編號：039課題:§5.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用——生活中的優(yōu)化問題舉例教學課時安排1、上課時間：_________________．2、課時安排：_________________．3、上課班級___________________．學科目標要求1、理解生活中的優(yōu)化問題．2、掌握用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟.3、能利用導數(shù)解決與函數(shù)有關的綜合問題．學科素養(yǎng)目標通過具體背景與實例的抽象，經歷導數(shù)模型的建構和利用導數(shù)解決實際問題的過程，使學生對變量數(shù)學的思想方法（無窮小算法數(shù)學）有新的感悟．進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，感受和體會數(shù)學產生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數(shù)學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點，進而，學習本章節(jié)有助于學生從整體上理解和把握數(shù)學的結構，靈活運用數(shù)學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．本節(jié)重點難點重點：用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟；難點：利用導數(shù)解決與函數(shù)有關的綜合問題．教學過程賞析基礎知識積累1.函數(shù)的最大值與最小值前提在函數(shù)定義域I內存在x0條件對任意的x∈I，總有f(x)_______f(x0)對任意的x∈I，總有f(x)_______f(x0)結論f(x0)為最大值f(x0)為最小值【友情提醒注意】函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是定義域內所有函數(shù)值中的最大者，最小值必須是定義域內所有函數(shù)值中的最小者．f(x)在[a，b]上的最值的兩個步驟第一步：求f(x)在(a，b)上的________；第二步：將第一步中求得的極值與______________比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值．【友情提醒注意】最值不一定是極值，極值也不一定是最值．【課前預習思考】結合圖形觀察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出現(xiàn)在哪里．【當堂鞏固訓練】題1．有一長為16m的籬笆，要圍成一個矩形場地，則此矩形場地的最大面積為()A．4m2B．8m2C．12m2D．16m2題2.某工廠要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每平方米的造價為15元，箱壁每平方米的造價為12元，則箱子的最低總造價為()A．900元B．840元C．818元D．816元題3．一個箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)＝x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，則當箱子的容積最大時，x的值為()A．30B．40C．50D．60題4.如圖所示，半徑為2的⊙M切直線AB于點O，射線OC從OA出發(fā)繞著O點順時針旋轉到OB，旋轉過程中，OC交⊙M于P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為S＝f(x)，那么f(x)的圖象是如圖中的()題5．將邊長為1m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S＝eq\f(（梯形的周長）2,梯形的面積)，則S的最小值是()A．eq\f(32\r(3),3)B．eq\f(16\r(3),3)C．eq\f(8\r(3),3)D．eq\f(4\r(3),3)題6．做一個圓柱形鍋爐，容積為V，兩個底面的材料每單位面積的價格為a元，側面的材料每單位面積的價格為b元，當造價最低時，鍋爐的底面直徑與高的比為()A．eq\f(a,b)B．eq\f(a2,b)C．eq\f(b,a)D．eq\f(b2,a)題7（多選題）．某糧食加工企業(yè)設計了一種容積為63000π立方米的糧食儲藏容器，如圖1所示，已知該容器分上下兩部分，上部分是底面半徑和高都為r(r≥10)米的圓錐，下部分是底面半徑為r米、高為h米的圓柱體，如圖2所示．經測算，圓錐的側面每平方米的建造費用為eq\r(2)a元，圓柱的側面、底面每平方米的建造費用為a元，設每個容器的制造總費用為y元，則下面說法正確的是()A.10≤r<40B．h的最大值為eq\f(1880,3)C．當r＝21時，y＝7029aπD．當r＝30時，y有最小值，最小值為6300aπ題8（多選題）.如圖所示，外層是類似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為10eq\r(15)π的半球，下面大圓剛好與高度為6的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內倒放一個小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，則該小圓錐體積可以為()A．10πB．18πC．30πD．40π題9．如圖所示，某廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當砌墻壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為________.題10．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和8萬元．那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站________千米處．題11．有矩形鐵板，其長為6，寬為4，現(xiàn)從四個角上剪掉邊長為x的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子，要使容積最大，則x＝________．題12．某廠生產某種產品x件的總成本C(x)＝1200＋eq\f(1,27)x2(單位：萬元)，又知產品單價的平方與產品件數(shù)x成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，則產量定為________件時總利潤最大．題13.樹人中學2023級高一年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某商場銷售的商品A進行市場銷售量調研，通過對該商品一個階段的調研得知，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量g(x)(單位：百件)與銷售價格x(元/件)近似滿足關系式g(x)＝eq\f(a,x－2)＋2(x－5)2，其中2<x<5，a為常數(shù)．已知銷售價格為3元/件時，每日可售出該商品10百件．(1)求函數(shù)g(x)的解析式．(2)若該商品A的成本為2元/件，根據(jù)調研結果請你試確定該商品銷售價格的值，使該商場每日銷售該商品所獲得的利潤(單位：百元)最大．題14.如圖是一塊地皮OAB，其中OA，AB是直線段，曲線段OB是拋物線的一部分，且點O是該拋物線的頂點，OA所在的直線是該拋物線的對稱軸．經測量，OA＝2km，AB＝eq\r(2)km，∠OAB＝eq\f(π,4).現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個矩形CDEF來建造草坪，其中點C在曲線段OB上，點D，E在直線段OA上，點F在直線段AB上，設CD＝akm，矩形草坪CDEF的面積為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))km2.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))，并寫出定義域．(2)當a為多少時，矩形草坪CDEF的面積最大？題15.請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．題16.如圖所示的某種容器的體積為90πcm3，它是由圓錐和圓柱兩部分組合而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為rcm.圓錐的高為h1cm，母線與底面所成的角為45°；圓柱的高為h2cm.已知圓柱底面造價為2a元/cm2，圓柱側面造價為a元/cm2，圓錐側面造價為eq\r(2)a元/cm2.(1)將圓柱的高h2表示為底面圓半徑r的函數(shù)，并求出定義域．(2)當容器造價最低時圓柱的底面圓半徑r為多少？題17.某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線(O′在AB上)，經測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離h1(米)與D到OO′的距離a(米)之間滿足關系式h1＝eq\f(1,40)a2；右側曲線BO上任一點F到MN的距離h2(米)與F到OO′的距離b(米)之間滿足關系式h2＝－eq\f(1,800)b3＋6b.已知點B到OO′的距離為40米．(1)求橋AB的長度；(2)計劃在谷底兩側建造平行于OO′的橋墩CD和EF.且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)，橋墩CD每米造價eq\f(3,2)k(萬元)(k>0)，問O′E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？【課堂跟蹤拔高】題18．已知某商品的進價為4元,通過多日的市場調查,該商品的市場銷量y(件)與商品售價x(元)的關系為y=ex,則當此商品的利潤最大時,該商品的售價x(元)為 ()A.5 B.6 C.7 D.8題19.我校為弘揚中華傳統(tǒng)中醫(yī)藥文化,在一塊邊長為30m的正方形空地中開辟出如圖所示的總面積為750m21m的小路,中間三個矩形區(qū)域將種植益母草、板藍根、苦參(其中兩個小矩形區(qū)域形狀、大小相同).中藥種植的總面積為Sm2.當S取得最大值時,x的值為 ()A.15m B.20m C.25m D.30m題20.一艘船的燃料費y(單位:元/時)與船速x(單位:km/h)的關系是y=x3+x.若該船航行時其他費用為540元/時,則在100km的航程中,要使得航行的總費用最少,航速應為 ()A.30km/h B.30km/h C.30km/h D.60km/h題21.已知圓柱的表面積為定值3π,當圓柱的容積V最大時,圓柱的高h的值為 ()A.1 B. C. D.2題22.一窗戶的上部是半圓,下部是矩形,大致圖形如圖所示,如果窗戶面積為S,為使窗戶周長最小,用料最省,圓的半徑應為 ()A. B. C. D.2題23.如圖所示,圓形紙片的圓心為O,半徑為5,該紙片上的正方形ABCD的中心為O.E,F,G,H為圓O上的點,△ABE,△BCF,△DCG,△ADH分別是以AB,BC,CD,DA為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以AB,BC,CD,DA為折痕折起,使得E,F,G,H重合于一點,記為O',得到四棱錐O'ABCD.當?shù)酌鍭BCD的邊長變化時,四棱錐O'ABCD的體積的最大值為 ()A.3 B. C.3 D.題24.如圖所示,正方形ABCD的邊長為2,切去陰影部分圍成一個正四棱錐,則當正四棱錐體積最大時,該正四棱錐外接球的表面積為 ()A. B.C. D.題25(多選題).將一個邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為xV(x),則下列結論正確的是 ()A.V(x)=(a2x)2x(x∈(0,))B.V'(x)=12x28ax+a2C.V(x)在區(qū)間(0,]上單調遞增D.V(x)在x=時取得最大值題26(多選題)．如圖，在四面體ABCD中，點B1，C1，D1分別在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1∥平面BCD，A1為△BCD內一點，記三棱錐A1－B1C1D1的體積為V，設eq\f(AD1,AD)＝x，對于函數(shù)V＝f(x)，則下列結論正確的是()A.當x＝eq\f(2,3)時，函數(shù)f(x)取到最大值B．函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(1,2)對稱D．不存在x0，使得f(x0)>eq\f(1,4)VA-BCD(其中VA-BCD為四面體ABCD的體積).題27.某公司生產一種產品,固定成本為20000元,每生產一件產品,成本增加100元,若年收入R(元)與年產量x(件)的關系式R(x)=,則當年利潤最大時,每年生產產品的件數(shù)是.題28.某果園種植丑橘每年固定成本10萬元,每年最大產量13萬斤,每種一斤橘子,成本增加1元,已知銷售額函數(shù)f(x)=x3+3ax2+x,(x是橘子產量,單位:萬斤,銷售額單位:萬元,a為常數(shù))若產2萬斤,利潤18萬元,則a=;要使利潤最大,每年需產橘子萬斤.題29.某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度),設該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關,側面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;(2)討論函數(shù)V(r)的單調性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.題30.為響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”的號召,小王大學畢業(yè)后決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè).經過市場調研,生產某小型電子產品需投入年固定成本2萬元,每生產x萬件,需另投入流動成本W(x)萬元,在年產量不足4萬件時,W(x)=x3+2x.當年產量不小于4萬件時,W(x)=7x+27.每件產品售價6元.通過市場分析,小王生產的商品能當年全部售完.(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數(shù)解析式.(年利潤=年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產量為多少萬件時,小王在這一商品的生產中所獲利潤最大?最大利潤是多少?編號：039課題:§5.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用——生活中的優(yōu)化問題舉例教學課時安排1、上課時間：_________________．2、課時安排：_________________．3、上課班級___________________．學科目標要求1、理解生活中的優(yōu)化問題．2、掌握用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟.3、能利用導數(shù)解決與函數(shù)有關的綜合問題．學科素養(yǎng)目標通過具體背景與實例的抽象，經歷導數(shù)模型的建構和利用導數(shù)解決實際問題的過程，使學生對變量數(shù)學的思想方法（無窮小算法數(shù)學）有新的感悟．進一步發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，感受和體會數(shù)學產生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數(shù)學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點，進而，學習本章節(jié)有助于學生從整體上理解和把握數(shù)學的結構，靈活運用數(shù)學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．本節(jié)重點難點重點：用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟；難點：利用導數(shù)解決與函數(shù)有關的綜合問題．教學過程賞析基礎知識積累1.函數(shù)的最大值與最小值前提在函數(shù)定義域I內存在x0條件對任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)對任意的x∈I，總有f(x)≥f(x0)結論f(x0)為最大值f(x0)為最小值【友情提醒注意】函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是定義域內所有函數(shù)值中的最大者，最小值必須是定義域內所有函數(shù)值中的最小者．f(x)在[a，b]上的最值的兩個步驟第一步：求f(x)在(a，b)上的極值；第二步：將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值．【友情提醒注意】最值不一定是極值，極值也不一定是最值．【課前預習思考】結合圖形觀察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出現(xiàn)在哪里．提示：最值可能出現(xiàn)在極值點或者區(qū)間端點處．【當堂鞏固訓練】題1．有一長為16m的籬笆，要圍成一個矩形場地，則此矩形場地的最大面積為()A．4m2B．8m2C．12m2D．16m2【解析】選D.設矩形一邊長為x(0<x<8)m，則另一邊長為(8－x)m.S＝x(8－x)，易知當x＝4時，S有最大值16m2.題2.某工廠要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3，高為3m，如果箱底每平方米的造價為15元，箱壁每平方米的造價為12元，則箱子的最低總造價為()A．900元B．840元C．818元D．816元【思路導引】結合導數(shù)進行求解．【解析】選D.設箱底一邊的長度為xm，箱子的總造價為l元，根據(jù)題意，得l＝15×eq\f(48,3)＋12×2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(48,x)))＝240＋72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))(x>0)，l′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2)))，令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，當0<x<4時，l′<0；當x>4時，l′>0.故當x＝4時，l取得最小值為816.題3．一個箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)＝x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0<x<60)，則當箱子的容積最大時，x的值為()A．30B．40C．50D．60【解析】選B.V(x)＝－eq\f(1,2)x3＋30x2，V′(x)＝－eq\f(3,2)x2＋60x，令V′(x)＝0，得x＝40(x＝0舍去)，且當0<x<40時，V′(x)>0，當40<x<60時，V′(x)<0，故V(x)在x＝40時取得最大值．題4.如圖所示，半徑為2的⊙M切直線AB于點O，射線OC從OA出發(fā)繞著O點順時針旋轉到OB，旋轉過程中，OC交⊙M于P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為S＝f(x)，那么f(x)的圖象是如圖中的()【解析】選A.由所給的圖示可得，當x≤π時，弓形PnO的面積為S＝f(x)＝S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sinx，其導數(shù)為f′(x)＝2－2cosx，由余弦函數(shù)的性質知，此值越來越大，即f(x)的圖象上升得越來越快，由此可以排除B，C；再由所給圖示的對稱性知，弓形PnO的面積先是增加得越來越快，然后是增加得越來越慢，直到增加率為0，由此可以排除D.題5．將邊長為1m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S＝eq\f(（梯形的周長）2,梯形的面積)，則S的最小值是()A．eq\f(32\r(3),3)B．eq\f(16\r(3),3)C．eq\f(8\r(3),3)D．eq\f(4\r(3),3)【解析】選A.如圖所示，設AD＝xm(0＜x＜1)，則DE＝AD＝xm，所以梯形的周長為x＋2(1－x)＋1＝(3－x)m，又S△ADE＝eq\f(\r(3),4)x2(m2)，所以梯形的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)x2))(m2)，所以S＝eq\f(4\r(3),3)×eq\f(x2－6x＋9,1－x2)(0<x<1)，于是S′＝－eq\f(8\r(3),3)×eq\f(（3x－1）（x－3）,（1－x2）2)，令S′＝0得x＝eq\f(1,3)或3(舍去)，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))時，S′＜0，S遞減，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))時，S′＞0，S遞增．故當x＝eq\f(1,3)時，S的最小值是eq\f(32\r(3),3).題6．做一個圓柱形鍋爐，容積為V，兩個底面的材料每單位面積的價格為a元，側面的材料每單位面積的價格為b元，當造價最低時，鍋爐的底面直徑與高的比為()A．eq\f(a,b)B．eq\f(a2,b)C．eq\f(b,a)D．eq\f(b2,a)【解析】選A.設鍋爐的高h與底面直徑d的比為k＝eq\f(h,d)，由V＝eq\f(πd2,4)h＝eq\f(πd2,4)·kd＝eq\f(π,4)kd3，可得d＝eq\r(3,\f(4V,kπ))，h＝kd＝eq\r(3,\f(4Vk2,π))，設造價為y，則y＝2π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))eq\s\up12(2)·a＋πdh·b＝eq\f(πa,2)·eq\r(3,\f(16V2,π2))·k－eq\f(2,3)＋πb·eq\r(3,\f(16V2,π2))·，則y′＝eq\f(πa,2)·eq\r(3,\f(16V2,π2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))k－eq\f(5,3)＋πb·eq\r(3,\f(16V2,π2))·eq\f(1,3)，令y′＝0，解得k＝eq\f(a,b)，可得此時y取得最小值．故當造價最低時鍋爐的高與底面直徑的比為eq\f(a,b).題7（多選題）．某糧食加工企業(yè)設計了一種容積為63000π立方米的糧食儲藏容器，如圖1所示，已知該容器分上下兩部分，上部分是底面半徑和高都為r(r≥10)米的圓錐，下部分是底面半徑為r米、高為h米的圓柱體，如圖2所示．經測算，圓錐的側面每平方米的建造費用為eq\r(2)a元，圓柱的側面、底面每平方米的建造費用為a元，設每個容器的制造總費用為y元，則下面說法正確的是()A.10≤r<40B．h的最大值為eq\f(1880,3)C．當r＝21時，y＝7029aπD．當r＝30時，y有最小值，最小值為6300aπ【解析】選BCD.由題意可得eq\f(1,3)πr2×r＋πr2h＝63000π，所以h＝eq\f(63000π－\f(1,3)πr3,πr2)＝eq\f(63000,r2)－eq\f(1,3)r，由h>0，得eq\f(63000,r2)－eq\f(1,3)r>0，解得r<30eq\r(3,7)，所以10≤r<30eq\r(3,7)，故A項不正確．易知h隨r的增大而減小，所以當r＝10時，h取得最大值，且最大值eq\f(1880,3)，故B項正確．圓錐的母線長l＝eq\r(2)r，故圓錐的側面積S1＝πrl＝πr×eq\r(2)r＝eq\r(2)πr2，圓柱的側面積S2＝2πrh＝2πreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(63000,r2)－\f(1,3)r))＝eq\f(2×63000π,r)－eq\f(2π,3)r2，圓柱的底面積S3＝πr2，所以總費用y＝eq\r(2)aS1＋a(S2＋S3)＝eq\r(2)a×eq\r(2)πr2＋a(eq\f(2×63000π,r)－eq\f(2π,3)r2＋πr2)＝eq\f(7aπ,3)r2＋eq\f(2×63000aπ,r).當r＝21時，y＝eq\f(7aπ,3)×212＋eq\f(2×63000aπ,21)＝7029aπ，C項正確．y′＝eq\f(14aπ,3)r－eq\f(2×63000aπ,r2)＝eq\f(14aπ（r3－27000）,3r2)，當10≤r<30時，y′<0，函數(shù)y＝eq\f(7aπ,3)r2＋eq\f(2×63000aπ,r)單調遞減，當30<r<30eq\r(3,7)時，y′>0，函數(shù)y＝eq\f(7aπ,3)r2＋eq\f(2×63000aπ,r)單調遞增，所以當r＝30時，y取得最小值，最小值為eq\f(7aπ,3)×302＋eq\f(2×63000aπ,30)＝6300aπ，D項正確．題8（多選題）.如圖所示，外層是類似于“甜筒冰淇淋”的圖形，上部分是體積為10eq\r(15)π的半球，下面大圓剛好與高度為6的圓錐的底面圓重合，在該封閉的幾何體內倒放一個小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，則該小圓錐體積可以為()A．10πB．18πC．30πD．40π【解析】選ABC.令上部分的半球半徑為R，可得eq\f(2,3)πR3＝10eq\r(15)π，解得R＝eq\r(15)，設小圓錐的底面半徑為r，小圓錐底面中心到球心距離為h，可知r，h，和R可構成直角三角形，即r2＋h2＝15，小圓錐體積V＝eq\f(1,3)πr2(h＋6)＝eq\f(1,3)π(15－h(huán)2)(h＋6)(0<h<eq\r(15)).令f(h)＝(15－h(huán)2)(h＋6)(0<h<eq\r(15))，則f′(h)＝－3(h＋5)·(h－1)，可知f(h)在(0，1)上單調遞增，在(1，eq\r(15))上單調遞減，所以當h＝1時，f(h)最大，f(h)max＝f(1)＝98，即Vmax＝eq\f(98,3)π，即A，B，C三個選項都滿足題意．題9．如圖所示，某廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當砌墻壁所用的材料最省時，堆料場的長和寬分別為________.【思路導引】建立函數(shù)模型，應用導數(shù)求最值．【解析】要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短，設場地寬為x米，則長為eq\f(512,x)米，因此新墻壁總長度L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，則L′＝2－eq\f(512,x2)，令L′＝0，得x＝±16.因為x>0，所以xx>16時，L′>0，L遞增，當0<x<16時，L′<0，L遞減，所以當x＝16時，Lmin＝64，此時堆料場的長為32米．答案：32米，16米題10．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和8萬元．那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站________千米處．【思路導引】結合導數(shù)進行求解．【解析】設倉庫與車站相距x千米，依題意可設每月土地占用費y1＝eq\f(k1,x)，每月庫存貨物的運費y2＝k2x，其中x是倉庫到車站的距離，k1，k2是比例系數(shù)，于是由2＝eq\f(k1,10)得k1＝20；由8＝10k2得k2＝eq\f(4,5).所以兩項費用之和為y＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)(x>0)，y′＝－eq\f(20,x2)＋eq\f(4,5)，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).當0<x<5時，y′<0；當x>5時，y′x＝5時，y取得極小值，也是最小值．所以當倉庫建在離車站5千米處時，兩項費用之和最?。鸢福?題11．有矩形鐵板，其長為6，寬為4，現(xiàn)從四個角上剪掉邊長為x的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子，要使容積最大，則x＝________．【解析】如圖所示，則折疊后的長方體長為6－2x，寬為4－2x，高為x，體積V＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－2x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2x))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))，則V＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－2x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2x))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－5x2＋6x))，V′＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－10x＋6))，令V′＝0，解得x＝eq\f(5－\r(7),3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5＋\r(7),3)舍去))，則當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5－\r(7),3)))時，V′>0，V單調遞增，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－\r(7),3)，2))時，V′<0，V單調遞減，所以當x＝eq\f(5－\r(7),3)時取到最大值．【答案】eq\f(5－\r(7),3)題12．某廠生產某種產品x件的總成本C(x)＝1200＋eq\f(1,27)x2(單位：萬元)，又知產品單價的平方與產品件數(shù)x成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，則產量定為________件時總利潤最大．【答案】225【解析】設產品單價為m，因為產品單價的平方與產品件數(shù)x成反比，所以m2＝eq\f(k,x)，(其中k為非零常數(shù))，又生產100件這樣的產品單價為50萬元，所以502＝eq\f(k,100)，故k＝250000，記生產x件產品時，總利潤為f(x)，所以f(x)＝mx－C(x)＝500eq\r(x)－1200－eq\f(1,27)x2，x>0，則f′(x)＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,27)x，由f′(x)>0得0<x<225，由f′(x)<0得x>225，故函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，225))上單調遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(225，＋∞))上單調遞減，所以時總利潤最大．題13.樹人中學2023級高一年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某商場銷售的商品A進行市場銷售量調研，通過對該商品一個階段的調研得知，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量g(x)(單位：百件)與銷售價格x(元/件)近似滿足關系式g(x)＝eq\f(a,x－2)＋2(x－5)2，其中2<x<5，a為常數(shù)．已知銷售價格為3元/件時，每日可售出該商品10百件．(1)求函數(shù)g(x)的解析式．(2)若該商品A的成本為2元/件，根據(jù)調研結果請你試確定該商品銷售價格的值，使該商場每日銷售該商品所獲得的利潤(單位：百元)最大．【思路導引】(1)由題意將(3，10)代入函數(shù)解析式，建立方程，即可求出g(x)的解析式．(2)商場每日銷售該商品所獲得的利潤＝每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關于x的三次多項式函數(shù)，再用求導數(shù)的方法討論函數(shù)的單調性，得出函數(shù)的極大值點，從而得出最大值對應的x值．【解析】(1)由題意，10＝eq\f(a,3－2)＋2(3－5)2，解得a＝2，故g(x)＝eq\f(2,x－2)＋2(x－5)2(2＜x＜5).(2)商場每日銷售該商品所獲得的利潤為y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2＜x＜5)，y′＝4(x－5)(x－2)＋2(x－5)2＝6(x－3)(x－5).列表得x，y，y′的變化情況：x(2，3)3(3，5)y′＋0－y單調遞增極大值單調遞減由表可得，x＝3是函數(shù)h(x)在區(qū)間(2，5)內的極大值點，也是最大值點．題14.如圖是一塊地皮OAB，其中OA，AB是直線段，曲線段OB是拋物線的一部分，且點O是該拋物線的頂點，OA所在的直線是該拋物線的對稱軸．經測量，OA＝2km，AB＝eq\r(2)km，∠OAB＝eq\f(π,4).現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個矩形CDEF來建造草坪，其中點C在曲線段OB上，點D，E在直線段OA上，點F在直線段AB上，設CD＝akm，矩形草坪CDEF的面積為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))km2.(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))，并寫出定義域．(2)當a為多少時，矩形草坪CDEF的面積最大？【解析】(1)以O為原點，OA邊所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，過點B作BG⊥OA于點G，在直角△ABG中，AB＝eq\r(2)，∠OAB＝eq\f(π,4)，所以AG＝BG＝1，又因為OA＝2，所以OG＝1，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，設拋物線OCB的標準方程為y2＝2px，代入點B的坐標，得p＝eq\f(1,2)，所以拋物線的方程為y2＝x.因為CD＝a，所以AE＝EF＝a，則DE＝2－a－a2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－a－a2))＝－a3－a2＋2a，定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)).(2)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝－3a2－2a＋2，令f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝0，得a＝eq\f(\r(7)－1,3).當0<a<eq\f(\r(7)－1,3)時，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))>0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(7)－1,3)))上單調遞增；當eq\f(\r(7)－1,3)<a<1時，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(7)－1,3)，1))上單調遞減．所以當a＝eq\f(\r(7)－1,3)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))取得極大值，也是最大值．題15.請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE＝FB＝xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．【解析】設包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)，由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)因為S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當x＝15時，S取得最大值．(2)根據(jù)題意有V＝(eq\r(2)x)2eq\f(\r(2),2)(60－2x)＝2eq\r(2)x2(30－x)(0<x<30)，所以V′＝6eq\r(2)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－x))，由V′＝0得，x＝0(舍)或x＝20.所以當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，20))時V′＞0；當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，30))時V′＜0，所以當x＝20時取得極大值，也是最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為eq\f(h,a)＝eq\f(\f(\r(2),2)（60－2x）,\r(2)x)＝eq\f(1,2)，即包裝盒的高與底面邊長的比值為eq\f(1,2).題16.如圖所示的某種容器的體積為90πcm3，它是由圓錐和圓柱兩部分組合而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為rcm.圓錐的高為h1cm，母線與底面所成的角為45°；圓柱的高為h2cm.已知圓柱底面造價為2a元/cm2，圓柱側面造價為a元/cm2，圓錐側面造價為eq\r(2)a元/cm2.(1)將圓柱的高h2表示為底面圓半徑r的函數(shù)，并求出定義域．(2)當容器造價最低時圓柱的底面圓半徑r為多少？【解析】(1)因為圓錐的母線與底面所成的角為45°，所以h1＝r，圓錐的體積為V1＝eq\f(1,3)πr2h1＝eq\f(1,3)πr3，圓柱的體積為V2＝πr2h2.因為V1＋V2＝90π，所以V2＝πr2h2＝90π－eq\f(1,3)πr3，所以h2＝eq\f(270－r3,3r2)＝eq\f(90,r2)－eq\f(r,3).因為V1＝eq\f(1,3)πr3<90π，所以r<3eq\r(3,10).因此0<r<3eq\r(3,10).所以h2＝eq\f(90,r2)－eq\f(r,3)，定義域為{r|0<r<3eq\r(3,10)}．(2)圓錐的側面積S1＝πr·eq\r(2)r＝eq\r(2)πr2，圓柱的側面積S2＝2πrh2，底面積S3＝πr2.容器總造價為y＝eq\r(2)aS1＋aS2＋2aS3＝2πr2a＋2πrh2a＋2πr2a＝2πa(r2＋rh2＋r2)＝2πaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2r2＋r\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(90,r2)－\f(r,3)))))＝eq\f(10πa,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r2＋\f(54,r))).令f(r)＝r2＋eq\f(54,r)，則f′(r)＝2r－eq\f(54,r2).令f′(r)＝0，得r＝3.當0<r<3時，f′(r)<0，f(r)在(0，3)上為單調遞減的；當3<r<3eq\r(3,10)時，f′(r)>0，f(r)在(3，3eq\r(3,10))上為單調遞增的．因此，當且僅當r＝3時，f(r)有最小值，即y有最小值，為90πa元．所以總造價最低時，圓柱的底面圓半徑為3cm.題17.某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線(O′在AB上)，經測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離h1(米)與D到OO′的距離a(米)之間滿足關系式h1＝eq\f(1,40)a2；右側曲線BO上任一點F到MN的距離h2(米)與F到OO′的距離b(米)之間滿足關系式h2＝－eq\f(1,800)b3＋6b.已知點B到OO′的距離為40米．(1)求橋AB的長度；(2)計劃在谷底兩側建造平行于OO′的橋墩CD和EF.且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點).橋墩EF每米造價k(萬元)，橋墩CD每米造價eq\f(3,2)k(萬元)(k>0)，問O′E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？【解析】(1)過A，B分別作MN的垂線，垂足為A′，B′，則AA′＝BB′＝－eq\f(1,800)×403＋6×40＝160(米).令eq\f(1,40)a2＝160，得a＝80，所以AO′＝80，AB＝AO′＋BO′＝80＋40＝120(米).(2)設O′E＝x，則CO′＝80－x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<40,0<80－x<80))，得0<x<40.設總造價為y，則y＝eq\f(3k,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(160－\f(1,40)（80－x）2))＋keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(160－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,800)x3＋6x))))＝eq\f(k,800)(x3－30x2＋160×800)，y′＝eq\f(k,800)(3x2－60x)＝eq\f(3k,800)x(x－20)，因為k>0，所以令y′＝0，得x＝0或x＝20，所以當0<x<20時，y′<0，y單調遞減；當20<x<40時，y′>0，y單調遞增．所以，當x＝20時，y取最小值，即當O′E為20米時，造價最低．【課堂跟蹤拔高】題18．已知某商品的進價為4元,通過多日的市場調查,該商品的市場銷量y(件)與商品售價x(元)的關系為y=ex,則當此商品的利潤最大時,該商品的售價x(元)為 ()A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選A.根據(jù)題意可得利潤函數(shù)f(x)=(x4)ex,f'(x)=ex(x4)ex=(5x)ex,當x>5時,f'(x)<0,f(x)單調遞減,當0<x<5時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,所以當x=5時,函數(shù)f(x)取得最大值.題19.我校為弘揚中華傳統(tǒng)中醫(yī)藥文化,在一塊邊長為30m的正方形空地中開辟出如圖所示的總面積為750m21m的小路,中間三個矩形區(qū)域將種植益母草、板藍根、苦參(其中兩個小矩形區(qū)域形狀、大小相同).中藥種植的總面積為Sm2.當S取得最大值時,x的值為 ()A.15m B.20m C.25m D.30m【解析】選C.由條件可知,x·(2a+3)=750?a=≤,所以25≤x≤30,S=(x2)·a+(x3)·a=(2x5)·a=(2x5)·==(3x+)+,S'=3+=0,解得x=25,當25≤x≤30時,S'≤0,S單調遞減,所以當x=25時,S取得最大值.題20.一艘船的燃料費y(單位:元/時)與船速x(單位:km/h)的關系是y=x3+x.若該船航行時其他費用為540元/時,則在100km的航程中,要使得航行的總費用最少,航速應為 ()A.30km/h B.30km/h C.30km/h D.60km/h【解析】選A.由題,100km的航程需要小時,故總的費用f(x)=(x3+x+540)×.即f(x)=x2+100+.故f'(x)=2x=.令f'(x)=0有x=30.故當0<x<30時f'(x)<0,f(x)單調遞減,當x>30時f'(x)>0,f(x)單調遞增.要使得航行的總費用最少,航速應為30km/h.題21.已知圓柱的表面積為定值3π,當圓柱的容積V最大時,圓柱的高h的值為 ()A.1 B. C. D.2【解析】選B.設圓柱的底面半徑為r,則2πr2+2πrh=3π,所以h==,則圓柱的體積V=πr2h=,所以V'(r)=,由V'(r)>0得0<r<,由V'(r)<0得r>,所以當r=時,V(r)取得極大值,也是最大值,即h=.題22.一窗戶的上部是半圓,下部是矩形,大致圖形如圖所示,如果窗戶面積為S,為使窗戶周長最小,用料最省,圓的半徑應為 ()A. B. C. D.2【解析】選C.設窗戶面積為S,周長為L,圓的半徑為x,矩形長為h,則S=x2+2hx,所以h=x,所以窗戶的周長L=πx+2x+2h=+2x+x,所以L'=2+,由L'=0得x=,x∈(0,)時,L'<0,L單調遞減;x∈(,+∞)時,L'>0,L單調遞增,所以當x=時,L取最小值.題23.如圖所示,圓形紙片的圓心為O,半徑為5,該紙片上的正方形ABCD的中心為O.E,F,G,H為圓O上的點,△ABE,△BCF,△DCG,△ADH分別是以AB,BC,CD,DA為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以AB,BC,CD,DA為折痕折起,使得E,F,G,H重合于一點,記為O',得到四棱錐O'ABCD.當?shù)酌鍭BCD的邊長變化時,四棱錐O'ABCD的體積的最大值為 ()A.3 B. C.3 D.【解析】選D.如圖,取CD的中點為M,連接O'M,OM,O'O,設正方形ABCD的邊長為a(0<a<5),則OM=,O'M=5,所以O'O==,所以四棱錐O'ABCD的體積V=S四邊形ABCD·O'O=·a2·=,設h(a)=25a45a5,得h'(a)=100a325a4.令h'(a)>0,得0<a<4,令h'(a)<0,得4<a<5,故h(aa=4時,h(a)取得最大值,即體積V取得最大值,為.題24.如圖所示,正方形ABCD的邊長為2,切去陰影部分圍成一個正四棱錐,則當正四棱錐體積最大時,該正四棱錐外接球的表面積為 ()A. B.C. D.【解析】選D.由題意,正方形ABCD的邊長為2,可得對角線的一半為,折成正四棱錐后,設正四棱錐邊長為a,高為h,可得:h2=2a(0<a<),正四棱錐體積V=a2·h最大時,即V=.令y=2a4a5,則y'=8a35a4,令y'=0可得a=,即當a=時體積取得最大值,所以h=.正四棱錐底面正方形外接圓的半徑r=.設正四棱錐外接球的半徑為R,可得(R)2+()2=R2,解得R2=,正四棱錐外接球的表面積S=4πR2=π.題25(多選題).將一個邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為xV(x),則下列結論正確的是 ()A.V(x)=(a2x)2x(x∈(0,))B.V'(x)=12x28ax+a2C.V(x)在區(qū)間(0,]上單調遞增D.V(x)在x=時取得最大值【解析】選ABD.由題意V(x)=(a2x)2x,a2x>0,所以0<x<,V'(x)=2×2(a2x)x+(a2x)2=12x28ax+a2,由V'(x)=(2xa)(6xa)得0<x<時,V'(x)>0,<x<時,V'(x)<0,即V(x)在(0,)上遞增,在(,)上遞減,V(x)在x=時取得極大值V()=a3C.題26(多選題)．如圖，在四面體ABCD中，點B1，C1，D1分別在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1∥平面BCD，A1為△BCD內一點，記三棱錐A1－B1C1D1的體積為V，設eq\f(AD1,AD)＝x，對于函數(shù)V＝f(x)，則下列結論正確的是()A.當x＝eq\f(2,3)時，函數(shù)f(x)取到最大值B．函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(1,2)對稱D．不存在x0，使得f(x0)>eq\f(1,4)VA-BCD(其中VA-BCD為四面體ABCD的體積).【解析】選ABD.因為在四面體ABCD中，點B1，C1，D1分別在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1∥平面BCD，所以由題意可知△B1C1D1∽△BCD，因為eq\f(C1D1,CD)＝eq\f(AD1,AD)＝