高考

數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)原理二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)篇考點(diǎn)二項(xiàng)式定理1.二項(xiàng)式定理(a+b)n=

an+

an-1b1+…+

an-kbk+…+

bn(n∈N*).這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理,等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的

二項(xiàng)展開式,

(k=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).二項(xiàng)展開式中的

an-kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用Tk+1表示,即通項(xiàng)為展開式的第k+1項(xiàng):Tk+1=

an-kbk.2.(a+b)n的展開式的特點(diǎn)1)項(xiàng)數(shù)為n+1.2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)之和為n.3)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)開始,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪

排列,從第一項(xiàng)開始,次數(shù)由0逐項(xiàng)增1直到n.4)二項(xiàng)式系數(shù)從

,

一直到

,

.3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1)對(duì)稱性:與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即

=

.2)增減性與最大值:對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)

(k=0,1,2,…,n),當(dāng)k<

時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的;當(dāng)k>

時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),二項(xiàng)展開式的中間一項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即最大的二項(xiàng)式系數(shù)為

;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),二項(xiàng)展開式的中間兩項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)最大,即最大的二項(xiàng)式系數(shù)為

和

.3)二項(xiàng)式系數(shù)的和(a+b)n的展開式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即

+

+

+…+

+…+

=2n.二項(xiàng)展開式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,

即

+

+

+…=

+

+

+…=2n-1.綜合篇考法一求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)求二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù),通常是根據(jù)已知條件,利用

通項(xiàng)求k,再求Tk+1或Tk+1的系數(shù),有時(shí)還需先求冪指數(shù)n,再求k,才能求出Tk+1

或Tk+1的系數(shù).例1

(2022江蘇常州高級(jí)中學(xué)模擬)(x2-x+1)(x-1)5的展開式中x4的系數(shù)為

(

)A.-25

B.25

C.-5

D.5解析

(x2-x+1)(x-1)5=x2(x-1)5-x·(x-1)5+(x-1)5,(x-1)5的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=

x5-k(-1)k=(-1)k

x5-k,k=0,1,2,…,5,令k=3,得(-1)3

x2=-10x2,則x2(-10x2)=-10x4;令k=2,得(-1)2

x3=10x3,則-x(10x3)=-10x4;令k=1,得(-1)

x4=-5x4,∴(x2-x+1)(x-1)5的展開式中x4的系數(shù)為(-10)+(-10)+(-5)=-25.故選A.答案

A考法二二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和1.對(duì)于形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)

之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對(duì)于形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其

展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.2.一般地,對(duì)于(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令f(x)=(a+bx)n,則(a+bx)n展開式

中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0+a2+a4+…=

,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+a5+…=

.例2

(多選)(2022南京天印高級(jí)中學(xué)模擬,10)

的展開式中,下列結(jié)論正確的是

(

)A.展開式共6項(xiàng)B.常數(shù)項(xiàng)為160C.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729D.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64解析因?yàn)?/p>

的展開式的項(xiàng)數(shù)是7,故A不正確;

的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=

x6-k·

=

2kx6-2k,令6-2k=0,得k=3,則常數(shù)項(xiàng)為

23=160,故B正確;對(duì)于

,令x=1,可得

=36=729,即

的展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729,故C正確;所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為26=64,故D正確.故選BCD.答案

BCD例3

(2022廣州三模,13)若x8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8,則a3=

.解析由題意可知x8=[(x+1)-1]8,[(x+1)-1]8的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=

·(x+1)8-k·(-1)k,由x8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8,得出所求對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是a3(x+1)3.令8-k=3,得k=5,所以a3=(-1)5×

=-56.答案-56例4

(2023屆長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考,14)若(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022,

則

+

+…+

的值為

.解析令x=0,得a0=1;令x=

,得a0+

+

+…+

=0,所以

+

+…+

=-1.答案

-1例5

(2022浙江,12,6分)已知多項(xiàng)式(x+2)·(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,

則a2=

,a1+a2+a3+a4+a5=

.解析由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的項(xiàng)是由x+2中的x

和2分別與(x-1)4的展開式中含x和x2的項(xiàng)相乘后再相加得到的,所以a2=

(-1)3+2

(-1)2=8.對(duì)于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3