是由不共面的三個向量構(gòu)成，是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．2．對空間向量基本定理的兩點說明(1)任意性：用空間三個不共面的向量可以線性表示出空間中任意一個向量．(2)唯一性：空間向量基本定理中實數(shù)組{x，y，z}是唯一的．3．單位正交基底的特點(1)位置：三個向量兩兩垂直且有公共起點O．(2)模長：每個向量的模都等于1．(3)記法：一般記作{e1，e2，e3}，{i，j，k}等．【答案】D2．(題型1)若{a，b，c}構(gòu)成空間的一個基底，則下列不共面的是 (

)A．b＋c，b，b－c B．a(chǎn)，a＋b，a－bC．a(chǎn)＋b，a－b