初中數(shù)學圓和圓的位置關系練習題

一、選擇題（本題共計10小題，每題3分，共計30分，）

1.如圖，PQ是。。1，。。2的公共弦，過點P的直線分別交。。1,。。2于點4D,

過點Q的直線分別交。。1，。。2于點8、C,則下列結論不一定成立的是（）

\.AB//CDB.^ABQ=乙DPQ

C.APAB+乙PQB=180°D.AD//BC

2.如圖，點魂、周、毀在。。上，4密標1,以=別。則空的度數(shù)是（）

C

3.已知。。與。。'外切于點C,外公切線48與連心線。。'交于點P,力、B為切

點.4B=2g,大圓。的半徑為3,則兩條外公切線所夾的銳角的度數(shù)是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

4.為了歡度春節(jié)，江寧區(qū)政府計劃在中心廣場用鮮花和彩燈布置一個如下圖所示的景

觀帶（粗線部分），實線部分是半徑為12米的兩條等弧組成的景觀帶，若每條弧所在

的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，則花圃的景觀帶為（）米.

A.l67rB.247rC.327rD.367r

5.兩圓的半徑分別為2,5,圓心距為6,則兩圓的公切線共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

6.15個臺球平放在桌子上，它們正好擠在一個等邊三角形框內，該框的內周長為

876mm,則每個臺球的半徑(以mm為單位)是()

A.yB.詈(4一百)C.146(2-V3)D.y(2-V3)

7.在平面直角坐標系中，的圓心坐標為(1,0),半徑為1,點⑥為OC的直徑，若

點讖的坐標為Q匕)則點?的坐標為()

A.(—a—1,—b)B.(—a+1,—b)C.(—a+2,-b)D.(—a—2,—b)

8.已知。Oi和。。2相切，。01的直徑為9cm,。。2的直徑為4cm.則O1O2的長是()

A.5czn或13cmB.2.5cm

C.6.5cmD25cm或6.5cm

9.已知相交兩圓的公共弦長為24厘米，兩圓的半徑長分別為15厘米與20厘米，則此兩

圓的圓心距等于0

A.9厘米B.7厘米

C.25厘米D.25厘米或7厘米

10.如圖，矩形魂連期中，壽=編廖=寓，以會為圓心，3為半徑作題哪，圜為

題密上—動點，連接，因，以度!置為直角邊作費叁星理'，使2通期率二顆即，

舞"=—

鼠則點熏與點烈的最小距離為()

二、填空題(本題共計6小題，每題3分，共計18分，)

試卷第2頁，總23頁

11.易拉罐的形狀是圓柱，其底面的直徑為6cm,將10個相同的易拉罐按如圖方式堆

放，則這10個易拉罐所達到的最大高度是.（保留根號）＜人人

12.若兩圓的半徑分別是3cm和4czn,圓心距為7cm,則兩圓的位置關系是______

13.相交兩圓的公共弦垂直平分連結這兩圓圓心的線段_（判斷對錯）

14.如圖，在RtAABC中，ZC=9O°MC=2,BC=4,分別以AC,BC為直徑畫弧,

則圖中陰影部分的面積為.

15.四個半徑為r的圓如圖放置，相鄰兩個圓交點之間的距離也為r,不相鄰兩個圓的

圓周上兩點間的最短距離等于2,貝懺的值是________

16.圖1中的圓與正方形各邊都相切，設這個圓的面積為Si；圖2中的四個圓的半徑相

等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設這四個圓的面積之和為52；圖3中的九個圓

半徑相等，并依次外切，且與正方形的各邊相切，設這九個圓的面積之和為S3，…依

此規(guī)律，當正方形邊長為2時，第兀個圖中所有圓的面積之和％=.

三、解答題（本題共計8小題，每題10分，共計80分，）

17.如圖，我校有一教師買了輛奧迪車，奧迪車商標的長為34cm,寬為10cm,貝Ijd的

值為18cm.

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，4(0,8),B(6,0),C(0,3),點。從點4運動到點

(2)當OP與2B相切時，求APOB的面積；

(3)連接AP、BP,在整個運動過程中，△P4B的面積是否為定值，如果是，請直接

寫出面積的定值，如果不是，請說明理由.

19.如圖所示，。。八。。2、。。3兩兩外切，切點為4、B、C,它們的半徑為乙、「2、

(1)若△。1。2。3是直角三角形，「2：七=2：3,用友表示萬；

(2)若△。1。2。3與以4B、C為頂點的三角形相似，求1、「2、「3必須滿足什么條件,

并加以證明.

20.如圖，一半徑為1的圓內切于一個圓心角為60。的扇形，求扇形的周

試卷第4頁，總23頁

21.已知：相交兩圓的公共弦的長為6cm,兩圓的半徑分別為3&cm,5cm,求這兩個

圓的圓心距.

22.如圖，已知矩形ABCD的邊4D在直線MN上，BC=6,AB=8,點E是直線MN上

的一個動點，若以AB為半徑的。4與以ED為半徑的。E相切，求。E的半

23.如圖，奧迪車商標是由4個全等的圓相交而成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得圓的半徑為

24.如圖，點A,B在直線MN上，4B=11厘米，QA,。B的半徑均為1厘米.。A以

每秒2厘米的速度自左向右運動，與此同時，的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）

與時間t（秒）之間的關系式為r=1+t（t>0）.

（1）試寫出點力、8之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數(shù)表達式；

（2）問點A出發(fā)后多少秒兩圓相切？

參考答案與試題解析

初中數(shù)學圓和圓的位置關系練習題

一、選擇題（本題共計10小題，每題3分，共計30分）

1.

【答案】

D

【考點】

相交兩圓的性質

【解析】

依據(jù)圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角，即可作出判斷.

【解答】

解：力、4DPQ=4ABQ,

又；Z.DPQ+/LDCQ=180°,

^ABQ+^DCQ=180°,

/.4B〃CD.故結論成立；

B、根據(jù)圓內接四邊形的性質可得：^ABQ=乙DPQ、故結論正確；

C、根據(jù)圓內接四邊形的性質，NP4B+4PQB=180°成立，故結論正確；

D、力。和8c是過P和Q的任意直線，則4D〃BC不一定成立.

故選D.

2.

【答案】

B

【考點】

圓與圓的綜合與創(chuàng)新

等腰三角形的判定

平行線的判定

【解析】

連接OB,分別經(jīng)計算乙4B。和NCB。的度數(shù)即可.

【解答】

解：連接。B,如圖所示.

OA=OB

/.OBA="=70"

試卷第6頁，總23頁

ABPOC

(BOC=/-OBA=70°

OC=OB

180°—70°-

Z.OBC=-------------=55

2

/-ABC=/-OBA+乙OBC=700+55°=125°

故選：B

3.

【答案】

B

【考點】

相切兩圓的性質

【解析】

根據(jù)切線的性質得出4E=BE=EC=?再利用tan/E。缶=襄=得出

NEO'B=30。，進而求出NP的度數(shù)，即可得出兩條外公切線所夾的銳角的度數(shù).

【解答】

解：如圖，作兩圓的公切線EC,連接B。"，EO',

。。與。。'外切于點C,外公切線4B與連心線。0'交于點P,4、B為切點，

O'BA.PB,

<?,EB,EC是。。'的切線，AE.EC是。。的切線，

EB=EC,AE=EC,

AE=BE=EC=y/3,

"：BO'=3,

在RtABEO',

tanZ-EOrB=—=—,

BOt3

同理可得出：4EO'C=30°,

???Z,P=30°,

?,?兩條外公切線所夾的銳角的度數(shù)是：60。.

4.

【答案】

C

【考點】

相交兩圓的性質

【解析】

如圖，連接AB,CD,CB,DB,可求得NDCB=30。，則NCBD=120。，再由弧長公式

署算出答案即可.

1OU

【解答】

解：如圖，連接4B,CD,CB,DB.

'：AB=BC=12cm,

^DCB=30°,

乙CBD=120°,

花圃的周長=2x署=2x等出=32TT,

5.

【答案】

B

【考點】

圓與圓的位置關系

【解析】

由兩圓的半徑分別為2,5,圓心距為6,根據(jù)兩圓位置關系與圓心距d,兩圓半徑R,r

的數(shù)量關系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關系，繼而求得兩圓的公切線的條數(shù).

【解答】

解:;兩圓的半徑分別為2,5,圓心距為6,

又；2+5=7,5-2=3,3<5<7,

此兩圓相交，

兩圓的公切線共有2條.

故選B.

6.

【答案】

B

【考點】

相切兩圓的性質

【解析】

結合已知條件，設臺球的半徑為叱利用圓和圓之間的關系和勾股定理出等式，計算即

可.

【解答】

解：結合題意，設臺球的半徑為叱

那么，中間的矩形是長為8r,寬為r

兩邊的兩個直角三角形全等，且因為小球與兩邊相切

所以，球心與三角形的頂點連線平分三角形的內角

所以在直角三角形中，較長的直角邊=高方=百「

那么，整個邊長就等于8r+2^r=(8+2d3)r

則有方程：(8+2V3)r=292

所以，「=管(4-6)，

故選B.

7.

試卷第8頁，總23頁

【答案】

C

【考點】

圓與圓的綜合與創(chuàng)新

【解析】

作軸于D,BE_Lx軸于E,易證得△AC。WABCE,^\\AD=BE,DC=CE,由于

點4的坐標為(a,b)OC的圓心坐標為

(1,0),BE=AD=b,EC=CD=a-WE=l-(a-l)=-3+2,根據(jù)坐標的表示方

法即可得到B點坐標為(-8+2,—b),同樣得

到當點月圓上的任何位置都有此結論.

【解答】

解：如圖，作ZD1軸于D,BE1軸于E,

4B為。C的直徑，；.CA=CB

而ZJ4CD=乙BCE

△ACD=△BCEQAAS)

AD=BE,DC=CE

點4的坐標為(a,b)OC的圓心坐標為(1,0)

小BE=AD=b,EC=CD=--1

.OE=1—(a—1)=—a+2

:B點坐標為(一a+2,-b)

當點4圓上的任何位置都有此結論.

故選：C.

【答案】

D

【考點】

圓與圓的位置關系

【解析】

半徑不相等的兩圓相切有兩種情況：內切和外切，不要只考慮其中一種情況.由。3

與。。2的直徑分別為9cm和4cm得兩圓的半徑分別為4.5cm、2cm；當兩圓外切時，

OiO2=4.5+2=6.5(cm)；當兩圓內切時，。［。2=4.5—2=2.5(cm),所以01。2的值為

6.5cm或2.5sn.注意，相同半徑的兩圓只有外切與外離，而沒有內切與內含的位置關

系.

【解答】

。。1和。。2相切，

兩圓可能內切和外切，

當兩圓外切時，。1。2=4.5+2=6.5(口71)；

當兩圓內切時，。1。2=4.5-2=2.5(cm)；

。1。2的長是2.5cm或6.5cm.

9.

【答案】

D

【考點】

相交兩圓的性質

【解析】

先根據(jù)勾股定理，可得得圓心距的兩部分分別是9,16,然后根據(jù)兩圓的位置關系確定

圓心距.

【解答】

解：如圖1,AB=24,OrA=15,02A=20,

V公共弦長為24.

AC=12,AB1OQ,

222

OyC=y/O^-AC=9,02C=y/O2A-AC=16,

①當公共弦在兩個圓心之間時，圓心、距=9+16=25；

②當公共弦在圓心的同側時，如圖2,圓心距=16-9=7.

故這兩個圓的圓心距是25或7.

10.

【答案】

A

【考點】

圓與圓的綜合與創(chuàng)新

【解析】

如圖，取4B的中點G,連接FG,FC,GC,0E由△/MG?△E4C,推出=

AE=1:3,因為DE=3

,可得FG=1,推出點F的運動軌跡是以G為圓心1為半徑的圓，再利用兩點之間線段

最短即可解決問題.

【解答】

試卷第10頁，總23頁

如圖，取的中點G,連接FG,FC,GC,DE.

1

Z-EAF=90°tanZ./lEF=-

3

AF1

AE=3

AB=6AG=GB

AG=GB=3

AD=9

AG_3_1

AD=9=3

AF_AG

AE=AD

四邊形ABC。是矩形，

乙BAD=CB=Z,EAF=90°

/.FAG=Z-EAD

△FAG△EAD

FG:DE=AF/.AE=1:3

DE=3

FG=1

…點F的運動軌跡是以G為圓心1為半徑的圓，

GC=yjBC2+BG2=3V10

FC>GC-FG

FC>3V10-1

.CF的最小值為3"U-1

故選：A.

二、填空題(本題共計6小題，每題3分，共計18分)

II.

【答案】

(9V3+6)cm

【考點】

相切兩圓的性質

【解析】

根據(jù)相切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑的和可以得到構成的等邊三角形的邊長，進而

可以求得其高度.

【解答】

解：如圖所示，圓心組成等邊三角形2BC,過4作4D1BC于D,

則4B=AC=BC=18cm,

BD=CD=9cm,

根據(jù)勾股定理得：AD=4182-92=9V3,

即這10個易拉罐所達到的最大高度是(9b+6)cm,

故答案為：(9V3+6)cm.

12.

【答案】

外切

【考點】

圓與圓的位置關系

【解析】

由兩圓的半徑分別為1和3,圓心距為4,根據(jù)兩圓位置關系與圓心距d,兩圓半徑R,r

的數(shù)量關系間的聯(lián)系即可得出兩圓位置關系.

【解答】

解：：兩圓的半徑分別為4和3,圓心距為7.

又：4+3=7,

A兩圓的位置關系是外切.

故答案為：外切.

13.

【答案】

x

【考點】

相交兩圓的性質

【解析】

根據(jù)相交兩圓的性質(相交兩圓的連心線垂直平分公共弦)判斷即可.

【解答】

解：錯誤，

理由是：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，反過來公共弦不一定平分連結兩圓圓心

的線段，

故答案為：X.

14.

【答案】

5

2n~4

【考點】

圓與圓的綜合與創(chuàng)新

【解析】

試卷第12頁，總23頁

此題暫無解析

【解答】

1

解:SRI△ABC=xBC=4,

S陰影=2個半圓的面積—Rt△4BC的面積

—［兀（當）2+^兀（竽）2―4=|兀-4.

故答案為：^兀一4.

15.

【答案】

r=V6+2

【考點】

相交兩圓的性質

【解析】

由題意易知四個圓的圓心正好構成一個正方形，根據(jù)相鄰兩圓交點距離為r,且圓的半

徑為r,由垂徑定理和勾股定理可求得正方形的邊長，進而可求得正方形的對角線長；

由題意知：正方形的對角線長減去兩個圓的半徑和即為不相鄰兩圓圓周上兩點的最短

距離，已知了這個距離為2,即可求得圓的r的值.

【解答】

解：由題意知：四個圓的圓心正好構成正方形，且邊長為：

2xJr2-（1）2=V3r,則對角線長為：V2xV3r=V6r；

???不相鄰兩個圓的圓周上兩點間的最短距離為：（V6-2）r,

由題意知：（述-2）r=2,解得：r=遍+2.

16.

【答案】

7T

【考點】

相切兩圓的性質

【解析】

先從圖中找出每個圖中圓的面積，從中找出規(guī)律，再計算面積和.

【解答】

解：根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)：

第一個圖中，圓的半徑平方是正方形邊長平方的

第二個圖中，所有圓的半徑平方之和是正方形邊長平方的;;

依此類推，則第n個圖中所有圓的面積之和又和第一個圖中的圓的面積都是相等的，

即為兀.

故答案為：兀.

三、解答題（本題共計8小題，每題10分，共計80分）

17.

【答案】

18

【考點】

圓與圓的位置關系

【解析】

根據(jù)已知可知圓的直徑是10cm,從而可求得重疊部分的寬，則不難求得d的值

【解答】

,/寬為10cm,

圓的直徑是10cm,

圓的重疊部分的寬是(40-34)+3=2cm,

d-20-2-18cm.

18.

【答案】

4(0,8),B(6,0),C(0,3),

0/1=8,08=6,OC=3,

4c=5,

.ACCD

??—=—,

AOOB'

,5CD

??一=—

86

/.CD的=今

4

???OP的半徑為真

o

在RtMOB中，04=8,OB=6,

AB=y/OA2+OB2=V82+62=10,

如圖2,當OP與AB相切時，CD1AB,

Z.ADC=^AOB=90°,/.CAD=/-BAO,

：.LACD^^ABO,

?AC_AD_CD

??AB~AO~~OB'

試卷第14頁，總23頁

^=T=T

??AD=4,CD=3,

??C。為OP的直徑,

1a

-CP=-CD=-.

過點P作PE，4。于點E,

???^PEC=Z.ADC=90°,/,PCE=^ACD,

：.&CPEfCAD、

CP_CE

ACCD'

即卜半

9

?*"一

939

???OF=CE+OC=-4-3=-,

ioio

11OQ117

△008的面積=；*08*0￡=/6*看=^；

①如圖3,若OP與ZB只有一個交點，則G)P與4B相切,

由(2)可知PDLAB,PD=^CD=l，

：.APAB的面積=[xaBxPD=；xl,0x|=蔡.

②如圖4,若OP與48有兩個交點，設另一個交點為F,連接CF,可得NCFD=90。,

圖4

由⑵可得6=3,

過點P作PG1AB于點G,則DG=\DF,

則PG為△DCF的中位線，PG=1CF=|,

△248的面積="48*%="10X|=}

綜上所述，在整個運動過程中，△P4B的面積是定值，定值為日.

【考點】

圓與圓的綜合與創(chuàng)新

圓與相似的綜合

圓與函數(shù)的綜合

【解析】

(1)由條件可得出*=黑，可求出CD的長，則OP的半徑可求出；

AUUD

(2)證明△ACD7AB0,可得比線線段*=翼=黑，求出CD,4。的長，過點P作

ADAUUD

PE14。于點E,證明△CPEsaCZD,由比例線段可求出點P的坐標，可求出APOB

的面積；

(3)①若。P與4B只有一個交點，則。P與48相切，由(2)可知PD14B,PD=

|CD=|,貝必P4B的面積可求出.

②若OP與4B有兩個交點，設另一個交點為F,連接CF,可得ZCFQ=9O。，可求出CF

=3,過點P作PGJ.4B于點G,可得則PG為△DC尸的中位線，PG=

：CF=|,則APAB的面積可求出.

【解答】

,/4(0,8),B(6,0),C(0,3),

Z.。4=8,0B=6,0C=3,

4c=5,

^ACD-^AOB,

,AC_CD

?*AO~~OB'

,5CD

??一=—

86

4

???OP的半徑為去

o

在RtZ^OB中，。4=8,0B=6,

AB=\/0A2+0B2=V82+62=10,

如圖2,當OP與4B相切時,CD1AB,

試卷第16頁，總23頁

圖2

，^ADC=^AOB=90°,Z.CAD=^BAO,

/.△ACDABO,

?AC_AD_CD

■,AB~AO~OB'

即三=竺=竺

即1086

??AD=4tCD=3,

??CO為OP的直徑,

13

??CP=-CD=~,

過點P作PE_L4。于點E,

^PEC=Z.ADC=90°,/.PCE=/-ACD,

：.ACPE?ACAD、

CP_CE

~AC~~CD'

即￡

'CE=*

OE=CE+OC=-+3=—,

1010

△208的面積=：*08*06=[*6*工=黑；

①如圖3,若OP與48只有一個交點，則OP與48相切,

1R

由（2）可知P。_LAB,PD=^CD=l，

：.△/548的面積=2*48*「0=3*10*|=￡.

②如圖4,若。P與4B有兩個交點，設另一個交點為F,連接CF,可得4CFD=90。,

D

0\Bx

圖4

由⑵可得CF=3,

過點P作PG14B于點G,則DG=\DF,

則PG為△DCF的中位線，PG=\CF=\,

：.NAB的面積=gx4BxPG=：X10義|=}

綜上所述，在整個運動過程中，APAB的面積是定值，定值為日.

19.

【答案】

解：(1)圓心距分別為+r3,r2+r3,r2:r3=2:3,

有七=1.572，巳＞「3時，

222

(n+r2)=(n+r3)+(r2+r3),

解得ri=-7.5七(不合題意，舍去)，

222

6W2時，d+r3)=(n+r2)+(r2+r3),

解得G=5r2；

(2)萬=「2=廠3時，△。1。2。3與以4B、C為頂點的三角形相似，

"=r2=r3＞

48=[。1。3,

AC=1O2O3,CB=\020U

...△。1。2。3八C4B為頂點的三角形相似.

【考點】

相切兩圓的性質

【解析】

(1)因為△。1。2。3是直角三角形，根據(jù)。。1，。。2，。。3兩兩外切，得出三邊的長

度，結合斜邊的情況，利用勾股定理用「2表示；

(2)萬=72=巧時，AO1O2O3與以4、B、C為頂點的三角形相似.

【解答】

解：(1)圓心距分別為巳+「2，萬+r3，「2+「3,r2：「3=2:3,

有七=1.5萬，「1＞『3時，

22

(n+r2y=(ri+r3)+(r2+r3),

解得「1=-7.52(不合題意，舍去)，

430i+R)2=(ri++(r+r)2,

W「時，r2y23

解得=5r2；

(2)[=「2=「3時，AO1O2O3與以4、B、C為頂點的三角形相似，

"q=七=七，

...AB=1O1O3,AC=\O2O3,CB=^O2Olt

???△。1。203sAC48為頂點的三角形相似.

試卷第18頁，總23頁

20.

【答案】

解：作PD104于D,如圖,

則PD=1.

??,OC、。4與。P相切，

/.A0B=-Z.AOC=ix60°=30°,

22

在RtAP。。中，OP=2PD=2,

二OB=OP+PB=3,

，BC弧的長度=曙=兀,

1OU

扇形的周長=3+3+兀=

【考點】

相切兩圓的性質

【解析】

作PD_LOA于D,根據(jù)切線的性質得到PD=1,再根據(jù)切線長定理得到乙40B=

^AOC=30°,則有。P=2PD=2,所以。8=3,即扇形的半徑為3,然后根據(jù)弧長

公式計算出弧BC的長，再把弧BC的長、。4和。C的長相加即可.

【解答】

解：作PD104于D,如圖，

則PD=1,

???0C、。4與。P相切，

：./.AOB=-Z-AOC=-x60°=30°,

22

在RSP。。中，OP=2PD=2,

JOB=OP+PB=3,

BC弧的長度=3票=兀,

扇形的周長=3+3+71=6+〃.

21.

【答案】

解：如圖,AB6cm,O1A=5cm,O2A=3V2cm,

V公共弦長為6cm,

/.AC=3cm,AC1O1O2.

。傳=4cm,02C=3cm,

當公共弦在兩個圓心之間時，圓心距=4+3=7cm；

(

當公共弦在圓心的同側時，圓心距=4-3=1cm.1圖2

o

則這兩個圓的圓心距是7cm或1cm.圖1

【考點】

相交兩圓的性質

【解析】

先根據(jù)勾股定理，得圓心距的兩部分分別是4cm,3cm,然后根據(jù)兩圓的位置關系確

定圓心距.

【解答】

解：如圖，AB=6cm,OXA=5cm,O2A=3正cm,

V公共弦長為6cm,

AC=3cm,AC1O^O2,

O1C=4cm,O2C=3cm,

當公共弦在兩個圓心之間時，圓心距=4+3=7。n；

(

當公共弦在圓心的同側時，圓心距=4-3=1cm.1圖2

0

則這兩個圓的圓心距是7cm或1cm.圖1

22.

【答案】

解：：四邊形4BCD是矩形，AB=8,BC=6,

BC=AD=6,的半徑為8,

點。在。4的內部，

,-,點E是直線MN上的一個動點，若以AB為半徑的。A與以ED為半徑的。E相切,

；?兩圓相切時切點是直線MN和。4的交點，

試卷第20頁，總23頁

如圖，有兩種情況：當圓心是打時，DF=1X(8-6)=1；

當圓心是E2時，DE=1x(6+8)=7,

即。E的半徑是1或7.

【考點】

相切兩圓的性質

【解析】

根據(jù)相切兩圓的性質得出兩圓相切時切點是直線MN和。