專題62猜想證明類問題（2）

【規(guī)律總結】

此類試題能比較系統(tǒng)地考查學生的邏輯推理能力、合情推理能力、發(fā)現(xiàn)規(guī)律

和關系的能力，以及運用所學知識和方法分析、解決數學問題的能力，對于猜想

證明類試題，由于題目新穎、綜合性強、結構獨特，具有較好的區(qū)分度，因此。

該類試題已逐步成為中考的一大熱點題型。猜想證明類試題的考查范圍有猜想命

題的規(guī)律或結論（不要求證明）與猜想命題的結論（要求證明）兩種。單純猜想

規(guī)律或結論的問題經常以填空、選擇題的形式作為壓軸題，解題時要善于從所提

供的數字或圖形信息中，尋找存在于個例中的共性，也就是規(guī)律。相對而言，猜

想命題的結論（要求證明）的試題難度較大，解答具體題目時往往是直觀猜想與

科學論證、具體應用相結合。

【典例分析】

例1.（2019?安徽九年級二模）如圖，在正方形ABCO中，分別是邊8CAB上的點，

且滿足BF=BE,連接CF,過點B作BGJ_CF,垂足為點G,連接DG,則下列說法不

正確的是（）

A.ZGBE=ZGCDB.GE=BED.DG1GE

【答案】B

【分析】

根據正方形的性質、等角的余角相等即可判斷A正確；根據B選項，判斷出E為BC中點,

與原題條件不?致,判斷8錯誤:證明AGBE^AGCD，判斷C選項正確;根據AGBESAGCD,

得出ZBGE=ZCGD,判斷。正確.

【詳解】

解：?.?四邊形A8CO是正方形,

ZBCD=90°,即ZBCG+ZGCD=90°,

■.BGYCF,

.-.ZGBE+ZBCG=90°,

:.NGBE=NGCD，

團A選項正確，不合題意；

團BGE1CF,

團回8GC=90°,

團團G8C+團8CG=90°,團BGE+團CGE=90°,

當GE=8E時，道BGE=?GBE,

團團EGC二團ECG,

0GE=CE,

團BE二CE,

即E為BC中點，

原題沒有此條件，團8選項不正確，符合題意;

-ZFBC=90°,BG1CF,

EHIFBG+EICBG=90°,E1F8G+團8FG=90°,

雕1C8G=^8FG,

:./SBF8ACBG,

,BGBF

??---=---,

CGBC

?;BF=BE，BC=CD,

穿=票’又/GBE=NGCD，

CGCD

:.△GBES^GCD,

.SGBE_(BE2

.,一_CD'

阿C選項正確，不合題意;

?;AGBEsAGCD,

.-.ZBGE=ZCGD,

-.■ZBGE+ZEGC=90°,

;.NCGD+NEGC=90°,即。G_LGE，

團。選項正確，不合題意;

故選：B.

【點睛】

本題考查的是相似三角形的判定和性質、正方形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質

定理是解題的關鍵.

例2.（2019?湖北隨州市?九年級學業(yè)考試）如圖，矩形ABCD中，AB=5,BC=3,點E在

邊AD上（不與A。重合），將矩形沿CE折疊，使點A,8分別落在點F,G處有下列結論:

①NFED與NGCD互余;

②若CD平分NECG,貝?。輙anZBCE=|

?AF4

③若直線FG經過點D,則——二—

ED5

④若直線FG交邊AD,CO分別于M,N,當匚OMN為等腰三角形時,五邊形ABCNM的

周長為116.其中正確結論的序號是.

【答案】①③④

【分析】

①根據折疊的性質知NG=N/=90°,轉化相關角度進行判斷：

②根據折疊的性質知NBCE=NECG,再根據CO平分NECG,從而得出ZBCE=60°,

從而求算正切值；

③直線FG經過點，此時AEED?ADGC,BC=CG=3,CD=5,從而求算。G,DF,

再根據相似求算EF,可得結論；

④當I3DMN時等腰三角形時，可得AMGC,ADMN均為等腰直角三角形，從而計算相應長

度，可得結論.

【詳解】

解：①根據折疊的知/6=//=90°

設NEEZ)=x°

04FNE=乙DNM=90°一x°,NDMN=NGMC=x0,ZGCD=90°-x°

0ZFED+ZGCD=90。，①正確；

②根據折疊的性質知ZBCE=NECG,再根據CO平分ZECG,

03ZECM=9O0即NECM=30°

0ZBCE=60°即tanN8CE=J5,②錯誤；

③宜線EG經過點D：

田8C=CG=3,C￡>=5

0DG=4,DF=l

回/尸=NG=ZADC=90。

0AEFD-ADGC

EFDFEF1聞四”4

0-----=------=>----=—解得：EF——

DGCG433

4

^\AE=EF=-

3

45

回ED-3—=—

33

0——,③正確：

￡05

B'

④當團DMN時等腰三角形時，可得AMGCADAIN均為等腰直角三角形，如圖:

團BC=CG=3

0MG=3,CM=3幾DN=DM=5-36,MN=夜（5-3底）=5夜一6

回五邊形ABCNM的周長=AB+8C+CM+MV+4V

=5+3+3&+5拒-6+3后-2

=11>/2④正確

故答案為：①③④

【點睛】

本題考查矩形折疊問題，同時與相似三角形、特殊角三角函數值、等腰三角形等相結合，轉

化相關的線段與角度之間的關系式解題關鍵.

例3.（2020?成都市錦江區(qū)四川師大附屬第一實驗中學八年級月考）如圖1,平面直角坐標

系中，直線丁=-；工+加交x軸于點A（4,0）,交v軸正半軸于點8,直線AC交v軸負半軸

4

于點C,且BC=AB.

y.

(1)求DABC的面積.

(2)P為線或AB(不含A,B兩點)上一動點.

①如圖2,過點P作y軸的平行線交線段AC于點Q,記四邊形APOQ的面積為S,點P的

橫坐標為t,當S=E時，求t的值.

2

②M為線段BA延長線上一點，且=在直線AC上是否存在點N,使得口？陌7是

以PM為直角邊的等腰直角三角形？若存在，度球寫出點N的坐標；若不存在，請說明理

由.

【答案】(1)10；(2)①1=1；②存在；f—1,--j,卜，萬

【分析】

(1)把A(4,0)代入產一%+機求出一次函數解析式為y=-%+3,得到B(0,3),根據

BC=AB=5,求出C(0,-2),求得5~肥=：8。。4=(乂5*4=10；

(2)①設尸［，一1f+3),利用待定系數法直線AC的解析式為y=；x—2,由

PQ=-(萬"2)=5-丁,根據S四邊形APOQ=S/XAOP+S“0G代入數值求出t

的值；

②如圖所示，當N點在x軸下方時，得到PM=AB=5,設N(a,；a-2),過P點作直

線MN'〃x軸，作NN'工MN,證明△AOB/APMM(A4S),得

到MM'=03=3，PA/'=Q4=4,再證明△PMV&Z\MPM'(AAS),得到

PN'=MM'=3,NN'=PM'=4,求得M'N'=7，作MH上NN'，則M/=l,根據

13

列得一。一1=一一（7+a）+3求出a得到

24

N（-l,一|）；當N點在x軸上方時，點N'與N（-l,一|）關于A（4,0）對稱，得到

N'2x4—（—1）,0—，即

【詳解】

（1）把A（4,0）代入＞=-^^+m得：陽=3,

3

一次函數解析式為y=-=x+3,

4

令x=0,得產3,

0B(O,3),

在中，ABr^O^+OB1.

回AB=5，

0BC—AB=5,

0C(O,-2),

回S"BC=gBCQA=gx5x4=10.

(2)①設P(f,-7+3),

EIP在線段A8上,

0O<r<4,

設宜線AC的解析式為丫=依+8，代入A(4,0),C(0,-2)得

0=4Z+b

[-2=0，

k=-

叫2,

b=—2

^y=1-x-2r,

乂I3PQZ7X軸，則一2}

團PQ=-$+3--2)=5-%,

?,?S四邊形AP3=S^AOP+S*02=gA。.|y/+5AO.同

=^AOPQ

團10-21="得t=i.

22

②如圖所示，當N點在％軸下方時,

^BP=AM-

^\BP+AP^AM+AP=AB，

0PM=AB-5>

回匚PMN是以PM為直角邊的等腰直角三角形，

當ZNPM=90°時，PN=PM=5,MN=4iPM=5及,

設N(a,/?！?J,

過2點作直線"''〃*軸，作腸0'，用可'，NN'1MN,

SZABO=ZPMM',

ZAOB=ZPM'M=90°

在口AO3與't1<NAB。=NPMM',

AB=PM

(A4S),

SMM'=OB^3,P”=OA=4,

0ZNPN'+ZMPM'=9()°,ZNPN'+ZN'NP=90°，

6ZMPM'=/N'NP,

ZN'NP=NMPM'

在AFW與中，，NPN'N=NMMP=90。，

PN=PM

6APNN'mAMPM'(AAS),

0PN'=MM'=3,NN'=PM'=4,

6MN=1,作MH人NN',則N”=l,

IZ1M(7+a,ga-l),

EIM在直線ABh,

13

0—6T-1=--(7+^)+3

"且』+3

244

55

—a=——

44

人-2」

22

0/v|-1,--

l2

當N點在x軸上方時，點N'與-關于A(4,0)對稱，

則N(2x4_(—l),0_(_g)，即N'(9,g),

綜上：存在一點N1-1,-g)或(9,|卜吏口尸";7是以MN為直角邊的等腰直角三角形.

【點睛】

此題考查一次函數的綜合題，待定系數法求函數解析式，直線所成三角形的面積，等腰直角

三角形的性質，勾股定理，三角形全等的判定及性質，中心對稱的點的性質，熟練掌握各知

識點是解題的關鍵.

【好題演練】

一、單選題

1.（2020?合肥市第四十六中學九年級月考）如圖，在AABC中，ZACB=90°，

A8=5,8C=3,p是48邊上的動點（不與點8重合），將A5CP沿CP所在直線翻折,

得到AUCP,連接8/,則下面結論錯誤的是（）

A.當=時，Aff/ZCP

B.當AP=BP時，BB'PC=2ZB'AC

17

C.當CP_LA6時，AP=g

D.8A長度的最小值是1

【答案】C

【分析】

A.根據折疊性質和三角形內角和定理可證團AB'PRJCPB’,從而可證AB'//CP;

B.根據折疊性質和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知PA=PB=PC=PB',A、B、C、

B'四點共圓，根據圓周角定理即可求出NB，PC=2/B'AC；

C.根據相似三角形的判定證得回PAC麗CAB,再根據相似三角形的對應邊成比例求得AP的值,

17

即可判斷=M錯誤；

D.根據兩點之間線段最短，求得EA長度的最小值，即可判斷此結論正確.

【詳解】

在13ABe中，0ACB=9O°,AP=BP,

0AP=BP=CP,0BPC=(180°-ZAPB')

由折疊的性質可得

CP=B'P,0CPB'=E1BPC=^(180°-ZAPB')

0AP=B-P,

H3AB'P=E]B'AP=g(1800-ZAPB')

00AB'P=I3CPB'

0AB,//CP

故A正確;

0AP=BP,

0PA=PB=PC=PB,

回點A,B',C,B在以點P為圓心，PA長為半徑的圓上

由折疊的性質可得BC=B'C,

⑦BC=B'C

00B'PC=2回B'AC

故B正確：

當CPI3AB時,0APC=0ACB

aaPAC=!3CAB

00PAC00CAB

APAC

團----=----

ACAB

團在Rt0ABC中，AC=1AB1_BC2=4

…AC?16

0AP=-------=—

AB5

故C錯誤；

由軸對稱的性質可知：

BC=CB'=3

回CB'氏度固定不變，

回當AB'+CB'有最小值時，AB'的長度有最小值

根據兩點之間線段最短可知：

當A、B'、C三點在一條直線上時，AB'有最小值,

?AB'=AC-B'C=4-3=1

故D正確

故選：C

【點睛】

本題考查折疊的性質、勾股定理、相似三角形的判定及性質、圓周角的定理，根據折疊性質

得出相等的線段或相等的角是解決問題的關鍵.

2.（2019?浙江杭州市?八年級期末）如圖，已知：在等腰Rt4ABC中，ZBAC=90°,BE

平分NA8C,交AC于F,且CELBE于點E,BC邊上的中線AD交8E于G,連接DE,則

下列結論正確的是（）

@AG=AF；（2）DE//AB；③BF=2CE；@AB+AF>BC；⑤BG=6CE

A.①②③④B.①②③⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

【答案】B

【分析】

過點F作FP團BC于點P,延長BA,CE交于點H,通過證明E）AGF=EIAFG判斷①；再證明EIABEWBED,

根據平行線的判定得到②；再通過證明證明ElABFEBACH得到BF=CH,從而證明加EBEBCEB,

得到CE=EH,可判斷③；證明Rt0ABF0Rt0PBF,得到AB+AF=BP+FP,再通過說明EIFPC是等腰

直角三角形得到FP=CP,即可判斷④;最后證明回ABF甌DBG,得到BG和BF的比，利用BF

和CE的關系判斷⑤.

【詳解】

解：過點F作FP回BC于點P,延長BA,CE交于點H,

回BE平分NA8C,[3ABC為等腰直角三角形，D為BC中點，

00ABF=0CBF=22.5°,AF=PF,

00BGD=0AGF=0AFG,

EIAG=AF,故①正確，

a3BEC=90°,D為BC中點，

0DE=BD=CD,

H3BED=I3DBE=22.5°=圓ABE,

0AB0DE,故②正確，

EBCAH=EIBAF=[3BEC=90°,

00ACH+EH=9OO,0ABF+OH=9O°,

H3ACHM3ABF,

在EIABF和EIACH中，

NABF=NACH

<AB=AC,

NBAF=NCAH

00ABF00ACH(ASA),

(3BF=CH,

0BE平分EIABC,

00HBE=0CBE,

H3BEC=90°,

a2BEC=ElBEH=90°,

在IBHEB和回CEB中，

ZHBE=ZCBE

<BE=BE,

NBEH=ZBEC

0E1HEB(33CEB(ASA),

0CE=EH,

0CH=2CE,

0BF=2CE,故③正確,

在Rt0ABF和Rt0PBF中,

AF=PF

BF=BF'

0Rt0ABFEIRtl3PBF(HL),

?AB=PB,

在EIPFC中，0BCF=45°,0FPC=9O°,

0FP=CP,

BP+CP=BP+FP=BC=AB+AF,故④錯誤,

0(3ABG=SCBG,13BAF=0GDB=9O",

EBABFaaDBG,

0—=-^-=—,即BF=0BG,

BDBG\

又用BF=2CE,

0BG=V2CE,故⑤正確.

故選B.

H

A

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角二角形的性質,

角平分線的性質，綜合性較強，解題的關鍵是結合所學知識逐項判定各選項，并且利用已經

證明的結論來證明未知的結論.

二、填空題

Q

3.（2020?長沙市中雅培粹學校九年級月考）已知點A（a力）是反比例函數），=、（x>0）圖

象上的動點，A8Z7X軸，AC〃丁軸，分別交反比例函數y=；（x>0）的圖象于點3、C,

交坐標軸于。、E，且AC=3CD,連接3C.現(xiàn)有以下四個結論：①攵=2；②在點A運

動過程中，AABC的面積始終不變；③連接DE,則3C0DE；④不存在點A,使得

其中正確的結論的序號是.

【答案】①②③

【分析】

①由反比例函數圖象上點的坐標特征用函數a的代數式表示出來b,并找出點C坐標，根

據AC=3CD,即可得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出結論；

②根據①得出A、C的坐標，由AB0X軸找出B點的坐標，由此即可得出AB、AC的長度,

利用三角形的面積公式即可得出結論；

4828

③己知B（一,-）,C（a,-）,D（a,0）,E（0,一）四點坐標，B、C、D、E四點坐標，經過B、C兩

4aaa

2_8

二-58__n

點的直線斜率"幺」=--7，經過D、E兩點的直線斜率k2=a8，得出匕=網,

aa-------=—7

a--0_Qa2

4

即3CZ7DE

AiiA.r

④先假設入48。5八。即，得到對應邊成比例無=卷，列出關于a的等式，看a是

否有解，即可求解.

【詳解】

Q

①回A(a,b),且A在反比例函數y=-(x>0)的圖象上,

,8

團A=一

a

ElACEly軸，且C在反比例函數y=f(x>0)的圖象上，

k

0C(a,-)

a

乂團AO3CD,

8人k

@AD=4CD,即nn一=4?一

aa

團k=2.

故①正確

82

②由①可知：A(a—),C(a,—)

zaa

0AB0X軸，

Q

0B點的縱坐標為一，

a

2

團點B在反比例函數y=一的函數圖象上，

x

82ia

ax4

,a8

團點B(—,一),

4a

0AB=a=—,AC=--------=-

44aaa

113。69

團S二—ABxAC=—x——x—=—

224。4

9

回在點A運動過程中，MBC面積不變，始終等于一

4

故②正確

③連接DE,如圖所示

a82

0B(—,—C(a,—)

4aa

2_8

88

回經過B、(：兩點的直線斜率卜=金上=---

團軸，4?！▂軸

8

0D(a,O),E(0,-)

a

8_0

回經過D、E兩點的直線斜率k2=q一一8

八一2

()-aa

回A】=&，即BC□DE

故③正確

④假設AABCSAOED

ABAC

目---=----

OEOD

AB_a~^_3a2

~OE~8~^2

a

6

ODaa2

n3a26

32a2

解得a=2n

回當a=2正時，Z\BCsXJED

故④錯誤

故答案為：①②③

【點睛】

本題是反比例函數的綜合題目，考查了反比例函數性質，相似三角形的性質，一次函數斜率

求法.

4.(2019?武漢二中廣雅中學八年級期中)如圖1,矩形ABC。，AB=4,BC=46.

(1)直接寫出：M8D=度；

(2)將矩形ABC。沿BD剪開得到兩個三角形，按圖2擺放：點A與點C重合，CD落在AD，

上，直接寫出BO與夕h的關系：；

D'

(3)在圖2的基礎上將EZ187r向左平移，點夕與8重合停止，設AC=x,兩個三角形重合

部分的封閉圖形的周長為y,請用x表示y：—.

x+^-x+S

(0<x<4-

3

-4+8-V3+—x-—(4-^^<x<4)

263

【答案】60BD=B'D',BD^B'D'

8+473-—(4<X<4A/3)

26

12+8>/3—x-----x(4>/3<xW4+4-\/3)

22

【分析】

(1)解直角三角形即可解決問題.

(2)結論：BD團B'D',BD=B'D'.利用"8字型"證明團DHD'二團BAD=90°即可.

(3)分四種情形①如圖3-1中，當0<x44-gG時，重疊部分是四邊形ACDH.②如圖

3-2中，當4-16<x44時，重疊部分是五邊形ACMNH.③如圖3-2中，當時，

.重疊部分是五邊形ACMNH.如圖3-4中，當46<X<4+46時，重:疊部分是回BB，H.分別

求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖1中，

圖1

13四邊形ABCD是矩形,

00A=9O°,AD=BC=4石，

0tanl3ABD=—==百，

AB4

H3ABD=60°,

故答案為：60.

(2)結論：BD12B'D',BD=B,D,.

理由：如圖2中，延長BD交DB于H.

BA(C)B

圖2

團團B=[3D',□BDA=[3HDD/,

00BAD=EJDHD=9OO,

團BD團BB.

0BD與BTT為矩形的對角線，則BD=B/D,；

故答案為：BD=B/D/,BD0B/D\

（3）①如圖3-1中，當OVxF-gg時，重疊部分是四邊形ACDH,

由題意：AB=4^3—X，AH=^-AB=4-—x,

33

0AH0CD,

AHBH

團---=---，

CDBD

Si4~^~x_BH,

4-

3

0DH=8-(8-—.r)

33

，4/7,2A

y=x+4+-----『-----1—\]3x

v33

=x+4+4-—x+-\/3x

33

=x+——x+8；

3

②如圖3-2中，當4-1百Vx“時，重疊部分是五邊形ACMNH.

圖3?2

y=x+4^TX+(473-4^-X)x-+^(4-x)+(2+2^--x-84-2x)

x/322

=x+4--X+2A/3-2+—x+4>/3-A/3X+—x+2V3-6

362

=-4+8A/3+-^--73X；

26

③如圖3-3中，當4Vxs46時，重疊部分是四邊形AB，NH.

圖3-3

4X4X

^=4+^J+-(4>/3-^V)4--(4+4>/3-X)

V32V32

=4+4-—x+2^-2+—X+2+2A/3--X

362

i巧

=8+4>/3——jc-—x；

26

④如圖3-4中，當4&vxW4+4G時'，重疊部分是團BB，H.

圖33

y=[4-<x-473)]?[l+^+

=(4+46-x)?(藥嗎

2

=12+8^--%--X：

22

/x+8

(0<x<4-

3

—4+8^3-I—x—\[?>x(4-------<x44)

263

故答案為：y="

8+4>/3—?—x----x(4<x<4\/3)

12+8V3--X--x(4A/J<XW4+4揚

22

【點睛】

本題屬于四邊形綜合題，考查了平移變換，多邊形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握基

本知識，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

三、解答題

5.（2020?溫嶺市實驗學校九年級月考）如圖1,在正方形ABCD中，AB=8,點E在AC上,

且AE=272＞過E點作EF0AC于點E,交AB于點F,連接CF,DE.

［問題發(fā)現(xiàn)］

（1）線段DE與CF的數量關系是一，直線DE與CF所夾銳角的度數是；

［拓展探究］

（2）當回AEF繞點A順時針旋轉時，上述結論是否成立?若成立，請寫出結論并結合圖2給

出證明；若不成立，請說明理由；

［解決問題］

（3）在（2）的條件下，當點E到直線AD的距離為2時，請直接寫出CF的長.

【答案】（1）CF=V2DE,45°.（2）成立.理由見解析；（3）4瓦或46.

【分析】

（1）延長DE交CF的延長線于T,證明EIFACBBEAD可得結論.

（2）成立.如圖2中，延長DE交CF于T,證明laFACEBEAD可得結論.

（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用勾股定理求解即可.

【詳解】

解：(1)延長DE交CF的延長線于T.

團四邊形ABCD是正方形,

00DAC=0CAF=45",AC=72AD,

E)AF=0AE,

AFAC

團----=-----

AEAD

EBFACaSEAD,

FCAFrr

團.....-.....=yj2，0ACF=l21ADE,

EDAE

0CF=V2DE,

00AED=0CET,

0(3T=0EAD=45<>,

故答案為CF=V^DE,45°.

(2)成立.理由：如圖2中，延長DE交CF于T.

甌EAF二團DAC=45°,

00DAE=aCAF,

AFAC

0--=--

AEAD

REAFCREAED,

FCACrr

0——=——=V2,BACF=0ADH,

EDAD

HCF=72DE,

0I3AHD=0THC,

03CTD=EIDAH=45°.

(3)如圖3-1中,作EJ0AF于J.

圖3-1

I3AE=EF=20,?AEF=90°,日21AF,

|3AF=4,FJ=JA=2,

1

0EJ=—AF=2,

2

團點E到直線AD的距離為2,

即，A,D共線，CFVCD:+DF?=幅+密=4屈，

如圖3-2中，當點E在直線AD上方時，同法可得CF=JC￡>2+DF?7g+42=4亞，

圖3-2

綜上所述，滿足條件的CF的值為4