小升初奧數專題講座〔共十四講〕第一講行程問題11.1追及與相遇11.2環(huán)形路上的行程問題71.3稍復雜的問題12第二講和、差與倍數的應用題182.1和差問題182.2倍數問題212.3盈缺乏問題25第三講數論的方法技巧之一293.1利用整數的各種表示法303.2枚舉法323.3歸納法34第四講數論的方法技巧之二374.1反證法374.2構造法384.3配對法394.4估計法41第五講整數問題之一435.1整除435.2分解質因數485.3余數53第六講圖形面積606.1三角形的面積606.2有關正方形的問題646.3其他的面積68第七講工程問題727.1兩個人的問題737.2多人的工程問題777.3水管問題81第八講比和比例關系878.1比和比的分配878.2比的變化938.3比例的其他問題97第九講經濟問題104第十講溶液問題109第十一講簡單幾何體的外表積與體積的計算11411.1四種常見幾何體的平面展開圖11411.2四種常見幾何體外表積與體積公式11511.3例題選講116第十二講循環(huán)小數化分數12312.1純循環(huán)小數化分數12312.2混循環(huán)小數化分數12412.3循環(huán)小數的四那么運算125第十三講估計與估算127第十四講列方程解應用題13414.1列簡易方程解應用題13414.2引入參數列方程解應用題13814.3列不定方程解應用題140第一講

行程問題走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數量：距離走了多遠，行駛多少千米，移動了多少米等等；速度在單位時間內〔例如1小時內〕行走或移動的距離；時間行走或移動所花時間.這三個數量之間的關系，可以用下面的公式來表示：距離=速度×時間很明顯，只要知道其中兩個數量，就馬上可以求出第三個數量.從數學上說，這是一種最根本的數量關系，在小學的應用題中，這樣的數量關系也是最常見的，例如總量=每個人的數量×人數.工作量=工作效率×時間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數量關系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當然，行程問題有它單獨的特點，在小學的應用題中，行程問題的內容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學，而且在中學數學、物理的學習中，也是一個重點內容.因此，我們非常希望大家能學好這一講，特別是學會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米追及與相遇“追及問題〞.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同時間內，甲走的距離-乙走的距離=甲的速度×時間-乙的速度×時間=〔甲的速度-乙的速度〕×時間.通常，“追及問題〞要考慮速度差.例1小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米？解：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此所用時間=9÷6＝1.5〔小時〕.小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是面包車速度是54-6＝48〔千米/小時〕.城門離學校的距離是48×1.5＝72〔千米〕.答：學校到城門的距離是72千米.例2小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠？解一：可以作為“追及問題〞處理.75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50×10÷〔75-50〕＝20〔分鐘〕·因此，小張走的距離是75×20＝1500〔米〕.答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考〞，其次是“計算方便〞.那么你更喜歡哪一種解法呢？對不同的解法進行比擬，能逐漸形成符合你思維習慣的解題思路.例330千米/小時，要1小時才能追上；如果速度是35千米/小時，要40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少？解一：自行車1小時走了30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離÷速度差1小時與40分鐘是3∶∶3.請看下面示意圖：35-15＝20〔千米/小時〕.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？解：畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4〔千米〕.而爸爸騎的距離是4＋8＝12〔千米〕.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3〔倍〕.按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24〔千米〕.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4＋12＝16〔千米〕.少騎行24-16＝8〔千米〕.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16＝32.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題〞.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度×時間+乙的速度×時間=〔甲的速度+乙的速度〕×時間.“相遇問題〞，常常要考慮兩人的速度和.例5小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的36÷12＝3〔倍〕，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是36÷〔3＋1〕＝9〔分鐘〕.答：兩人在9分鐘后相遇.例6小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時多走〔5-4〕千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2÷〔5-4〕＝2〔小時〕.因此，甲、乙兩地的距離是〔5＋4〕×2＝18〔千米〕.此題外表的現(xiàn)象是“相遇〞，實質上卻要考慮“小張比小王多走多少？〞豈不是有“追及〞“兩人面對面〞就是“相遇〞，“兩人一前一后〞就是“追及〞.請再看一個例子.例7甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，那么相遇地點距C點12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，那么相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下設乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不管甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不管在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決此題的關鍵.下面的考慮重點轉向速度差.在同樣的時間內，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到D點.這兩點距離是12＋16＝28〔千米〕，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點〔或E點〕相遇所用時間是28÷5＝5.6〔小時〕.比C點相遇少用6-5.6＝0.4〔小時〕.甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是12÷0.4＝30〔千米/小時〕.同樣道理，乙的速度是16÷0.4＝40〔千米/小時〕.A到B距離是〔30＋40〕×6＝420〔千米〕.答：A，B兩地距離是420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題〞.例8如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：〔1〕小張和小王分別從A，D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇？〔2〕相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當某一個人到達終點時，另一人離終點還有多少千米？解：〔1〕小張從A到B需要1÷6×÷6×60＝25〔分鐘〕；當小王到達C點時，小張已在平路上走了25-10＝15〔分鐘〕，走了因此在B與C之間平路上留下3-1＝2〔千米〕由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是2÷〔4＋4〕×60＝15〔分鐘〕.從出發(fā)到相遇的時間是25＋15＝40〔分鐘〕.〔2〕相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到A點需要走1÷2×60=30分鐘，即他再走60分鐘到達終點.小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走小張離終點還有2.5-1.5=1〔千米〕.答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達終點時，小張離終點還有1千米.1.2環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關.例9小張和小王各以一定速度，在周長為500米180米〔1〕小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？〔2〕小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？解：500÷1.25-180=220〔米/分〕.〔2〕在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈〔一個周長〕，因此需要的時間是500÷〔220-180〕＝12.5〔分〕.220×÷500＝5.5〔圈〕.答：〔1〕小張的速度是220米/分；〔2〕小張跑5.5圈后才能追上小王.例10如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3＝240〔米〕.240-60=180〔米〕.180×2＝360〔米〕.答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走〔到達另一村后就馬上返回〕.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是40×3÷60＝2〔小時〕.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-2＝10〔千米〕.小王已走了6＋2=8〔千米〕.因此，他們的速度分別是小張10÷2＝5〔千米/小時〕，小王8÷2=4〔千米/小時〕.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走〔到達另一村后就馬上返回〕，他們在離甲村處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠〔相遇指迎面相遇〕？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了×3＝10.5〔千米〕.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2＝8.5〔千米〕.×7＝24.5〔千米〕，24.5=8.5＋8.5＋7.5〔千米〕.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1〔千米〕.答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題.例13繞湖一周是24千米4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：12＋15＝27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了此時兩人相距24-〔8＋11〕=5〔千米〕.由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是5÷〔4＋6〕＝0.5〔小時〕.2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發(fā)后2小時40分.例14一個圓周長90厘米10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C〔5-3〕厘米0.30÷〔5-3〕＝15〔秒〕.因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷〔5-3〕＝45〔秒〕.B與C到達同一位置，出發(fā)后的秒數是15，，105，150，195，……再看看A與B什么時候到達同一位置.第一次是出發(fā)后30÷〔10-5〕=6〔秒〕，90÷〔10-5〕＝18〔秒〕，A與B到達同一位置，出發(fā)后的秒數是6，24，42，，78，96，…對照兩行列出的秒數，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達同一位置是出發(fā)后多少秒？例1590千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米解：“相遇〞，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設汽車行駛CD所需時間是1.根據“走同樣距離，時間與速度成反比〞，可得出分數計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.→D→A與P→C→B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間=DA所需時間-CB所需時間=18-12=6.“和差〞計算得PC上所需時間是〔24+6〕÷2＝15，PD上所需時間是24-15＝9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點同時出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→→D→A→N與C→B→N時間相等，就有BN上所需時間-AN上所需時間=P→D→A所需時間-CB所需時間=〔9＋18〕-12=15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間=16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數作一些準備性處理，會使問題變得簡單些.1.3稍復雜的問題在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：〔1〕在行程中能設置一個解題需要的點；〔2〕靈活地運用比例.例16小王的步行速度是/小時，小張的步行速度是/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？解：畫一張示意圖：圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是〔5.4-4.8〕千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是÷〔5.4-4.8〕×60=130〔分鐘〕./小時是小張速度130÷2=65〔分鐘〕.從乙地到甲地需要的時間是130＋65=195〔分鐘〕＝3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇〞，又有“追及〞，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關系，問題也就迎刃而解了.在圖中設置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快〞？姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.〞請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米？解：先畫一張示意圖設A是離公園2千米處，設置一個B點，公園離B與公園離家一樣遠.如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點.現(xiàn)在問題就轉變成：騎車從家開始，步行從B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠處追上步行.具體計算如下：1＋1.5＝2.5〔單位〕.每個單位是2000÷2.5＝800〔米〕.因此，從公園到家的距離是800×1.5＝1200〔米〕.答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經過5小時兩車相遇.慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間？解：畫一張示意圖：設C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5〔小時〕.我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位〞準備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢？去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛3×7=21〔單位〕.從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-1＝14〔單位〕.現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時間是14÷〔2＋3〕＝2.8〔小時〕.慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了7.5＋0.5＋2.8＝10.8〔小時〕.答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順水，比去時的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順水速度比逆水速度每小時多行駛8千米，在圖中再設置D點，D至C是8千米5千米順水行駛，與C至B逆水行駛順水速度∶逆水速度=5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出A至B距離是12＋3=15〔千米〕.答：A至B兩地距離是15千米.例20從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行。1小時20分后，在第二段的解一：畫出如下示意圖：當從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的到達D處，這樣，D把第一段分成兩局部時20分相當于因此就知道，汽車在第一段需要第二段需要30×3＝90〔分鐘〕；甲、乙兩市距離是答：甲、乙兩市相距185千米.“所用時間〞使各段之間建立了換算關系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配〞方法求出各段所用時間.第一段所用時間∶第三段所用時間=5∶2.時間一樣.第一段所用時間∶第二段所用時間=5∶9.因此，三段路程所用時間的比是5∶9∶2.汽車走完全程所用時間是80×2＝160〔分種〕.例21一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20％，可以比原定時間提前一小時到達；如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25％，那么可提前40分鐘到達.那么甲、乙兩地相距多少千米？解：設原速度是1.％后，所用時間縮短到原時間的這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要同樣道理，車速提高25％，所用時間縮短到原來的如果一開始就加速25％，可少時間現(xiàn)在只少了40分鐘，72-40＝32〔分鐘〕.說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應是這段路程所用時間答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實上，其他條件已完全確定了“原速〞與“加速〞兩段行程的時間的比例關系，當然也確定了距離的比例關系.全程長還可以用下面比例式求出，設全程長為x，就有x∶120＝72∶32.第二講和、差與倍數的應用題做應用題是一種很好的思維鍛煉.做應用題不但要會算，而且要多思考，善于發(fā)現(xiàn)題目中的數量關系，可以說做應用題是運用數學的開始.加、減、乘是最根本的運算，和、差、倍數是兩數之間最簡單的數量關系.和差問題說到“和差問題〞，小學高年級的同學，人人都會說：“我會！〞和差問題的計算太簡單了.是的，知道兩個數的和與差，求兩數，有計算公式：大數=〔和+差〕÷2小數=〔和-差〕÷2會算，還要會靈活運用，要把某些應用題轉化成和差問題來算.先看幾個簡單的例子.例1張明在期末考試時，語文、數學兩門功課的平均得分是95分，數學比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分？解：數學得分=〔95×2＋8〕÷2＝99.語文得分=(95×2-8〕÷2＝91.答：張明數學得99分，語文得91分.注：也可以從95×2-99＝91求出語文得分.例2有A，B，C三個數，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求這三個數.解：B=〔252＋197-149〕÷2＝150，A＝252-150＝102，C＝149-102＝47.答：A，B，C三數分別是102，150，47.注：還有一種更簡單的方法〔A+B〕＋〔B＋C〕＋〔C＋A〕＝2×〔A＋B＋C〕.上面式子說明，三數相加再除以2，就是三數之和.A＋B＋C＝〔252＋197＋149〕÷C＝299-252＝47，B＝299-149＝150，A＝299-197＝102.例3甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克.甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？解：畫一張簡單的示意圖，就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多5＋7＋5＝17〔千克〕因此，甲、乙兩數之和是75，差為17.甲筐蘋果數=〔75＋17〕÷2＝46〔千克〕.乙筐蘋果數=75-46＝29〔千克〕.答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克.例4張強用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子.外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強買這雙鞋花多少錢？解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價格和是270元，差是210元.外衣和鞋價之和=〔270＋210〕÷2＝240〔元〕.外衣價與鞋價之差是140，因此鞋價=〔240-140〕÷2＝50〔元〕.答：買這雙鞋花50元.再舉出三個較復雜的例子.如果你也能像下面的解答那樣計算，那么就可以說，“和差問題〞的解法，你已能靈活運用了.例5李叔叔要在下午3點鐘上班，他估計快到上班時間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點10分就停了.他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時間還有10分鐘.夜里11點下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點整.假定李叔叔上班和下班在路上用的時間相同，那么他家的鐘停了多少時間〔上發(fā)條所用時間忽略不計〕？解：鐘停的時間+路上用的時間=160〔分鐘〕.晚上下班時，廠里鐘是11點，到家看鐘是9點，相差2小時.這是由于鐘停的時間中，有一局部時間，被回家路上所用時間抵消了.因此鐘停的時間-路上用的時間=120〔分鐘〕.現(xiàn)在已把問題轉化成標準的和差問題了.鐘停的時間=〔160＋120〕÷2＝140〔分鐘〕.路上用的時間=160-140＝20〔分鐘〕.答：李叔叔的鐘停了2小時20分.還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時間：以李叔叔家的鐘計算，他在12點10分出門，晚上9點到家，在外共8小時50分鐘，其中8小時上班，10分鐘等待上班，剩下的時間就是他上班來回共用的時間，所以上班路上所用時間=〔8小時50分鐘-8小時-10分鐘〕÷2＝20〔分鐘〕.鐘停時間=2小時40分鐘-20分鐘=2小時20分鐘.例6小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完.可是售貨員把甲卡張數算作乙卡張數，把乙卡張數算作甲卡張數，要找還小明3.2元.問小明買甲、乙卡各幾張？解：÷0.8＝4〔張〕.現(xiàn)在已有兩種卡張數之差，只要求出兩種卡張數之和問題就解決了.如何求呢？請注意××乙卡張數=21.4.××甲卡張數=21.4-3.2.從上面兩個算式可以看出，兩種卡張數之和是[21.4＋〔21.4-3.2〕]÷〔1.5＋0.7〕＝18〔張〕.因此，甲卡張數是〔18＋4〕÷2＝11〔張〕.乙卡張數是18-11＝7〔張〕.答：小明買甲卡11張、乙卡7張.注：此題還可用雞兔同籠方法做，請見下一講.例7有兩個一樣大小的長方形，拼合成兩種大長方形，如右圖.大長方形〔A〕的周長是240厘米，大長形〔B〕的周長是258厘米，求原長方形的長與寬各為多少厘米？解：大長方形〔A〕的周長是原長方形的長×2+寬×4.大長方形〔B〕的周長是原長方形的長×4+寬×2.因此，240+258是原長方形的長×6+寬×6.原長方形的長與寬之和是〔240＋258〕÷6＝83〔厘米〕.原長方形的長與寬之差是〔258-240〕÷2＝9〔厘米〕.因此，原長方形的長與寬是長：〔83＋9〕÷2＝46〔厘米〕.寬：〔83-9〕÷2＝37〔厘米〕.答：原長方形的長是46厘米、寬是37厘米倍數問題“年齡問題〞是這類問題的典型.先看幾個根底性的例子.例8有兩堆棋子，第一堆有87個，第二堆有69個.那么從第一堆拿多少個棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數是第一堆的3倍.解：兩堆棋子共有87＋69＝156〔個〕.為了使第二堆棋子數是第一堆的3倍，就要把156個棋子分成1＋3＝4〔份〕，即每份有棋子156÷〔1＋3〕＝39〔個〕.87-39＝48〔個〕.答：應從第一堆拿48個棋子到第二堆去.例9有兩層書架，共有書173本.從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的2倍還多6本.問第二層有多少本書？解：我們畫出以下示意圖：我們把第一層〔拿走38本后〕余下的書算作1“份〞，那么第二層的書是2份還多6本.再去掉這6本，即173-38-6＝129〔本〕恰好是3份，每一份是129÷3=43〔本〕.因此，第二層的書共有43×2+6＝92〔本〕.答：書架的第二層有92本書.說明：我們先設立“1份〞，使計算有了很方便的計算單位.這是解應用題常用的方法，特別對倍數問題極為有效.把份數表示在示意圖上，更是一目了然.例10某小學有學生975人.全校男生人數是六年級學生人數的4倍少23人，全校女生人數是六年級學生人數的3倍多11人.問全校有男、女生各多少人？解：設六年級學生人數是“1份〞.男生是4份-23人.女生是3份+11人.全校是7份-〔23-11〕人.每份是〔975+12〕÷7＝141〔人〕.男生人數=141×4-23＝541〔人〕.女生人數=975-541＝434〔人〕.答：有男生541人、女生434人.例9與例10是一個類型的問題，但稍有差異.請讀者想一想，“差異〞在哪里？70雙皮鞋.此時皮鞋數恰好是旅游鞋數的2倍.問原來兩種鞋各有幾雙？×2=6〔份〕.400＋70將是3+1＋6＝10〔份〕.每份是〔400＋70〕÷10＝47〔雙〕.原有旅游鞋47×4=188〔雙〕.原有皮鞋47×6-70＝212〔雙〕.答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙.設整數的份數，使計算簡單方便.小學算術中小數、分數盡可能整數化，使思考、計算都較簡捷.因此，“盡可能整數化〞將會貫穿在以后的章節(jié)中.下面例子將是本節(jié)的主要內容──年齡問題.年齡問題是小學算術中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數〞這一條件.解年齡問題最關鍵的一點是：兩個人的年齡差總保持不變.例12父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲.問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍？解：父女相差36歲，這個差是不變的.幾年前還是相差36歲.當父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時，父親仍比女兒大36歲.這36歲是女兒年齡的〔5-1〕倍.36÷〔5-1〕＝9.當時女兒是9歲，14-9＝5，也就是5年前.答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍.例13有大、小兩個水池，大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.現(xiàn)在往兩個水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.問每個水池注入了多少立方米的水.解：畫出下面示意圖：我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.從圖上可以看出，因為注入兩個水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量〔300-70〕是2份.因此每份是〔300-70〕÷2＝115〔立方米〕.要注入的水量是115-70=45〔立方米〕·答：每個水池要注入45立方米的水.例13與年齡問題是完全一樣的問題.“注入水〞相當于年齡問題中的“幾年后〞.例14今年哥倆的歲數加起來是55歲.曾經有一年，哥哥的歲數與今年弟弟的歲數相同，那時哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的兩倍.哥哥今年幾歲？解：當哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍時，我們設那時弟弟的歲數是1份，哥哥的歲數是2份，那么哥哥與弟弟的歲數之差是1份.兩人的歲數之差是不會變的，今年他們的年齡仍相差1份.題目又告訴我們，那時哥哥歲數，與今年弟弟的歲數相同，因此今年弟弟的歲數也是2份，而哥哥今年的歲數應是2＋1＝3〔份〕.今年，哥弟倆年齡之和是3＋2=5〔份〕.每份是55÷5＝11〔歲〕.哥哥今年的歲數是11×3＝33〔歲〕.答：哥哥今年33歲.作為本節(jié)最后一個例子，我們將年齡問題進行一點變化.例15父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲.問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍？解：現(xiàn)在父母年齡之和是38＋36＝74.現(xiàn)在兒子年齡的4倍是11×74-44＝30.從4倍來考慮，以后每年長1×4＝4，而父母年齡之和每年長1＋1＝2.為追上相差的30，要30÷〔4-2〕＝15〔年〕·答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍.請讀者用例15的解題思路，解習題二的第7題.也許就能完全掌握這一解題技巧了.請讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣？各有什么特點？我們也可以用例15解法來解例12.具體做法有下面算式：〔14×5-50〕÷〔5-1〕＝5〔年〕.不過要注意14×5比50多，因此是5年前.2.3盈缺乏問題在我國古代的算書中，《九章算術》是內容最豐富多彩的一本.在它的第七章，講了一類盈缺乏問題，其中第一題，用現(xiàn)代的語言來表達，就是下面的例題.例16有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價是多少？解：“多3元〞與“少4元〞兩者相差3＋4＝7〔元〕.每個人要多出8-7＝1〔元〕.因此就知道，共有7÷1＝7〔人〕，物價是8×7-3＝53〔元〕.答：共有7個人一起買，物價是53元.總數相差數÷每份相差數=份數這樣的問題在內容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈缺乏〞問題.請再看一些例子.例17把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個小朋友分不到糖.這袋糖有多少粒？解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的10×3＝30〔?！常纸o其余小朋友，每人就可以增加16-10=6〔粒〕，因此其余小朋友有10×3÷〔16-10〕＝5〔人〕.再加上這3位小朋友，共有小朋友5＋3＝8〔人〕.這袋糖有10×〔5＋3〕＝80〔?！?解二：如果我們再增加16×3粒糖，每人都可以增加〔1-10〕粒，因此共有小朋友16×3÷〔16-10〕=8〔人〕·這袋糖有80粒.答：這袋糖有80粒.這里，16×3是總差，〔16-10〕是每份差，8是份數.例18有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人.這個班共有多少名同學？解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個人無船坐；如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個人坐船.可以坐船的人數，兩者相差6＋9＝15〔人〕.這是由于每條船多坐〔9-6〕人產生的，因此共有船〔6＋9〕÷(9-6〕＝5〔條〕·這個班的同學有6×5＋6＝36〔人〕.答：這個班有36人.例19小明從家去學校，如果每分鐘走80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學校的路程有多遠？解一：以小明從家出發(fā)到上課這一段時間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學校的距離進行比擬：如果每分鐘走80米，就可以多走80×6〔米〕；如果每分鐘走50米，就要少走50×3〔米〕.請看如下示意圖：因此我們可以求出，小明從家出發(fā)到上課這段時間是〔80×6＋50×3〕÷〔80-50〕＝21〔分鐘〕.家至學校距離是800×〔21-6〕＝1200〔米〕·或50×〔21+3〕＝1200〔米〕.答：小明家到學校的路程是1200米.解二：以每分鐘80米走完家到學校這段路程所需時間，作為思考的出發(fā)點.用每分鐘50米速度，就要多用6＋3=9〔分種〕.這9分鐘所走的50×80米所需時間是50×〔6＋3〕÷〔80-50〕＝15〔分鐘〕·再看兩個稍復雜的例子.例20一些桔子分給假設干個人，每人5個還多余10個桔子.如果人數增加到3倍還少5個人，那么每人分2個桔子還缺少8個，問有桔子多少個？解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人〞.先要轉化這一條件.假設還有10個桔子，10＝2×5，就可以多有5個人，把“少5人〞這一條件暫時擱置一邊，只考慮3倍人數，也相當于按原人數每人給2×3=6〔個〕.每人給5個與給6個，總數相差10＋10＋8＝28(個〕.所以原有人數28÷〔6-5)=28〔人〕.桔子總數是5×28＋10＝150〔個〕.答：有桔子150個.例21有一些蘋果和梨.如果按每1個蘋果2個梨分堆，梨分完時還剩5個蘋果，如果按每3個蘋果5個梨分堆，蘋果分完了還剩5個梨.問蘋果和梨各多少？解一：我們設想再有10個梨，與剩下5個蘋果一起，按“1個蘋果、2個梨〞“3個蘋果、5個梨〞分堆來看，蘋果總數能被3整除.因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個蘋果，2×3＝6〔個〕梨.與后一種分堆比擬：每堆蘋果都是3個.而梨多1個〔6-5＝1〕.梨的總數相差設想增加10個+剩下5個=15個.〔10＋5〕÷〔6-5〕＝15.就知有15個大堆，蘋果總數是15×3＝45〔個〕.梨的總數是〔45－5〕×2＝80〔個〕.答：有蘋果45個、梨80個.解二：用圖解法.前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個來表示.后一種分堆，只要添上3個蘋果，就可與剩的5個梨又組成一堆.梨算作5份，蘋果恰好是3份.將上、下兩圖對照比擬，就可看出，5＋3＝8〔個〕是以下圖中“半份〞，即1份是16.梨是5份，共有16×5＝80〔個〕.蘋果有16×2.5＋5＝45〔個〕.第三講數論的方法技巧之一數論是研究整數性質的一個數學分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數論問題表達簡明，“很多數論問題可以從經驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事〞。因而有人說：“用以發(fā)現(xiàn)天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了。任何學生，如能把當今任何一本數論教材中的習題做出，就應當受到鼓勵，并勸他將來從事數學方面的工作。〞所以在國內外各級各類的數學競賽中，數論問題總是占有相當大的比重。小學數學競賽中的數論問題，常常涉及整數的整除性、帶余除法、奇數與偶數、質數與合數、約數與倍數、整數的分解與分拆。主要的結論有：1．帶余除法：假設a，b是兩個整數，b＞0，那么存在兩個整數q，r，使得a=bq+r〔0≤r＜b〕，且q，r是唯一的。特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數，a是b的倍數。2．假設a|c，b|c，且a，b互質，那么ab|c。3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即其中p1＜p2＜…＜pk為質數，a1，a2，…，ak為自然數，并且這種表示是唯一的?！?〕式稱為n的質因數分解或標準分解。4．約數個數定理：設n的標準分解式為〔1〕，那么它的正約數個數為：d〔n〕=〔a1+1〕〔a2+1〕…〔ak+1〕。5．整數集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。下面，我們將按解數論題的方法技巧來分類講解。3.1利用整數的各種表示法對于某些研究整數本身的特性的問題，假設能合理地選擇整數的表示形式，那么常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：1．十進制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；2．帶余形式：a=bq+r；4．2的乘方與奇數之積式：n=2mt，其中t為奇數。例1紅、黃、白和藍色卡片各1張，每張上寫有1個數字，小明將這4張卡片如以下圖放置，使它們構成1個四位數，并計算這個四位數與它的各位數字之和的10倍的差。結果小明發(fā)現(xiàn)，無論白色卡片上是什么數字，計算結果都是1998。問：紅、黃、藍3張卡片上各是什么數字？解：設紅、黃、白、藍色卡片上的數字分別是a3，a2，a1，a0，那么這個四位數可以寫成1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位數字之和的10倍是10〔a3+a2+a1+a0〕=10a3+10a2+10a1+10a0，這個四位數與它的各位數字之和的10倍的差是990a3+90a2-9a110a3+10a2-a0比擬上式等號兩邊個位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2。所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍色卡片上是8。解：依題意，得a+b+c＞14，說明：求解此題所用的根本知識是，正整數的十進制表示法和最簡單的不定方程。例3從自然數1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數使得所取出的數中任意三個數之和能被18整除？解：設a，b，c，d是所取出的數中的任意4個數，那么a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然數。于是c-d=18〔m-n〕。上式說明所取出的數中任意2個數之差是18的倍數，即所取出的每個數除以18所得的余數均相同。設這個余數為r，那么a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，其中a1，b1，c1是整數。于是a+b+c=18〔a1+b1+c1〕+3r。因為18|〔a+b+c〕，所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因為1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數，它們中的任意3個數之和能被18整除。例4求自然數N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內，它共有10個約數。解：把數N寫成質因數乘積的形式由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數ak為自然數或零。依題意，有〔a1+1〕〔a2+1〕…〔an+1〕=10。由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個不同的質因數5和7，因為a4+1≥3＞2，故由〔a3+1〕〔a4+1〕=10知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。例5如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數，那么N等于多少個2與1個奇數的積？解：因為210=1024，211=2048＞2000，每一個不大于2000的自然數表示為質因數相乘，其中2的個數不多于10個，而1024=210，所以，N等于10個2與某個奇數的積。說明：上述5例都是根據題目的自身特點，從選擇恰當的整數表示形式入手，使問題迎刃而解。3.2枚舉法枚舉法〔也稱為窮舉法〕是把討論的對象分成假設干種情況〔分類〕，然后對各種情況逐一討論，最終解決整個問題。運用枚舉法有時要進行恰當的分類，分類的原那么是不重不漏。正確的分類有助于暴露問題的本質，降低問題的難度。數論中最常用的分類方法有按模的余數分類，按奇偶性分類及按數值的大小分類等。例6求這樣的三位數，它除以11所得的余數等于它的三個數字的平方和。分析與解：三位數只有900個，可用枚舉法解決，枚舉時可先估計有關量的范圍，以縮小討論范圍，減少計算量。設這個三位數的百位、十位、個位的數字分別為x，y，z。由于任何數除以11所得余數都不大于10，所以x2+y2+z2≤10，從而1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數必在以下數中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310。不難驗證只有100，101兩個數符合要求。例7將自然數N接寫在任意一個自然數的右面〔例如，將2接寫在35的右面得352〕，如果得到的新數都能被N整除，那么N稱為魔術數。問：小于2000的自然數中有多少個魔術數？對N為一位數、兩位數、三位數、四位數分別討論。N|100，所以N=10，20，25，50；N|1000，所以N=100，125，200，250，500；〔4〕當N為四位數時，同理可得N=1000，1250，2000，2500，5000。符合條件的有1000，1250。綜上所述，魔術數的個數為14個。說明：〔1〕我們可以證明：k位魔術數一定是10k的約數，反之亦然?！?〕這里將問題分成幾種情況去討論，對每一種情況都增加了一個前提條件，從而降低了問題的難度，使問題容易解決。例8有3張撲克牌，牌面數字都在10以內。把這3張牌洗好后，分別發(fā)給小明、小亮、小光3人。每個人把自己牌的數字記下后，再重新洗牌、發(fā)牌、記數，這樣反復幾次后，3人各自記錄的數字的和順次為13，15，23。問：這3張牌的數字分別是多少？解：13+15+23=51，51=3×17。因為17＞13，摸17次是不可能的，所以摸了3次，3張撲克牌數字之和是17，可能的情況有下面15種：①1，6，10②1，7，9③1，8，8④2，5，10⑤2，6，9⑥2，7，8⑦3，4，10⑧3，5，9⑨3，6，8⑩3，7，7(11)4，4，9(12)4，5，8(13)4，6，7(14)5，5，7(15)5，6，6只有第⑧種情況可以滿足題目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。這3張牌的數字分別是3，5和9。例9寫出12個都是合數的連續(xù)自然數。分析一：在尋找質數的過程中，我們可以看出100以內最多可以寫出7個連續(xù)的合數：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運用下去，把考查的范圍擴大一些就行了。解法1：用篩選法可以求得在113與127之間共有12個都是合數的連續(xù)自然數：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。分析二：如果12個連續(xù)自然數中，第1個是2的倍數，第2個是3的倍數，第3個是4的倍數……第12個是13的倍數，那么這12個數就都是合數。又m+2，m+3，…，m+13是12個連續(xù)整數，故只要m是2，3，…，13的公倍數，這12個連續(xù)整數就一定都是合數。解法2：設m為2，3，4，…，13這12個數的最小公倍數。m+2，m+3，m+4，…，m+13分別是2的倍數，3的倍數，4的倍數……13的倍數，因此12個數都是合數。說明:我們還可以寫出13！+2，13！+3，…，13！+13〔其中n！=1×2×3×…×n〕這12個連續(xù)合數來。同樣，〔m+1〕！+2，〔m+1〕！+3，…，〔m+1〕！+m+1是m個連續(xù)的合數。3.3歸納法當我們要解決一個問題的時候，可以先分析這個問題的幾種簡單的、特殊的情況，從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或作出某種猜測，從而找到解決問題的途徑。這種從特殊到一般的思維方法稱為歸納法。例10將100以內的質數從小到大排成一個數字串，依次完成以下5項工作叫做一次操作：〔1〕將左邊第一個數碼移到數字串的最右邊；〔2〕從左到右兩位一節(jié)組成假設干個兩位數；〔3〕劃去這些兩位數中的合數；〔4〕所剩的兩位質數中有相同者，保存左邊的一個，其余劃去；〔5〕所余的兩位質數保持數碼次序又組成一個新的數字串。問：經過1999次操作，所得的數字串是什么？解：第1次操作得數字串；第2次操作得數字串11133173；第3次操作得數字串111731；第4次操作得數字串1173；第5次操作得數字串1731；第6次操作得數字串7311；第7次操作得數字串3117；第8次操作得數字串1173。不難看出，后面以4次為周期循環(huán)，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得數字串與第7次相同，是3117。例11有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開始按如下的順序進行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面。再把原來的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面。反復這樣做，直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第幾張？分析與解：可以從簡單的不失題目性質的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下：設這一摞卡片的張數為N，觀察上表可知：〔1〕當N=2a〔a=0，1，2，3，…〕時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的最后一張，即第2a〔2〕當N=2a+m〔m＜2a〕時，剩下的這張卡片是原來那一摞卡片的第取N=100，因為100=26+36，2×36=72，所以剩下這張卡片是原來那一摞卡片的第72張。說明：此題實質上是著名的約瑟夫斯問題：傳說古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號碼1，2，3，…然后把1號殺了，把3號殺了，總之每隔一個人殺一個人，最后剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯。如果這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號碼是多少？例12要用天平稱出1克、2克、3克分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究?！?〕稱重1克，只能用一個1克的砝碼，故〔2〕稱重2克，有3①增加一個1克②用一個2克③用一個3克的砝碼，稱重時，把一個1克的砝碼放在稱重盤內，把3克〔3〕稱重3克，用上面的②③兩個方案，不用再增加砝碼，因此方案①〔4〕稱重4克，用上面的方案③，不用再增加砝碼，因此方案②也被淘汰。總之，用1克、3克〔5〕接著思索可以進行一次飛躍，稱重5克9-〔3+1〕=5，即用一個9克重的砝碼放在砝碼盤內，1克、3克而要稱14克14+13=27〔克〕，可以稱到1+3+9+27=40〔克〕以內的任意整數克重?？傊来a的重量為1，3，32，33這個結論顯然可以推廣，當天平兩端都可放砝碼時，使用1，3，這是使用砝碼最少、稱重最大的砝碼重量設計方案。第四講數論的方法技巧之二反證法反證法即首先對命題的結論作出相反的假設，并從此假設出發(fā)，經過正確的推理，導出矛盾的結果，這就否認了作為推理出發(fā)點的假設，從而肯定了原結論是正確的。反證法的過程可簡述為以下三個步驟：1．反設：假設所要證明的結論不成立，而其反面成立；2．歸謬：由“反設〞出發(fā)，通過正確的推理，導出矛盾——與條件、公理、定義、定理、反設及明顯的事實矛盾或自相矛盾；3．結論：因為推理正確，產生矛盾的原因在于“反設〞的謬誤，既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立。運用反證法的關鍵在于導致矛盾。在數論中，不少問題是通過奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。解：如果存在這樣的三位數，那么就有100a+10b+c=〔10a+b〕+〔10b+c〕+〔10a+c〕。上式可化簡為80a=b+c，而這顯然是不可能的，因為a≥1，b≤9，c≤9。這說明所找的數是不存在的。說明：在證明不存在性的問題時，常用反證法：先假設存在，即至少有一個元素，它符合命題中所述的一切要求，然后從這個存在的元素出發(fā)，進行推理，直到產生矛盾。例2將某個17位數的數字的排列順序顛倒，再將得到的數與原來的數相加。試說明，得到的和中至少有一個數字是偶數。解：假設得到的和中沒有一個數字是偶數，即全是奇數。在如下式所示的加法算式中，末一列數字的和d+a為奇數，從而第一列也是如此，因此第二列數字的和b+c≤9。將數的前兩位數字a，b與末兩位數字c，d去掉，所得的13位數仍具有“將它的數字顛倒，得到的數與它相加，和的數字都是奇數〞這一性質。照此進行，每次去掉首末各兩位數字，最后得到一位數，它與自身相加是偶數，矛盾。故和的數字中必有偶數。說明：顯然結論對〔4k+1〕位數也成立。但對其他位數的數不一定成立。如12+21，506+605等。例3有一個魔術錢幣機，當塞入1枚1分硬幣時，退出1枚1角和1枚5分的硬幣；當塞入1枚5分硬幣時，退出4枚1角硬幣；當塞入1枚1角硬幣時，退出3枚1分硬幣。小紅由1枚1分硬幣和1枚5分硬幣開始，反復將硬幣塞入機器，能否在某一時刻，小紅手中1分的硬幣剛好比1角的硬幣少10枚？解：開始只有1枚1分硬幣，沒有1角的，所以開始時1角的和1分的總枚數為0+1=1，這是奇數。每使用一次該機器，1分與1角的總枚數記為Q。下面考查Q的奇偶性。如果塞入1枚1分的硬幣，那么Q暫時減少1，但我們取回了1枚1角的硬幣〔和1枚5分的硬幣〕，所以總數Q沒有變化；如果再塞入1枚5分的硬幣〔得到4枚1角硬幣〕，那么Q增加4，而其奇偶性不變；如果塞入1枚1角硬幣，那么Q增加2，其奇偶性也不變。所以每使用一次機器，Q的奇偶性不變，因為開始時Q為奇數，它將一直保持為奇數。這樣，我們就不可能得到1分硬幣的枚數剛好比1角硬幣數少10的情況，因為如果我們有P枚1分硬幣和〔P+10〕枚1角硬幣，那么1分和1角硬幣的總枚數為〔2P+10〕，這是一個偶數。矛盾。例4在3×3的方格表中已如右圖填入了9個質數。將表中同一行或同一列的3個數加上相同的自然數稱為一次操作。問：你能通過假設干次操作使得表中9個數都變?yōu)橄嗤臄祮幔繛槭裁?？解：因為表?個質數之和恰為100，被3除余1，經過每一次操作，總和增加3的倍數，所以表中9個數之和除以3總是余1。如果表中9個數變?yōu)橄嗟龋敲?個數的總和應能被3整除，這就得出矛盾！所以，無論經過多少次操作，表中的數都不會變?yōu)?個相同的數。構造法構造法是一種重要的數學方法，它靈活多樣，數論中的許多問題都可以通過構造某些特殊結構、特殊性質的整數或整數的組合來解決。例59999和99！能否表示成為99個連續(xù)的奇自然數之和？解：9999能。因為9999等于99個9998之和，所以可以直接構造如下：9999=〔9998-98〕+〔9998-96〕+…+=〔9998-2〕+9998+〔9998+2〕+…+=〔9998+96〕+〔9998+98〕。99！不能。因為99！為偶數，而99個奇數之和為奇數，所以99！不能表示為99個連續(xù)奇數之和。說明：利用構造法證明存在性問題，只要把滿足題設要求的數學對象構造出來就行。例6從1，2，3，…，999這999個數中，要求劃去盡量少的數，使得余下的數中每一個數都不等于另外兩個數的乘積。應劃去哪些數？解：我們可劃去2，3，…，30，31這30個數，因為劃去了上述這30個數之后，余下的數中，除1以外的任何兩個數之積將大于322=1024＞999。另一方面，可以通過構造三元數組來證明30是最少的個數?！?，61，2×61〕，〔3，60，3×60〕，〔4，59，4×59〕，…，〔30，33，30×33〕，〔31，32，31×32〕。上面寫出的這些數都是互不相同的，并且這些數中的最大數為31×32=992。如果劃去的數少于30個，那么上述三元數組至少剩下一個，這樣就不滿足題設條件。所以，30是最少的個數。配對法配對的形式是多樣的，有數字的湊整配對，也有集合間元素與元素的配對〔可用于計數〕。傳說高斯8歲時求和〔1+2+…+100〕首創(chuàng)了配對。像高斯那樣，善于使用配對技巧，常常能使一些外表上看來很麻煩，甚至很棘手的問題迎刃而解。例7求1，2，3，…，9999998，9999999這9999999個數中所有數碼的和。解：在這些數前面添一個數0，并不影響所有數碼的和。將這1000萬個數兩兩配對，因為0與9999999，1與9999998，…，4999999與5000000各對的數碼和都是9×7=63。這里共有5000000對，故所有數碼的和是63×5000000=315000000。例8某商場向顧客發(fā)放9999張購物券，每張購物券上印有一個四位數的號碼，從0001到9999號。假設號碼的前兩位數字之和等于后兩位數字之和，那么稱這張購物券為“幸運券〞。例如號碼0734，因0+7=3+4，所以這個號碼的購物券是幸運券。試說明，這個商場所發(fā)的購物券中，所有幸運券的號碼之和能被101整除。解：顯然，號碼為9999的是幸運券，除這張幸運券外，如果某個號碼n是幸運券，那么號碼為m=9999-n的購物券也是幸運券。由于9999是奇數，所以m≠n。由于m+n=9999，相加時不出現(xiàn)進位，所以除去號碼是9999這張幸運券之外，其余所有幸運券可全部兩兩配對，而每一對兩個號碼之和均為9999，即所有幸運券號碼之和是9999的倍數。因為9999=99×101，所以所有幸運券號碼之和能被101整除。試說明分子m是質數89的倍數。解法一：仿照高斯求和〔1+2+3+…+n〕的方法，將和①②兩式相加，得從而2m×88！=89×k〔k是正整數〕。因為89為奇質數，所以89不能整除88！，從而89|m。解法二：作配對處理將括號內的分數進行通分，其公分母為1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，從而m×88！=89×k〔k=n×q〕。因為89為奇質數，所以89不能整除88！，從而89|m。估計法估計法是用不等式放大或縮小的方法來確定某個數或整個算式的取值范圍，以獲取有關量的本質特征，到達解題的目的。在數論問題中，一個有限范圍內的整數至多有有限個，過渡到整數，就能夠對可能的情況逐一檢驗，以確定問題的解。求這個數，并求出滿足題意的5組不同的真分數。解：因每一真分數滿足而所求的數整S是四個不同的真分數之和，因此2＜S＜4，推知S=3。于是可得如下5組不同的真分數：例11在乘積1×2×3×…×n的尾部恰好有106個連續(xù)的零，求自然數n的最大值。分析：假設n的具體數值，求1×2×…×n的尾部零的個數，那么比擬容易解決，現(xiàn)在反過來知道尾部零的個數，求n的值，不大好處理，我們可以先估計n大約是多少，然后再仔細確定n的值。因此，乘積1×2×3×…×400中含質因數5的個數為80+16+3=99〔個〕。又乘積中質因數2的個數多于5的個數，故n=400時，1×2×…×n的尾部有99個零，還需7個零，注意到425中含有2個質因數5，所以當n=430時，1×2×…×n的尾部有106個零；當n=435時，1×2×…×n的尾部有107個零。因此，n的最大值為434。第五講整數問題之一整數是最根本的數，它產生了許多有趣的數學問題.在中、小學生的數學競賽中，有關整數的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學習整數知識以外，還必須通過課外活動來補充一些整數的知識，以及解決問題的思路和方法。對于兩位、三位或者更多位的整數，有時要用下面的方法來表示：49=4×10+9，235=2×100+3×10+5，7064=7×1000+6×10+4，…就是5.1整除整除是整數問題中一個重要的根本概念.如果整數a除以自然數b，商是整數且余數為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時，b是a的一個因數〔約數〕，a是b的倍數.性質1如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除〔這里設a>b〕.例如：3丨18，3丨12，那么3丨〔18+12〕，3丨〔18-12〕.性質2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如：3丨6，6丨24，那么3丨24.性質3如果a能同時被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍數整除.例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數是18，18丨36.如果兩個整數的最大公約數是1，那么它們稱為互質的.例如：7與50是互質的，18與91是互質的.性質4整數a，能分別被b和c整除，如果b與c互質，那么a能被b×c整除.例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質，72能被3與4的乘積12整除.性質4中，“兩數互質〞這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因為6與8不互質，6與8的最大公約數是2.質，它們的最小公倍數是b×c.事實上，根據性質4，我們常常運用如下解題思路：要使a被b×c整除，如果b與c互質，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的數都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數的整除問題.〔1〕能被2整除的數的特征：如果一個整數的個位數是偶數，那么它必能被2整除.〔2〕能被5整除的數的特征：如果一個整數的個位數字是0或5，那么它必能被5整除.〔3〕能被3〔或9〕整除的數的特征：如果一個整數的各位數字之和能被3〔或9〕整除，那么它必能被3〔或9〕整除.〔4〕能被4〔或25〕整除的數的特征：如果一個整數的末兩位數能被4〔或25〕整除，那么它必能被4〔或25〕整除.〔5〕能被8〔或125〕整除的數的特征：如果一個整數的末三位數能被8〔或125〕整除，那么它必能被8〔或125〕整除.〔6〕能被11整除的數的特征：如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差〔大減小〕能被11整除，那么它必能被11整除.是什么數字？解：18=2×9，并且2與9互質，根據前面的性質4，可以分別考慮被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考慮被9整除，四個數字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果b=0，只有a=7，此數是7740；如果b=2，只有a=5，此數是7542；如果b＝4，只有a＝3，此數是7344；如果b＝6，只有a＝1，此數是7146；如果b＝8，只有a＝8，此數是7848.因此其中最小數是7146.根據不同的取值，分情況進行討論，是解決整數問題常用方法，例1就是一個典型.例2一本老賬本上記著：72只桶，共□□元，其中□處是被蟲蛀掉的數字，請把這筆賬補上.解：把□□寫成整數679，它應被72整除.72＝9×8，9與8又互質.按照前面的性質4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數字之和+24能被9整除，因此a＝3.這筆帳是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六個數字中選出盡可能多的不同數字組成一個數〔有些數字可以重復出現(xiàn)〕，使得能被組成它的每一個數字整除，并且組成的數要盡可能小.解：122364.例4四位數7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數.解：55＝5×11，5與11互質，可以分別考慮被5與11整除.要被5整除，個位數只能是0或5.再考慮被11整除.〔7+4〕-〔百位數字+0〕要能被11整除，百位數字只能是0，所得四位數是7040.〔7+4〕-〔百位數字+5〕要能被11整除，百位數字只能是6〔零能被所有不等于零的整數整除〕，所得四位數是7645.滿足條件的四位數只有兩個：7040，7645.例5一個七位數的各位數字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數中，最大的是哪一個？，要使它被11整除，要滿足〔9+7+5+b〕-〔8+6+a〕=〔21+b〕-〔14+a〕能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數是9876504.再介紹另一種解法.先用各位數字均不相同的最大的七位數除以11〔參見下頁除式〕.要滿足題目的條件，這個數是9876543減6，或者再減去11的倍數中的一個數，使最后兩位數字是0，1，2，3，4中的兩個數字.43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個數是9876504.思考題：如果要求滿足條件的數最小，應如何去求，是哪一個數呢？〔答：1023495〕例6某個七位數1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個數字組成的三位數是多少？與上例題一樣，有兩種解法.解一：從整除特征考慮.這個七位數的最后一位數字顯然是0.另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數要能被8整除，因此只可能是下面三個數：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數是320.解二：直接用除式來考慮.2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數是2520，這個七位數要被2520整除.現(xiàn)在用1993000被2520來除，具體的除式如下：因為2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面這個41位數能被7整除，中間方格代表的數字是幾？解：因為111111＝3×7×11×13×37，所以555555＝5×111111和999