第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標表示1.3.2空間向量運算的坐標表示學習目標素養(yǎng)要求1．理解空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算以及數(shù)量積的坐標運算邏輯推理2．掌握并能應(yīng)用向量的夾角公式、距離公式的坐標表示，并能運用這些公式解決簡單幾何體中的問題邏輯推理、數(shù)學運算3．會利用平行關(guān)系及垂直關(guān)系的坐標表示進行相應(yīng)的判斷和證明邏輯推理、數(shù)學運算|自學導引|空間向量的坐標運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則向量運算向量表示坐標表示加法a＋b__________________________減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa__________________數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

(λa1，λa2，λa3)

【預(yù)習自測】已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，則a＋2b＝ (

)A．(－1，2，5)

B．(－1，4，5)C．(1，2，5)

D．(1，4，5)【答案】A【解析】a＋2b＝(1，2，3)＋2(－1，0，1)＝(1，2，3)＋(－2，0，2)＝(－1，2，5)．故選A．平面向量的坐標運算與空間向量的坐標運算有什么聯(lián)系與區(qū)別？【答案】提示：平面向量與空間向量的坐標運算均有加減運算、數(shù)乘運算、數(shù)量積運算，其算法是相同的．但空間向量要比平面向量多一豎坐標，豎坐標的處理方式與橫、縱坐標是一樣的．微思考空間向量的平行、垂直及模、夾角1．空間向量平行和垂直的條件：(1)平行：a∥b(b≠0)?a＝λb?_____________________________；(2)垂直：a⊥b?a·b＝0?________________________．2．空間向量的模及夾角的坐標計算公式：(1)模：|a|＝____________，|b|＝______________；(2)cos〈a，b〉＝________________________．a(chǎn)1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，類比平面向量平行的坐標表示，可得到什么結(jié)論？微思考【預(yù)習自測】1．思維辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)空間兩點間的距離公式是平面上兩點間的距離公式的推廣． (

)(2)平面上兩點間的距離公式是空間兩點間距離公式的特例.(

)【答案】(1)√

(2)√【解析】(1)空間中點的坐標比平面內(nèi)點的坐標，多了豎坐標，此說法正確．(2)平面中點的坐標比空間內(nèi)點的坐標，少了豎坐標，此說法正確．【預(yù)習自測】【答案】B|課堂互動|題型1空間向量的坐標運算已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b)．解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)，2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0，1，－4)＝14，又∵a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2，0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝－8．關(guān)于空間向量坐標運算的兩類問題(1)直接計算問題首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算．(2)由條件求向量或點的坐標首先把向量用坐標形式設(shè)出來，然后通過建立方程組，解方程求出其坐標．【答案】(4，10，－21)向量平行與垂直問題的兩種類型(1)平行與垂直的判斷①應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線；②判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直．2．(1)已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，求x，y；(2)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，求k的值．題型3向量夾角與模的計算方向1向量法求夾角

已知向量a＝(1，0，－1)，則下列向量中與a成60°角的是 (

)A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)【答案】B方向2向量法求距離

【答案】B1．向量夾角的計算步驟(1)建系：結(jié)合圖形建立適當?shù)目臻g直角坐標系，建系原則是讓盡可能多的點落到坐標軸上．(2)求方向向量：依據(jù)點的坐標求出方向向量的坐標．(3)代入公式：利用兩向量的夾角公式將方向向量的坐標代入求出夾角．2．求空間兩點間的距離的關(guān)鍵及步驟(1)求空間兩點間的距離問題就是把點的坐標代入距離公式進行計算，其中確定點的坐標或合理設(shè)出點的坐標是關(guān)鍵．(2)若所給題目中未建立坐標系，需結(jié)合已知條件建立適當?shù)淖鴺讼担倮每臻g兩點間的距離公式計算．一般按如下的步驟：3．(1)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝4，E為PC的中點，則異面直線PD與BE所成角的余弦值為 (

)【答案】(1)B

(2)D錯解：選A．因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b＜0．由a·b＜0得(3，－2，－3)·(－1，x－1，1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1＜0，解得x＞－2．錯解分析：錯誤的根本原因是忽視了a·b＜0包含〈a，b〉＝180°的情況．實際上a與b夾角為鈍角?a·b＜0且〈a，b〉≠180°．正解：選B．因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°．由a·b＜0得(3，－2，－3)·(－1，x－1，1)＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1＜0，解得x＞－2．若a與b的夾角為180°，防范措施：1．明確兩個充要條件(1)向量a與b的夾角為銳角?a·b＞0且〈a，b〉≠0°．(2)向量a與b的夾角為鈍角?a·b＜0且〈a，b〉≠180°．2．注意向量共線情況的計算先利用a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，求出參數(shù)，再根據(jù)“λ＞0，a與b同向，λ＜0，a與b反向”確定滿足題意的參數(shù)的值．|素養(yǎng)達成|1．對空間向量坐標運算的兩點說明(1)類比平面向量坐標運算：空間向量的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積與平面向量類似，學習中可以類比推廣．推廣時注意利用向量的坐標表示，即向量在平面上是用唯一確定的有序?qū)崝?shù)對表示的，即a＝(x，y)．而在空間中則表示為a＝(x，y，z)．(2)運算結(jié)果：空間向量的加法、減法、數(shù)乘坐標運算結(jié)果依然是一個向量；空間向量的數(shù)量積坐標運算的結(jié)果是一個實數(shù)．2．對空間兩個向量平行與垂直的兩點說明(1)類比平面向量平行、垂直：空間兩個向量平行、垂直與平面兩個向量平行、垂直的表達式不一樣，但實質(zhì)是一致的．(2)轉(zhuǎn)化：判定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對應(yīng)的方向向量是否平行或垂直．1．(題型1，2)已知a＝(2，－3，1)，則下列向量中與a平行的是

(

)A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)【答案】D【解析】若b＝(－4，6，－2)，則b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b．2．(題型2)已知點A(1，5，－