例談數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)開(kāi)發(fā)路徑與實(shí)踐——以“量身定做的全身鏡”為例

杭州市豐潭摘

要：項(xiàng)目學(xué)習(xí)是實(shí)施綜合與實(shí)踐領(lǐng)域課程的有效載體．本文通過(guò)“量身定制的全身鏡”這一項(xiàng)目學(xué)習(xí)課例，分析圖形與幾何視角下項(xiàng)目學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)思路，形成教學(xué)目標(biāo)確定、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)、教學(xué)評(píng)價(jià)實(shí)施的方法，為后續(xù)教師研究、設(shè)計(jì)和實(shí)踐項(xiàng)目學(xué)習(xí)提供實(shí)施路徑．關(guān)鍵詞：項(xiàng)目學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)方法；學(xué)會(huì)思考一、問(wèn)題提出《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》要求進(jìn)一步加強(qiáng)綜合與實(shí)踐，以提高學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，根據(jù)不同學(xué)段學(xué)生特點(diǎn)，適當(dāng)采用主題式學(xué)習(xí)和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計(jì)情境真實(shí)、較為復(fù)雜的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科和跨學(xué)科的知識(shí)與方法解決問(wèn)題.初中階段綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，將要以跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識(shí)和思想方法，從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡釋社會(huì)生活以及科學(xué)技術(shù)中遇到的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)與科學(xué)、技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、金融、地理、藝術(shù)等學(xué)科領(lǐng)域的融合，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力．本文以《量身定制的全身鏡》為例，經(jīng)歷初中數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)的實(shí)踐過(guò)程，探尋數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下項(xiàng)目學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)的一般路徑與方法．二、項(xiàng)目簡(jiǎn)述《量身定制的全身鏡》項(xiàng)目學(xué)習(xí)課，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)情境，以“每班配一面經(jīng)濟(jì)實(shí)用的全身鏡”為話題，促成學(xué)生自主提出本項(xiàng)目的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，并利用平面鏡成像知識(shí)和相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)研究完成項(xiàng)目的具體實(shí)踐過(guò)程，最終根據(jù)學(xué)生的設(shè)計(jì)為班級(jí)剪裁一面經(jīng)濟(jì)實(shí)用的全身鏡，促使學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，提升能力．1.項(xiàng)目：量身定制的全身鏡.2.驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題：如何為班級(jí)設(shè)計(jì)一面經(jīng)濟(jì)實(shí)用的全身鏡.3.核心知識(shí)：相似三角形、軸對(duì)稱圖形.4.項(xiàng)目具體實(shí)踐過(guò)程：操作體驗(yàn)，探索規(guī)律，嘗試解決，優(yōu)化方案.

5.項(xiàng)目成效：(1)確定全身鏡長(zhǎng)度與身高有關(guān).全身鏡的最短鏡長(zhǎng)等于身高的，兩者存在函數(shù)關(guān)系.(2)明確全身鏡擺放要求.鏡面最低點(diǎn)到地面的距離等于眼睛到腳底的.(3)美化全身鏡的途徑.利用黃金比以及美學(xué)的知識(shí)使設(shè)計(jì)更協(xié)調(diào)美觀.(4)全身鏡制作的秘籍.形成設(shè)計(jì)全身鏡的一般步驟及制作要點(diǎn).通過(guò)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，促使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象、幾何證明和多學(xué)科知識(shí)整合應(yīng)用的過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)抽象、證明和數(shù)學(xué)建模的方法與步驟，進(jìn)一步理解從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用相似三角形等知識(shí)證明得到結(jié)論的過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力及合作交流能力，提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)，發(fā)展了學(xué)生幾何直觀、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)．三、項(xiàng)目學(xué)習(xí)教學(xué)實(shí)踐1．提出問(wèn)題，任務(wù)驅(qū)動(dòng)《量身定制的全身鏡》項(xiàng)目從“校園設(shè)計(jì)大賽”中學(xué)生的真實(shí)問(wèn)題出發(fā)，引發(fā)學(xué)生深度思考，師生合作互動(dòng)，共同探尋問(wèn)題解決的子任務(wù)，形成學(xué)習(xí)共同體．提出問(wèn)題：如何在材料有限的情況下，為班級(jí)設(shè)計(jì)一面經(jīng)濟(jì)實(shí)用的全身鏡？任務(wù)驅(qū)動(dòng)：子任務(wù)1：探究全身鏡最短鏡長(zhǎng)與身高的關(guān)系.子任務(wù)2：探索并明確全身鏡擺放的位置要求.子任務(wù)3：探究美化全身鏡的途徑，使設(shè)計(jì)更協(xié)調(diào)美觀.子任務(wù)4：探索全身鏡制作的秘籍，形成設(shè)計(jì)全身鏡的方法和制作要點(diǎn).2．探究實(shí)踐，優(yōu)化設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一操作體驗(yàn)，探索規(guī)律活動(dòng)1請(qǐng)一位同學(xué)在撕開(kāi)軟鏡貼保護(hù)紙過(guò)程中，觀察何時(shí)鏡子能恰好照到全身？問(wèn)題1在改變鏡子大小的過(guò)程中，你看到鏡子里的畫(huà)面有什么變化？問(wèn)題2在鏡子材料有限的情況下，什么時(shí)候恰好能變成一面全身鏡？問(wèn)題3全身鏡的長(zhǎng)度與什么因素有關(guān)？活動(dòng)分析：在活動(dòng)中，通過(guò)不斷改變鏡子的長(zhǎng)度和學(xué)生站立位置離鏡子的遠(yuǎn)近，促使學(xué)生獲得直接真切的感知，并提出何時(shí)恰好成為一面全身鏡等問(wèn)題，水到渠成地獲得項(xiàng)目學(xué)習(xí)的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題：“如何為班級(jí)設(shè)計(jì)一面實(shí)用且美觀的全身鏡”.全身鏡的寬度一般是40-50cm左右，因此本項(xiàng)目主要探究全身鏡的長(zhǎng)度?；顒?dòng)2

探究鏡子中像的大小與人站立點(diǎn)位的關(guān)系問(wèn)題4思考由全身鏡聯(lián)想到哪些知識(shí)點(diǎn)(多學(xué)科知識(shí)點(diǎn))？問(wèn)題5根據(jù)平面鏡成像的特征，作出人在平面鏡中所成的像.問(wèn)題6人與像關(guān)于鏡面是什么數(shù)學(xué)變換？問(wèn)題7

改變?nèi)伺c鏡面的距離，像的大小是否會(huì)發(fā)生改變？問(wèn)題8為什么人站得離鏡面越遠(yuǎn)，我們看到自己的像越“小”？活動(dòng)分析：在探究活動(dòng)中，通過(guò)提供學(xué)習(xí)支架引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合多學(xué)科知識(shí)作圖，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過(guò)程。人有寬度和高度，如何將人抽象成數(shù)學(xué)幾何圖形是學(xué)生抽象思維的難點(diǎn)。在不考慮寬度的情況下，學(xué)生通過(guò)感知人的高度不可無(wú)限延伸，因此將人抽象成一點(diǎn)線段。

借助學(xué)生所學(xué)的軸對(duì)稱知識(shí)，作出人照鏡子得到的像(如下圖)，以此來(lái)加深學(xué)生對(duì)人和像關(guān)系的理解.通過(guò)改變?nèi)伺c鏡面的距離，讓學(xué)生感悟像的大小與人的站立點(diǎn)位無(wú)關(guān)。最后學(xué)生得到結(jié)論：鏡子中像的大小與人站立點(diǎn)位無(wú)關(guān).證明簡(jiǎn)單的猜想入手，做到了低起點(diǎn)，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.活動(dòng)2探究鏡長(zhǎng)與人的身高有什么關(guān)系？問(wèn)題9請(qǐng)利用所學(xué)知識(shí)畫(huà)出眼睛看到鏡中全身像的光路圖.活動(dòng)分析：活動(dòng)2讓學(xué)生回憶平面鏡成像的原理，為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)支架，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)提供的蠟燭成像光路圖及分析這一學(xué)習(xí)支架獨(dú)立完成作圖，獨(dú)立思考后進(jìn)行1-2分鐘的小組討論，通過(guò)準(zhǔn)確分析光路圖明確鏡長(zhǎng)與身高的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.環(huán)節(jié)二數(shù)學(xué)抽象，嘗試解決問(wèn)題10要照到全身，至少保留鏡子的哪段長(zhǎng)度？問(wèn)題11DE與AC有什么數(shù)量關(guān)系？如何證明？問(wèn)題12如何根據(jù)光路圖作出數(shù)學(xué)幾何圖形？（光學(xué)→數(shù)學(xué)）問(wèn)題13如何將問(wèn)題寫(xiě)成命題，進(jìn)行嚴(yán)格的幾何證明？問(wèn)題14全身鏡的最短鏡長(zhǎng)與人的身高是否存在函數(shù)關(guān)系？分析：通過(guò)五個(gè)層層遞進(jìn)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，將任務(wù)鏈拆解，給學(xué)生思考空間，學(xué)生根據(jù)光路特點(diǎn)得到結(jié)論：至少需要保留線段DE才能使人照到全身，作出猜想，DE=

AC,通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生將人照鏡子的光路圖抽象成幾何圖形的過(guò)程，讓學(xué)生明確線段關(guān)系，探究DE與AC的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和推理能力.命題：已知線段AC與線段A'C'關(guān)于DE所在的直線對(duì)稱，且DE//A'C'//AC,若身高AC=x米，則最短鏡長(zhǎng)DE的長(zhǎng)度為多少米？學(xué)生1：由反射角等于入射角、AC和A'C'關(guān)于QG對(duì)稱→BD=A'D,同理得到BE=EC'且DE//A'C',得到DE=AC（三角形的中位線、平行線分線段成比例）.學(xué)生2：由AC//QG//A'C',AC和A'C'關(guān)于QG對(duì)稱→△A'QD∽△A'AB，△BDE∽△BA'C'→

=

=→==→=.學(xué)生3：過(guò)點(diǎn)B作DE的垂線交QG于點(diǎn)F→△CGE≌△BEF,△BDF≌△ADG→DE=AC（全等三角形）.結(jié)論：全身鏡的最短鏡長(zhǎng)是身高的.函數(shù)建模:數(shù)據(jù)收集→畫(huà)圖描點(diǎn)→一次函數(shù)→擬合檢驗(yàn).在此基礎(chǔ)上，通過(guò)收集全班的身高數(shù)據(jù)，畫(huà)圖描點(diǎn)，擬合并檢驗(yàn)函數(shù).變量身高為x，全身鏡的最短鏡長(zhǎng)yx160161162162.2163163.8164165y8080.580.581.18081.98282.5x166167168169170171172173y8383.58484.585.585.58686.5x174174.3176177.7178178.6179180y86.587.158888.858989.289.590不難發(fā)現(xiàn)大部分點(diǎn)都在函數(shù)圖象附近，也有幾組數(shù)據(jù)存在誤差，不符合實(shí)際，有可能是測(cè)量時(shí)的讀數(shù)誤差等，我們可以刪去一些誤差較大的數(shù)據(jù)，并且使數(shù)據(jù)的取值盡量均勻，優(yōu)化后的散點(diǎn)圖如下：確定最短鏡長(zhǎng)與身高存在函數(shù)關(guān)系：y=

x.思考：確保鏡子能照到全身，還要考慮哪些因素？(邊實(shí)踐邊發(fā)現(xiàn)邊解決)環(huán)節(jié)三優(yōu)化方案，歸納總結(jié)活動(dòng)3利用提供的材料剪裁一面適合組員的全身鏡.分工合作，步驟如下（15分鐘）：(1)每組針對(duì)核心知識(shí)和驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，先在圖紙上討論好設(shè)計(jì)方案；(2)根據(jù)設(shè)計(jì)目標(biāo)剪裁一面適合組員的全身鏡，具體分工和要求如下：

活動(dòng)4在設(shè)計(jì)過(guò)程中遇到了什么問(wèn)題？問(wèn)題15在最短鏡長(zhǎng)確定后，如何明確全身鏡的擺放高度？問(wèn)題16鏡子能夠照到全身后，探究如何美化全身鏡，使得畫(huà)面更協(xié)調(diào)美觀？活動(dòng)分析：在學(xué)生掌握了核心知識(shí)后開(kāi)展小組合作，加深學(xué)生對(duì)理論知識(shí)的理解，讓學(xué)生在實(shí)踐中繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，并在不斷嘗試檢驗(yàn)中解決問(wèn)題。學(xué)生依次解決設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的問(wèn)題：學(xué)生1：最短鏡長(zhǎng)確定后仍照不到全身可能跟鏡子的張貼高度有關(guān)，即求解鏡子張貼的最低點(diǎn)離地面的距離，從幾何圖形中提取出基本結(jié)構(gòu)（如下圖），由相似三角形得到△C'EG∽△C'BC,所以得到結(jié)論鏡子最低點(diǎn)離地面的距離為眼睛到足底的一半，即EG=BC.學(xué)生2：借助黃金分割，優(yōu)化鏡子設(shè)計(jì).活動(dòng)5：如果要為全組、全班、全校設(shè)計(jì)一面經(jīng)濟(jì)實(shí)用的全身鏡，需要搜集哪些信息？該如何計(jì)算呢？請(qǐng)總結(jié)出全身鏡制作的秘籍形成設(shè)計(jì)全身鏡的一般方法和規(guī)律.活動(dòng)分析：研究全身鏡的鏡長(zhǎng)最終是為了服務(wù)班級(jí)和學(xué)校，通過(guò)實(shí)踐后的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深層次的頭腦風(fēng)暴，探究出全身鏡制作的秘籍，總結(jié)出設(shè)計(jì)全身鏡的一般方法和規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。3．成果展示，遷移應(yīng)用學(xué)生要在解決的過(guò)程中創(chuàng)造同伴可共享，公開(kāi)獲得的有形學(xué)習(xí)成果．小組展示：請(qǐng)小組進(jìn)行創(chuàng)意分享，展示各組設(shè)計(jì)的鏡子、設(shè)計(jì)方案和依據(jù)。小組1：為了使畫(huà)面更美觀，1組學(xué)生將黃金分割的相關(guān)內(nèi)容融入到鏡子的設(shè)計(jì)中。首先會(huì)想到將人放置在鏡子的黃金點(diǎn)（如下圖1），將鏡子長(zhǎng)度抽象成一條線段，身高已知時(shí)根據(jù)比例中項(xiàng)科研求出線段BC的長(zhǎng)度。此時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)仍然不夠協(xié)調(diào)，將改變長(zhǎng)度后的鏡子上下移動(dòng)使得人身高的黃金點(diǎn)與鏡子的黃金點(diǎn)重合（如下圖2），頭頂是D點(diǎn)，足底是E點(diǎn)，點(diǎn)A為人的黃金點(diǎn)，線段BC和線段DE長(zhǎng)度已知，可以求解出線段AE和線段AB的長(zhǎng)度，從而求解得到BE的長(zhǎng)度，即鏡子需要下移的距離。

圖1

圖2小組2:該組成員從鏡中的像出發(fā)，要使得看到的像協(xié)調(diào)美觀，找到像的黃金點(diǎn)，使得≈0.618,小組某成員的身高是180cm,求出線段EP=111.24cm,由△BDO∽△BEP得到OG=EP=55.62cm,因此可以使得這段鏡子的長(zhǎng)度位于鏡子總長(zhǎng)的黃金點(diǎn)，即≈0.618,則GH=90cm,因此改變鏡子的張貼高度即可使畫(huà)面更協(xié)調(diào)。小組3：在最短鏡長(zhǎng)確定、張貼高度適宜的情況下，3組學(xué)生發(fā)現(xiàn)通過(guò)改變?nèi)说恼玖Ⅻc(diǎn)位來(lái)使視覺(jué)上看到的像變“小”，讓畫(huà)面更協(xié)調(diào)，比如站在離鏡子1.88米的距離時(shí)照出來(lái)的畫(huà)面就比較美觀協(xié)調(diào)。小組4：為使畫(huà)面更協(xié)調(diào)，改變鏡子的長(zhǎng)和寬，使得鏡子的長(zhǎng)和寬成黃金比。規(guī)律總結(jié)：要為全班、全校設(shè)計(jì)一面經(jīng)濟(jì)實(shí)用的全身鏡，全身鏡的擺放的最高點(diǎn)按全班(全校)身高最高的人確定，全身鏡的最低點(diǎn)按全班(全校)身高最矮的人確定，如下圖.班級(jí)全身鏡展示：4．項(xiàng)目評(píng)價(jià)，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)課堂上要關(guān)注學(xué)習(xí)目標(biāo)，對(duì)學(xué)生提出具有科學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的要求，并進(jìn)行評(píng)估.項(xiàng)目量身定制的全身鏡評(píng)價(jià)一級(jí)指標(biāo)二級(jí)指標(biāo)自己評(píng)小組評(píng)老師評(píng)我會(huì)參與★★★積極舉手發(fā)言，積極參與討論與交流★★能舉手發(fā)言，會(huì)參與討論與交流★少有發(fā)言，較少參與討論與交流☆☆☆☆☆☆☆☆☆我會(huì)合作★★★在團(tuán)隊(duì)與成員良好合作，在小組內(nèi)起到領(lǐng)導(dǎo)作用，能給出建議，并且對(duì)小組貢獻(xiàn)大★★幫助協(xié)作，推動(dòng)小組工作，對(duì)最終成果有一定貢做★有參與討論、協(xié)作，但是參與度不高☆☆☆☆☆☆☆☆☆我會(huì)探究★★★有強(qiáng)烈的求知欲，不斷提出與項(xiàng)目有關(guān)的問(wèn)題，并努力尋找答案★★能提出與主題有關(guān)的問(wèn)題，希望找到答案，能在遇到困難時(shí)與同伴討論尋求解決方案★能提出問(wèn)題，有時(shí)問(wèn)題偏離主題，對(duì)問(wèn)題不做進(jìn)一步思考☆☆☆☆☆☆☆☆☆我會(huì)創(chuàng)新★★★全身鏡的設(shè)計(jì)有亮點(diǎn)，且觀點(diǎn)有一定的合理性，能不斷優(yōu)化設(shè)計(jì)★★學(xué)習(xí)中有一定的創(chuàng)新意識(shí)，能解決相關(guān)問(wèn)題★學(xué)習(xí)中能開(kāi)始培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)☆☆☆☆☆☆☆☆☆拓展在全身鏡大小確定的情況下，探究改變?nèi)礴R放置的角度，讓老師和同學(xué)照鏡子時(shí)更美，并確定一個(gè)最佳站立點(diǎn)位，使美觀程度達(dá)到最佳(黃金角度)。遷移所學(xué)內(nèi)容，思考為什么紅綠燈要設(shè)置在一個(gè)適當(dāng)高度？三、項(xiàng)目開(kāi)發(fā)與實(shí)踐的基本路徑通過(guò)以上課例，我們發(fā)現(xiàn)項(xiàng)目學(xué)習(xí)是一種有指導(dǎo)的探究性學(xué)習(xí)，學(xué)生參與了與科學(xué)、美學(xué)和工程學(xué)相關(guān)的較為開(kāi)放的探索活動(dòng)，教師適當(dāng)指導(dǎo)(項(xiàng)目支架)，產(chǎn)生可遷移的學(xué)習(xí)效果．在開(kāi)展“圖形與幾何”主題中的項(xiàng)目學(xué)習(xí)時(shí)，可以通過(guò)“提出問(wèn)題，任務(wù)驅(qū)動(dòng)”“探究實(shí)踐，優(yōu)化設(shè)計(jì)”“成果展示，遷移應(yīng)用”“項(xiàng)目評(píng)價(jià)，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)”四個(gè)方面對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行實(shí)施，可選擇以下方式切入：1．提出問(wèn)題，任務(wù)驅(qū)動(dòng)——“化散為聚”.新課標(biāo)指出項(xiàng)目的選取應(yīng)盡可能貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以利于學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的過(guò)程，并結(jié)合多學(xué)科知識(shí)解決問(wèn)題?！鞍l(fā)散”體現(xiàn)著多學(xué)科的知識(shí)廣度，連結(jié)真實(shí)生活與問(wèn)題，將其聚焦到學(xué)科價(jià)值，才能開(kāi)發(fā)出靈動(dòng)、吸人眼球、樂(lè)于探索的項(xiàng)目。對(duì)于貼近生活的情景，可以發(fā)現(xiàn)在道德與法治、科學(xué)、藝術(shù)、語(yǔ)文等學(xué)科中，有很多與數(shù)學(xué)相似度與重合度較高的主題，可以利用其特點(diǎn)化散為聚，以問(wèn)題導(dǎo)入，激發(fā)興趣，引導(dǎo)學(xué)生明確項(xiàng)目任務(wù)。例如本項(xiàng)目以生活中全身鏡的問(wèn)題作為切入點(diǎn)，融合了數(shù)學(xué)、科學(xué)、美學(xué)和工程等學(xué)科知識(shí)，將多學(xué)科內(nèi)容交互一體，從理解光學(xué)中的平面鏡成像原理開(kāi)始，從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)意義，通過(guò)將分散的多學(xué)科知識(shí)整合，聚焦核心知識(shí)與關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學(xué)生解決生活問(wèn)題的創(chuàng)造力。2．探究實(shí)踐，優(yōu)化設(shè)計(jì)——“化零為整”.項(xiàng)目設(shè)計(jì)需要將分散的學(xué)科知識(shí)，按照知識(shí)的內(nèi)在邏輯和大框架進(jìn)行有序的排列重組、合理串聯(lián)，將零散的知識(shí)點(diǎn)通過(guò)一條線串聯(lián)成整體。本項(xiàng)目以師生互動(dòng)為保障，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題和追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生明確項(xiàng)目流程，尋找學(xué)科間的關(guān)聯(lián)性。從生活實(shí)際出發(fā)，將全身鏡作為串聯(lián)數(shù)學(xué)、科學(xué)和美學(xué)的工具，全身鏡的尺寸是數(shù)學(xué)問(wèn)題，但全身鏡的設(shè)計(jì)本身又涉及到科學(xué)和美學(xué)，從而將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用光學(xué)中平面鏡成像的原理，結(jié)合數(shù)學(xué)中圖形的軸對(duì)稱知識(shí)探究影響全身鏡長(zhǎng)度的因素，并從中抽象出數(shù)學(xué)幾何圖形，發(fā)現(xiàn)圖形基本結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷分析全身鏡的最短鏡長(zhǎng)與身高的關(guān)系，通過(guò)幾何證明得到最短鏡長(zhǎng)與身高存在函數(shù)關(guān)系，結(jié)合證明得到的結(jié)論建立簡(jiǎn)單的函數(shù)模型，最終引導(dǎo)學(xué)生解釋數(shù)學(xué)結(jié)論的現(xiàn)實(shí)意義，利用兩者的關(guān)系對(duì)全身鏡進(jìn)行剪裁設(shè)計(jì)，并結(jié)合多學(xué)科核心知識(shí)對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行不斷優(yōu)化，讓學(xué)生感受結(jié)論的合理性，從而解決問(wèn)題(如圖1)。3．成果展示，遷移應(yīng)用——“化無(wú)為有”.跨學(xué)科項(xiàng)目化以解決問(wèn)題或制造“產(chǎn)品”為驅(qū)動(dòng)性任務(wù)，最終可以通過(guò)所學(xué)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)遷移應(yīng)用，服務(wù)生活。本項(xiàng)目以生生合作為精髓，引導(dǎo)學(xué)生在具有知識(shí)儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上小組合作，展示成果，形成經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在經(jīng)歷了本項(xiàng)目實(shí)施的全過(guò)程后，掌握了如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，熟知有關(guān)圖形與幾何視角下項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的基本步驟，借助實(shí)踐探究?jī)?nèi)化經(jīng)驗(yàn)，形成方法，解決更多的生活問(wèn)題。比如服裝店的秘密、紅綠燈的高度設(shè)計(jì)、身份證拍攝位置等問(wèn)題都能夠通過(guò)化歸、抽象和創(chuàng)新得以解決。4．項(xiàng)目評(píng)價(jià)，內(nèi)化經(jīng)驗(yàn)——“化一為多”.本項(xiàng)目以多元評(píng)價(jià)和總結(jié)經(jīng)驗(yàn)為升華，通過(guò)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，學(xué)生初步體驗(yàn)利用幾何證明建立簡(jiǎn)單函數(shù)模型解決問(wèn)題的過(guò)程，會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”。有意識(shí)地用圖形與幾何、函數(shù)、美學(xué)、科學(xué)和工程學(xué)等知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)的核心素養(yǎng)，從而獲得項(xiàng)目的成效．同時(shí)，在關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能掌握的同時(shí)，更要關(guān)注核心素養(yǎng)的相關(guān)表現(xiàn)，關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)中操作、思考、交流、創(chuàng)新、作品設(shè)計(jì)優(yōu)化等進(jìn)行多元的評(píng)價(jià)，堅(jiān)持以評(píng)促學(xué)，將單一的評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)向多元，將探究的過(guò)程內(nèi)化為豐富的經(jīng)驗(yàn)。

“圖形與幾何”視角下項(xiàng)目化開(kāi)發(fā)與實(shí)踐的基本路徑除了以上四個(gè)主要環(huán)節(jié)外，還要關(guān)注以下內(nèi)容：明確可視且可行的教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)適切的教學(xué)活動(dòng)，注重學(xué)生自主探索、合作和探究的學(xué)習(xí)方式，將課堂真正地交給學(xué)生。四、項(xiàng)目實(shí)施的啟示通過(guò)以上課例的實(shí)踐，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形與幾何視角下的項(xiàng)目學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)流程(圖1)在研究生活實(shí)際中的問(wèn)題(跨學(xué)科)時(shí)是有效的，它是有效實(shí)施“綜合與實(shí)踐”課程的載體，學(xué)生通過(guò)運(yùn)用多門(mén)學(xué)科的知識(shí)解決生活中的問(wèn)題，促進(jìn)了知識(shí)的深度融合，提升了學(xué)生的綜合素養(yǎng)．在項(xiàng)目實(shí)施的過(guò)程中，我們也存在疑惑和思考．1．搭建學(xué)習(xí)腳手架，幫助學(xué)生解決問(wèn)題初中階段課標(biāo)并沒(méi)有明確給出圖形與幾何領(lǐng)域數(shù)學(xué)抽象與證明、建模的基本步驟，只是在活動(dòng)中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象思想．項(xiàng)目研究的問(wèn)題取材于實(shí)際，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并通過(guò)證明應(yīng)用于設(shè)計(jì)，解決生活問(wèn)題，這對(duì)九年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)存在困難．因此，在項(xiàng)目設(shè)計(jì)時(shí)要充分考慮學(xué)生可能遇到的問(wèn)題，通過(guò)適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)(知識(shí)聯(lián)系、信息技術(shù)手段)給學(xué)生搭建腳手架，幫助學(xué)生更好的抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題后結(jié)合多學(xué)科知識(shí)得到結(jié)論和規(guī)律，也為后續(xù)開(kāi)展其他有關(guān)圖形與幾何的