2024年初升高數(shù)學(xué)全體系銜接

專題05二次函數(shù)的三種表示方式

Z屢.徐述

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是高考必考內(nèi)容，同時(shí)還是一個(gè)研究函

數(shù)性質(zhì)的很好的載體，因此做好二次函數(shù)的初高中銜接至關(guān)重要，初中階段對(duì)二次函數(shù)的要求，是立足于

用代數(shù)方法來(lái)研究，比如配方結(jié)合頂點(diǎn)式，描述函數(shù)圖象的某些特征(開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最

值)等；再比如待定系數(shù)法，通過(guò)解方程組的形式來(lái)求二次函數(shù)的解析式.

高中的函數(shù)立足于集合觀點(diǎn)，對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)要求明顯提高，二次函數(shù)的研究更側(cè)重于數(shù)形結(jié)合、分類

討論等思想方法.

*程要求

《初中課程要求》了解了一些簡(jiǎn)單函數(shù)圖象的變換，如左加右減之類的水平平移，

還了解了些簡(jiǎn)單的對(duì)稱變換

《高中課程要求》掌握各種平移變換，如左加右減的水平平移，上加下減的垂直平

移，還要掌握各種對(duì)稱變換，特別是關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸的對(duì)稱變

換

知擁福餅

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:一般式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為一般式：y=ax2+bx+c(a^O);

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：頂點(diǎn)式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(力，k).

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：交點(diǎn)式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為交點(diǎn)式：y=a(x—x\)(x—X2)(^0),其中xi,X2是二次函數(shù)圖

象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

典例周折

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:一般式

【典型例題】

已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=-1,且過(guò)點(diǎn)（-3,0）,（0,-3）.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（2）已知點(diǎn)（m,k）和點(diǎn)（n,k）在此拋物線上，其中mwn,請(qǐng)判斷關(guān)于t的方程F+mt+n=0是否有實(shí)數(shù)

根，并說(shuō)明理由.

【變式訓(xùn)練】

拋物線的圖象如下，求這條拋物線的解析式。（結(jié)果化成一般式）

【能力提升】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1=：/先向右平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線力.

（1）求拋物線丫2的解析式（化為一般式）；

（2）直接寫出拋物線內(nèi)的對(duì)稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積.

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：頂點(diǎn)式

【典型例題】

13

已知二次函數(shù)y=--x2+x+-.

22

⑴用配方法將此二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式；

⑵求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程.

【變式訓(xùn)練】

已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)(1,-6),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【能力提升】

二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,-3),5(2,-3),C(-LO).

(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)求此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向暈少平移一個(gè)單位，使得該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn).

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：交點(diǎn)式

【典型例題】

2

已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x+2x+2k-2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

(1)求k的取值范圍；

(2)當(dāng)k取正整數(shù)時(shí)，請(qǐng)你寫出二次函數(shù)y=x2+2x+2k-2的表達(dá)式，并求出此二次函數(shù)圖象與x軸的

兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練】

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-8),對(duì)稱軸是直線x=-2,此時(shí)拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間距離為6.

⑴求拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求拋物線的解析式.

【能力提升】

已知二次函數(shù)y=x2-4x+3.

（1）求該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)；

（2）在所給坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的大致圖象，并寫出當(dāng)yVO時(shí)，x的取值范圍.

對(duì)點(diǎn)晶在

1.已知拋物線y=o?+bx+c（。，b，，是常數(shù)，“<0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,0）,其對(duì)稱軸為直線x=2.有下

列結(jié)論：①4a+A=0；（2）9a+c>3b；③關(guān)于x的方程以？+法+c+3=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.其中,

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.如圖是二次函數(shù)丁="/+反+。（。，b，。是常數(shù)，。工0）圖象的一部分，與X軸的交點(diǎn)A在（2,0）

和（3,0）之間，對(duì)稱軸是直線x=l.對(duì)于下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.ab<0B.2a+b=0

C.3Q+C>0D.a+b>m^am+b）（加為實(shí)數(shù)）

3.已知拋物線）'=（"2+1）/一2〃吠+加一2與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)a，O）,（x”O(jiān)）,現(xiàn)有如下結(jié)論：①此拋物線

過(guò)定點(diǎn)（1,一1）；②若拋物線開(kāi)口向下，則m的取值范圍是一2（機(jī)<—1；③若加>一1時(shí)，有—2<%<—1,

21

1<X<2,則m的取值范圍是一—</〃<一.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

294

A.0B.1C.2D.3

4.二次函數(shù)y=ax2+/zx+c（a,仇c,為常數(shù)，且aH0）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表：

X-i013

y-i353

下列結(jié)論：①ac<0；②當(dāng)x>l時(shí);V的值隨x值的增大而減??；③當(dāng)x=1.5時(shí)，函數(shù)有最值；④3

是方程—l）x+c=O的一個(gè)根；⑤當(dāng)-l<x<3時(shí)，ax2+（b-l）x+c>0.其中結(jié)論正確的有（

）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

5.如圖是拋物線尸加+加+4”0）,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為。,〃），且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3,0）和（4,0）之間，

下列結(jié)論：

①〃>0；

②2。+Z;=0；

③4a-2Z?+cv0；

④Q+Z?+C>0；

⑤關(guān)于x的方程0=依2+〃x+c的另一個(gè)解在—2和—3之間，

6.二次函數(shù)y+/?x+c的最大值為a—8+c,且〃（一4,c）,N（—3,〃2）,P（l,〃2）,Q（2,〃），R（3,/2+l）

中只有兩點(diǎn)不在該二次函數(shù)圖象上，下列關(guān)于這兩點(diǎn)的說(shuō)法正確的是（）

A.這兩點(diǎn)一定是M和/VB.這兩點(diǎn)一定是Q和R

C.這兩點(diǎn)可能是M和QD.這兩點(diǎn)可能是P和Q

7.二次函數(shù)yua—by+A+i的圖象與一次函數(shù)y=-x+5（—l?xW5）的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則b的取值范

圍是（）

17C.…或D.”的

A.b<-AB.b>——

888

8.函數(shù)^=。尤2+少尤（a,b,c為常數(shù)，的圖象與x軸交于點(diǎn)（2,0）,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,〃），其中

n>0.有下列結(jié)論：①出2c>0；②函數(shù)^=0?+笈+。在》=1和》=—2處的函數(shù)值相等；③點(diǎn)

N（X2，%）在函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上，若一3<%|<1<%，則乂〉%.其中，正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

9.如圖是二次函數(shù)了=℃2+匕龍+，（。，匕，c是常數(shù)，圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)（2,0）

/、3

和（3,0）之間,對(duì)稱軸是直線x=1,對(duì)于下列說(shuō)法:①次七<0；②匕>a+c；③3a+c>0；④當(dāng)-

時(shí)，y>0；（5）a+b>m（am+b^（加為實(shí)數(shù)）.其中正確的是（）

c.②③④D.③④⑤

10.已知拋物線y=-x2+（6-2m）X-/TJ2+3的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，當(dāng)x>2時(shí)，y的值隨著x值的增大

而減小，點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)P的縱坐標(biāo)為3若仁3,則m的取值范圍是（）

33

A.m>—B.—<m<3C.m<3D.l<m<3

22

11.已知二次函數(shù)y=4x2-mx+5,當(dāng)X4-2時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)應(yīng)-2時(shí)，y隨x的增大而增大,

則當(dāng)x=l時(shí)，y的值為

12.拋物線曠=初/+。-4加）％+1—5m一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)「，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

13.拋物線y=-V+2x-?+5逑象與X軸無(wú)交點(diǎn)，則。的取值范圍為；

14.拋物線y=ax2+ax+2(oxO)的對(duì)稱軸是直線.

15.二次函數(shù)y=ar2+bx+c的圖象如圖所示，則下列四個(gè)結(jié)論：

①4>0；②c<0；(3)a+b+c<0；④4ac>0.其中正確的有.(填寫番號(hào))

24

16.從--1，彳，2,5中任取一數(shù)作為a的值，能使拋物線y=ax2+8x+c的開(kāi)口向下的概率為一

17.拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=-1,圖象過(guò)(1,0)點(diǎn)，部分圖象如圖所示，下列判斷：①a

bc>0；②"-4ac>0；③5。-2b+c<0；④若點(diǎn)(-0.5,yi),(-2,/2)均在拋物線上，則yi>y2,其中

正確判斷的序號(hào)是.

18.二次函數(shù)y=—Y+2(a+l)x+l,當(dāng)時(shí)，V的最小值為1,則。的取值范圍是.

19.二次函數(shù)y=ax2+bx+c("0)的部分圖象如圖所示，圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),對(duì)稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:

(1)4o+b=0；(2)9a+c>-3b；(3)7a-3b+2c>0；(4)若點(diǎn)A(-3,y。、點(diǎn)8(-g,九)、點(diǎn)C(7,y3)

在該函數(shù)圖象上，則yi<y3〈y2；(5)若方程a(x+1)(x-5)=-3的兩根為xi和X2,且xi<X2,則xi<

-1<5<X2,其中正確的結(jié)論有.

20.拋物線yuaf+bx+c的頂點(diǎn)為。（一1,2）,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（一3,0）和（—2,0）之間，則以下

結(jié)論：@b2-4ac<0;（2）a+h+c<0-③c-a=2；④方程分之+法一2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，其中正確結(jié)論為.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線G:y=ar2—2辦+4（。工0）.

°y

4-

3-

2-

1-

012345x

(1)當(dāng)a=1時(shí),

①拋物線G的對(duì)稱軸為x

②若在拋物線G上有兩點(diǎn)（2,%）,（m,y2）,且必〉%，則用的取值范圍是

（2）拋物線G的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)M與點(diǎn)A關(guān)于V軸對(duì)稱，將點(diǎn)M向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)

B，若拋物線G與線段A3恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象，求。的取值范圍.

22.平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=V一2以一1為常數(shù)）的圖象與>軸交于點(diǎn)A.

（1）直接寫出A點(diǎn)坐標(biāo).

（2）當(dāng)此函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）時(shí)，求此函數(shù)表達(dá)式，并寫出函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍.

（3）當(dāng)xNO時(shí)，若函數(shù)丫=/一2以一1（。為常數(shù)）圖象最低點(diǎn)到直線y=2a的距離為3,求。的值.

23.已知函數(shù)卜=。忖-2|+x+Z?（。，為常數(shù)）.當(dāng)x=3時(shí)，y=0,當(dāng)x=0時(shí)，>=—1,請(qǐng)對(duì)該函

數(shù)及其圖象進(jìn)行探究：

(1)Q=,b=；

(2)請(qǐng)?jiān)诮o出的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象，并結(jié)合所畫圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì).

(3)已知函數(shù)y=-f+4x+5的圖象如圖所示，結(jié)合圖象，直接寫出不等式—2|+x+〃Z—f+4%+5

的解集.

24.已知二次函數(shù)^=-%2+2g一〃/一機(jī)+2(〃z是常數(shù)).

(1)若該函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求加的取值范圍；

(2)求證：不論加為何值，該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)都在函數(shù)y=-x+2的圖像上：

(3)Q(w，%)是該二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)1＜玉＜馬時(shí)，都有為＜X＜1，則加的取值范

圍是.

25.已知拋物線y=/nd+2H7X+〃L一2.

(1)求此拋物線的對(duì)稱軸；

(2)若此拋物線的頂點(diǎn)在直線y=2x+6上，求拋物線的解析式；

(3)若點(diǎn)A(a,yQ與點(diǎn)8(3,%)在此拋物線上，且以＜%，求°的取值范圍.

26.已知拋物線y=。無(wú)2_2公-2+342.

(1)求該拋物線的對(duì)稱軸;

（2）若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求其解析式；

（3）當(dāng)。>0時(shí)，若A（m—1,凹）,3（1,%）,。（加+2,%）為該拋物線上三點(diǎn)，且總有必〉％〉為，請(qǐng)結(jié)

合圖象直接寫出m的取值范圍.

27.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知拋物線丁=以2一2歐+。與直線丁=-3有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）直接寫出拋物線的頂點(diǎn)。的坐標(biāo)，并求出。與“的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)P（x,y）為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)fWxWf+1時(shí)，>均滿足—產(chǎn)—3,求/的取值范圍；

（3）過(guò)拋物線上動(dòng)點(diǎn)M（x,y）（其中x23）作x軸的垂線/,設(shè)/與直線y=-ox+2a-3交于點(diǎn)N,若

M、N兩點(diǎn)間的距離恒大于等于1,求。的取值范圍.

28.己知拋物線y=o?+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)3（1,。+1），頂點(diǎn)為C.

（1）求〃、c的值；

（2）若。的坐標(biāo)為（1,0）,當(dāng)，一lWxWr+2時(shí)，二次函數(shù)y=ar2+bx+c有最大值T，求才的值；

13

（3）直線y=耳與直線x=—3、直線x=l分別相交于M、N,若拋物線丁=以2+區(qū)+。與線段

（包含M、N兩點(diǎn)）有兩個(gè)公共點(diǎn)，求。的取值范圍.

29.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=x2-2ax—1（。為常數(shù)）的圖象與y軸交于點(diǎn)人

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）當(dāng)此函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2）時(shí)，求此函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)值y隨x的增大而增大時(shí)x的取值

范圍.

（3）當(dāng)爛0時(shí)，若函數(shù)y=x2-2ax—l（。為常數(shù)）的圖象的最低點(diǎn)到直線y=2a的距離為2,求。的值.

30.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（n,b）,B（m,a）且m-n=L

（1）當(dāng)b=a時(shí)，直接寫出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；

（2）求b和c（用只含字母a、n的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)aVO時(shí)，函數(shù)有最大值-1,b+c>a,n<3,求a的取值范圍.

專題05二次函數(shù)的三種表示方式

當(dāng)觀嫁述

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是高考必考內(nèi)容，同時(shí)還是一個(gè)研究函

數(shù)性質(zhì)的很好的載體，因此做好二次函數(shù)的初高中銜接至關(guān)重要，初中階段對(duì)二次函數(shù)的要求，是立足于

用代數(shù)方法來(lái)研究，比如配方結(jié)合頂點(diǎn)式，描述函數(shù)圖象的某些特征(開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最

值)等；再比如待定系數(shù)法，通過(guò)解方程組的形式來(lái)求二次函數(shù)的解析式.

高中的函數(shù)立足于集合觀點(diǎn)，對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)要求明顯提高，二次函數(shù)的研究更側(cè)重于數(shù)形結(jié)合、分類

討論等思想方法.

*程要求

《初中課程要求》了解了一些簡(jiǎn)單函數(shù)圖象的變換，如左加右減之類的水平平移，

還了解了些簡(jiǎn)單的對(duì)稱變換

《高中課程要求》掌握各種平移變換，如左加右減的水平平移，上加下減的垂直平

移，還要掌握各種對(duì)稱變換，特別是關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸的對(duì)稱變

換

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:一般式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為一般式：y=ax24-bx4-c(a*0);

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：頂點(diǎn)式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(*0),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(6，k).

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：交點(diǎn)式

形如下面的二次函數(shù)的形式稱為交點(diǎn)式：y=a(x—xi)(x—X2)(^0),其中xi,X2是二次函數(shù)圖

象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

嬴劇折

高中必備知識(shí)點(diǎn)1:一般式

【典型例題】

已知拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=-1,且過(guò)點(diǎn)(-3,0),(0,-3).

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)已知點(diǎn)(m,k)和點(diǎn)(a,k)在此拋物線上，其中mrc,請(qǐng)判斷關(guān)于t的方程t2+mt+c=0是否有實(shí)數(shù)

根，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x2+2x-3；(2)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【解析】

(1)拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=-1,且過(guò)點(diǎn)(-3,0),(0,3)

9。-3b+c=0

9a-3b+c=0

<c=-3

b

----二—1

.2a

解得o=l,b=2,c=-3

???拋物線y=x2+2x-3；

(2)??,點(diǎn)(m,k),(n,k)在此拋物線上，

(m,k),(n,k)是關(guān)于直線x=-1的對(duì)稱點(diǎn)，

m+n口-

/.-----=-1即m=-n-2

2

b2-4ac=m2-4n=(-n-2)2-4n=n2+4>0

???此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【變式訓(xùn)練】

拋物線的圖象如下，求這條拋物線的解析式。(結(jié)果化成一般式)

【解析】由圖象可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+4

把點(diǎn)(3,0)代入解析式，得：

4a+4,即a=-l

所以此函數(shù)的解析式為y=-(x-1)2+4

故答案是y=-x2+2x+3.

【能力提升】

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1先向右平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到拋物線力.

(1)求拋物線丫2的解析式(化為一般式)；

(2)直接寫出拋物線月的對(duì)稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積.

【答案】⑴y=-2)2—2;(2)4.

【解析】

(1)???拋物線y1=：/的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(OQ),把點(diǎn)(0,0)先向右平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后得到的

點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2),

???拋物線乃的解析式為y=*%-2尸一2；

(2)?.?頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2),且拋物線為的對(duì)稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積=S矩形。8何，

???拋物線丫2的對(duì)稱軸與兩段拋物線弧圍成的陰影部分的面積=4.

VA

高中必備知識(shí)點(diǎn)2：頂點(diǎn)式

【典型例題】

己知二次函數(shù)y=-—x2+x+—.

⑴用配方法將此二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式；

⑵求出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程.

【答案】(1)y=—+2；(2)(1,2),直線x=l

【解析】

(1)

123

y=-----X+尤d---

22

y=-2x+1-1-3

y=_；[，_2x+l)—4_

y=_g[(xT)~_4

1,9

+2

⑵Vy=-i(x-l)2+2

.?.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),對(duì)稱軸方程為直線x=l.

【變式訓(xùn)練】

已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)(1,-6),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

【答案】二次函數(shù)的解析式為y=-2(x+1)2+2.

【解析】

?.?二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),

二設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a(x+1)2+2,將(1,-6)代入得，a(1+1)2+2=-6,

解得a=-2,所以，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-2(x+1)2+2.

【能力提升】

二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A((),—3),5(2,-3),C(-1,O).

(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)求此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)填空：把二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向暈少平移一個(gè)單位，使得該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn).

【答案】(1)y—X*—2,x—3；(2)(1,-4)；(3)5

【解析】

(1)設(shè)yuaV+bx+c,把點(diǎn)A(0,-3),5(2,-3),。(一1,0)代入得

c=-3a=\

<4。+b+c=—3,解得<b——2

〃一力-3=0c=-3

/?y—x"—2x—3；

(2)Vy=x2-2x-3=(x-l)2-4

???函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4)；

(3)V11-0|+|-4-0|=5

???二次函數(shù)的圖象沿坐標(biāo)軸方向最少平移5個(gè)單位，使得該圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn).

高中必備知識(shí)點(diǎn)3：交點(diǎn)式

【典型例題】

已知在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+2x+2k-2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

(1)求k的取值范圍；

(2)當(dāng)k取正整數(shù)時(shí)，請(qǐng)你寫出二次函數(shù)y=x2+2x+2k-2的表達(dá)式，并求出此二次函數(shù)圖象與x軸的

兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1)k<|；(2)(-2,0)和(0,0).

【解析】

(1)I?圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

...方程/+2x+2k-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

：.^=b2-4ac>0,即4-4(2k-2)>0,解得k<

3

2?

(2)；k為正整數(shù)，k<l，

/.k=l.

y=x2+2x

令y=0,得%2+2%=0,解得=

—2,&=0，

，交點(diǎn)為(-2,0)和(0,0).

【變式訓(xùn)練】

己知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-8),對(duì)稱軸是直線x=-2,此時(shí)拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間距離為6.

⑴求拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵求拋物線的解析式.

【答案】⑴(一5,0),(1,0)；(2)y=_|x2—2x+|.

【解析】

⑴?.?因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱軸為直線x=-2,且圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為6,

...點(diǎn)AB到直線x=-2的距離為3,

，A為(-5,0),B為(1,0)；

(2)設(shè)y=a(x+5)(x—l)...,點(diǎn)(3,-8)在拋物線上，

.?.-8=a(3+5)(3-l),a=.\y=-1x2-2x+|.

【能力提升】

已知二次函數(shù)y—x2-4x+3.

(1)求該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)；

(2)在所給坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的大致圖象，并寫出當(dāng)y<0時(shí)，x的取值范圍.

【答案】(1)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(3,0),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)；

(2)圖見(jiàn)詳解；當(dāng)y<0時(shí)，1<XV3.

【解析】

(1)當(dāng)y=0時(shí)，x2-4x+3=0,解得xi=l,X2=3,

所以該二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(3,0)；

因?yàn)閥=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,

所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)；

(2)函數(shù)圖象如圖：

對(duì)點(diǎn)精秣

1.已知拋物線>=。/+版+，（。，b,C是常數(shù)，”<0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,0）,其對(duì)稱軸為直線X=2.有下

列結(jié)論：①4。+。=0；（2）9a+c>3b-,③關(guān)于x的方程辦？+版+。+3=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.其中,

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

解：?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2=2,

2a

；?b=-4a,即4a+b=0,所以①正確；

??,拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,

:?x=-3時(shí)，y<0,

A9a-3fa+c<0,即9a+c<3h,所以②錯(cuò)誤；

丁ax2+bx+c+3=0

ax2+〃無(wú)+c=—3

由題意得：過(guò)點(diǎn)（0,-3）作x軸的平行線，如圖所示.

?.?該直線y=-3與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

???方程辦2+云+,+3=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論③正確；

故選：c.

2.如圖是二次函數(shù)曠=以2+版+。（。，方，c是常數(shù)，。工0）圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)A在（2,0）

和（3,0）之間，對(duì)稱軸是直線x=l.對(duì)于下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）

A.ab<0B.2a+b=0

C.3a+c>0D.a+b>m^am+b^（加為實(shí)數(shù)）

【答案】C

解：A、??,對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，

；?。、b異號(hào)，

：.ab<09故正確，不符合題意；

8、,對(duì)稱軸x=--=1,

2a

/.2n+b=0；故正確，不符合題意;

C、V2a+b=0,

；?b=-2a,

*.*當(dāng)x=?l時(shí),y=a-b+c<0,

Aa-（-2a）+c=3a+c<0t故錯(cuò)誤，符合題意;

。、根據(jù)圖示知，當(dāng)x=l時(shí)，有最大值；

當(dāng)時(shí)，有an?2+hm+c<a+b+c,

所以a+b2m(am+b)(m為實(shí)數(shù)).

故正確，不符合題意.

故選：C.

3.已知拋物線)>=(〃2+1)爐一2〃吠+加一2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(40),(w,0),現(xiàn)有如下結(jié)論：①此拋物線

過(guò)定點(diǎn)(LT)；②若拋物線開(kāi)口向下，則m的取值范圍是—2(機(jī)<一1；③若加>一1時(shí)，有—2<玉<—1,

21

1<X<2,則m的取值范圍是一—。”一,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

294

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

解:把函數(shù)變形y-x2+2=m(x2-2x4-1),由m為任意數(shù)

.X2-2x4-1=0

y-%2+2=0

x=1

解得《」

y=一］

拋物線過(guò)定點(diǎn)

①此拋物線過(guò)定點(diǎn)(1,-1)正確；

???拋物線y=(加+1)12-23+加一2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(大,0),(工2，。)，

(m+l)x2-2mx+m-2=0，

m+1

(-2m)2+>0

解得m>-2且mw—1,

???拋物線開(kāi)口向下，

/.m+l<0，

解得m<-1,

又m>—2且相w—1,

:.-2<mv—1；

②若拋物線開(kāi)口向下，則m的取值范圍是一2〈根V—1正確，

若利>一1時(shí)，m+1>0,拋物線開(kāi)口向上，

拋物線y=（;n+l）x2-2加￥+/刀一2與*軸有兩個(gè)交點(diǎn)（大,0）,（尤2，。），

—2<Xj<—1,

???當(dāng)x=-2,,y>0,當(dāng)x=-l,y<0,

即4（/n+l）+4m+7n-2>0

m+1+2m+2<0

解得—v/〃<一，

94

1<x2<2,

.??當(dāng)x=l,,y<0,當(dāng)x=2,y>0,

4（m+l）—4m+m-2>0，

解得m>-2,

一21

???有一2<玉<—1,1<x2<2,則m的取值范圍是—v<—.

所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有3個(gè).

故選擇D.

4.二次函數(shù)y=+/?x+c（a,〃,c為常數(shù)，且。工0）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表:

x-1013

y-1353

下列結(jié)論：①。。<0；②當(dāng)X>1時(shí)，y的值隨X值的增大而減小；③當(dāng)x=1.5時(shí)，函數(shù)有最值；④3

是方程ox?+S-l)x+c=O的一個(gè)根；(5)當(dāng)-l<x<3時(shí)，ax2+(Z?-1)x+c>0.其中結(jié)論正確的有(

)

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

解：根據(jù)x與y的部分對(duì)應(yīng)值可知：

當(dāng)x=-l時(shí)，y=-lfBPa-b+c=-l；

當(dāng)x=0時(shí),y=3,即c=3；

當(dāng)x=l時(shí)，y=5,即a+b+c=5；

a-b-^c=-\\a=-1

vc=3,解得：<h=3,

Q+Z?+C=5C=3

???二次函數(shù)的解析式為y=-x2+3x+3.

①ac=?lx3=?3VO,故本選項(xiàng)正確；

33

②對(duì)稱軸為直線x=------=—，a=-l<0,

-1x22

3

工當(dāng)x>一時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

3

③;對(duì)稱軸為直線x二一，

2

???當(dāng)x=1.5時(shí)，函數(shù)有最值，故本選項(xiàng)正確；

④方程以2+(b-1)x+c=0可化為方程c^+bx+c=x,

由表格數(shù)據(jù)可知，x=3時(shí)，y=3,則3是方程ox2+bx+c=x的一個(gè)根，從而也是方程以2+(b-1)x+c=O的一個(gè)

根，故本選項(xiàng)正確；

⑤不等式。必+(fa-1)x+c>0可化為：ax2+bx+c>x,BfJy>x,

???由表格可知，(-1,-1),(3,3)均在直線片x上，又拋物線片。x2+bx+c開(kāi)口向下，

???當(dāng)-1VXV3時(shí)，y>x,故本選項(xiàng)正確；

綜上，只有②錯(cuò)誤.

故選：C.

5.如圖是拋物線y=o?+以+c（aRO）,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為且與X軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（3,0）和（4,0）之間,

下列結(jié)論：

①0>0；

②2。+b=0；

③4a—2/7+c<0；

@a+b+c>0；

⑤關(guān)于x的方程0=a?+云+'的另一個(gè)解在—2和-3之間,

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

D.4個(gè)

【答案】D

???拋物線開(kāi)口向下，

??av0,

b

;對(duì)稱軸直線x=——=1,

2a

/.b=-2a>0,

/.2a+Z?=0,

故①@正確；

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

.?.點(diǎn)（4,y）與（-2,y）關(guān)于直線x=1對(duì)稱,

?.?x=4時(shí)，y<0,

二x=—2時(shí)，y<0,即4"—2Z?+c<0,

故③正確;

:拋物線>=/+"+C(“HO),其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

/.n=a+b+c>0,

故④正確；

?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,拋物線與X軸的一個(gè)交點(diǎn)在(3,0)和(4,0)之間，

.?.拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在(—2,0)和(一1,0)之間，

...關(guān)于x的方程0=g?+/?x+c,的另一個(gè)解在—2和—1之間，

故⑤錯(cuò)誤；

,正確結(jié)論的有①②③④共4個(gè)，

故選：D.

6.二次函數(shù))=d+/2尤+‘的最大值為。一〃+。，且M(T4,C),N(-3,〃2),P(1,〃Z),Q(2,〃),H(3,〃+1)

中只有兩點(diǎn)不在該二次函數(shù)圖象上，下列關(guān)于這兩點(diǎn)的說(shuō)法正確的是()

A.這兩點(diǎn)一定是M和NB.這兩點(diǎn)一定是Q和R

C.這兩點(diǎn)可能是M和QD.這兩點(diǎn)可能是P和Q

【答案】C

解：?.,二次函數(shù)y=ax?+bx+c的最大值為a-b+c,

二拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=-l,

A.若M和N不在該二次函數(shù)圖象上，則由題意知P(1,m),Q(2,n),R(3,n+1)一定在圖象上，而x

>-1時(shí)y隨x增大而減小，這與Q(2,n),R(3,n+1)矛盾，故A不符合題意；

B.若Q和R不在該二次函數(shù)圖象上，則M(-4,c)一定在圖象上，而拋物線與y軸交點(diǎn)(0,c)一定在

-4+0

圖象上，這樣拋物線對(duì)稱軸為x=——-=-2,這與拋物線對(duì)稱軸為x=-l矛盾，故B不符合題意；

2

C.M和Q可能不在該二次函數(shù)圖象上，故C符合題意；

D.若P和Q不在該二次函數(shù)圖象上，則/W(-4,c)一定在圖象上，同B理由，故D不符合題意.

故選：C.

7.二次函數(shù)y=(x—b)2+8+l的圖象與一次函數(shù)y=-x+5(-lWxW5)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則b的取值范

圍是()

171717

A.b<-AB.b>—C.或b>—D.-4<b<—

888

【答案】c

對(duì)于一次函數(shù)y=-工+5(-14xW5),

當(dāng)x=-l時(shí)，y=1+5=6,

當(dāng)x=5時(shí)，y=-5+5=0,

二次函數(shù)y=(無(wú)一〃)2+匕+1的對(duì)稱軸為*=1),

由題意，分以下三種情況：

(1)當(dāng)匕<一1時(shí)，

若兩個(gè)函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則當(dāng)x=-l時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值大于6；或當(dāng)x=5時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值

小于0,

即(一1一份2+人+1>6或(5—/^y+b+ivO,

不等式(一1一份2+》+1〉6可化為/+38一4>0，

利用因式分解法解方程〃+38—4=0得：4=1也=-4,

由二次函數(shù)z=〃+36—4的性質(zhì)可知，當(dāng)z>0時(shí)，匕或6>1(舍去)，

同理可得：不等式(5-。)2+〃+1<0無(wú)解，

綜上，此時(shí)。的取值范圍為匕<T；

(2)當(dāng)一14645時(shí),

若兩個(gè)函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則《y=(x—b}~+。+1無(wú)解，

J=r+5

即關(guān)于X的方程X2+(1-2b)x+〃+/?—4=0無(wú)解，

則方程的根的判別式△=(>2份2-4(〃+b-4)<0,

17

解得匕>—,

O

17

則此時(shí)b的取值范圍為/<6<5；

8

(3)當(dāng)3>5時(shí),

當(dāng)x=5時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值為)，=(5—勿2+8+1=俗—392+；23>0,

所以二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，

則此時(shí)b的取值范圍為匕>5；

17

綜上，b的取值范圍為人<-4或。>一,

8

故選：C.

8.函數(shù)>=。/+版+，(a,b,c為常數(shù)，。工0)的圖象與x軸交于點(diǎn)(2,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,〃)，其中

n>0.有下列結(jié)論：(1)abc>0；②函數(shù)y=ax?在》=i和》=一2處的函數(shù)值相等；③點(diǎn)

M(5,y),"(々，%)在函數(shù)y=a/+bx+c的圖象上，若一3<玉<1<%2，則,〉％.其中，正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-l

?.?拋物線y=a?+笈+。的圖象與x軸交于點(diǎn)(2,0)

設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),則-l-x=2+l

；.x=-4

即拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0)和(-4,0)

故拋物線的解析式為y=a(x+4)(x-2)=⑺2+2℃-8a

Vn>0,即拋物線的頂點(diǎn)在x軸的上方，且拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

/.a<0

/.b=2a<0,c=-8a>0

/.abc>0

故①正確

當(dāng)x=l時(shí)，y=-5a；當(dāng)x=-2時(shí)，y=-8a

a<0

/--5a<-8a

故②錯(cuò)誤

當(dāng)x=-3時(shí)，y=-5a；當(dāng)x=l時(shí)，y=-5a

?.?當(dāng)—3<x<—1時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；當(dāng)一1<X<1時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小

/.當(dāng)一3<玉<1時(shí)，-5a<y}<n

?.?當(dāng)看〉1〉-1時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小

/.y2<-5a

%<y

故③正確

從而正確的結(jié)論有兩個(gè).

故選：C.

9.如圖是二次函數(shù)丁=0?+治+，（。，b,c是常數(shù)，。wO）圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)（2,0）

/、3

和（3,0）之間，對(duì)稱軸是直線x=1,對(duì)于下列說(shuō)法:①abc<0；②6>a+c；③3a+c>0；④當(dāng)一1<1<耳

時(shí)，y>0；⑤a+bNm（am+b）（優(yōu)為實(shí)數(shù)）.其中正確的是（）

C.②③④D.③④⑤

【答案】B

解：?.?拋物線開(kāi)口向下,

：.a<0,

?/對(duì)稱軸X=——=1,

2a

.?.b=-2a>0,

;拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸,

：.c>0,

/.abc<Q,故①正確;

??,拋物線與x軸的交點(diǎn)4在點(diǎn)（2,0）（3,0）之間，對(duì)稱軸為x=l,

.,.拋物線x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在(-1,0)和(0,0)之間,

.,.當(dāng)x=-l時(shí),y=a-b+c<0,HPa+c<b,即②正確，④錯(cuò)誤；

拋物線與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2,0)(3,0)之間，

9a+3h+c<0,

又b=-2a,

.'.9a-6a+c—3a+c<0,故③錯(cuò)誤：

由圖可知，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最大值，

對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,有am2+bm+c“+b+c,即a+b2m(am+b),故⑤正確.

綜上，正確的有①②⑤.

故選：B.

10.已知拋物線y=-x2+(6-2m)x-m2+3的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，當(dāng)x>2時(shí)，y的值隨著x值的增大

而減小，點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)P的縱坐標(biāo)為3若理3,則m的取值范圍是()

33

A.m>—B.—<m<3C.m<3D.l<m<3

22

【答案】B

解：,拋物線y=-x?+(6—2m)x—m2+3的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，

b

?x=--與々=320,

2a2x(-1)

?當(dāng)x>2時(shí),y的值隨著X值的增大而減小,

b

與絲=3-仄2,

2x(-1)

/.l<mf

\y=-x2+(6—2m)x—m2+3=—(x+m—3)2—6m+12,拋物線上的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t43,

???當(dāng)x=3—m時(shí)，y<3,

即一6m+12W3,

3

/.m>—,

2

3

綜上所述，滿足條件的m的值為一4m<3.

2

故選：B.

11.已知二次函數(shù)y=4x2-mx+5,當(dāng)蟀-2時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)應(yīng)-2時(shí)，y隨x的增大而增大,

則當(dāng)x=l時(shí)，y的值為.

【答案】25

解：當(dāng)xW-2時(shí)，V隨x的增大而減??；當(dāng)x…-2時(shí)，V隨x的增大而增大，

.,.對(duì)稱軸》=-3=--^=-2,解得加=-16,

2a8

，y=4x2+16x+5,那么當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)V的值為25.

故答案為25.

12.拋物線曠=如？+(1—4/〃)x+l—5m一定經(jīng)過(guò)非坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(5,6)

解：y=mx2+(l-4m)x+l-5m=(x2-4x-5)m+x+1,

令x2-4x-5=0,解得x=-l或x=5,

當(dāng)x=-l時(shí)，y=0；

當(dāng)x=5時(shí)，y=6；

...非坐標(biāo)軸上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,6).

故答案為:(5,6).

13.拋物線y=-J+2x-/5三圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，則a的取值范圍為；

【答案】a>-8.

解：：拋物線y=-J+2X-%+5抽象與x軸無(wú)交點(diǎn)，

4/?r—h~

,該拋物線開(kāi)口向下，且<0,

4a

4?(1)?a+522

即：f^t~<Q,解之得：。>—8,

41(-1)

故答案為：CL>—8.

14.拋物線y=ax2+ox+2(axO)的對(duì)稱軸是直線.

【答案】X=~

解：:拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸方程x=-■—，

2a

.??拋物線y=ax2+0x+2（。x0）的對(duì)稱軸是X=---.

2a2

即對(duì)稱軸是x=-工.

2

故答案為：x=--.

2

15.二次函數(shù)>="/+笈+。的圖象如圖所示，則下列四個(gè)結(jié)論：

①“>0；②c<0；③a+/?+c<0；@b2-4ac>0.其中正確的有.（填寫番號(hào)）

【答案】③④

解：由圖象知，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，