導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用〔一〕【考點(diǎn)透視】1．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景〔如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等〕；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念．2．熟記根本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法那么．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．3．理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件〔導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)〕；會(huì)求一些實(shí)際問題〔一般指單峰函數(shù)〕的最大值和最小值．題型一：利用導(dǎo)數(shù)定義求極限例1．f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求以下極限：〔1〕；〔2〕解：〔1〕〔2〕題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程例2．曲線，曲線，直線與都有相切，求直線的方程。解：設(shè)直線與的切點(diǎn)分別為，又或，的方程為：或。題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。例3、函數(shù)的值域是_____________.解答過程：由得，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.例4．函數(shù)的切線方程為y=3x+1?！并瘛臣僭O(shè)函數(shù)處有極值，求的表達(dá)式；〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的條件下，求函數(shù)在[－3，1]上的最大值；〔Ⅲ〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍解：〔1〕由過的切線方程為：①②而過①②故∵③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴〔2〕當(dāng)又在[－3，1]上最大值是13?！?〕y=f(x)在[－2，1]上單調(diào)遞增，又由①知2a+b=0。依題意在[－2，1]上恒有≥0，即①當(dāng)；②當(dāng)；③當(dāng)綜上所述，參數(shù)b的取值范圍是例5．〔2006年天津卷〕函數(shù)，其中為參數(shù)，且．〔1〕當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值；〔2〕要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；〔3〕假設(shè)對(duì)〔2〕中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．[考查目的]本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等根底知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.[解答過程]〔Ⅰ〕當(dāng)時(shí)，，那么在內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.〔Ⅱ〕，令，得.由〔Ⅰ〕，只需分下面兩種情況討論.①當(dāng)時(shí)，隨x的變化的符號(hào)及的變化情況如下表：x0+0-0+↗極大值↘極小值↗因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，隨x的變化，的符號(hào)及的變化情況如下表：+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且假設(shè)，那么.矛盾.所以當(dāng)時(shí)，的極小值不會(huì)大于零.綜上，要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.〔=3\*ROMANIII〕解：由〔=2\*ROMANII〕知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)，那么a須滿足不等式組或由〔=2\*ROMANII〕，參數(shù)時(shí)時(shí)，.要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例6：(1)當(dāng)時(shí),求證在內(nèi)是減函數(shù);(2)假設(shè)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),求a的取值范圍.解:(1)∵∴∵,∴又∵二次函數(shù)的圖象開口向上,∴在內(nèi),故在內(nèi)是減函數(shù).(2)設(shè)極值點(diǎn)為那么當(dāng)時(shí),∵∴在內(nèi)在內(nèi)即在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).當(dāng)時(shí)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn).當(dāng)時(shí),同理可知,在內(nèi)且只有一個(gè)極值點(diǎn),且是極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí),由(1)知在內(nèi)沒有極值點(diǎn).故所求a的取值范圍為題型四：導(dǎo)數(shù)與解析幾何、立體幾何的結(jié)合。例7：所以如下圖，曲線段OMB是函數(shù)的圖像，軸于A，曲線段OMB上一點(diǎn)處的切線PQ交x軸于P，交線段AB于Q.〔1〕試用表示切線PQ的方程；〔2〕設(shè)△QAP的面積為，假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，試求出的最小值；O0OPMBO0OPMBQxyA(6,

0)解：〔1〕切線PQ的方程〔2〕令y=0得由解得.又0<t<6,∴4<t<6，g(t)在(m,n)上單調(diào)遞減，故〔m,n〕〔3〕當(dāng)在〔0，4〕上單調(diào)遞增，∴P的橫坐標(biāo)的取值范圍為.題型五：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根例8：平面向量=(,－1).=(,).〔1〕假設(shè)存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使=+(t2－3)，=-k+t，⊥，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t)；(2)據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)－k=0的解的情況.解：(1)∵⊥，∴=0即[+(t2-3)]·(-k+t)=0.整理后得-k+[t-k(t2-3)]+(t2-3)·=0∵=0，=4，=1，∴上式化為-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)討論方程t(t2-3)-k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=t(t2-3)與直線y=k的交點(diǎn)個(gè)數(shù).于是f′(t)=(t2-1)=(t+1)(t-1).令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.當(dāng)t變化時(shí)，f′(t)、f(t)的變化情況如下表：t(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(t)+0-0+F(t)↗極大值↘極小值↗當(dāng)t=－1時(shí)，f(t)有極大值，f(t)極大值=.當(dāng)t=1時(shí)，f(t)有極小值，f(t)極小值=－函數(shù)f(t)=t(t2-3)的圖象如圖13－2－1所示，可觀察出：(1)當(dāng)k＞或k＜－時(shí),方程f(t)－k=0有且只有一解；(2)當(dāng)k=或k=－時(shí),方程f(t)－k=0有兩解；(3)當(dāng)－＜k＜時(shí),方程f(t)－k=0有三解.例9：函數(shù). 〔Ｉ〕討論函數(shù)的單調(diào)性； 〔Ⅱ〕假設(shè)曲線上兩點(diǎn)A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解〔Ⅰ〕由題設(shè)知.令.當(dāng)〔i〕a>0時(shí)，假設(shè)，那么，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；假設(shè)，那么，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；假設(shè)，那么，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；〔ii〕當(dāng)a＜0時(shí)，假設(shè)，那么，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；假設(shè)，那么，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；假設(shè)，那么，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；假設(shè)，那么，所以在區(qū)間上是減函數(shù).〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.因?yàn)榫€段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以.即所以.故.解得－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].題型六：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合例10：函數(shù)，設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為?！并瘛城蟮姆匠蹋弧并颉吃O(shè)與軸的交點(diǎn)為，證明：①；②假設(shè)，那么。解：〔1〕的導(dǎo)數(shù)，由此得切線的方程，〔2〕依題意，在切線方程中令，得，〔ⅰ〕，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等成立?！并ⅰ臣僭O(shè)，那么，，且由〔ⅰ〕，所以。例11：為實(shí)數(shù)，函數(shù)〔1〕假設(shè)函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍〔2〕假設(shè)，〔Ⅰ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔Ⅱ〕證明對(duì)任意的，不等式恒成立解：，函數(shù)的圖象有與軸平行的切線，有實(shí)數(shù)解，，所以的取值范圍是，，，由或；由的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間為易知的最大值為，的極小值為，又在上的最大值，最小值