2.2

全稱量詞與存在量詞第1課時

全稱量詞命題與存在量詞命題自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過已知的數(shù)學(xué)實例理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱量詞命題和存在量詞命題的概念并能用數(shù)學(xué)符號表示.3.能判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假并掌握其判斷方法.4.體會抽象概括的過程,加強邏輯推理能力素養(yǎng)的培養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、全稱量詞命題【問題思考】1.某個城市有一位理發(fā)師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉.我對各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人.可是,有一天,這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡須長了,他本能地抓起了剃刀,你們說他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉.而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉.這就是著名的“羅素理發(fā)師悖論”問題.(1)文中理發(fā)師說:“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉”.對“所有”這一詞語,你還能用其他詞語代替嗎?(2)上述詞語“所有”及其代替詞語都有什么含義?提示:(1)任意一個,全部,每個.(2)表示某個范圍內(nèi)的整體或全部.2.全稱量詞命題(1)在給定集合中,斷言所有元素都具有同一種性質(zhì)的命題叫作全稱量詞命題.(2)在命題中,諸如“所有”“每一個”“任意”“任何”“一切”這樣的詞叫作全稱量詞.用符號“?”表示,讀作“對任意的”.3.在全稱量詞命題中,量詞是否可以省略?一個全稱量詞命題的表述是否唯一?提示:在有些全稱量詞命題中,全稱量詞是可以省略的,如“平行四邊形的對角線互相平分”實際應(yīng)解讀為“所有平行四邊形的對角線都互相平分”.一個全稱量詞命題的表述不唯一.對于一個全稱量詞命題,由于自然語言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正確即可.二、存在量詞命題【問題思考】1.觀察下列語句:①存在一個x∈R,使2x+1=3;②至少有一個x∈Z,x能被2和3整除.(1)語句①②是命題嗎?若是命題,判斷其真假.(2)語句①②中的“存在一個”“至少有一個”有什么含義?(3)你能寫出一些與問題(2)中的詞語具有相同意義的詞語嗎?提示:(1)是命題,都為真命題.(2)表示總體中“個別”或“一部分”.(3)某些,有的,有些等.2.存在量詞命題(1)在給定集合中,斷言某些元素具有一種性質(zhì)的命題叫作存在量詞命題.(2)在命題中,諸如“有些”“有一個”“存在”這樣的詞叫作存在量詞,用符號“?”表示,讀作“存在”.3.命題“有的素數(shù)是奇數(shù)”中的量詞是有的.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞.(

×

)(2)全稱量詞的含義是“任意性”,存在量詞的含義是“存在性”.(

√

)(3)全稱量詞命題中一定含有全稱量詞,存在量詞命題中一定含有存在量詞.(

×

)(4)命題“有些菱形是正方形”是全稱量詞命題.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

全稱量詞命題的判斷【例1】判斷下列命題是不是全稱量詞命題,如果是,請指出全稱量詞,并判斷真假.(1)所有的素數(shù)都是偶數(shù);(2)任意x∈R,(x-1)2+1≥1;(3)任何無理數(shù)的平方還是無理數(shù).解:(1)是全稱量詞命題,“所有”是全稱量詞,如3是素數(shù),但不是偶數(shù),所以該命題是假命題;(2)是全稱量詞命題,“任意”是全稱量詞,是真命題;(3)是全稱量詞命題,“任何”是全稱量詞,如

是有理數(shù),所以該命題是假命題.判定一個語句是全稱量詞命題的三個步驟(1)判斷語句是不是命題,如果不是命題,那么當(dāng)然不是全稱量詞命題.(2)量詞判斷:如果是命題,再分析命題中所含的量詞,含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題.當(dāng)命題中不含量詞時,要注意理解命題含義的實質(zhì).(3)下結(jié)論.【變式訓(xùn)練1】判斷下列命題是不是全稱量詞命題,如果是,請指出全稱量詞,并判斷真假.(1)對任意實數(shù)x,都有x2≥0;(2)菱形的對角線相等.解:(1)是全稱量詞命題,“任意”是全稱量詞,是真命題;(2)是全稱量詞命題,省略了全稱量詞“所有”,是假命題.探究二

存在量詞命題的判斷【例2】

指出下列命題中,哪些是存在量詞命題,并判斷所有命題的真假.(1)存在一個x∈R,使(2)存在一個實數(shù),它的相反數(shù)等于它本身;(3)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示;(4)存在一個實數(shù)x,使等式x2+x+8=0成立.分析:先判斷命題的類型,全稱量詞命題通過推理判定其為真,存在量詞命題通過舉特例判定其為真.解:(1)(2)(4)是存在量詞命題;(3)是全稱量詞命題.(1)因為不存在x0∈R,使

成立,所以該命題是假命題.(2)存在一個實數(shù)零,它的相反數(shù)等于它本身,所以該命題是真命題.(3)如:邊長為1的正方形的對角線長為

,它的長度就不是有理數(shù),所以該命題是假命題.(4)因為方程x2+x+8=0的判別式Δ=-31<0,所以該方程無實數(shù)解,所以該命題是假命題.判斷一個命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題時,需要注意以下兩點(1)若命題中含有量詞,則直接判斷所含量詞是全稱量詞還是存在量詞;(2)若命題中不含有量詞,則要根據(jù)命題的實際意義進行判斷.【變式訓(xùn)練2】

下列命題為存在量詞命題的是(

)A.自然數(shù)都是正整數(shù)B.存在x=1,使方程x2+x-2=0C.對任意x∈{x|x>-1},3x+4>0都成立D.對頂角相等解析:A,D中命題都省略了全稱量詞“所有”,所以A,D都是全稱量詞命題;C中含有全稱量詞“任意”,是全稱量詞命題,B中命題含有存在量詞“存在”,所以B是存在量詞命題,故選B.答案:B探究三

根據(jù)全稱(存在)量詞命題求參數(shù)范圍【例3】

若命題“?x∈R,使得x2+2x+a-1<0”是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.分析:先把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象與x軸的交點問題→利用對應(yīng)方程的判別式構(gòu)造不等式→解不等式得結(jié)論解:因為?x∈R,使得x2+2x+a-1<0,所以二次函數(shù)y=x2+2x+a-1的圖象與x軸有兩個公共點,所以Δ=22-4(a-1)>0,解得a<2.故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,2).1.把本例中“真命題”改為“假命題”,其他條件不變,則結(jié)果是什么?解:由題意,可知Δ=22-4(a-1)≤0,解得a≥2.故實數(shù)a的取值范圍是[2,+∞).2.若把本例條件改為“?x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”,其他條件不變,則a的取值范圍是什么?解:“?x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”恒成立,等價于1-a<x2+2x在區(qū)間[-1,+∞)上恒成立,即1-a<(x2+2x)min,x∈[-1,+∞),又當(dāng)x∈[-1,+∞)時,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,即(x2+2x)min=-1.故1-a<-1,解得a>2,即a的取值范圍是(2,+∞).1.全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題,其為真時,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題(如函數(shù)、方程、不等式等),再利用相應(yīng)知識構(gòu)建方程或不等式求解.2.存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結(jié)論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述,解答該類問題時,一般先對結(jié)論作出存在的假設(shè),轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題求解,再結(jié)合條件看求解是否合理,否則否定假設(shè).【變式訓(xùn)練3】

若“?x∈[-1,1],m≤x2+1”為真命題,則實數(shù)m的最大值為

.

解析:“?x∈[-1,1],m≤x2+1”為真命題,即m≤(x2+1)min,x∈[-1,1],而當(dāng)x∈[-1,1]時,1≤x2+1≤2,所以m≤1,故實數(shù)m的最大值為1.答案:1易

錯

辨

析忽視特例的作用而致誤【典例】

判斷下列命題的真假.(1)?x∈R,x2+2x+1>0;(2)?x∈R,|x-1|≤0.錯解

(1)因為x2+2x+1=(x+1)2,所以x2+2x+1>0恒成立,即?x∈R,x2+2x+1>0是真命題.(2)一個數(shù)的絕對值不可能小于0,所以不存在實數(shù)x,使|x-1|≤0,即?x∈R,|x-1|≤0是假命題.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:以上解法都忽視了特例,(1)中忽視了當(dāng)x=-1時x2+2x+1=0,導(dǎo)致判斷錯誤.(2)中忽視當(dāng)x=1時|x-1|=0,導(dǎo)致判斷錯誤.正解:(1)因為當(dāng)x=-1時x2+2x+1=0,所以命題“?x∈R,x2+2x+1>0”是假命題.(2)因為當(dāng)x=1時,|x-1|=0成立,所以命題“?x∈R,|x-1|≤0”是真命題.判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路【變式訓(xùn)練】

若命題“?x∈R,使得方程(a-1)x2+x-1=0成立”是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.隨

堂

練

習(xí)1.下列說法正確的個數(shù)是(

)①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題;②命題“?x∈R,x2+2<0”是全稱量詞命題;③命題“?x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量詞命題.A.0 B.1 C.2 D.3解析:只有②③正確.答案:C2.(多選題)下列命題既是存在量詞命題又是真命題的有(

).A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B.至少有一個實數(shù)x,使x2≤0C.存在兩個無理數(shù),它們的和是無理數(shù)D.存在一個負數(shù)x,使解析:B,C,D是存在量詞命題,但D是假命題,故選BC.答案:BC3.下列語句是存在量詞命題的是(

)A.整數(shù)n是2和7的倍數(shù)B.存在整數(shù)n0,使n0能被11整除C.若4x-3=0,則D.