2022年度北京孝義營中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.函數(shù)y=V2cosx+l的定義域是()

I_1I]■JI

[2kK--,2kK+—](k€Z)R[2kK--,2kK+—](k€Z)

A.33B.66

⑵冗+：，2k冗+寫](k€z)[2k冗-差，2k冗+左](k€Z)

JJD?3J

參考答案：

D

【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法.

【分析】直接求無理式的范圍，解三角不等式即可.

【解答】解：由2COSX+1M得ex)*,產(chǎn)冗一卷4x42k兀筲，舊.

故選D

2.已知口三個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，^BAC=9Q*,AB=AC=2t若球心

到

平面ABC距離為1,則該球體積為()

A.26rB.c.6^5”D.

參考答案：

B

3.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所

1

-X

用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=2(弦X矢+矢2),弧田是由圓弧(簡稱為弧田弧)和以圓

弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(簡稱為弧田弦)圍成的平面圖形，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，

2x

“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角T,半徑為4米的弧HI,則按上述

經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田的面積約是平方米（注：4m*-）

A.6B.9C.10D.12

參考答案：

B

x

由題意得，圓心到弦的距離為‘方-，所以矢為2;又弦長為2'、：42-22相3,

I匚

.、”4173+2=8927辿。

...弧田的面積為:?功iD.

4.下列等式成立的是

A.“6=0高

/11*.2M

cX--

參考答案:

C

5?己知上，】，函數(shù)y=a"與y=k>g式?乃的圖象只可能是（）

參考答案:

B

6.集合SA?的非空子集個(gè)數(shù)

為

()

A.5B.6C.7D.8

參考答案：

C

略

7.函數(shù)y=3兇()

A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8.0)上單調(diào)遞增

B.是偶函數(shù)，在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減

C.是奇函數(shù)，在區(qū)間(°，*°)上單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0?鐘)上單調(diào)遞減

參考答案：

B解析：令〃乃=3忖./(一刀)=電卜x|=lg|x|=/(x),即為偶函數(shù)

令"=k|.x<o時(shí)，〃是x的減函數(shù)，即>=igN在區(qū)間(-8.0)上單調(diào)遞減

8.已知向量！=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(彳-之)〃E,則k的值為

()

A.-15B.1C.5D.21

參考答案：

C

【考點(diǎn)】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，由向量W、3的坐標(biāo)計(jì)算可得3的坐標(biāo)，又由(W-3)/、,則有

3(3-k)=(-6)XI,解可得k的值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，向量1(3,1),W=(k,7),

則W-W(3-k,-6),

若(a-c)〃b,則有3(3-k)=(-6)XI,

解可得:k=5；

故選：C.

9.等腰三角形一腰上的高是后，這條高與底邊的夾角為60°,則底邊長為()

A.2B.2C.3D.2也

參考答案：

D解析：作出圖形

10.已知函數(shù)f(x)=-2x2+4x在區(qū)間[m,3]上的值域?yàn)閇62],則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()

A.[1,3)B.[-1,3)C.(-1,1]D.[-1,1]

參考答案：

D

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】畫出函數(shù)的圖象，然后轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：函數(shù)f(x)=-2x2+4x在區(qū)間[m,3]上的值域?yàn)閇-6,2],函數(shù)的圖象如圖：可

知：mG[-l,1].

故選：D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，BC=3BD,AD='?2,ZADB=135°.若AC=及AB,貝BD=

參考答案：

2+心

/(x)=2m?|4x+—|X

12.將函數(shù)I3J的圖象向6平移片個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到

原來的2倍，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)y=g(x)的說法正確的序號(hào)

是—.

xe(1—1r-x

(1)當(dāng)L2J時(shí)，函數(shù)有最小值一J3

；(2)圖象關(guān)于直線12對(duì)稱；

工口

(3)圖象關(guān)于點(diǎn)I121對(duì)稱；(4)在I63J上是增函數(shù).

參考答案：

(1)、(2)

【分析】

由三角函數(shù)圖象的變換及三角函數(shù)圖象的性質(zhì)逐一判斷即可得解.

/(x)=2j?if4x+^1

【詳解】由已知將函數(shù)I3J的圖象向右平移6個(gè)單位，得函數(shù)解析式為

常J*

一二?———

h(x)=2sin[4(x6)3]=2sin(4x3),

再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y=g(X)的圖象，則g(x)=2sin

(2X-3),

0,2Ir-

對(duì)于(1),當(dāng)xeL'菱J時(shí)，2X-3e[-3,T],函數(shù)有最小值即(1)正確,

xxkx5xx

——二———?—x=——

對(duì)于⑵，令2X3k2,則x212,即k=-l時(shí)，圖象關(guān)于直線12

對(duì)稱，即（2）正確,

nkxnkxir_

—————+———*fr—,0

對(duì)于（3）令2x3k兀，則x26,即圖象關(guān)于點(diǎn)（26）對(duì)稱，即（3）

錯(cuò)誤，

+如

對(duì)于（4）令2k?t22x32,解得kit12x<k?t12,即函數(shù)在

.上不單調(diào)，即（4）錯(cuò)誤，

綜上，關(guān)于函數(shù)y=g（x）的說法正確的序號(hào)是（1）、（2）,

故答案為：（1）、（2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的變換及三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟記基本性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)

算是關(guān)鍵，屬中檔題.

13.已知函數(shù)/（x）=^smx+力8SX,且,才是它的最大值，（其中，八〃為常數(shù)且

*=0）給出下列命題:

/（x+—）②函數(shù)/*）的圖象關(guān)于點(diǎn)‘7,”對(duì)稱;

①4是偶函數(shù);

〃一羽

③,2是函數(shù)/（>）的最小值;

④記函數(shù)/Q）的圖象在3軸右側(cè)與直線5的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次記為

4,舄，舄，?…,則I月月卜”;

竺=1

其中真命題的是.（寫出所有正確命題的編號(hào)）

參考答案：

①②⑤

略

14.若用列舉法表示集合人=以x<5,xGN*},則集合A=

參考答案:

{1,2,3,4)

【考點(diǎn)】集合的表示法.

【專題】集合思想；綜合法；集合.

【分析】通過列舉法表示即可.

【解答］解：A={x|x<5,XGN*}={1,2,3,4),

故答案為：{1,2,3,4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的表示方法，是一道基礎(chǔ)題.

X—Z?一，

15.已知函數(shù)aa為常數(shù))在區(qū)間［一1.01上的最大值為1,則片▲.

參考答案：

-2

("2開"

—_a=———<(X<一

16.已知■4/3,42,貝ijsma=.

參考答案：

略

/(x)=iogj(2+x-xJ)

17.函數(shù)J的單調(diào)遞減區(qū)間是.

參考答案:

(-1.

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（12分）醫(yī)學(xué)上為研究某種傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞

注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測，病毒細(xì)胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表.已

知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡.但注射某種藥物，將

可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.

（I）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確

到天）

（II）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）

（參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.4771）

天數(shù)x病毒細(xì)胞總數(shù)y

11

22

34

48

516

632

764

參考答案：

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題.

專題：計(jì)算題.；應(yīng)用題.

分析：（I）由題意病毒細(xì)胞總數(shù)y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=21（其中xEN-），

解不等式由2…〈10',即可求得結(jié)果；（II）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)

胞為226義2%,則再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為*X2%X2'，由題意解不等式

22eX2%X2x^108,即可求得結(jié)果.

解答：（I）由題意病毒細(xì)胞總數(shù)y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=2-（其中xGN*）,

（3分）

O

xW---H=2752

則由2-Wl（A兩邊取常用對(duì)數(shù)得（x-1）lg2W8,從而lg2.2°（6分）

即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.（7分）

（II）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為*X2%,（8分）

再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為226X2%X2\（10分）

由題意2把義2%*2￡10',（11分）

兩邊取常用對(duì)數(shù)得261g2+lg2-2+xlg2<8,解得xW6.2（13分）

故再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物.（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題一建模一解模一還原四個(gè)過

程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考

慮.將實(shí)際的最大（?。┗瘑栴}，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┦亲顑?yōu)化問

題中，最常見的思路之一，同時(shí)考查學(xué)生的閱讀能力和計(jì)算能力.

19.某城市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：①起步價(jià)3km（含3km）為10元；②超過3km以外的路

程按2元/km收費(fèi)；③不足1km按1km計(jì)費(fèi).

（1）試寫出收費(fèi)y元與x（km）（0<xW5）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若某人乘出租車花了24元錢，求此人乘車?yán)锍蘹km的取值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可試寫出收費(fèi)y元與x(km)(0<xW5)之間的

函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)分段函數(shù)，求出當(dāng)y=24時(shí)的解即可.

【解答】解：(1)根據(jù)條件可得收費(fèi)y元與x(km)(0<xW5)之間的函數(shù)關(guān)系式為

'10,0<x<3…(3分)

y=<12,3<x<4…(6分)

14,4<x<5…(吩).

(2)：24>10,...此人乘車?yán)锍蘹>3,

則由題意得24-10=14,

則14+2=7,即此人最多車程為3+7=10km,最小為10-1=9,

即9VxW10.

20.(本題滿分14分)如圖1所示，四邊形力面是矩形，點(diǎn)力、C的坐標(biāo)分別為(3,

0),(0,1),點(diǎn)〃是線段比上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)氏C不重合)，過點(diǎn)〃作直線y=—

1

-X

2交折線。48于點(diǎn)發(fā)

(1)記朦的面積為S,求S與3的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)點(diǎn)〃在線段如上時(shí)，若矩形物比關(guān)于直線班■的對(duì)稱圖形為四邊形。45G,試探

究以G與矩形04%的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面

積；若改變，請(qǐng)說明理由。

參考答案:

(1)由題意得B(3,1).

3

若直線經(jīng)過點(diǎn)1(3,0)時(shí)，則6=5...............1分

5

若直線經(jīng)過點(diǎn)8(3,1)時(shí)，則6=5..............1分

若直線經(jīng)過點(diǎn)C(0,1)時(shí)，則力=1..............1分

3

①若直線與折線以6的交點(diǎn)在功上時(shí)，即1</<受，如圖25-a,

此時(shí)￡(2b,0)

2j

:.s=5OE'C0=2X2Z?X1=Z>2分

35

②若直線與折線。16的交點(diǎn)在加上時(shí)，即如圖2

此時(shí)￡(3,"/,〃(2?2,l)ks5u

??S—S矩一(S^o:?+S&ms+Sc^nue)

12?…

=3-[2(2b-l)X1+2X(5-26)?(2)+2X3(2)]=2

2分

3

1vbS-

2

-b-b2-3<b1<-5

12221分

(2)如圖3,設(shè)Q4與〃相交于點(diǎn)M,力與G合相交于點(diǎn)N,則矩形OABG與矩形

勿固的重疊部分的面積即為四邊形&VEV的面積。

由題意知，DM//NE,DN//ME,四邊形加密/為平行四邊形........1分

根據(jù)軸對(duì)稱知，ZMED=2NED

又4MDE=4NED,:./MED=NMDE,：.MD=ME,，平行四邊形〃忸/為菱形.

1分

過點(diǎn)〃作也物，垂足為"

1

由題易知，tanNDEN=2,DH=1,：.HE=2,..............1分

設(shè)菱形DNEM的邊長為a,

_5

則在Rt△〃用/中，由勾股定理知：1=(2-。尸+】\-一彳........1分

5

.SKiUK.NE?DH=4

5

...矩形而歸G與矩形如比的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為4.

.............2分

ae(—,n)

21.(本小題滿分12分)已知6rsin3a-smacosa-cos2a=0,2,求

$in(2a+—)

6的值.

參考答案：

解:由已知得(3sina+cosaX2sma-cosa)=°

即3sina+cosa=0或2sina-co$a=0...............3分

aw(一同

因?yàn)?,所以cosctHO,tana<0.

1

tana=——

所以3.5分

$in(2a+-)=sin2acos-+co$2a$in-=sinacosa+-(cos2a-sm2a)

6662

召sinacosaJcos2a-$m2a

cos2a+sin5a2cos2sin2a

V3tan+11-tan2a

1+tan2a21+tana.

9分

1

tana--

將3代入上式,

1-(■乎4-3召

0打、4TLi___

sin(2a+?=-----T—工-------

1+(-；尸萬1+(-，10

得