專題14.3因式分解的應用【典例1】已知a，b，c三個數兩兩不等，且有a2+b【思路點撥】a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，得a2+b2+mab=b2【解題過程】解：∵a2∴a2即a2∴a2∴a+ca-c∴a-ca+c+mb∵a，b，c三個數兩兩不等，∴a-c≠0，∴a+c+mb=0①，同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，當a+b+c≠0時，①＋②＋③得，2a+b+c∴2a+b+c∴a+b+c2+m∴2+m=0，解得m=-2，當a+b+c=0時，∵a，b，c三個數兩兩不等，∴a，b，c三個數中至少一個不是0，設b≠0，∴a+c=-b≠0,∵a+c+mb=0，∴-b+mb=0，∴bm-1∴m-1=0，解得m=1，綜上可知，m的值為-2或1．1．（2022秋·福建泉州·八年級?？计谥校┮阎猰，n均為正整數且滿足mn-2m-3n-20=0，則m+n的最小值是（）A．20 B．30 C．32 D．37【思路點撥】利用因式分解把等式變形為(m-3)(n-2)=26，再討論各種可能情況，求出m、n的值，判斷出最小值．【解題過程】解：mn-2m-3n-20=0，m(n-2)-3n+6-6-20=0，m(n-2)-3(n-2)-26=0，(m-3)(n-2)=26，∵m，n均為正整數，∴26=1×26，或26=2×13，∴m-3=1n-2=26，m-3=26n-2=1，m-3=2n-2=13∴m+n=32，m+n=32，m+n=20，m+n=20，∴m+n的最小值為20．故選：A．2．（2022春·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）已知x2+x=1，那么x4A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【思路點撥】利用因式分解將原式進行分解，再整體代入即可求解．【解題過程】解：∵x2∴x=x=x=x=x=x-=-=﹣1+2023=2022，故選：C．3．（2022春·湖南株洲·七年級株洲二中?？计谥校┮阎猘>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，則M與N的大小關系是（

）A．M>N B．M＜N C．M=N D．不能確定【思路點撥】多項式比較大小，采用“作差法”，將多項式因式分解，再根據已知條件判斷M-N的符號，即可求解．【解題過程】解：M-N=a=a=a==a=b-c=b-c==b-c∵a>b>c，∴b-c>0,a-c>0,a-b>0，∴b-ca-ca-b>0∴M>N．故選：A.4．（2023·全國·九年級專題練習）已知當x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，則當x=m+n+1時，多項式A．439 B．1399 C．3 D【思路點撥】根據x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2+4x+6的值相等，得到m-n+2=0或m+n+2=0，由m-n+2≠0，得到m+n+2=0，推出【解題過程】解：∵x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x2∴2m+n+22+4∴2m+n+42∴2m+n+4∴2m+n+4+m+2n+22m+n+4-m-2n-2即：3m+n+2∴m-n+2=0或m+n+2=0，∵m-n+2≠0，∴m+n+2=0，當x=m+n+1時，x=∴x2故選C．5．（2022春·重慶·九年級校聯(lián)考期中）已知多項式A=x2+2y+m和B=y2-2x+n（①當x=2且m+n=1時，無論y取何值，都有A+B≥0；②當m=n=0時，A×B所得的結果中不含一次項；③當x=y時，一定有A≥B；④若m+n=2且A+B=0，則x=y；⑤若m=n，A-B=-1且x，y為整數，則x+y=1A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤【思路點撥】主要是運用整式的運算法則及因式分解等知識對各項進行一一判斷即可．【解題過程】解：①當x=2且m+n=1時，A+B=4+2y+m+y∵無論y取何值，總有y+12∴無論y取何值，都有A+B≥0，故①正確；②當m=n=0時，A×B=x∴A×B所得的結果中不含一次項；故②正確；③當x=y時，A-B=x其結果與0無法比較大小，故③錯誤；④若m+n=2且A+B=0，則A+B=x變形得：x-12∴x=1，y=-1，∴x=-y，故④錯誤；⑤若m=n，A-B=-1且x，y為整數，則A-B=x變形得：x+12因式分解得：x+yx-y+2∵x，y為整數，則必有x+y=1故⑤正確；故選：B6．（2022秋·七年級單元測試）正數a,b,c滿足ab+2a+2b=bc+2b+2c=ac+2a+2c=12，那么a+2b+2c+2【思路點撥】將式子ab+2a+2b=bc+2b+2c因式分解為(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再ab+2a+2b=12可化為a2+4a-12=0，求出a的值，再求a+2b+2【解題過程】解：∵ab+2a+2b=bc+2b+2c，∴ab-bc+2(a-c)=0,即(a-c)(b+2)=0,∵b﹥0,∴b+2≠0,∴a-c=0,∴a=c,同理可得a=b,b=c,∴a=b=c,∴ab+2a+2b=12可化為a2+4a-12=0∴(a+6)(a-2)=0,∵a為正數，∴a+6≠0,∴a-2=0,∴a=2,即a=b=c=2,∴a+2b+2故答案為64．7．（2022秋·山東泰安·八年級校聯(lián)考期中）已知a=2021x+2000，b=2021x+2001，c=2021x+2002，則多項式a2+b【思路點撥】根據題意可得a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，再利用提公因式法原式可變形為122a【解題過程】解：∵a=2021x+2000，b=2021x+2001，c=2021x+2002，∴a-b=2021x+2000-2021x-2001=-1，b-c=2021x+2001-2021x-2002=-1，a-c=2021x+2000-2021x-2002=-2，∴a======3故答案為：38．（2023秋·福建寧德·八年級?？茧A段練習）已知a2=a+1，b2=b+1，且a≠b，則【思路點撥】首先求出ab的值，再根據a4+b【解題過程】解：a2=a+1①，b①-②，得a2(a+b)(a-b)-(a-b)=0，(a-b)(a+b-1)=0，因為a≠b，所以a+b-1=0，即a+b=1③，①+②，得a2a2+③平方，得a2+⑤-④，得2ab=-2，ab=-1，a===9-2=7．9．（2023·江蘇南通·八年級南通田家炳中學?？茧A段練習）若x≠y，且x2-4x+y=0，y2-4y+x=0【思路點撥】根據x2-4x+y=0①，y2-4y+x=0②，可得x2=4x-y，y2=4y-x，由①－②可得【解題過程】解：∵x2-4x+y=0y2-4y+x=0①－②，得：x2即x2∴x+yx-y∴x-y∵x≠y，∴x-y≠0，∴x+y-5=0，即x+y=5，∵x2-4x+y=0，∴x2=4x-y，∴x=x·=x=4=4=4=4=12=12×5=60．故答案為：60．10．（2023春·浙江·九年級專題練習）已知m2=2n+1，4n2=m+1m≠2n，那么【思路點撥】由條件可以變形為m2-4n2=2n+1-m-1=2n-m，因式分解從而可以求出其值；4n2【解題過程】解：∵m2=2n+1，∴m∴m2∴m+2nm-2n∴m+2n∴m+2n+1∵m≠2n，∴m+2n+1=0∴m＋2n＝?1；∵4n∴4n∴4n∵4n∴n2∴2n∴4n故答案是：?1；0．11．（2023秋·湖北武漢·八年級湖北省水果湖第二中學校考期末）對于二次三項式x2+mx+n（m、①若n=36，且x2+mx+n=x+a②若m2<4n，則無論x為何值時，③若x2+mx+n=x+3④若n=36，且x2+mx+n=x+ax+b，其中a、b為整數，則其中正確的有______．（請?zhí)顚懶蛱枺舅悸伏c撥】根據完全平方公式可以得a2=36，從而得出a=±6，于是易判斷結論①；根據m2<4n得出4n-m2＞0，通過配方將多項式x2+mx+n變形為x+m【解題過程】解：①∵若n=36，且x2+mx+n=x+a2，則有x2+mx+36=x2+2ax+a2∴a2=36，解得：a=±6，故①說法錯誤；②∵m2<4n，∴4n-m2∴=故無論x為何值時，x2故②說法正確；③∵x2+mx+n=x+3x+a∴x2+mx+n=x2+(a+3)x+3a，∴m=a+3，n=3a，∴3m-n=3(a+3)-3a=3a+9-3a=9故③說法正確；④∵n=36，且x2+mx+n=x+ax+b∴x2+mx+36=x2+∴m=a+b，n=36，∵a、b為整數，∴相應的數對為：-1和-36，1和36，-2和-18，2和18，-3和-12，3和12，-4和-9，4和9，-6和-6，6和6共10對，因此m的值可能有10個，故④說法正確．綜上所述，正確的說法有：②③④．故答案為：②③④．12．（2023春·江蘇·七年級專題練習）求證：若4x-y是7的倍數，其中x、y都是整數，則8x2+10xy-3【思路點撥】由4x-y是7的倍數，設4x-y=7m（m為整數），得y=4x-7m，把8x2+10xy-3y2【解題過程】證明：∵4x-y是7的倍數，設4x-y=7m（m為整數），則y=4x-7m，∴8=(2x+3y)(4x-y)=(2x+12x-21m)(4x-4x+7m)=7m(14x-21m)=49(2x-3m)，∵x、m是整數，∴m(2x-3m)也是整數，∴8x2+10xy-313．（2022秋·上海青浦·七年級?？计谥校┳C明：a【思路點撥】根據完全平方公式進行計算得出a2+b【解題過程】解：∵ay-bxaz-cx2bz-cy2∴ay-bx2即a2整理得a2∵a===ay-bx∴a214．（2022春·四川成都·七年級校聯(lián)考期中）閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式(或其一部分)例如：(x-1)2+3、(x-2)2+2x、(12x-2)2+34請根據閱讀材料解決下列問題：（1）比照上面的例子，寫出x2（2）已知z-x+2y=4，zx+2xy+y2-6y+13=0（3）當x，y何值時，代數式5x【思路點撥】（1）根據材料中的三種不同形式的配方，“余項”分別是常數項、一次項、二次項，可解答；（2）將x2+y2+4x-6y+13（3）首先把已知等式變?yōu)?x【解題過程】（1）解：第一種：x2第二種：x2第三種：x2（2）∵z-x+2y=4，zx+2xy+y∴zx+2xy+y=xz+2y=xx+4=x=0，x2(x+2)2x=-2，y=3，∴(-y)（3）5x=4x=(2x-y)∵(2x-y)∴2x-y=0解得x=-3y=-6∴當x=-3，y=-6時，代數式5x2-4xy+15．（2022秋·重慶北碚·八年級西南大學附中?？茧A段練習）若一個正整數a可以表示為a=(b+1)(b-2)，其中b為大于2的正整數，則稱a為“十字數”，b為a的“十字點”．例如28=(6+1)×(6-2)=7×4．（1）“十字點”為7的“十字數”為；130的“十字點”為；（2）若b是a的“十字點”，且a能被(b-1)整除，其中b為大于2的正整數，求a的值；（3）m的“十字點”為p，n的“十字點”為q，當m-n=18時，求p+q的值．【思路點撥】（1）根據十字點的定義a=(b+1)(b-2)計算即可；（2）先根據a=(b+1)(b-2)得出a=(b-1+2)(b-1-1)=b-12+b-1-2，再根據（3）根據已知得出m=(p+1)(p-2)（p＞2且為正整數），n=(q+1)(q-2)（q＞2且為正整數），再根據m-n=18得出(【解題過程】解：（1）“十字點”為7的“十字數”a=(7+1)(7-2)=8×5∵130=(12+1)(12-2)=13×10，∴130的“十字點”為（2）∵b是a的“十字點”，∴a=(b+1)(b-2)（b＞2且為正整數），∴a=(b-1+2)(b-1-1)=∵a能被(b-1)整除，∴(b-1)能整除2，∴b-1=1或b-1=2，∵b＞2，∴b=3，∴a=(3+1)(3-2)=4（3）∵m的“十字點”為p，∴m=(p+1)(p-2)∵n的“十字點”為q，∴n=(q+1)(q-2)∵m-n=18，∴(p∴p2∴(p∴(p∵m-n=18＞0，p＞2，q＞2且p、∴p＞q，p+q＞4；∴p+q-1＞3；∵18=3×6=2×9，∴p+q-1=6p-q=3或p+q-1=9解得：p=5q=2（不合題意舍去），p=6∴p+q=16．（2023春·江蘇·七年級專題練習）閱讀下列材料：在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，這種方法就是換元法．對于x2解法一：設x2+5x=y=y+6解法二：設x2+2=m，5x=n=m+n+4請按照上面介紹的方法解決下列問題：（1）因式分解：x2（2）因式分解：x+y-2xyx+y-2（3）求證：多項式x+1x+2【思路點撥】（1）仿照題意方法一、二求解即可；（2）仿照題意方法二求解即可；（3）先把多項式化成x2+7x+6x【解題過程】（1）解：解法一：設x2則原式=y+1====x-2方法二：設x2則原式======x-2（2）解：設x+y=m，則原式=======x-1（3）解：x+1=x設x2則原式====x∵x2∴x+1x+2∴多項式x+1x+217．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．例如圖①可以得到a+2ba+b（1）寫出圖②中所表示的數學等式______；（2）猜測a+b+c+d2=（3）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c=12，ab+bc+ca=48，求a2（4）在（3）的條件下，若a、b、c分別是一個三角形的三邊長，請判斷該三角形的形狀，并說明理由．【思路點撥】（1）根據大長方形面積等于其內部三個小正方形面積加上6個小長方形的面積進行求解即可；（2）仿照題意畫出圖形求解即可；（3）先求出a+b+c2=144，2ab+2bc+2ca=96，再把這2個等式代入（（4）由（3）可得a2+b2+【解題過程】（1）解：由題意得，a+b+c2故答案為：a+b+c（2）解：由下圖可得：a+b+c+d2故答案為：a2（3）解：∵a+b+c=12，ab+bc+ca=48，∴a+b+c2=12∵a+b+c2∴a2（4）解：該三角形為等邊三角形，理由如下：∵ab+bc+ca=48，a2∴a2∴2a∴2a∴a2∴a-b2∵a-b2∴a-b2∴a-b=0，∴a=b=c，∴該三角形是等邊三角形．18．（2022秋·全國·八年級期末）在數的學習中，我們總會對其中一些具有某種特性的數進行研究，若一個正整數m是兩個相差為3的數的乘積，即m=nn+3，其中n為正整數，則稱m為“如意數”，n為m的“如意起點”．例如：18=3×6，則18是“如意數”，3為18的“如意起點”（1）若k是88的“如意起點”，則k=______；若a的“如意起點”為1，則a=______．（2）把“如意數”x與“如意數”y的差記作Ex,y，其中x>y，Ex,y>0，例如：40=5×8，10=2×5，則E40,10=40-10=30．若“如意數”x的“如意起點”為s，“如意數”y的“如意起點”為t，當【思路點撥】（1）根據“如意數”的特征列方程求解即可；（2）根據“如意數”的定義得到x-y=48，整理得到s-ts+t+3=48，由s、t都是正整數，推出s-t和s+t+3都是正整數，且s+t+3>s-t，把48分解成【解題過程】解：（1）若k是88的“如意起點”，根據題意得kk+3=88，整理得：因式分解得k-8k+11∵k為正整數，∴k=8；若a的“如意起點”為1，根據題意得a=1×1+3故答案為：8；4；（2）∵E(x，y)=48，∴x-y=48，又x=s(s+3)，y=t(t+3)，∴x-y=ss+3-tt+3∴s-ts+t+3∵s、t都是正整數，∴s-t和s+t+3都是正整數，且s+t+3>s-t，∵48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，∴s-t=1s+t+3=48或s-t=2s+t+3=24或s-t=3s+t+3=16或s-t=4解得：s=23t=22或s=232t=192(舍去)或s=8t=5或s=132∴st=23故st的最大值為819．（2023秋·重慶大足·八年級統(tǒng)考期末）已知一個各個數位上的數字均不為0的四位正整數M=abcda>c，以它的百位數字作為十位，個位數字作為個位，組成一個新的兩位數s，若s等于M的千位數字與十位數字的平方差，則稱這個數M為“平方差數”，將它的百位數字和千位數字組成兩位數ba，個位數字和十位數字組成兩位數dc，并記例如：6237是“平方差數”，因為62-32=27，所以6237此時T6237又如：5135不是“平方差數”，因為52-32=16≠15，所以5135（1）判斷7425是否是“平方差數”？并說明理由；（2）若M=abcd是“平方差數”，且TM比M的個位數字的9倍大30，求所有滿足條件的“平方差數”【思路點撥】（1）根據“平方差數”的定義計算即可；（2）由M=abcd是“平方差數”，得a2-c2=10b+d，由TM比M的個位數字的9【解題過程】（1）解：7254是“平方差數”．理由如下：∵72∴7254是“平方差數”．（2）∵M=abcd是“平方差數”∴a2∵T（M）比M的個位數字的9∴10b+a+10d+c=9d+30，即a+c+10b+d=30，∴a+c+a即a+ca-c+1∵a+c＞0，∴將30分解為2×15或3×10或5×6．①a+ca-c+1